Модельное мышление. Как анализировать сложные явления с помощью математических моделей [Скотт Пейдж] (epub) читать онлайн | КЛиб (2024)

Table of Contents

WHAT YOU NEED TO KNOW TO MAKE DATA WORK FOR YOU КАК АНАЛИЗИРОВАТЬ СЛОЖНЫЕ ЯВЛЕНИЯ СПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МОДЕЛИ ВЭПОХУ ДАННЫХ ПОЧЕМУ НАМ НУЖНО МНОГО МОДЕЛЕЙ ИЕРАРХИЯ МУДРОСТИ АННОТАЦИЯ ИКРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ ТИПЫ МОДЕЛЕЙ СЕМЬ ОБЛАСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ Области применения моделей (REDCAPE) REDCAPE: РАССУЖДЕНИЕ REDCAPE: ОБЪЯСНЕНИЕ REDCAPE: РАЗРАБОТКА REDCAPE: КОММУНИКАЦИЯ REDCAPE: ДЕЙСТВИЕ REDCAPE: ПРОГНОЗИРОВАНИЕ REDCAPE: ИССЛЕДОВАНИЕ МНОЖЕСТВО МОДЕЛЕЙ КАК НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЕВ ЛЖИ Теорема Кондорсе ожюри присяжных Теорема опрогнозе разнообразия МОДЕЛИ КАТЕГОРИЗАЦИИ Модели категоризации ОДНА БОЛЬШАЯ МОДЕЛЬ ИВОПРОС ОСТЕПЕНИ ДЕТАЛИЗАЦИИ R2: процент объясненной дисперсии (коэффициент детерминации) Теорема о декомпозиции погрешности модели ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОЙ МОДЕЛИ ВОМНОГИХ ОБЛАСТЯХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОЙ МОДЕЛИ ВОМНОГИХ ОБЛАСТЯХ: ПРИМЕР— ВЫСОКИЕ СТЕПЕНИ XN РЕЗЮМЕ Пакетирование и множество моделей ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ЛЮДЕЙ МОДЕЛЬ РАЦИОНАЛЬНОГО АГЕНТА Модель рационального агента Модель рационального агента в контексте потребления Аргументы впользу рационального выбора ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ СМЕЩЕНИЯ Теория перспектив: пример МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НАПРАВИЛАХ Модель «Эль Фароль»: адаптивные правила КОГНИТИВНАЯ ЗАВЕРШЕННОСТЬ, БОЛЬШОЙ ВОПРОС И МНОЖЕСТВО МОДЕЛЕЙ Критика Лукаса НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: СТРУКТУРА ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА: ЛОГИКА Центральная предельная теорема ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ О РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ: ФУНКЦИЯ Правило квадратного корня ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ МЕТОД «ШЕСТЬ СИГМ» ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ АНОМАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН РЕЗЮМЕ СТЕПЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: СТРУКТУРА Степенное распределение Закон Ципфа МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПО СТЕПЕННОМУ ЗАКОНУ: ЛОГИКА Модель предпочтительного присоединения Самоорганизованная критичность: модель лесных пожаров СЛЕДСТВИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СДЛИННЫМ ХВОСТОМ СПРАВЕДЛИВОСТЬ КАТАСТРОФЫ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ (ИЗМЕНЧИВОСТЬ) РАЗМЫШЛЕНИЯ ОМИРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СДЛИННЫМ ХВОСТОМ Поиск и благоприятные возможности ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ Линейные модели Знак, значимость ивеличина КОРРЕЛЯЦИЯ VSКАУЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ СО МНОЖЕСТВОМ ПЕРЕМЕННЫХ Уравнение успеха МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ БОЛЬШОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ИНОВЫЕ РЕАЛИИ Большой коэффициент иновые реалии РЕЗЮМЕ Бинарная классификация данных ВЫПУКЛОСТЬ Модель экспоненциального роста Правило 72 Модель периода полураспада ВОГНУТЫЕ ФУНКЦИИ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА Модель Кобба— Дугласа Простая модель роста МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА СОЛОУ* Модель роста Солоу* ПОЧЕМУ ОДНИ СТРАНЫ УСПЕШНЫ, АДРУГИЕ ТЕРПЯТ НЕУДАЧУ Экономическое господство Японии Китая ИВСЕЖЕ МИР НЕЛИНЕЕН КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ Кооперативные игры Вектор Шепли АКСИОМАТИКА ВЕКТОРА ШЕПЛИ Аксиоматика вектора Шепли ВЕКТОР ШЕПЛИ ИТЕСТ НА АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ВАРИАНТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИНДЕКС ШЕПЛИ— ШУБИКА РЕЗЮМЕ СТРУКТУРА СЕТИ Статистические параметры сети ОБЩИЕ СЕТЕВЫЕ СТРУКТУРЫ Метод Монте-Карло в контексте случайных сетей ФОРМИРОВАНИЕ СЕТЕЙ: ЛОГИКА Модель формирования сети свысоким качеством истепенью узлов ПОЧЕМУ СЕТИ ВАЖНЫ: ФУНКЦИЯ Парадокс дружбы Шесть степеней разделения НАДЕЖНОСТЬ СЕТИ РЕЗЮМЕ Вектор Майерсона и структурные пустоты Берта МОДЕЛЬ ТРАНСЛЯЦИИ Модель трансляции Согласование модели трансляции сданными МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ Модель диффузии Модель Басса SIR-МОДЕЛЬ SIR-модель R0: базовое репродуктивное число R0, суперраспространители и возведение степени вквадрат ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ВОМНОГИХ ОБЛАСТЯХ ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ Информационная энтропия АКСИОМАТИКА ЭНТРОПИИ Аксиоматика энтропии ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭНТРОПИИ ДЛЯ РАЗЛИЧЕНИЯ КЛАССОВ РЕЗУЛЬТАТОВ МАКСИМАЛЬНАЯ ЭНТРОПИЯ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Распределения с максимальной энтропией ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И НОРМАТИВНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ЭНТРОПИИ МОДЕЛЬ ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ Модель испытаний Бернулли МОДЕЛИ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ Простое случайное блуждание ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ РАЗМЕРА СЕТИ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ И ЭФФЕКТИВНЫЕ РЫНКИ РЕЗЮМЕ ПРОЦЕСС ПОЙА Процесс Пойа ПРОЦЕСС УРАВНОВЕШИВАНИЯ Процесс уравновешивания ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПЕРВОНАЧАЛЬНО ВЫБРАННОГО ПУТИ И ПЕРЕЛОМНЫЙ МОМЕНТ ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ Стоимостная мера риска и волатильность МОДЕЛЬ ЛОКАЛЬНОГО БОЛЬШИНСТВА Модель локального большинства Чистые координационные игры Парадокс координации ИГРА «ЖИЗНЬ» Игра «Жизнь» РЕЗЮМЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА Теорема Ляпунова Игра «Гонка по нисходящей» РАВНОВЕСИЕ ВМОДЕЛИ ЛОКАЛЬНОГО БОЛЬШИНСТВА САМООРГАНИЗАЦИЯ: НЬЮ-ЙОРК ИDISNEY WORLD Модель самоорганизации ЭКОНОМИКА ЧИСТОГО ОБМЕНА МОДЕЛИ БЕЗ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА РЕЗЮМЕ ДВА ПРИМЕРА ТЕОРЕМА ПЕРРОНА— ФРОБЕНИУСА Теорема Перрона— Фробениуса Парадокс продаж-долговечности ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ МАРКОВА РЕЗЮМЕ Марковские модели принятия решений ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛИ СИСТЕМНОЙ ДИНАМИКИ МОДЕЛЬ «ХИЩНИК— ЖЕРТВА» Модель Лотки— Вольтерры ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМНОЙ ДИНАМИКИ КАК РУКОВОДСТВА КДЕЙСТВИЮ МОДЕЛЬ «WORLD3» РЕЗЮМЕ МОДЕЛЬ МЯТЕЖА ГРАНОВЕТТЕРА Модель мятежа СОЗДАНИЕ РЫНКА ИДВОЙНЫЕ МЯТЕЖИ ДВЕ МОДЕЛИ СЕГРЕГАЦИИ Модель вечеринки Шеллинга МОДЕЛЬ СЕГРЕГАЦИИ ШЕЛЛИНГА Модель сегрегации Шеллинга ПОРОГОВЫЕ МОДЕЛИ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Модель пинг-понга РЕЗЮМЕ: СТЕПЕНЬ ДЕТАЛИЗАЦИИ МОДЕЛИ Алгоритмические мятежи МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ УВЕЛИЧЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА АТРИБУТОВ Модель пространственной конкуренции ДАУНСОВСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ ЭФФЕКТ СТАТУС-КВО, КОНТРОЛЬ ПОВЕСТКИ ДНЯ ИВЕТО-ИГРОКИ ГЕДОНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ Гедоническая модель конкуренции ГИБРИДНАЯ МОДЕЛЬ ПРОДУКТОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ РЕЗЮМЕ Множество моделей ценности ИГРЫ СНУЛЕВОЙ СУММОЙ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ ИГРЫ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ Игра усилий РЕЗЮМЕ Проблема идентификации ДИЛЕММА ЗАКЛЮЧЕННОГО КООПЕРАЦИЯ ПОСРЕДСТВОМ ПОВТОРЕНИЯ И РЕПУТАЦИИ Повторение поддерживает кооперацию Связанность и репутация КООПЕРАЦИЯ МЕЖДУ МОДЕЛЯМИ ПОВЕДЕНИЯ, ПОДРАЗУМЕВАЮЩИМИ ИГРУ ПОПРАВИЛАМ МОДЕЛЬ СОВМЕСТНЫХ ДЕЙСТВИЙ Модель совместных действий Кластеризация обеспечивает бутстрэппинг кооперации ГРУППОВОЙ ОТБОР РЕЗЮМЕ ПРОБЛЕМЫ КОЛЛЕКТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ Проблема коллективных действий ОБЩЕСТВЕННЫЕ БЛАГА Проблема обеспечения общественных благ Обеспечение общественных благ среди альтруистов МОДЕЛЬ ЗАТОРОВ Модель заторов Множество перегружаемых общественных благ ДОБЫЧА ВОЗОБНОВЛЯЕМЫХ РЕСУРСОВ Модель добычи возобновляемых ресурсов РЕШЕННЫЕ И НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОЛЛЕКТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ ДИАГРАММА МАУНТА-РАЙТЕРА Эффективность поПарето ПРИНЦИП БОЛЬШИНСТВА ИМЕХАНИЗМ «СОЗДАТЕЛЬ КОРОЛЕЙ» ТРИ ТИПА АУКЦИОНОВ АУКЦИОНЫ С ПОВЫШЕНИЕМ ЦЕНЫ ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДОХОДОВ Теорема об эквивалентности доходов МЕХАНИЗМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПО ОБЩЕСТВЕННЫМ ПРОЕКТАМ Задача принятия решения по общественному проекту Механизм равного участия при принятии решения большинством голосов Механизм поворота РЕЗЮМЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ Модель дискретного сигнализирования НЕПРЕРЫВНЫЕ СИГНАЛЫ Разделение спомощью непрерывных сигналов ПРИМЕНЕНИЕ ИЦЕННОСТЬ СИГНАЛОВ РЕЗЮМЕ ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ: ПОДКРЕПЛЕНИЕ Модель обучения с подкреплением Действенность обучения с подкреплением СОЦИАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ: РЕПЛИКАТИВНАЯ ДИНАМИКА Репликативная динамика УРАВНЕНИЕ РЕПЛИКАТИВНОЙ ДИНАМИКИ Репликативная динамика обеспечивает наиболее эффективное обучение ОБУЧЕНИЕ ВИГРАХ ИГРА «ВЕЛИКОДУШНЫЙ— ЗЛОБНЫЙ» Злобный человек и волшебная лампа Игра «Великодушный— злобный» СОЧЕТАНИЕ МОДЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ Действительноли культура важнее стратегии? ЗАДАЧИ О МНОГОРУКОМ БАНДИТЕ ПОБЕРНУЛЛИ Задачи о многоруком бандите поБернулли БАЙЕСОВСКИЕ ЗАДАЧИ О МНОГОРУКОМ БАНДИТЕ Байесовские задачи о многоруком бандите Индекс Гиттинса: пример РЕЗЮМЕ Президентские выборы АДАПТИВНЫЙ ЛАНДШАФТ ПЕРЕСЕЧЕННЫЕ ЛАНДШАФТЫ МОДЕЛЬ NK Модель NK ПЕРЕСЕЧЕННОСТЬ И ТАНЦУЮЩИЕ ЛАНДШАФТЫ Следуетли патентовать знания? МНОГОМОДЕЛЬНОЕ МЫШЛЕНИЕ ИЭПИДЕМИЯ ОПИОИДОВ Модель утверждения опиоидных препаратов Модель перехода к зависимости Пути к героиновой зависимости МНОЖЕСТВО МОДЕЛЕЙ НЕРАВЕНСТВА Модель технологий и человеческого капитала Положительная обратная связь Политическое влияние CEO Модель рентного дохода откапитала (Пикетти) Ассортативный выбор партнеров Межпоколенческая динамика доходов (богатства) Модель сохраняющегося неравенства (модель Дурлауфа) БОЛЬШОЙ МИР ГЛАВА 1 ГЛАВА 2 ГЛАВА 3 ГЛАВА 4 ГЛАВА 5 ГЛАВА 6 ГЛАВА 7 ГЛАВА 8 ГЛАВА 9 ГЛАВА 10 ГЛАВА 11 ГЛАВА 12 ГЛАВА 13 ГЛАВА 14 ГЛАВА 15 ГЛАВА 16 ГЛАВА 17 ГЛАВА 18 ГЛАВА 19 ГЛАВА 20 ГЛАВА 21 ГЛАВА 22 ГЛАВА 23 ГЛАВА 24 ГЛАВА 25 ГЛАВА 26 ГЛАВА 27 ГЛАВА 28 ГЛАВА 29 References

Руководитель редакции АртемСтепанов

Шеф-редактор РенатШагабутдинов

Ответственный редактор НатальяШульпина

Литературный редактор ТатьянаСковородникова

Арт-директор АлексейБогомолов

Верстка обложки НаталияМайкова

Верстка ОлегБачурин

Корректоры ЕленаПопова, ОльгаТанская

ООО «Манн, Иванов иФербер»

mann-ivanov-ferber.ru

Электронная версия книги подготовлена компанией Webkniga.ru, 2020

Модельное мышление
Пролог
ГЛАВА 1. Многомодельное мышление
ГЛАВА 2. Зачем нужны модели?
ГЛАВА 3. Наука о множестве моделей
ГЛАВА 4. Моделирование поведения людей
ГЛАВА 5. Нормальное распределение: колоколообразная кривая
ГЛАВА 6. Степенное распределение: длинный хвост
ГЛАВА 7. Линейные модели
ГЛАВА 8. Вогнутость и выпуклость
ГЛАВА 9. Модели ценности и влияния
ГЛАВА 10. Сетевые модели
ГЛАВА 11. Трансляция, диффузия и заражение
ГЛАВА 12. Энтропия: моделирование неопределенности
ГЛАВА 13. Случайные блуждания
ГЛАВА 14. Зависимость от первоначально выбранного пути
ГЛАВА 15. Модели локальных взаимодействий
ГЛАВА 16. Функции Ляпунова и равновесие
ГЛАВА 17. Модели Маркова
ГЛАВА 18. Модели системной динамики
ГЛАВА 19. Пороговые модели с обратной связью
ГЛАВА 20. Пространственные и гедонические модели выбора
ГЛАВА 21. Три класса моделей теории игр
ГЛАВА 22. Модели кооперации
ГЛАВА 23. Проблемы коллективных действий
ГЛАВА 24. Дизайн механизмов
ГЛАВА 25. Модели сигнализирования
ГЛАВА 26. Модели обучения
ГЛАВА 27. Задачи о многоруком бандите
ГЛАВА 28. Модели пересеченного ландшафта
ГЛАВА 29. Опиоиды, неравенство и смирение
Библиография
Примечания

Acemoglu, Daron, and David Autor 2011 “Skills, Tasks and Technologies Implications for Employment and Earnings “ InOrley Ashenfelter and David Card, eds, Handbook ofLabor Economics, 4 1043–1171 Amsterdam Elsevier-North Holland.

Acemoglu, Daron, and James Robinson 2012 Why Nations Fail The Origins ofPower, Prosperity, and Poverty Cambridge, MAHarvard Umver sity Press. (Дарен Аджемоглу, Джеймс Робинсон. Почему одни страны богатые, адругие бедные. Происхождение власти, процветания инищеты. М.: Эксмо, 2017.)

Adler, Mortimer Jerome 1970 The Time ofOur Lives The Ethics ofCommon Sense. New York: Holt, Rinehart and Winston.

Akerlof, G, and RKranton 2010 Identity Economics Princeton, NJPrinceton University Press. (Джордж Акерлоф, Рейчел Крэнтон. Экономика идентичности. Как наши идеалы и социальные нормы определяют, кем мыработаем, сколько зарабатываем и насколько несчастны. М: Карьера Пресс, 2010.)

Albert, Rika, Istvan Albert, and Gary LNakarado 2004 “Structural Vulnerability ofthe North American Power Grid” Physical Review E69 025103.

Allesina, Stefano, and Mercedes Pascual 2009 “Googling Food Webs: Can anEigenvector Measure Species’ Importance for Coextmctions?” PLOS Computational Biology 9, no4.

Allison, Graham 1971 Essence ofDecision Explaining the Cuban Missile Crisis New York Little, Brown. (Алисон Грэм. Квинтэссенция решения. Напримере Карибского кризиса 1962года. М.: Едиториал УРСС, 2012.)

Alvaredo, Facundo, Anthony BAtkinson, Thomas Piketty, and Emmanuel Saez 2013 “The World Top Incomes Database” https://www.inet.ox.ac.uk/projects/view/149.

Anderson, Chris 2008a “The End ofTheory The Data Deluge Makes the Scientific Method Obsolete“ Wired 16, no7.

Anderson, Chris 2008b The Long Tail Why the Future ofBusiness IsSelling Less ofMore New York Hachette Anderson, Phillip 1972 “More IsDifferent “ Science 177, no4047 393–396.

Arrow, Kenneth, 1963. Social Choice and Individual Values. New Haven, CT: Yale University Press. (Кеннет Эрроу. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. М.: ГУВШЭ, 2004.)

Arthur, W. B. 1994. “Inductive Reasoning and Bounded Rationality (The ElFarol Problem).” American Economic Review Papers and Proceedings 84: 406–411.

Arthur, W. B. 2011. The Nature ofTechnology: What ItIsand How ItEvolves. New York: Free Press.

Ashenfelter, Orley. 2010. “Predicting the Quality and Prices ofBordeaux Wine.” Journal ofWine Economics 5, no. 1: 40–52.

Athey, Susan, Jonathan Levin, and Enrique Seira. 2011. “Comparing Open and Sealed Bid Auctions: Evidence from Timber Auctions.” Quarterly Journal ofEconomics 126, no. 1: 207–257.

Austin, David. 2008. “Percolation: Slipping Through the Cracks.” American Mathematical Society, www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-percolation.

Axelrod, Robert. 1984. The Evolution ofCooperation. New York: Basic Books.

Axelrod, David, Robert Axelrod, and Kenneth J. Pienta. 2006. “Evolution ofCooperation Among Tumor Cells.” Proceedings ofthe National Academy ofSciences 103, no. 36: 13474–13479.

Axtell, Robert L. 2001. “Zipf Distribution ofU.S. Firm Sizes.” Science 293: 1818–1820.

Bajari, Patrick, and Matthew E. Kahn. 2008. “Estimating Hedonic Models ofConsumer Demand with anApplication toUrban Sprawl.” InHedonic Methods inHousing Markets, 129–155. New York: Springer.

Bak, Per. 1996. How Nature Works: The Science ofSelf-Organized Criticality. New York: Springer. (Бак Пер. Как работает природа. Теория самоорганизованной критичности. М.: Либроком, 2015.)

Baldwin, Carliss Y, and Kim B. Clark. 2000. Design Rules. Vol. 1, The Power ofModularity. Cambridge, MA: MIT Press.

Ball, Eric, and Joseph LiPuma. 2012. Unlocking the Ivory Tower: How Management Research Can Transform Your Business. Palo Alto, CA: Kauffman Fellow Press.

Banzhaf, John F. 1965. “Weighted Voting Doesn’t Work: AMathematical Analysis.” Rutgers Law Review 19, no. 2: 317–343.

Barber, Gerald M. 1997. “Sequencing Highway Network Improvements: ACase Study ofSouth Sulawesi.” Economic Geography 53, no. 1: 55–69.

Bass, Frank. 1969. “A New Product Growth Model for Consumer Durables.” Management Science 15, no. 5: 215–227.

Baxter, G. William. 2009. “The Dynamics ofForaging Ants.” Paper presented atthe annual meeting ofthe American Physical Society, March 16–20, abstract H40.00011.

Bednar, Jenna. 2007. “Credit Assignment and Federal Encroachment.” Supreme Court Economic Review 15: 285–308.

Bednar, Jenna. 2008. The Robust Federation: Principle ofDesign. Cambridge: Cambridge University Press.

Bednar, Jenna, Aaron Bramson, Andrea Jones-Rooy, and Scott E. Page. 2010. “Emergent Cultural Signatures and Persistent Diversity: AModel ofConformity and Consistency.” Rationality and Society 22, no. 4: 407–444.

Bednar, Jenna, and Scott E. Page. 2007. “Can Game(s) Theory Explain Culture? The Emergence ofCultural Behavior Within Multiple Games.” Rationality and Society 19, no. 1: 65–97.

Bednar, Jenna, and Scott E. Page. 2018. “When Order Affects Performance: Culture, Behavioral Spillovers and Institutional Path Dependence.” American Political Science Review 112, no. 1: 82–98.

Bell, Alex, Raj Chetty, Xavier Jaravel, Neviana Petkova, and John Van Reenen. 2018 “Who Becomes anInventor inAmerica? The Importance ofExposure toInnovation: Executive Summary.” www.equality-of-opportunity.org.

Bendor, Jonathan, Daniel Diermeier, and Michael Ting. 2003. ‘A Behavioral Model ofTurnout.” American Political Science Review 97, no. 2: 261–280.

Bendor, Jonathan, and Piotr Swistak. 1997. “The Evolutionary Stability ofCooperation.” American Political Science Review 91: 290–307.

Bendor, Jonathan, and Scott E. Page. 2018. “A Model ofTeam Problem Solving.” Неопубликованная рукопись.

Berg, Nathan, and Gerd Gigerenzer. 2010. ‘As-If Behavioral Economics: Neoclassical Economics inDisguise?” History ofEconomic Ideas 18, no. 1: 133–166.

Bergemann, Dirk, and Juuso Valimaki. 2008. “Bandit Problems.” InThe New Palgrave Dictionary ofEconomics, 2nd ed., ed. Steven N. Durlauf and Lawrence E. Blume. London: Palgrave Macmillan.

Berlekamp, Elwyn R., John H. Conway, and Richard K. Guy. 1982. “What IsLife?” InWinning Ways for Your Mathematical Plays. Vol. 2, Games inParticular. London: Academic Press.

Bertrand, Marianne, and Sendhil Mullainathan. 2001. “Are CEOs Rewarded for Luck? The Ones Without Principles Are.” Quarterly Journal ofEconomics 116: 901–932.

Bickel, P. J., E. A. Hammel, and J. W. O’Connell. 1974. “Sex Bias inGraduate Admissions: Data from Berkeley.” Science 187 (4175): 398–404.

Biernaskie, Jay, M. 2011. “Evidence for Competition and Cooperation Among Climbing Plants.” Proceedings ofthe Royal Society B278: 1989–1996.

Bird, Rebecca, and Eric Smith. 2004. “Signaling Theory, Strategic Interaction, and Symbolic Capital.” Current Anthropology 46, no. 2: 222–248.

Boldrin, Michele, and David Levine. 2010. Against Intellectual Monopoly. Cambridge: Cambridge University Press.

Borges, Jorge Luis. 1974. AUniversal History ofInfamy. Trans. Norman Thomas deGiovanni. London: Penguin. (Хорхе Луис Борхес. Всемирная история низости. М.: Амфора, 2006.)

Bowers, Jake, Nathaniel Higgins, Dean Karlan, Sarah Tulman, and Jonathan Zinman. 2017. “Challenges toReplication and Iteration inField Experiments: Evidence from Two Direct Mail Shots.” American Economic Review Papers & Proceedings 107, no. 5: 1–3.

Bowles, Samuel, and Herbert Gintis. 2002. “The Inheritance ofInequality.” Journal ofEconomic Perspectives 16, no. 3: 3–30.

Box, George E. P., and Norman Draper. 1987. Empirical Model-Building and Response Surfaces. New York: Wiley.

Boyd, Robert. 2006. “Reciprocity: You Have toThink Different.” Journal ofEvolutionary Biology 19: 1380–1382.

Breiman, Leo. 1996. “Bagging Predictors.” Machine Learning 24, no. 2: 123–140.

Briggs, Andrew, and Mark Sculpher. 1998. “An Introduction toMarkov Modeling for Economic Evaluation.” Pharmaco Economics 13, no. 4: 397–409.

Brock, William, and Steven Durlauf. 2001. “Discrete Choice with Social Interactions.” Review ofEconomic Studies 68: 235–260.

Broido, A. D., and A. Clauset. 2018. “Scale-Free Networks Are Rare” (рабочий доклад).

Bshary, R., and A. S. Grutter. 2006. “Image Scoring and Cooperation inaCleaner Fish Mutualism.” Nature 441, no. 7096: 975–978.

Burt, Ronald. 1995. Structural Holes: The Social Structure ofCompetition. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Bush, Robert, and Frederick Mosteller. 1954. Stochastic Models for Learning. New York: John Wiley and Sons.

Camerer, Colin F. 2003. Behavioral Game Theory: Experiments inStrategic Interaction. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Camerer, Colin, Linda Babco*ck, George Loewenstein, and Richard Thaler. 1997. “Labor Supply ofNew York City Cabdrivers: One Day ataTime.” Quarterly Journal ofEconomics 112, no. 2: 407–441.

Camerer, Colin, and Tek Ho. 1999. “Experience-Weighted Attraction Learning inNormal Form Games.” Econometrica 67, no. 4: 827–874.

Camerer, Colin, George Loewenstein, and Drazen Prelec. 2005. “Neuroe-conomics: How Neuroscience Can Inform Economics.” Journal ofEconomic Literature 43: 9–64.

Campbell, Donald T. 1976. “Assessing the Impact ofPlanned Social Change.” Public Affairs Center, Dartmouth College.

Campbell, James E., Bryan J. Dettrey, and Hongxing Yin. 2010. “The Theory ofConditional Retrospective Voting: Does the Presidential Record Matter Less inOpen-Seat Elections?” Journal ofPolitics 72, no. 4: 1083–1095.

Cancian, Maria, and Deborah Reed. 1999. “The Impact ofWives’ Earnings onIncome Inequality: Issues and Estimates.” Demography 36, no. 2: 173–184.

Carvalho, Vasco, and Xavier Gabaix. 2013 “The Great Diversification and Its Undoing,” American Economic Review 103, no. 5: 1697–1727.

Castellano, Claudio, Santo Fortunate, and Vittorio Loreto. 2009. “Statistical Physics ofSocial Dynamics.” Review ofModern Physics 81: 591–646.

Cederman, Lars Erik. 2003. “Modeling the Size ofWars: From Billiard Balls toSandpiles.” American Political Science Review 97: 135–150.

Centola, Damon, and Michael Macy. 2007. “Complex Contagions and the Weakness ofLong Ties.” American Journal ofSociology 113: 702–734.

Chance, Donald. 2009. “What Are the Odds? Another Look atDiMaggio’s Streak.” Chance 22, no. 2: 33–42.

Christakis, N. A., and J. Fowler. 2009. Connected: The Surprising Power ofOur Social Networks and How They Shape Our Lives. New York: Little, Brown. (Николас Кристакис, Джеймс Фаулер. Связанные одной сетью. Как нанас влияют люди, которых мыникогда невидели. М.: Юнайтед Пресс, 2014.)

Churchland, Patricia, and Terry J. Sejnowski. 1992. The Computational Brain. Cambridge, MA: MIT Press.

Chwe, Michael. 2013. Jane Austen: Game Theorist. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Clarida, Richard, Jordi Gall, and Mark Gertler. 2000. “Monetary Policy Rules and Macroeconomic Stability: Evidence and Some Theory.” Quarterly Journal ofEconomics 115, no. 1: 147–180.

Clark, Gregory. 2014. The Son Also Rises: Surnames and the History ofSocial Mobility. Princeton, NJ: Princeton University Press. (Грегори Кларк. Отцы идети. Фамилии иистория социальной мобильности. М.: Издательство Института Гайдара, 2018.)

Clark, William, Matt Golder, and Sona Nadenicheck Golder. 2008. Principles ofComparative Politics. Washington, DC: Congressional Quarterly Press.

Clauset, Aaron, M. Young, and K. S. Gleditsch. 2007. “On the Frequency ofSevere Terrorist Attacks.” Journal ofConflict Resolution 51, no. 1: 58–88.

Cohen, Tyler. 2013. Average IsOver: Powering America Beyond the Age ofthe Great Stagnation. New York: Dutton. (Тайлер Коуэн. Среднего более недано. Как выйти изэпохи Великой стагнации. М.: Издательство Института Гайдара, 2015.)

Cooke, Nancy J., and Margaret L. Hilton, eds. 2014. Enhancing the Effectiveness ofTeam Science. Washington, DC: National Academies Press.

Cornes, Richard, and Todd Sandler. 1996. The Theory ofExternalities, Public Goods, and Club Goods. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press.

Craine, Joseph, and Ray Dybzinski. 2013. “Mechanisms ofPlant Competition for Nutrients, Water and Light.” Functional Ecology 27: 833–840.

Cyert, Richard M., and James G. March. 1963. ABehavioral Theory ofthe Firm. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.

Dan, Avi. 2018. “How Michelle Peluso IsRedefining Marketing atIBM.” Forbes, January 18.

Dann, Carrie. 2016. “Pro-Clinton Battleground AdSpending Outstrips Trump Team by2.” NBC News, November 4.

Dawes, Robyn. 1979. “The Robust Beauty ofImproper Linear Models inDecision Making.” American Psychologist 34: 571–582.

de Marchi, Scott. 2005. Computational and Mathematical Modeling inthe Social Sciences. Cambridge: Cambridge University Press.

DeMiguel, Victor, Lorenzo Garlappi, and Raman Uppal. 2009. “Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Isthe Portfolio Strategy?” Review ofFinancial Studies 22, no. 5: 1915–1953.

Dennett, Daniel C. 1991. Consciousness Explained. Boston: Back Bay Books.

Dennett, Daniel C. 1994. Darwin’s Dangerous Idea: Evolution and the Meanings ofLife. New York: Simon & Schuster.

Denrell, Jerker, and Chengwei Liu. 2012. “Top Performers Are Not the Most Impressive When Extreme Performance Indicates Unreliability.” Proceedings ofthe National Academy ofSciences 109, no. 24: 9331–9336.

Diamond, Jared. 2005. Collapse: How Societies Choose toFail orSucceed. New York: Viking Penguin. (Джаред Даймонд. Коллапс. Почему одни общества приходят к процветанию, адругие— кгибели. М.:АСТ, 2008.)

Dodds, Peter, Robby Muhamad, and Duncan Watts. 2003. ‘An Experimental Study ofSearch inGlobal Social Networks.” Science 301: 827–829.

Downing, John A., etal. 2006. “The Global Abundance and Size Distribution ofLakes, Ponds, and Impoundments.” Limnology and Oceanography 51, no. 5: 2388–2397.

Downs, Anthony. 1957. AnEconomic Theory ofDemocracy. New York: Harper.

Dragulescu, Adrian, and Victor M. Yakovenko. 2001. “Exponential and Power-Law Probability Distributions ofWealth and Income inthe United Kingdom and the United States.” Physica A299: 213–221.

Drucker, Peter. 1969. The Age ofDiscontinuity: Guidelines toOur Changing Society. New York: Harper and Row. (Питер Друкер. Эпоха разрыва. Ориентиры для нашего меняющегося общества. М.: Вильямс, 2007.)

Dubos, Jean. 1987. The White Plague: Tuberculosis, Man and Society. New Brunswick, NJ: Rutgers University Press.

Dunne, Anthony. 1999. Hertzian Tales: Electronic Products, Aesthetic Experience and Critical Design. London: Royal College ofArt.

Dyson, Freeman. 2004. ‘A Meeting with Enrico Fermi.” Nature 427: 297.

Easley, David, and Jon Kleinberg. 2010. Networks, Crowds, and Markets: Reasoning About aHighly Connected World. Cambridge: Cambridge University Press.

Easley, David, Marcos Lopez dePrado, and Maureen O’Hara. 2012. “Flow Toxicity and Liquidity inaHigh Frequency World.” Review ofFinancial Studies 24, no. 5: 1457–1493.

Easterly, William, and Stanley Fischer. 1995. “The Soviet Economic Decline.” World Bank Economic Review 9, no. 3: 341–371.

Ebbinghaus, Herman. 1885. Memory: AContribution toExperimental Psychology. Online inClassics inthe History ofPsychology. http://psychclassics.yorku.ca/Ebbinghaus/index.htm.

Ehrenberg, Andrew. 1969. “Towards anIntegrated Theory ofConsumer Behaviour.” Journal ofthe Market Research Society 11, no. 4: 305–337.

Einstein, Albert. 1934. “On the Method ofTheoretical Physics.” Philosophy ofScience 1, no. 2: 163–169.

Eliot, Matt, Ben Golub, and Matthew Jackson. 2014. “Financial Networks and Contagion.” American Economic Review 104, no. 10: 3115–3153.

Eom, Young-Ho, and Hang-Hyun Jo. 2014. “Generalized Friendship Paradox inComplex Networks: The Case ofScientific Collaboration.” Scientific Reports 4: 4603.

Epstein, Josh. 2006. Generative Social Science: Studies inAgent-Based Computational Modeling. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Epstein, Joshua. 2008. “Why Model?” Journal ofArtificial Societies and Social Simulation 11, no. 4: 12.

Epstein, Joshua. 2014. Agent Zero: Toward Neurocognitive Foundations for Generative Social Science. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Ericsson, K. A. 1996. “The Acquisition ofExpert Performance: AnIntroduction toSome ofthe Issues.” InThe Road toExcellence: The Acquisition ofExpert Performance inthe Arts and Sciences, Sports, and Games, ed. K. A. Ericsson, 1–50. Mahwah, NJ: Erlbaum.

Fair, Raymond. 2012. Predicting Presidential Elections and Other Things. 2nd ed. Stanford, CA: Stanford University Press.

Farmer, J. Doyne 2018. “Collective Awareness: AConversation with J. Doyne Farmer.” The Edge. https://www.edge.org/conversation/jdoynefarmer-collective-awareness.

Feld, Scott L. 1991. “Why Your Friends Have More Friends than You Do.” American Journal ofSociology 96, no. 6: 1464–1477.

Flegal, Katherine M., Brian K. Kit, Heather Orpana, and Barry I. Graubard. 2012. “Association ofAll-Cause Mortality with Overweight and Obesity Using Standard Body Mass Index Categories: ASystematic Review and Meta-analysis.” Journal ofthe American Medical Association 309, no. 1: 71–82.

Flores, Thomas, and Irfan Nooruddin. 2016. Elections inHard Times: Building Stronger Democracies inthe 21st Century. Cambridge: Cambridge University Press.

Florida, Richard. 2005. Cities and the Creative Class. New York: Routledge.

Foster, Dean, and H. Peyton Young. 2001. “On the Impossibility ofPredicting the Behavior ofRational Agents.” Proceedings ofthe National Academy ofSciences 98, no. 22: 12848–12853.

Frank, Kenneth, etal. 2018. “Teacher Networks and Educational Opportunity.” InHandbook onthe Sociology ofEducation, ed. Barbara Schneider and Guan Saw. New York: Oxford University Press.

Frank, Robert. 1985. Choosing the Right Pond. Oxford: Oxford University Press.

Frank, Robert. 1996. The Winner-Take-All Society: Why the Few atthe Top Get SoMuch More than the Rest ofUs. New York: Penguin.

Freeman, Richard, and Wei Huang. 2015. “Collaborating with People Like Me: Ethnic Co-authorship Within the U.S.” Journal ofLabor Economics 33 no. SI: S289–S318.

Fudenberg, Drew, and David Levine. 1998. Theory ofLearning inGames. Cambridge, MA: MIT Press.

Fudenberg, Drew, and David Levine. 2006. “A Dual-Self Model ofImpulse Control.” American Economic Review 96: 1449–1476.

Gammill, James F., Jr., and Terry A. Marsh. 1988. “Trading Activity and Price Behavior inthe Stock and Stock Index Futures Markets inOctober 1987.” Journal ofEconomic Perspectives 2, no. 3: 25–44.

Gawande, Atul. 2009. The Checklist Manifesto: How toGet Things Right. New York: Henry Holt. (Атул Гаванде. Чек-лист. Как избежать глупых ошибок, ведущих к фатальным последствиям. М.: Альпина Паблишер, 2014.)

Geithner, Timothy. 2014. Stress Test: Reflections onFinancial Crises. New York: Crown.

Gerschenkron, Alexander. 1952. “Economic Backwardness inHistorical Perspective.” InThe Progress ofUnderdeveloped Areas, ed. B. F. Hoselitz. Chicago: University ofChicago Press.

Gertner, Jon. 2012. The Idea Factory: Bell Labs and the Great Age ofAmerican Innovation. New York: Penguin.

Gibrat, Robert. 1931. Les inegalites economique. Paris: Sirely.

Gigerenzer, Gerd, and Reinhard Selten. 2002. Bounded Rationality: The Adaptive Toolbox. Cambridge, MA: MIT Press.

Gigerenzer, Gerd, and Peter Todd. 2000. Simple Heuristics That Make UsSmart. New York: Oxford University Press.

Gilboa, Itzhak, and David Schmeidler. 1994. “Case-Based Decision Theory.” Quarterly Journal ofEconomics 110: 605–639.

Gilovich, Thomas, Amos Tversky, and R. Vallone. 1984. “The Hot Hand inBasketball: Onthe Misperception ofRandom Sequences.” Cognitive Psychology 17, no. 3: 295–314.

Gittins, J., Jones, D. 1972. Adynamic allocation index for sequential design ofexperiments. InProgress instatistics, European Meeting ofStatisticians (Vol. 1, pp.241–266).

Glaeser, Edward, Bruce Sacerdote, and Jose Scheinkman. 1996. “Crime and Social Interactions.” Quarterly Journal ofEconomics 111, no. 2: 507–548.

Glantz, Andrew. 2008. “A Tax onLight and Air: Impact ofthe Window Duty onTax Administration and Architecture, 1696–1851.” Penn History Review 15, no. 2: 18–40.

Glasserman, Paul, and H. Peyton Young. 2014. “Contagion inFinancial Networks.” Office ofFinancial Research Working Paper.

Godard, Renee. 1993. “Tit for Tat Among Neighboring Hooded Warblers.” Behavioral Ecology and Sociobiology 33, no. 1: 45–50.

Gode, Dhananjay K., and Shyam Sunder. 1993. ‘Allocative Efficiency ofMarkets with Zero-Intelligence Traders: Market asaPartial Substitute for Individual Rationality.” Journal ofPolitical Economy 101, no. 1: 119–137.

Goldin, Claudia, and Lawrence F. Katz. 2008. The Race Between Education and Technology. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Gordon, Robert J. 2016. The Rise and Fall ofAmerican Growth: The U.S. Standard ofLiving Since the Civil War. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Granovetter, Mark. 1973. “The Strength ofWeak Ties.” American Journal ofSociology 78, no. 6: 1360–1380. (Марк Грановеттер. Сила слабых связей. —Экономическая социология. Сентябрь 2009.)

Granovetter, Mark. 1978. “Threshold Models ofCollective Behavior.” American Journal ofSociology 83, no. 6: 1360–1443.

Greenwood, Jeremy, Nezih Guner, Georgi Kocharkov, and Cezar Santos. 2014. “Marry Your Like: Assortative Mating and Income Inequality.” American Economic Review: Papers & Proceedings 104, no5: 348–353.

Greif, Avner. 2006. Institutions and the Path tothe Modern Economy: Lessons from Medieval Trade. Cambridge: Cambridge University Press. (Авнер Грейф. Институты ипуть к современной экономике. Уроки средневековой торговли. М.: Издательский дом Высшей школы экономики, 2013.)

Griliches, Zvi. 1957, 1988. “Hybrid Corn: AnExploration ofthe Economics ofTechnological Change.” InTechnology, Education and Productivity: Early Papers with Notes toSubsequent Literature. New York: Basil Black-well.

Groseclose, Tim, and James Snyder. 1996. “Buying Supermajorities.” American Political Science Review 90: 303–315.

Grossman, S., and J. Stiglitz. 1980. “On the Impossibility ofInformationally Efficient Markets.” American Economic Review 70, no. 3: 393–408.

Groysberg, Boris. 2012. Chasing Stars: The Myth ofTalent and the Portability ofPerformance. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Guy, Richard. 1983. “Don’t Try toSolve These Problems.” American Mathematical Monthly 90: 35–41.

Haidt, Jonathan. 2006. The Happiness Hypothesis: Finding Modern Truth inAncient Wisdom. Basic Books. New York: NY.

Haldene, Andrew. 2012. “The Dog and the Frisbee.” Speech given atthe Federal Reserve Bank ofKansas City’s 36th Economic Policy Symposium, Jackson Hole, WY.

Haldene, Andrew. 2014. “The Dappled World.” Speech given atthe University ofMichigan Law School, Ann Arbor, October 23.

Haldane, John B. S. 1928. “On Being the Right Size.” Интернет-версия доступна здесь: http://irl.cs.ucla.edu/papers/right-size.html.

Hardin, Garret. 1968. “The Tragedy ofthe Commons.” Science 162, no. 3859: 1243–1248.

Harrell, Frank E. 2001. Regression Modeling Strategies with Applications toLinear Models, Logistic Regression, and Survival Analysis. New York: Springer.

Harstad, Ronald M., and Reinhard Selten. 2013. “Bounded Rationality Models: Tasks toBecome Intellectually Competitive.” Journal ofEconomic Literature 51, no. 2: 496–511.

Harte, John. 1988. Consider aSpherical Cow. Mill Valley, CA: University Science Books.

Hathaway, Oona. 2001. “Path Dependence inthe Law: The Course and Pattern ofChange inaCommon Law Legal System.” Iowa Law Review 86.

Havel, Vaclav. 1985. The Power ofthe Powerless: Citizens Against the State inCentral-Eastern Europe. Ed. John Keane. Armonk, NY: M. E. Sharpe. (Вацлав Гавел. Сила бессильных.— Минск: Полифакт, 1991.)

Hawking, Stephen, and Leonard Mlodinow. 2011. The Grand Design. New-York: Bantam. (Стивен Хокинг, Леонард Млодинов. Высший замысел. М.: АСТ, 2017.)

Hecht, Jeff. 2008. “Prophecy ofEconomic Collapse ‘Coming True.’” New Scientist. November 17.

Herrnstein, Richard J. 1970. “On the Law ofEffect.” Journal ofthe Experimental Analysis ofBehavior 13: 243–266.

Hills, Thomas, Peter M. Todd, David Lazer, A. David Redish, Iain D. Couzin, and the Cognitive Search Research Group. 2015. “Exploration Versus Exploitation inSpace, Mind, and Society.” Trends inCognitive Science 19, no. 1: 46–54.

Hofstadter, Douglas, and Emmanuel Sander. 2013. Surfaces and Essences: Analogy asthe Fuel and Fire ofThinking. New York: Basic Books.

Holland, John. 1975. Adaptation inNatural and Artificial Systems. Ann Arbor: University ofMichigan Press.

Hong, Lu, and Scott E. Page. 2009. “Interpreted and Generated Signals.” Journal ofEconomic Theory 144: 2174–2196.

Hotelling, Harold. 1929. “Stability inCompetition.” Economic Journal 39, no. 153: 41–57.

Huffaker, Carl Burton. 1958. “Experimental Studies onPredation: Dispersion Factors and Predator-Prey Oscillations.” Hilgardia 27, no. 14: 343–383.

Hurwicz, Leo, and David Schmeidler. 1978. “Outcome Functions Which Guarantee the Existence and Pareto Optimality ofNash Equilibria.” Econometrica 46: 144–174.

Inman, Mason. 2011. “Sending Out anSOS.” Nature Climate Change 1: 180–183.

International Monetary Fund. 2009. Global Financial Stability Report.

Jackson, Matthew. 2008. Social and Economic Networks. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Jackson, Matthew and Asher Wolinsky. 1996. “A Strategic Model ofSocial and Economic Networks.” Journal ofEconomic Theory 71: 44–74.

Jacob, Francois. 1977. “Evolution and Tinkering.” Science 196: 1161–1166.

Jacobs, Jane. 1989. Revolving Doors: Sex Segregation and Women’s Careers. Stanford, CA: Stanford University Press.

Johnson, James. 2014. “Models Among the Political Theorists.” American Journal ofPolitical Science 58, no. 33: 547–560.

Johnson-Laird, Philip. 2009. How WeReason. New York: Oxford University Press.

Jones, Benjamin E,Brian Uzzi, and Stefan Wuchty. 2008. “Multi-University Research Teams: Shifting Impact, Geography and Social Stratification inScience.” Science 322: 1259–1262.

Jones, Charles, and Jihee Kim. 2018 “A Schumpeterian Model ofTop Income Inequality.” Journal ofPolitical Economy. Готовится к публикации.

Kahneman, Daniel. 2011. Thinking Fast and Slow. New York: Farrar, Straus and Giroux. (Даниэль Канеман. Думай медленно… решай быстро. М.: АСТ, Neoclassic, 2017.)

Kahneman, Daniel, and Amos Tversky. 1979. “Prospect Theory: AnAnalysis ofDecisions Under Risk.” Econometrica 47, no. 2: 263–291. (КанеманД. and ТверскиА. Теория перспектив: анализ принятия решений вусловиях риска. Журнал Экономика и математические методы (ЭММ), 2015, vol. 51, issue 1, 3-25.)

Kalyvas, Stathis. 1999. “The Decay and Breakdown ofCommunist One-Party Systems.” Annual Review ofPolitical Science 2: 323–343.

Kamin, Leon J. 1969. “Predictability, Surprise, Attention and Conditioning.” InPunishment andAversive Behavior, ed. B. A. Campbell and R. M. Church, 279–296. New York: Appleton-Century-Crofts.

Kaplan, Steven, and Joshua D. Rauh. 2013a. “Family, Education, and Sources ofWealth Among the Richest Americans, 1982–2012.” American Economic Review Papers and Proceedings 103, no. 3: 158–162.

Kaplan, Steven, and Joshua D. Rauh. 2013b. “It’s the Market: The Broad-Based Rise inthe Return toTop Talent.” Journal ofEconomic Perspectives 27, no. 3: 35–56.

Karlsson, Bengt. 2016. “The Forest ofOur Lives: Inand Out ofPolitical Ecology.” Conservation and Society 14, no. 4: 380–390.

Kauffman, Stuart. 1993. The Origins ofOrder: Self-Organization and Selection inEvolution. Oxford: Oxford University Press.

Kennedy, John F. 1956. Profiles inCourage. New York: Harper & Brothers. (Джон Ф. Кеннеди. Профили мужества. М.: Международные отношения, 2013.)

Khmelev, Dmitri, and EJ. Tweedie. 2001. “Using Markov Chains for Identification ofWriters.” Literary and Linguistic Computing 16, no. 4: 299–307.

Kleinberg, Jon, and M. Raghu. 2015. “Team Performance with Test Scores.” Working paper, Cornell University School ofInformation.

Knox, Grahame. n.d. “Lost atSea.” Insight, http://insight.typepad.co.uk/lost_at_sea.pdf.

Kollman, Ken, J. Miller, and S. Page. 1992. “Adaptive Parties inSpatial Elections.” American Political Science Review 86: 929–937.

Kooti, Farshad, Nathan O. Hodas, and Kristina Lerman. 2014. “Network Weirdness: Exploring the Origins ofNetwork Paradoxes.” Работа представлена на Международной конференции блогов и социальных медиа (International Conference onWeblogs and Social Media, ICWSM) вмарте.

Kurlansky, Mark. 1998. Cod: ABiography ofthe Fish That Changed the World. New York: Penguin.

Kydland, Finn E., and Edward C. Prescott. 1977. “Rules Rather than Discretion: The Inconsistency ofOptimal Plans.” Journal ofPolitical Economy 85, no. 3: 473–491.

Lai, T. L, and Herbert Robbins. 1985. ‘Asymptotically Efficient Adaptive Allocation Rules.” Advances inApplied Mathematics 6, no. 1: 4–22.

Laibson, David. 1997. “Golden Eggs and Hyperbolic Discounting.” Quarterly Journal ofEconomics 112, no. 2: 443–477.

Lamberson, PJ., and Scott E. Page. 2012a. “The Effect ofFeedback Variability onSuccess inMarkets with Positive Feedbacks.” Economics Letters 114: 259–261.

Lamberson, EJ., and Scott E. Page. 2012b. “Tipping Points.” Quarterly Journal ofPolitical Science 7, no. 2: 175–208.

Lancaster, Kelvin J. 1966. “A New Approach toConsumer Theory.” Journal ofPolitical Economy 74: 132–157.

Landemore, Helene. 2013. Democratic Reason: Politics, Collective Intelligence, and the Rule ofthe Many. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Lango, Allen H., etal. 2010. “Hundreds ofVariants Clustered inGenomic Loci and Biological Pathways Affect Human Height.” Nature 467, no. 7317: 832–838.

Langville, Amy N., and Carl D. Meyer. 2012. Who’s #1 ?: The Science ofRating and Ranking. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Lave, Charles, and James G. March. 1975. AnIntroduction toModels inthe Social Sciences. Lanham, MD: University Press ofAmerica.

Ledyard, John, David Porter, and Antonio Rangle. 1997. “Experiments Testing Multiobject Allocation Mechanisms.” Journal ofEconomics and Management Strategy 6, no. 3: 639–675.

Ledyard, John, David Porter, and Randii Wessen. 2000. “A Market-Based Mechanism for Allocating Space Shuttle Secondary Payload Priority.” Experimental Economics 2, no. 3: 173–195.

Levins, Richard. 1966. “The Strategy ofModel Building inPopulation Biology.” American Scientist 54: 421–431.

Levinthal, Daniel A. 1997. “Adaptation onRugged Landscapes.” Management Science 43: 934–950.

Levinthal, Daniel. 1991. “Random Walks and Organizational Mortality.»Administrative Science Quarterly 36, no. 3: 397–420.

Levitt, Steven, and Stephen Dubner. 2009. SuperFreakonomics: Global Cooling, Patriotic Prostitutes, and Why Suicide Bombers Should Buy Life Insurance. New York: William Morrow. (ЛевиттС., ДабнерС. Суперфрикономика. М.: Манн, Иванов иФербер, 2010.)

Lewis, Michael. 2014. Flash Boys: AWall Street Revolt. New York: W. W. Norton. (МайклЛ.. Flash Boys. Высокочастотная революция наУолл-стрит. М.: Альпина Паблишер, 2019.)

Limpert, Eckhard, Werner A. Stahel, and Markus Abbt. 2001. “Log-normal Distributions Across the Sciences: Keys and Clues.” BioScience 51, no. 5: 341–352.

Little, Daniel. 1998. Microfoundations, Method, and Causation: Onthe Philosophy ofthe Social Sciences. Piscataway, NJ: Transaction Publishers.

Lo, Andrew W, and A. Craig MacKinlay. 2007. ANon-Random Walk Down Wall Street. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Lo, Andrew W2012. “Reading About the Financial Crisis: ATwenty-One-Book Review.” Journal ofEconomic Literature 50, no. 1: 151–178.

Lucas, Robert. 1976. “Econometric Policy Evaluation: ACritique.” InThe Phillips Curve and Labor Markets, ed. K. Brunner and A. Meltzer, 19–46. Carnegie-Rochester Conference Series onPublic Policy 1. New York: Elsevier.

Lucking-Reiley, David. 1999. “Using Field Experiments toTest Equivalence Between Auction Formats: Magic onthe Internet.” American Economic Review 89, no. 5: 1063–1080.

MacKenzie, Debora. 2012. “Boom and Doom: Revisiting Prophecies ofCollapse.” New Scientist, January.

Mannes, Albert E., Jack B. Soil, and Richard ELarrick. 2014. “The Wisdom ofSelect Crowds.” Journal ofPersonality and Social Psychology 107: 276–299.

Markowitz, Harold M. 1952. “Portfolio Selection.” Journal ofFinance 7, no. 1: 77–91.

Markus, Greg B. 1988. “The Impact ofPersonal and National Economic Conditions onthe Presidential Vote: APooled Cross-Sectional Analysis.” American Journal ofPolitical Science 32: 137–154.

Martin, Andrew D., and Kevin M. Quinn. 2002. “Dynamic Ideal Point Estimation via Markov Chain Monte Carlo for the U.S. Supreme Court, 1953–1999.” Political Analysis 10: 134–153.

Martin, Francis, etal. 2008. “The Genome ofLaccana Bicolor Provides Insights into Mycorrhizal Symbiosis.” Nature 452: 88–92.

Martinez Peria, Maria Soledad, Giovanni Majnoni, Matthew T. Jones, and Winfrid Blaschke. 2001. “Stress Testing ofFinancial Systems: AnOverview ofIssues, Methodologies, and FSAP Experiences.” IMF Working Paper no. 01/88.

Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. 1994. Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. (Мас-КолеллА., УинстонМ., ГринД. Микроэкономическая теория М.: Дело, 2016.)

Mauboussin, Michael. 2012. The Success Equation: Untangling Skill and Luck inBusiness. Cambridge, MA: Harvard University Press.

May, Robert M., Simon A. Levin, and George Sugihara. 2008. “Ecology for Bankers.” Nature 451: 893–895.

McCarty, Nolan. 2011. “Measuring Legislative Preferences.” InOxford Handbook ofCongress, ed. Eric Schickler and Frances Lee. New York: Oxford University Press.

McCarty, Nolan, and Adam Meirowitz. 2014. Political Game Theory: AnIntroduction. Cambridge: Cambridge University Press.

McKelvey, Richard. 1979. “General Conditions for Global Intransitivities inFormal Voting Models.” Econometnca 47: 1085–1112.

McPhee, William N. 1963. Formal Theories ofMass Behaviour. New York: Free Press ofGlencoe.

Meadows, D., G. Meadows, J. Randers, and W. WBehrens III. 1972. The Limits toGrowth. New York: Universe Books. (МедоузД., МедоузБ. ит.д. иЙорген Рандерс. Пределы роста. М.: Издательство МГУ, 1991. МедоузД., МедоузБ. иРандерсЙ. Пределы роста: 30лет спустя. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2016.)

Medin, Douglas, Will Bennis, and Michel Chandler. 2010. “The Home-Field Disadvantage.” Perspectives onPsychological Science 5, no. 6: 708–713.

Merriam, Daniel F., and John C. Davis. 2009. “Using Zipf’s Law toPredict Future Earthquakes inKansas.” Transactions ofthe Kansas Academy ofScience 112, nos. 1&2: 127–129.

Merton, Robert C. 1969. “Lifetime Portfolio Selection Under Uncertainty: The Continuous-Time Case.” Review ofEconomics and Statistics 51, no. 3: 247–257.

Merton, Robert K. 1963. “Resistance tothe Systematic Study ofMultiple Discoveries inScience.” European Journal ofSociology 4, no. 2: 237–282.

Milgrom, Paul, and John Roberts. 1986. “Pricing and Advertising Signals ofProduct Quality.” Journal ofPolitical Economy 94, no. 4: 796–821.

Miller, John H. 1998. “Active Nonlinear Tests (ANTs) ofComplex Simulation Models.” Management Science 44, no. 6: 820–830.

Miller, John H. 2015. ACrude Look atthe Whole. New York: Basic Books.

Miller, John H., and Scott E. Page. 2004. “The Standing Ovation Problem.” Complexity 9, no. 5: 8–16.

Miller, John H., and Scott E. Page. 2007. Complex Adaptive Systems: AnIntroduction toComputational Modeb ofSocial Life. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Miller, Joshua B., and Adam Sanjurjo. 2015. “Surprised bythe Gambler’s and Hot Hand Fallacies: ATruth inthe Law ofSmall Numbers.” IGIER Working Paper no. 552.

Mitchell, Melanie. 1996. AnIntroduction toGenetic Algorithms. Cambridge, MA: MIT Press.

Mitchell, Melanie. 2009. Complexity: AGuided Tour. Oxford: Oxford University Press.

Mlodinow, Leonard. 2009. The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules Our Lives. New York: Penguin. (Леонард Млодинов. (Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью. М.: Гаятри/Livebook, 2013.)

Mokyr, Joel. 2002. The jpgts ofAthena: Historical Origins ofthe Knowledge Economy. Princeton, NJ: Princeton University Press. (Джоэль Мокир. Дары Афины. Исторические истоки экономики знаний. М.: Издательство Института Гайдара, 2012.)

Morgan, John, and Tanjim Hossain. 2006. ”… Plus Shipping and Handling: Revenue (Non)Equivalence inField Experiments oneBay.” Advances inEconomic Analysis & Policy 6, no. 2: 3.

Moss-Racusin, Corinne, John F. Dovidio, Victoria L. Brescoll, Mark J. Graham, and JoHandelsman. 2012. “Science Faculty’s Subtle Gender Biases Favor Male Students.” Proceedings ofthe National Academy ofSciences. 1647–1649.

Munger, Charles. 1994. “A Lesson onElementary, Worldly Wisdom asItRelates toInvestment Management & Business.” University ofSouthern California Business School.

Murphy, Kevin M., and Robert H. Topel. 2016. “Human Capital Investment, Inequality and Growth.” Journal ofLabor Economics 34: 99–127.

Murray, J. D. 1988. “Mammalian Coat Patterns: How the Leopard Gets Its Spots.” Scientific American 256: 80–87.

Myerson, Roger B. 1999. “On the Value ofGame Theory inSocial Science.” Rationality and Society 4: 62–73.

Myerson, Roger B. 1999. “Nash Equilibrium and the History ofEconomic Theory.” Journal ofEconomic Literature 37, no. 3: 1067–1082.

Nagel, Rosemarie. 1995. “Unraveling inGuessing Games: AnExperimental Study.” American Economic Review 85, no. 5: 1313–1326.

Newman, Mark E. 2005. “Power Laws, Pareto Distributions and Zipf’s Law.” Contemporary Physics 46: 323–351.

Newman, Mark E. 2010. Networks: AnIntroduction. Oxford: Oxford University Press.

Nowak, Martin. 2006. “Five Rules for the Evolution ofCooperation.” Science 314, no. 5805: 1560–1563.

Nowak, Martin A., and Karl Sigmund. 1998. “Evolution ofIndirect Reciprocity byImage Scoring.” Nature 393: 573–577.

Olson, Mancur. 1965. The Logic ofCollective Action: Public Goods and the Theory ofGroups. Cambridge, MA: Harvard University Press.

O’Neil, Cathy 2016. Weapons ofMath Destruction: How Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy. New York, NY: Crown.

Open Science Collaboration. 2015. “Estimating the Reproducibility ofPsychological Science.” Science 349: 6251.

Organization for Economic Co-operation and Development. 1996. The Knowledge Based Economy. Paris: OECD.

Ormerod, Paul. 2012. Positive Linking: How Networks Can Revolutionise the World. London: Faber and Faber.

Ostrom, Elinor. 2004. Understanding Institutional Diversity. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Ostrom, Elinor. 2010. “Beyond Markets and States: Polycentric Governance ofComplex Economic Systems.” Transnational Corporations Review 2, no. 2: 1–12.

Ostrom, Elinor, Marco A. Janssen, and John M. Anderies. 2007. “Going Beyond Panaceas.” Proceedings ofthe National Academy ofSciences 104: 15176–15178.

Ostrovsky, Michael, Benjamin Edelman, and Michael Schwarz. 2007. “Internet Advertising and the Generalized Second Price Auction: Selling Billions ofDollars Worth ofKeywords.” American Economic Review 97, no. 1: 242–259.

Paarsch, Harry J., and Bruce S. Shearer. 1999. “The Response ofWorker Effort toPiece Rates: Evidence from the British Columbia Tree-Planting Industry.” Journal ofHuman Resources 34, no. 4: 643–667.

Packer, Craig, and Anne E. Pusey. 1997. “Divided WeFall: Cooperation Among Lions.” Scientific American, May, 52–59.

Paczuski, Maya, and Kai Nagel. 1996. “Self-Organized Criticality and 1// Noise inTraffic.” arXiv: cond-mat/9602011.

Page, Scott E. 1997. “An Appending Efficient Algorithm for Allocating Public Projects with Complementarities,” Journal ofPublic Economics 64, no3: 291–322.

Page, Scott E. 2001. “Self Organization and Coordination.” Computational Economics 18: 25–48.

Page, Scott E. 2006. “Essay: Path Dependence.” Quarterly Journal ofPolitical Science 1: 87–115.

Page, Scott E. 2007. The Difference: How the Power ofDiversity Creates Better Groups, Teams, Schools, and Societies. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Page, Scott E. 2010a. Diversity and Complexity. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Page, Scott E. 2010b. “Building aScience ofEconomics for the Real World.” Presentation tothe House Committee onScience and Technology Subcommittee onInvestigations and Oversight, July 20.

Page, Scott E. 2012. “A Complexity Perspective onInstitutional Design.” Politics, Philosophy and Economics 11: 5–25.

Page, Scott E. 2017. The Diversity Bonus. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Pan, Jessica. 2014. “ Gender Segregation inOccupations: The Role ofTipping and Social Interactions.” Journal ofLabor Economics 33, no. 2: 365–408.

Parrish, Susan Scott. 2017. The Flood Year 1927: ACultural History. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Parsa, H. G., John T. Self, David Njite, and Tiffany King. 2005. “Why Restaurants Fail.” Cornell Hospitality Quarterly 46, no. 3: 304–322.

Patel, Kayur, Steven Drucker, James Fogarty, Ashish Kapoor, and Desney Tan. 2011. “Using Multiple Models toUnderstand Data.” Proceedings ofthe International Joint Conference onArtificial Intelligence, 1723–1728.

Peel, L. and A. Clauset. 2014. “Predicting Sports Scoring Dynamics with Restoration and Anti-Persistence.” Proceedings ofthe International Conference onData Mining. Philadelphia: SIAM.

Pfeffer, Fabian T, and Alexandra Killewald. 2017. “Generations ofAdvantage: Multigenerational Correlations inFamily Wealth.” Social Forces, 1–31.

Piantadosi, Steven. 2014. “Zipf’s Word Frequency Law inNatural Language: ACritical Review and Future Directions.” Psychonomic Bulletin & Review 21, no. 5: 1112–1130.

Pierson, Paul. 2004. Politics inTime: History, Institutions, and Social Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Piketty, Thomas. 2014. Capital inthe 21st Century. Trans. Arthur Goldhammer. Cambridge, MA: Belknap Press. (Тома Пикетти. Капитал вXXIвеке. М.: AdMarginem, 2015.)

Plott, C. R. 'A Notion ofEquilibrium and its Possibility under Majority Rule', American Economic Review, 57 (1967), 787–806.

Pollack, John. 2014. Shortcut: How Analogies Reveal Connections, Spark Innovation, and Sell Our Greatest Ideas. New York: Gotham.

Poole, Keith T, and Howard Rosenthal. 1984. ‘A Spatial Model for Legislative Roll Call Analysis.” American Journal ofPolitical Science 29, no. 2: 357–384.

Porter, David, and Vernon Smith. 2007. “FCC Spectrum Auction Design: A12-Year Experiment.” Journal ofLaw, Economics, and Policy 3, no. 1: 63–80.

Powell, Robert. 1991. “Absolute and Relative Gains inInternational Relations Theory.” American Political Science Review 85, no. 4: 1303–1320.

Przeworski, Adam, Jose Antonio Cheibub, Michael E. Alvarez, and Fernando Limongi. 2000. Democracy and Development: Political Institutions and Material Well-Being inthe World, 1950–1990. Cambridge: Cambridge University Press.

Raby, Fiona. 2001. Design Noir: The Secret Life ofElectronic Objects. Basel: Birkhauser.

Ramo, Joshua Cooper. 2016. The Seventh Sense: Power, Fortune, and Success, inthe Age ofNetworks. New York: Little, Brown and Company.

Rand, David G., Hisashi Ohtsukia, and Martin A. Nowak. 2009. “Direct Reciprocity with Costly Punishment: Generous Tit-for-Tat Prevails.” Journal ofTheoretical Biology 256, no. 1: 45–57.

Rapoport, Anatol. 1978. “Reality-Simulation: AFeedback Loop.” Sociocybernetics, 123–141.

Rauch, Jeffrey. 2012. Hyperbolic Partial Differential Equations and Geometric Optics. Graduate Studies inMathematics. Providence, RI: American Mathematical Society.

Rawls, John. 1971. ATheory ofJustice. Cambridge, MA: Harvard University Press. (Джон Ролз. Теория справедливости.— М.: Ленанд, 2017.)

Rescorla, Robert, and Allan Wagner. 1972. “A Theory ofPavlovian Conditioning: Variations inthe Effectiveness ofReinforcement and Non-reinforcement.” InClassical Conditioning II, ed. A. H. Black and WF. Prokasy, 64–99. New York: Appleton-Century-Crofts.

Reynolds, Noel B., and Arlene Saxonhouse. 1994. Three Discourses. Chicago: University ofChicago Press.

Roberts, D. C, and D. L. Turcotte. 1998. “Fractality and Self-Organized Crit-icality ofWars.” Fractals 6: 351–357.

Roberts, Seth. 2004. “Self-Experimentation asaSource ofNew Ideas: Ten Examples About Sleep, Mood, Health, and Weight.” Behavioral and Brain Sciences 27, no. 2: 227–262.

Romer, Paul. 1986. “Increasing Returns and Long-Run Growth.” Journal ofPolitical Economy 94: 1002–1037.

Rosen, Sherwin. 1981. “The Economics ofSuperstars.” American Economic Review 71: 845–858.

Roth, Alvin, and Ido Erev. 1995. “Learning inExtensive Form Games: Experimental Data and Simple Dynamic Models inthe Intermediate Term.” Games and Economics Behavior 8: 164–212.

Russakoff, Dale. 2015. The Prize: Who’s inCharge ofAmerica’s Schools? Boston: Houghton Mifflin Harcourt.

Rust, Jon. 1987. “Optimal Replacement ofGMC Bus Engines: AnEmpirical Model ofHarold Zurcher.” Econometrica 55, no. 5: 999–1033.

Ryall, Michael D., and Aaron Bramson. Inference and Intervention: Causal Models for Business Analysis. New York: Routledge.

Salganik, Matthew, Peter Dodds, and Duncan J. Watts. 2006. “Experimental Study ofInequality and Unpredictability inanArtificial Cultural Market.” Science 311: 854–856.

Samuelson, Paul. 1964. “Proof That Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly.” Industrial Management Review 6: 41–49.

Schrodt, Philip. 1998. “Pattern Recognition ofInternational Crises Using Hidden Markov Models.” InNon-Linear Models and Methods inPolitical Science, ed. Diana Richards. Ann Arbor: University ofMichigan Press.

Schwartz, Christine R., and Robert D. Mare. 2004. “Trends inEducational Assortative Marriage from 1940 to2003.” Demography 42, no. 4: 621–646.

Schelling, Thomas. 1978. Micromotives and Macrobehavior. New York: W. W. Norton. (ШеллингТ. Микромотивы и макровыбор. М.: Издательство Института Гайдара, 2016.)

Shiller, Robert. 2005. Irrational Exuberance. 2nd ed. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Scott, Steven L. 2010. “A Modern Bayesian Look atthe Multi-Armed Bandit.” Applied Stochastic Models inBusiness and Industry 26: 639–658.

Shalizi, Cosma, and Andrew C. Thomas. 2011. “hom*ophily and Contagion Are Generically Confounded inObservational Social Network Studies.” Sociological Methods and Research 40: 211–239.

Shapiro, Thomas, Tatjana Meschede, and Sam Osoro. 2013. “The Roots ofthe Widening Racial Wealth Gap: Explaining the Black-White Economic Divide.” Research and Policy Brief, Institute onAssets and Social Policy, Brandeis University, Waltham, MA.

Shi, Xiaolin, Lada A. Adamic, Belle L. Tseng, and Gavin S. Clarkson. 2009. “The Impact ofBoundary Spanning Scholarly Publications and Patents.” PLoS ONE 4, no. 8: e6547.

Silver, Nate. 2012. The Signal and the Noise: Why SoMany Predictions Fail— but Some Don’t. New York: Penguin. (СильверН. Сигнал ишум. Почему одни прогнозы сбываются, адругие— нет.— М.: КоЛибри, 2015.)

Simler, Kevin, and Robin Hanson. 2018. The Elephant inthe Brain: Hidden Motives inEveryday Life. Oxford: Oxford University Press.

Simmons, Matthew, Lada Adamic, and Eytan Adar. 2011. “Memes Online: Extracted, Subtracted, Injected, and Recollected.” Paper presented atthe International Conference onWeb and Social Media.

Slaughter, Ann Marie. 2017. The Chessboard and the Web: Strategies ofConnection inaNetworked World. New Haven, CT: Yale University Press.

Smaldino, Paul. 2013. “Measures ofIndividual Uncertainty for Ecological Models: Variance and Entropy.” Ecological Modelling 254: 50–53.

Small, Dana M., Robert J. Zatorre, Alain Dagher, Alan C. Evans, and Marilyn Jones-Gotman. 2001. “Changes inBrain Activity Related toEating Chocolate: From Pleasure toAversion.” Brain 124, no. 9: 1720–1733.

Smith, Eric, Rebecca Bliege Bird, and D. Bird. 2003. “The Benefits ofCostly Signaling: Meriam Turtle Hunters.” Behavioral Ecology 14: 116–126.

Smith, Vernon. 2002. “Constructivist and Ecological Rationality.” Nobel Prize lecture. (Вернон Смит. Конструктивистская и экологическая рациональность в экономической науке.— МЭМ, т. V, кн. 2, стр. 755).

Sneppen, Kim, Per Bak, Henrik Flyvbjerg, and Mogens Jensen. 1994. “Evolution asaSelf-Organized Critical Phenomenon.” Proceedings ofthe National Academy ofSciences 92: 5209–5213.

Solow, Robert M. 1956. “A Contribution tothe Theory ofEconomic Growth.” Quarterly Journal ofEconomics 70, no. 1: 65–94.

Spence, A. Michael. 1973. ‘Job Market Signaling.” Quarterly Journal ofEconomics 87, no. 3: 355–374.

Squicciarini, Mara, and Nico Voigtlander. 2015. “Human Capital and Industrialization: Evidence from the Age ofEnlightenment.” Quarterly Journal ofEconomics 30, no. 4: 1825–1883.

Starfield, Anthony, Karl Smith, and Andrew Bleloch. 1994. How toModel It: Problem Solving for the Computer Age. Minneapolis, MN: Burgess International.

Stein, Richard A. 2011. “Superspreaders inInfectious Diseases.” International Journal ofInfectious Diseases 15, no. 8: e510-e513.

Sterman, John D. 2000. Business Dynamics: Systems Thinking and Modeling for aComplex World. New York: McGraw-Hill.

Sterman, John. 2006. “Learning from Evidence inaComplex World.” American Journal ofPublic Health 96, no. 3: 505–515.

Stiglitz, Joseph. 2013. The Price ofInequality: How Today’s Divided Society Endangers Our Future. New York: WWNorton. (Стиглиц дж.. Цена неравенства. Чем расслоение общества грозит нашему будущему. М.: Эксмо, 2015.)

Stock, James H., and Mark W. Watson. 2003. “Has the Business Cycle Changed and Why?” InNational Bureau ofEconomic Research Macroeconomics Annual 2002, vol. 17, ed. Mark Gertler and Kenneth Rogoff, 159–218. Cambridge, MA: MIT Press.

Stone, Lawrence D., Colleen M. Keller, Thomas M. Kratzke, and Johan E. Strumpfer. 2014. “Search for the Wreckage ofAir France Flight AF447.” Statistical Science 29, no. 1: 69–80.

Storchmann, Karl. 2011. “Wine Economics: Emergence, Developments, Topics.” Agrekon 50, no. 3: 1–28.

Suki, Bela, and Urs Frey. 2017. “A Time Varying Biased Random Walk Model ofGrowth: Application toHeight from Birth toChildhood.” Journal ofCritical Care 38: 362–370.

Suroweicki, James. 2006. The Wisdom ofCrowds. New York: Anchor Press. (Шуровьески Дж.. Мудрость толпы. Почему вместе мыумнее, чем поодиночке, икак коллективный разум влияет набизнес, экономику, общество и государство. М.: Манн, Иванов иФербер, 2013.)

Syverson, Chad. 2007. “Prices, Spatial Competition, and Heterogeneous Producers: AnEmpirical Test.” Journal ofIndustrial Economics 55, no. 2: 197–222.

Taleb, Nassim. 2001. Fooled byRandomness. New York: Random House. (ТалебН. Одураченные случайностью. Оскрытой роли шанса вбизнесе и вжизни. М.: Манн, Иванов иФербер, 2018.)

Taleb, Nassim. 2007. The Black Swan: The Impact ofthe Highly Improbable. New York: Random House. (ТалебН. Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости. Азбука Аттикус, КоЛибри, 2018.)

Taleb, Nassim. 2012. Antifragile: Things That Gain from Disorder. New York: Random House. (ТалебН. Антихрупкость. Как извлечь выгоду изхаоса. КоЛибри, 2016.)

Tassier, Troy. 2013. The Economics ofEpidemiology. Amsterdam: Springer.

Tetlock, Phillip. 2005. Expert Political Judgment: How Good IsIt? How Can WeKnow? Princeton, NJ: Princeton University Press.

Thaler, R. H. 1981. “Some Empirical Evidence onDynamic Inconsistency.” Economic Letters 8, no. 3: 201–207.

Thompson, Derek. 2014. “How You, I, and Everyone Got the Top 1 Percent All Wrong: Unveiling the Real Story Behind the Richest ofthe Rich.” Atlantic, March 30.

Thorndike, Edward L. 1911. Animal Intelligence. New York: Macmillan.

Tilly, Charles. 1998. Durable Inequality. Berkeley: University ofCalifornia Press.

Tsebelis, George. 2002. Veto Players: How Political Institutions Work. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Turchin, Peter. 1998. Quantitative Analysis ofMovement: Measuring and Modeling Population Redistribution inAnimals and Plants. Sunderland, MA: Sinauer Associates.

Tweedle, Valerie, and Robert J. Smith. 2012. “A Mathematical Model ofBieber Fever: The Most Infectious Disease ofOur Time?” InUnderstanding the Dynamics ofEmerging and Re-Emerging Infectious Diseases Using Mathematical Models,, ed. Steady Mushayabasa and Claver P. Bhunu. Cham, Switzerland: Springer.

Ugander, Johan, Brian Karrer, Lars Backstrom, and Cameron Marlow. 2011. “The Anatomy ofthe Facebook Social Graph.” arXiv:1111.4503.

Updike, John. 1960. “Hub Fans Bid Kid Adieu.” New Yorker, October 22.

US Bureau ofLabor Statistics. 2013. Consumer Expenditures in2011. Report 1042, April. Washington, DC: BLS.

Uzzi, Brian, Satyam Mukherjee, Michael Stringer, and Ben Jones. 2013. “Atypical Combinations and Scientific Impact.” Science 342: 468–471.

Van Noorden, Richard. 2015. “Interdisciplinary Research bythe Numbers.” Nature, September 16.

von Neumann, John, and Morgenstern, Oskar. 1953. Theory ofGames and Economic Behavior. Princeton, NJ: Princeton University Press. (Джон фон Нейман, Оскар Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970).

Vriend, Nicolaas J. 2000. “An Illustration ofthe Essential Difference Between Individual and Social Learning, and Its Consequences for Computational Analyses.” Journal ofEconomic Dynamics and Control 24: 1–19.

Wainer, Howard. 2009. Picturing the Uncertain World. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Wakeland, W,A. Nielsen, and EGeissert. 2015. “Dynamic Model ofNon-medical Opioid Use Trajectories and Potential Policy Interventions.” American Journal ofDrug and Alcohol Abuse 41, no. 6: 508–518.

Waltz, Kenneth. 1979. Theory ofInternational Politics. New York: McGraw-Hill.

Washington Post. 2012. “Mad Money: TVAds inthe 2012 Presidential Campaign.” http://www.washingtonpost.com/wp-srv/special/politics/track-presidential-campaign-ads-2012.

Watts, Duncan. 2011. Everything IsObvious Once You Know the Answer. New York: Crown Business.

Watts, Duncan, and Steven Strogatz. 1998. “Collective Dynamics of’Small-World’ Networks.” Nature 393, no. 6684: 440–442.

Weisberg, Michael. 2007. “Three Kinds ofIdealization.” Journal ofPhilosophy 104, no. 12: 639–659.

Weisberg, Michael. 2012. Simulation and Similarity: Using Models toUnderstand the World. Oxford: Oxford University Press.

Weisberg, Michael, and Muldoon, Ryan. 2009. “Epistemic Landscapes and the Division ofCognitive Labor.” Philosophy ofScience 76, no. 2: 225–252.

Weitzman, Martin L. 1979. “Optimal Search for the Best Alternative.” Econometrica 77: 641–654.

Weitzman, Martin L. 1998. “Recombinant Growth.” Quarterly Journal ofEconomics 2: 331–361.

Wellman, Michael. 1990. “Fundamental Concepts ofQualitative Probabilistic Networks.” Artificial Intelligence 44: 257–303.

Wellman, Michael. 2013. “Head toHead: Does USHigh-Frequency Trading Need Stricter Regulatory Oversight? (YES).” International Financial Law Review, September.

West, Geoffrey. 2017. Scale: The Universal Laws ofGrowth, Innovation, Sus-tainability, and the Pace ofLife inOrganisms, Cities, Economies, and Companies. New York: Penguin. (Уэст Дж.. Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости итемпов жизни организмов, городов, экономических систем икомпаний. М.: Азбука, 2018.)

Whittle, Peter. 1979. “Discussion ofDrGittins’ Paper.” Journal ofthe Royal Statistical Society, Series B41, no. 2: 148–177.

Whitty, Robin W. 2017. “Some Comments onMultiple Discovery inMathematics.” Journal ofHumanistic Mathematics 7, no. 1: 172–188.

Wigner, Eugene. 1960. “The Unreasonable Effectiveness ofMathematics inthe Natural Sciences.” Communications inPure and Applied Mathematics 13, no. 1. (ВигнерЕ.. Инвариантность изаконы сохранения. Этюды о симметрии. Ленанд, 2015.)

Wilkinson, Richard, and Kate Pickett. 2009. The Spirit Level: Why Greater Equality Makes Societies Stronger. London: Bloomsbury.

Wilson, David Sloan. 1975. “A Theory ofGroup Selection.” Proceedings ofthe National Academy ofSciences 72, no. 1: 143–146.

Wolfram, Stephen. 2001. ANew Kind ofScience. Champaign, IL: Wolfram Media.

Wright, Robert. 2001. Nonzero: The Logic ofHuman Destiny. New York: Vintage.

Wu, Jianzhong, and Robert Axelrod. 1995. “How toCope with Noise inthe Iterated Prisoner’s Dilemma.” Journal ofConflict Resolution 39, no. 1: 183–189.

Wuchty Stefan, Benjamin F. Jones, and Brian Uzzi. 2007. “The Increasing Dominance ofTeams inthe Production ofKnowledge.” Science 316, no. 5827: 1036–1039.

Xie, Yu. 2007. “Otis Dudley Duncan’s Legacy: The Demographic Approach toQuantitative Reasoning inSocial Science.” Research inSocial Stratification and Mobility 25: 141–156.

Xie, Yu,Alexandra Killewald, and Christopher Near. 2016. “Between- and Within-Occupation Inequality: The Case ofHigh Status Professions.” Annals ofthe American Academy ofPolitical and Social Science 663, no. 1: 53–79.

Youn, Hyejin, Deborah Strumsky, Luis Bettencourt, and Jose Lobo. 2015. “Inventions asaCombinatorial Process: Evidence From USPatents.” Journal ofthe Royal Society Interfaces 12: 0272.

Zagorsky, Jay. 2007. “Do You Have toBeSmart toBeRich? The Impact ofIQonWealth, Income and Financial Distress.” Intelligence 35: 489–501.

Zahavi, Amotz. 1974. “Mate Selection: ASelection for aHandicap.” Journal ofTheoretical Biology 53, no. 1: 205–214.

Zak, Paul, and Stephen Knack. 2001. “Trust and Growth.” Economic Journal 111, no. 470: 295–321.

Zaretsky, Adam. 1998. “Have Computers Made UsMore Productive? APuzzle.” Regional Economist, Federal Reserve Bank ofSt. Louis.

Ziliak, Stephen T., and Deirdre N. McCloskey. 2008. The Cult ofStatistical Significance: How the Standard Error Costs UsJobs, Justice, and Lives. Ann Arbor: University ofMichigan Press.

Теория игр

Авинаш Диксит, Барри Нейлбафф

Экономика всего

Александр Аузан

Как устроена экономика

ХаДжун Чанг

Момент истины

Сайен Бейлок

Принцип ставок

Энни Дьюк

WHAT YOU NEED TO KNOW TO MAKE DATA WORK FOR YOU

BASIC BOOKS
NEW YORK

КАК АНАЛИЗИРОВАТЬ СЛОЖНЫЕ ЯВЛЕНИЯ СПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

МОСКВА«МАНН, ИВАНОВ ИФЕРБЕР»
2020

Научные редакторы Игорь Красиков, Александр Минько

Издано с разрешения автора и c/o Brockman, Inc.

Нарусском языке публикуется впервые

Пейдж, Скотт

Модельное мышление. Как анализировать сложные явления спомощью математических моделей/ Скотт Пейдж; пер. сангл. Н.Яцюк; [науч.ред. И.Красиков, А.Минько].— М.: Манн, Иванов иФербер, 2020.

ISBN 978-5-00146-867-7

Вкакойбы области вы ниработали— внауке, бизнесе или государственном управлении, вам приходится решать сложные задачи согромным количеством данных. Изэтой книги выузнаете, как заставить эти данные работать навас.

Автор объясняет, как спомощью 25 классов математических моделей анализировать данные ирешать проблемы в повседневных ситуациях. Это хорошобы знать каждому, кто должен ежедневно принимать решения, лавируя впотоке информации,— предпринимателям, менеджерам, аналитикам, социологам, ученым, студентам и нетолько.

Книга будет полезна всем, кто работает сбольшими массивами данных и принимает решения на ихоснове.

Никакая часть данной книги неможет быть воспроизведена вкакойбы то нибыло форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

Посвящается Майклу Коэну (1945−2013)

Едвали можно отрицать, что высшая цель любой теории— сделать неприводимые базовые элементы как можно проще и немногочисленнее, не отказываясь от адекватного представления исходной единицы опыта.

Альберт Эйнштейн

Мудрость— это умение организовать свой опыт (как опосредованный, так и непосредственный) изнания наматрице различных моделей.

Чарльз Мангер

Это книга омоделях. Вней просто ипонятно описываются десятки моделей испособы их применения. Модели— это формальные структуры, представленные ввидематематических формул идиаграмм, которые помогают нам понять этот мир. Ихосвоение улучшает способность рассуждать, объяснять, разрабатывать, коммуницировать, действовать, прогнозировать и исследовать.

Вкниге рассматривается подход под названием многомодельное мышление: использование совокупности моделей для осмысления сложных явлений. Основная идея состоит втом, что многомодельное мышление порождает мудрость посредством применения разнообразного ансамбля логических структур. Различные модели акцентируются на отдельных причинно-следственных факторах. Витоге ихвыводы и следствия перекрываются и переплетаются. Используя множество моделей вкачестве логических структур, мы добиваемся детального, глубокого понимания происходящего. Вкнигу включены формальные аргументы, убедительно обосновывающие концепцию множества моделей, атакже многочисленные примеры изреальной жизни.

Книга имеет прагматическую направленность, а многомодельное мышление— огромную практическую ценность. Практикуя его, высможете лучше понять сложные явления. Научитесь эффективнее выстраивать логические умозаключения. Вваших рассуждениях будет меньше пробелов и выстанете принимать более взвешенные решения в отношении карьеры, общественной деятельности иличной жизни. Авозможно, даже обретете мудрость.

Двадцать пять лет назад книга омоделях заинтересовалабы преподавателей и аспирантов, изучающих бизнес, политику и общественные науки, атакже финансовых аналитиков, страховых агентов и сотрудников спецслужб. Именно они применяли модели напрактике ичаще всего имели дело сбольшими массивами данных. Сегодня аудитория книги омоделях существенно расширилась— это огромное количество работников умственного труда, которые всвязи с появлением больших данных теперь считают работу смоделями частью повседневной жизни.

Организация и интерпретация данных спомощью моделей стала ключевым умением специалистов побизнес-стратегиям, градостроителей, экономистов, медиков, инженеров, страховых аналитиков иученых-экологов. Каждый, кто анализирует данные, формирует бизнес-стратегии, распределяет ресурсы, разрабатывает продукты и протоколы или принимает решения онайме, сталкивается смоделями. Следовательно, усвоение материала данной книги (особенно моделей, охватывающих такие области, как инновации, прогнозирование, биннинг данных2, обучение ирасчет времени выхода нарынок) будет иметь для многих практическую ценность.

Многомодельное мышление непросто повысит вашу эффективность наработе, но исделает вас более достойными гражданами иболее вдумчивыми участниками общественной жизни. Благодаря ему выстанете настоящими экспертами воценке экономических и политических событий. Научитесь обнаруживать изъяны всвоей логике илогике других. Сможете определять, когда идеология вытесняет здравый смысл, и выработаете более глубокое, многоуровневое понимание последствий политических инициатив, будь то в отношении зеленых зон или обязательных тестов на наркотики.

Все эти преимущества будут получены в результате использования множества различных моделей— несотен, а нескольких десятков. Модели, окоторых пойдет речь вкниге,— хороший базовый набор. Они проистекают изразных дисциплин ивключают дилемму заключенного, гонку по нисходящей имодель распространения инфекционных заболеваний SIR. Все эти модели имеют общую форму: они предполагают наличие множества объектов (чаще всего это люди или организации) и описывают взаимодействие между ними.

Представленные вкниге модели можно разделить натри категории: упрощенные модели мира, математические аналогии и исследовательские, искусственные конструкции. Какойбы нибыла форма, модель должна быть разрешимой, тоесть достаточно простой, чтобы вней можно было применять логику. Например, вкнигу включена модель распространения инфекционных заболеваний, позволяющая наоснове данных отрех группах людей— инфицированных, восприимчивых кболезни и излечившихся отнее— определять степень распространения болезни, атакже вычислять пороговый уровень заражения (переломный момент, после которого болезнь начинает распространяться) и количество людей, которых необходимо вакцинировать, чтобы остановить распространение заболевания.

Однако какимибы действенными нибыли отдельные модели, их комбинация позволяет добиться большего, поскольку исключает свойственную им ограниченность. Многомодельный подход проливает свет набелые пятна каждой модели, входящей в комбинацию. Политические решения, принятые наоснове одиночных моделей, могут не учитывать важных особенностей окружающего мира, таких как неравенство в распределении доходов, многообразие идентичности и взаимосвязи сдругими системами[1]. Использование набора моделей помогает выстраивать логическую интерпретацию множества процессов. Мывидим, как они перекрываются и взаимодействуют, создаем почву для осмысления той сложности, которая присуща нашей экономической, политической и социальной жизни. Иделаем это, не поступаясь строгостью,— модельное мышление гарантирует логическую связность. Далее эту логику можно подкрепить фактическими данными, применив кним модели для проверки, уточнения и совершенствования. Вобщем, когда наше мышление опирается на последовательную, эмпирически подтвержденную систему координат, это повышает вероятность принятия мудрых решений.

МОДЕЛИ ВЭПОХУ ДАННЫХ

Появление книги омоделях может показаться неуместным вэпоху больших данных, которые сегодня характеризуются беспрецедентной размерностью истепенью детализации. Данные опокупках клиентов, раньше поступавшие ввиде ежемесячных совокупных показателей, распечатанных набумаге, теперь представляют непрерывный поток геопространственных, временных и потребительских тегов. Данные об академической успеваемости студентов теперь включают баллы закаждое домашнее задание, работу, тест иэкзамен, вотличие отитоговых оценок вконце семестра. Впрошлом фермер мог упомянуть о засушливой почве на ежемесячном собрании ассоциации фермеров. Теперь тракторы передают мгновенные данные о состоянии почвы иуровне влажности врасчете накаждый квадратный метр. Инвестиционные компании отслеживают десятки показателей и тенденций потысячам акций и используют инструменты обработки текстов на естественных языках для синтаксического анализа документов. Врачи могут страница за страницей получать данные изистории болезни пациентов, втом числе важные генетические маркеры.

Всего каких-то двадцать пять лет назад большинство изнас имели доступ кзнаниям, размещавшимся на нескольких книжных полках. Возможно, увас наработе была небольшая библиотека справочной литературы или коллекция энциклопедий и несколько десятков справочников дома. Хотя ученые и исследователи из правительственного ичастного сектора имели доступ кбольшим библиотечным фондам, имвсе равно приходилось физически ихпосещать, чтобы получить необходимые материалы. Даже нарубеже нового тысячелетия еще можно было увидеть, как ученые курсируют туда-сюда между библиотечными картотеками, коллекциями микрофильмов, книжными стеллажами и специальными хранилищами впоисках информации.

Сегодня все по-другому. Контент, веками отображаемый исключительно набумаге, теперь передается крохотными блоками повоздуху, также как и информация особытиях, происходящих здесь исейчас. Новости, приходившие кнам один раз вдень ввиде газеты, теперь поступают ввиде непрерывного цифрового потока нанаши персональные устройства. При помощи нескольких движений пальцев или мышки можно узнать курс акций и результаты спортивных соревнований, атакже новости о политических и культурных событиях.

Нокакимибы впечатляющими нибыли данные, это непанацея. Да, теперь мызнаем, что уже произошло или происходит в настоящий момент, ноиз-за сложности современного мира невсегда способны понять, почему. Выводы, полученные эмпирическим путем, могут вводить в заблуждение. Данные осдельной оплате труда часто показывают, что чем больше людям платят заединицу продукции, тем меньше они производят. Модель, вкоторой оплата зависит отусловий труда, может объяснить этот парадокс. Если условия плохие и затрудняют выпуск продукции, оплата заединицу продукции может быть высокой. Если условия хорошие, оплата может быть низкой. Таким образом, более высокая оплата неприводит кснижению производительности, скорее наоборот, тяжелые условия труда требуют более высокой оплаты заединицу продукции[2].

Кроме того, большая часть социальных данных (об экономических, социальных и политических явлениях) отражает только отдельные моменты или промежутки времени иредко раскрывает универсальные истины. Наш экономический, социальный и политический мир нестатичен. Например, мальчики могут превзойти девочек по стандартизованным тестам водно десятилетие, адевочки— в следующее. Причины, покоторым люди голосуют сегодня, могут отличаться отпричин, покоторым они проголосуют завтра.

Нам нужны модели, чтобы осмыслить потоки данных, изливающихся нанаши компьютерные экраны как из пожарного шланга. Именно из-за их беспрецедентного объема современную эпоху можно также назвать эпохой множества моделей. Взгляните нанаучный иделовой мир, сферу государственного управления и некоммерческий сектор— врядли вынайдете там область исследований или принятия решений, не основанную на использовании моделей. Консалтинговые гиганты McKinsey иDeloitte создают модели для разработки бизнес-стратегий. Такие финансовые компании, как BlackRock иJPMorgan Chase, используют модели для выбора объектов для инвестиций. Актуарии страховых компаний State Farm иAllstate применяют модели для определения риска при расчете цены страховых полисов. Отдел персонала компании Google разрабатывает аналитические модели прогнозирования для оценки более чем трех миллионов кандидатов на вакантные должности. Приемные комиссии колледжей и университетов создают прогностические модели для отбора студентов издесятков тысяч абитуриентов.

Административно-бюджетное управление разрабатывает экономические модели для прогнозирования последствий налоговой политики. Компания Warner Brothers использует анализ данных для создания моделей отклика аудитории. Amazon разрабатывает модели машинного обучения для предоставления рекомендаций по продуктам. Исследователи, финансируемые Национальными институтами здравоохранения, строят математические модели генома человека для поиска иоценки вероятных методов лечения онкологических заболеваний. Фонд Билла иМелинды Гейтс применяет эпидемиологические модели для разработки стратегий вакцинации. Даже спортивные команды применяют модели для оценки своих потенциальных членов, возможностей для обмена и формирования стратегий игры. Опираясь намодели при отборе игроков и стратегий, бейсбольный клуб Chicago Cubs сумел выиграть чемпионат США побейсболу после более чем столетия неудач.

Для людей, использующих модели, объяснение популяризации модельного мышления звучит еще проще: модели делают нас умнее. Без них люди страдают отдлинного списка когнитивных искажений: придают чрезмерное значение недавним событиям, присваивают значения вероятности, руководствуясь благоразумием, и игнорируют базовые процентные ставки. Без моделей наша способность учитывать данные ограничена. Применение моделей вносит ясность висходные предположения и позволяет логически мыслить. Кроме того, благодаря моделям мыможем использовать большие данные для подбора, точной формулировки ипроверки каузальных и коррелятивных утверждений. Модели помогают нам эффективнее мыслить. Впрямом состязании между моделями илюдьми побеждают модели[3].

ПОЧЕМУ НАМ НУЖНО МНОГО МОДЕЛЕЙ

Вкниге подчеркивается важность применения неодной, а множества моделей ккаждой конкретной ситуации. Логическое обоснование многомодельного подхода строится на прошедшей проверку временем идее, что мыобретаем мудрость благодаря всестороннему анализу происходящего. Эта идея восходит к Аристотелю, который писал оценности объединения достоинств многих людей. Разнообразие точек зрения стало также мотиватором движения за популяризацию великих книг, входе которого были отобраны 102лучшие идеи, вошедшие в двухтомник The Great Ideas: ASyntopicon ofGreat Books ofthe Western World («Великие идеи: синтопикон великих книг западного мира»). Современная трактовка этого подхода представлена вработе Максин Хонг Кингстон, которая всвоей книге The Woman Warrior («Воительница») пишет: «Ввиду величия Вселенной я научилась увеличивать свой разум, стем чтобы было место как для Вселенной, так идля парадоксов». Кроме того, этот подход также служит основой прагматических действий вмире бизнеса иполитики. В опубликованных в последнее время книгах утверждается, что, если мыхотим понять суть международных отношений, мы недолжны моделировать мир исключительно как группу движимых собственными интересами стран, преследующих четко обозначенные цели, или только как развивающуюся взаимосвязанную систему транснациональных корпораций и межправительственных организаций. Мыдолжны делать ито идругое[4].

Какимбы здравым никазался многомодельный подход, нестоит забывать, что он противоречит стандартным методам обучения моделям ипрактике их построения. Традиционный подход (который преподают всредней школе) опирается навзаимно-однозначную логику: одна задача требует одной модели. Например: здесь мы применяем первый закон Ньютона, тут— второй, аздесь третий. Или: здесь мы используем уравнение репликативной динамики для определения размера популяции кроликов в следующем периоде. При применении традиционного подхода задача заключается втом, чтобы, во-первых, найти одну подходящую модель и, во-вторых, правильно ее применить. Многомодельное мышление бросает вызов этому подходу и исповедует принцип применения множества моделей. Еслибы вы использовали многомодельное мышление вдевятом классе, вас бы, возможно, оставили навторой год. Используя его сейчас, выбудете двигаться вперед.

Авторы научных трудов также восновном придерживаются взаимно-однозначного подхода, даже когда применяют отдельные модели для простого объяснения сложных явлений: избирателями Трампа 2016года были люди, которые оказались наобочине экономической жизни. Или: квалификация учителя ребенка-второклассника определяет его экономический успех вовзрослой жизни[5]. Поток бестселлеров в категории научно-популярной литературы предлагает средства отвсех наших бед, основанные на одномодельном мышлении: успех обучения зависит от твердости характера. Неравенство обусловлено концентрацией капитала. Слабое здоровье нации— результат потребления сахара. Каждая изэтих моделей может быть верной, но ниодна неявляется всеобъемлющей. Для того чтобы справиться свысоким уровнем сложности подобных проблем исоздать мир более широких достижений вобласти образования, понадобятся матрицы моделей.

Изучив представленные вкниге модели, высможете выстроить собственную матрицу. Эти модели берут свое начало вшироком диапазоне дисциплин и затрагивают самые разные проблемы, такие как причины неравенства доходов, распределение власти, распространение заболеваний имодных увлечений, предпосылки социальных волнений, эволюция кооперации, формирование порядка вбольших городах и структура интернета. Модели, рассматриваемые вкниге, разнятся посвоим исходным предположениям и структуре. Одни описывают небольшое количество рационально мыслящих индивидуумов, движимых личными интересами. Другие— большие группы альтруистов, соблюдающих правила. Третьи— равновесные процессы. Четвертые объясняют сложность и зависимость от первоначально выбранного пути. Все они также различаются областями применения. Одни позволяют прогнозировать и объяснять. Другие служат руководством кдействию, помогают впроцессе разработки или облегчают коммуникации. Третьи создают искусственные миры, которые исследует наш разум.

Все эти модели имеют три общие характеристики. Во-первых, они упрощают, устраняя несущественные детали, абстрагируясь от реальности или создавая нечто совершенно новое. Во-вторых, обеспечивают формализацию, давая точные определения. Используют математику, а неслова. Могут представлять убеждения ввиде распределения вероятностей по состояниям мира или предпочтения ввиде упорядоченного списка альтернатив. Создают путем упрощения иточного определения пространство, вкотором можно применять логику, выдвигать гипотезы, разрабатывать решения и подбирать данные. Формируют структуры, врамках которых мыможем логически мыслить. Как писал Людвиг Витгенштейн всвоем труде Tractatus Logico-Philosophicus («Логико-философский трактат»), «логика заботится осебе сама, нам нужно лишь следить затем, как она это делает». Логика помогает объяснять, прогнозировать, коммуницировать и разрабатывать. Тем неменее логика имеет свою цену, что ведет ктретьей характеристике моделей: все модели неправильны, как отметил Джордж Бокс[6]. Иэто действительно верно в отношении всех моделей: даже грандиозные творения Ньютона, которые мыназываем законами, действуют только в определенных масштабах. Модели неправильны, потому что упрощают действительность. Опускают детали. Рассмотрение множества моделей позволяет преодолеть ограничение научной строгости путем охвата всего пространства возможного.

Полагаться наодну модель— это высокомерие, чреватое катастрофой. Верить вто, что одно уравнение может объяснить или спрогнозировать сложные явления реального мира,— значит стать жертвой притягательной силы чистых, строгих математических форм. Нестоит рассчитывать нато, что какая-либо одна модель позволит составить точный численный прогноз уровня моря через 10000лет или уровня безработицы через 10 месяцев. Для осмысления сложных систем понадобится множество моделей. Такие сложные системы, как политика, экономика, международные отношения или мозг, демонстрируют непрерывно меняющиеся системные эффекты и закономерности, которые заключены между порядком ихаосом. Сложные явления по определению трудно объяснять, развивать или прогнозировать[7].

В результате мы наблюдаем явное несоответствие. Содной стороны, нам нужны модели, чтобы последовательно мыслить, а сдругой— любая отдельная модель с несколькими меняющимися элементами неспособна объяснить суть сложных многомерных явлений, таких как закономерности в международной торговой политике, тенденции вотрасли потребительских товаров или адаптивная реакция мозга. Никакой Ньютон несможет написать уравнение стремя переменными, объясняющее ежемесячные показатели занятости, результаты выборов или снижение уровня преступности. Если мыхотим понять закономерности распространения болезней, изменчивость показателей успеваемости, разнообразие флоры ифауны, воздействие искусственного интеллекта нарынки труда, влияние людей наклимат планеты или вероятность социальных волнений, нам следует все это проанализировать спомощью моделей машинного обучения, моделей динамических систем, моделей теории игр иагентных моделей.

ИЕРАРХИЯ МУДРОСТИ

Чтобы изложить вобщих чертах аргументы впользу многомодельного мышления, начнем сцитаты поэта и драматурга Томаса Стернза Элиота: «Где мудрость, утраченная нами ради знания? Где знание, утраченное нами ради сведений?». Мымоглибы кэтому добавить: где информация, утраченная нами ради данных?

Вопросы Элиота можно формально описать как иерархию мудрости. На еенижнем уровне находятся данные: первичные, незакодированные события, переживания иявления, такие как рождение, смерть, рыночные сделки, голосование, загрузка музыки, осадки, футбольные матчи иэпизоды видообразования. Данные могут представлять собой длинные цепочки нулей иединиц, временныхметок исвязей между страницами. Вданных нет смысла, упорядоченности или структуры.

Информация описывает данные иделит их на категории. Следующие примеры объясняют различие между данными и информацией. Дождь, падающий вам наголову,— это данные. Общее количество осадков заиюль в Берлингтоне, атакже уровень воды возере Онтарио— это информация. Ярко-красный перец ижелтая кукуруза в фермерских палатках, расположенных вокруг здания законодательного собрания вМэдисоне вовремя субботней ярмарки,— это данные. Совокупный объем реализации продукции фермерских хозяйств— это информация.

Рис.1.1. Как модели преобразуют данные вмудрость

Мыживем вэпоху изобилия информации. Полтора столетия назад обладание информацией обеспечивало высокий экономический и социальный статус. Эмма, героиня одноименного романа Джейн Остин, спрашивает, производитли Фрэнк Черчилл впечатление информированного молодого человека. Сегодня она несталабы задавать этот вопрос. УЧерчилла, как и увсех нас, былбы смартфон. Вопрос втом, какбы он воспользовался имеющейся информацией. Вромане «Преступление и наказание» Федор Достоевский пишет: «Унас есть, дескать, факты! Даведь факты невсе; покрайней мере половина дела втом, как сфактами обращаться умеешь!»

Платон определял знание как обоснованное истинное убеждение. В современных определениях оно трактуется как понимание корреляционных, причинных и логических связей. Знание организует информацию ичасто принимает форму модели. Экономические модели рыночной конкуренции, социологические модели сетей, геологические модели землетрясений, экологические модели формирования ниш и психологические модели познания— все заключают всебе знание, объясняют и прогнозируют. Модели химических связей объясняют, почему связи в молекулах металла мешают нам просунуть руку сквозь металлическую дверь, тогда как движение молекул воды уменьшает наш вес, когда мыныряем возеро[8].

Навершине иерархии находится мудрость— способность выявлять и применять соответствующие знания. Мудрость требует многомодельного мышления. Иногда она сводится квыбору лучшей модели, как при извлечении стрелы изколчана. Аиногда достигается засчет усреднения моделей, что часто происходит при составлении прогнозов. (Мыобсудим важность усреднения моделей в следующем разделе.) Перед тем как предпринять теили иные действия, мудрые люди применяют несколько моделей, также как врачи совокупность диагностических тестов. Это позволяет исключить одни действия иотдать предпочтение другим. Мудрые люди икоманды выстраивают диалог между моделями, анализируя области их пересечения иразличия.

Мудрость может состоять ввыборе правильных знаний или модели. Рассмотрим такую физическую задачу: маленькая мягкая игрушка гепарда падает ссамолета, летящего навысоте 6000метров. Чем чревато еепадение наземлю? Студент может знать модель гравитации имодель предельной скорости падения. Эти модели рассматривают происходящее под разными углами. Гравитационная модель прогнозирует, что мягкая игрушка пробьет крышу автомобиля. Номодель предельной скорости сучетом сопротивления воздуха говорит отом, что скорость игрушечного гепарда приблизится примерно к16километрам вчас[9]. Мудрость состоит взнании отом, что следует применить модель предельной скорости. Стоящий наземле человек может поймать мягкую игрушку руками. Как сказал поэтому поводу эволюционный биолог Джон Бердон Сандерсон Холдейн, «можно уронить мышь вугольную шахту глубиной втысячу ярдов; достигнув дна, мышь, отделавшись легким сотрясением, убежит, если только земля будет достаточно мягкой. Крыса погибнет, человек разобьется, алошадь превратится влепешку».

Взадаче смягкой игрушкой для получения правильного решения требуется информация (вес игрушки), знания (модель предельной скорости) имудрость (выбор правильной модели). Бизнес-лидеры иполитики тоже полагаются на информацию изнания входе принятия мудрых решений. Девятого октября 2008года стоимость денежной единицы Исландии (кроны) начала стремительно падать. Эрику Боллу, в товремя финансовому директору компании Oracle (гиганта вобласти разработки программного обеспечения), предстояло принять решение. За несколько недель доэтого онуже столкнулся с внутренними последствиями кризиса ипотечного кредитования. Ситуация вИсландии вызывала озабоченность на международном уровне. Oracle держала миллиарды долларов в зарубежных активах. Болл проанализировал сетевые модели распространения финансового кризиса и рассмотрел экономические модели спроса и предложения, указывающие наналичие корреляции между величиной изменения цен истепенью рыночных потрясений. В2008году ВВП Исландии составлял 12миллиардов долларов, что эквивалентно доходу корпорации McDonald‘s менее чем заполгода. Болл вспоминает, что тогда подумал: «Исландия меньше Фресно. Возвращайся кработе»[10]. Ключ к пониманию этого события и многомодельному мышлению вцелом заключается в осознании того факта, что Болл проанализировал множество моделей недля того, чтобы найти среди них одну в поддержку своих действий. И не использовал принцип многомодельного мышления ради их обоснования. Напротив, оноценил две модели как потенциально полезные, азатем выбрал более подходящую. УБолла была правильная информация (Исландия— маленькая страна), онвыбрал правильную модель (спрос и предложение) ипринял мудрое решение.

Далее мыпокажем, как обеспечить диалог между различными моделями посредством переосмысления двух исторических событий: краха мирового финансового рынка 2008года, приведшего к сокращению совокупного богатства (или того, что считалось таковым) на триллионы долларов и последующей четырехлетней глобальной рецессии, атакже Карибского кризиса 1961года, который едва неперерос вядерную войну.

Финансовый кризис 2008года объясняется разными причинами: избыток иностранных инвестиций, чрезмерная задолженность инвестиционных банков, отсутствие надзора за ипотечным кредитованием, блаженный оптимизм всех представителей рынка недвижимости, сложность финансовых инструментов, непонимание рисков иалчность банкиров, которые знали о существовании пузыря, но рассчитывали наспасение. Поверхностные доказательства совпадают скаждым изэтих объяснений: поток денег поступал изКитая, инициаторы займов предоставляли проблемные ипотечные кредиты, у инвестиционных банков был высокий коэффициент заемного капитала, финансовые инструменты были слишком сложными для понимания большинства, а некоторые банки действительно рассчитывали на финансовую помощь. Модели позволяют проанализировать эти объяснения и их внутреннюю согласованность: имеютли они логический смысл? Кроме того, мыможем откалибровать их и проверить величину воздействия.

Экономист Эндрю Ло, практикующий многомодельное мышление, проанализировал двадцать одно объяснение причин кризиса инашел каждое изних недостаточно убедительным. Нет никакой логики втом, что инвесторы будут способствовать образованию пузыря, зная, что это приведет к глобальному кризису. Следовательно, масштаб пузыря должен был стать для многих неожиданностью. Финансовые компании вполне могли предположить, что другие компании проявили должную осмотрительность, тогда как насамом деле этого небыло. Кроме того, ипотечные пакеты, которые впоследствии оказались явно проблемными (низкого качества), нашли своих покупателей. Еслибы глобальный кризис был предрешен, этих покупателей просто небыло бы. Ктомуже, хотя после 2002года коэффициенты заемного капитала выросли, они были ненамного выше, чем в1998-м. Чтоже касается надежд на финансовую помощь государства, токогда 15сентября 2008года банк Lehman Brothers потерпел крах, правительство не вмешивалось в происходящее, несмотря на точто это было самое крупное банкротство вистории США, так как стоимость активов холдинговой компании Lehman Brothers составляла более 600миллиардов долларов.

Лосчитает, что каждое изэтих объяснений содержит логический пробел. Сами посебе данные не указывают на преимущество какого-то изних. Ло подытоживает свои выводы так: «Мыдолжны стремиться изначально иметь как можно больше интерпретаций одной итойже совокупности объективных данных врасчете нато, что всвое время получим более детальное и внутренне согласующееся объяснение кризиса». Далее онговорит: «Только сформировав разноплановый набор нередко противоречивых интерпретаций, мы витоге придем кболее полному пониманию причин кризиса»[11]. Какой-либо одной отдельно взятой модели для этого будет недостаточно.

Всвоей книге Essence ofDecision3 Грэм Аллисон применяет многомодельный подход для объяснения причин Карибского кризиса4. Подготовленная ЦРУ военизированная группа 17апреля 1961года высадилась наберегу Кубы, предприняв неудавшуюся попытку свержения коммунистического режима Фиделя Кастро, что усилило напряженность между Соединенными Штатами и Советским Союзом, который поддерживал Кубу. Вответ глава советского правительства Никита Хрущев перебросил наКубу ядерные ракеты малой дальности. Президент Джон Кеннеди отреагировал наэто блокадой Кубы. Советский Союз иСША пошли навстречу друг другу и пересмотрели ситуацию, в результате кризис благополучно завершился.

Аллисон интерпретирует эти события спомощью трех моделей. Первая— модель рационального выбора— показывает, что уКеннеди было три варианта действий: развязать ядерную войну, вторгнуться наКубу или ввести блокаду. Онвыбрал блокаду. Модель рационального выбора подразумевает, что Кеннеди рисует дерево игры, отображающее каждый вариант действий и возможную реакцию СССР. Затем Кеннеди анализирует, каким будет оптимальный ответный ход Советского Союза. Например, еслибы Кеннеди предпринял ядерный удар, Советы нанеслибы ответный удар, что привелобы кгибели миллионов людей. Еслибы Кеннеди ввел блокаду, это обреклобы кубинцев наголод. Вэтом случае Советский Союз либо отступил бы, либо запустил ракеты. При таком выборе СССР должен был пойти науступки. Эта модель объясняет главную стратегическую логику игры и обосновывает решение Кеннеди впользу блокады Кубы.

Однако, как ивсе модели, она неправильна, поскольку не учитывает важных деталей, из-за чего первоначальное объяснение выглядит лучше, чем насамом деле. Вмодели игнорируется этап размещения Советским Союзом ракет наКубе. Еслибы СССР вел себя более рационально, они нарисовалибы такоеже дерево, как иКеннеди, иосознали бы, что придется вывести ракеты. Кроме того, модель рационального выбора не объясняет, почему СССР неспрятал ракеты.

Для разъяснения этих противоречий Аллисон использует модель организационного процесса. Отсутствие организационных возможностей поясняет неспособность Советского Союза разместить ракеты вукрытиях. Этаже модель может объяснить решение Кеннеди ввести блокаду. В товремя ВВС США неимели возможности уничтожить ракеты одним ударом. Даже одна уцелевшая ракета грозила погубить миллионы американцев. Аллисон умело сочетает обе модели. Выводы, сделанные на основании модели организационных процессов, меняют выигрыши вмодели рационального выбора.

Аллисон использует также модель бюрократической политики. Две первые модели сводят страны к ихлидерам: Кеннеди действует отимени США, аХрущев— отимени СССР. Модель бюрократической политики признает, что Кеннеди приходится отстаивать свою позицию в конгрессе, аХрущеву— сохранять политическую базу поддержки. Таким образом, размещение Хрущевым ракет наКубе было демонстрацией силы.

Книга Аллисона показывает эффективность отдельных моделей и их комбинации. Каждая модель проясняет наше мышление. Модель рационального выбора позволяет определить возможные действия после размещения ракет и их последствия. Организационная модель подчеркивает тот факт, что эти действия выполняют организации, а не отдельные люди. Модель бюрократической политики обращает внимание на политическую цену вторжения. Такой трехсторонний анализ позволяет достичь более полного и глубокого понимания. Все модели неправильны, но их совокупность способна принести пользу.

Вобоих примерах разные модели объясняют различные причинно-следственные факторы. Множество моделей могут также фокусироваться насобытиях разных масштабов. В известной истории ребенок заявляет, что Земля покоится наспине гигантского слона. Ученый спрашивает ребенка, начем стоит слон, начто ребенок отвечает: «На гигантской черепахе». Предвидя, что последует дальше, ребенок быстро добавляет: «Даже не спрашивайте. Там одни черепахи досамого конца»[12]. Еслибы мир состоял изодних черепах (другими словами, былбы самоподобным), томодель верхнего уровня былабы применима навсех остальных уровнях. Однако экономика, мир политики иобщество— это нетолько черепахи. Тоже самое можно сказать и омозге. На субмикронном уровне мозг состоит измолекул, образующих синапсы, которые, всвою очередь, образуют нейроны5. Нейроны объединяются всети. Сети накладываются друг надруга замысловатыми способами, которые можно изучить посредством нейровизуализации. Нейронные сети существуют науровне, отличном отуровня функциональных систем, таких как мозжечок, например. Учитывая, что головной мозг имеет особую структуру накаждом уровне, нам необходимо множество моделей— иони разнятся. Умоделей, характеризующих устойчивость нейронных сетей, мало общего смоделями молекулярной биологии, служащими для объяснения работы клеток головного мозга, которые, всвою очередь, отличаются от психологических моделей, применяемых для объяснения когнитивных искажений.

Успех многомодельного мышления зависит отстепени разделимости. Впроцессе анализа финансового кризиса 2008года мы полагались на отдельные модели покупки активов зарубежными инвесторами, группирования активов и повышения коэффициента левериджа. Аллисон сделал выводы из теоретико-игровой модели без учета организационной модели. Изучая организм человека, врачи выделяют скелетную, мышечную, лимбическую инервную систему. Тем неменее многомодельное мышление нетребует, чтобы отдельные модели разделяли систему на независимые части. Столкнувшись сосложной системой, мы неможем, перефразируя Платона, разделять мир поего сочленениям. Мыможем частично выделить основные причинно-следственные нити, азатем изучить, как они переплетаются. При этом мы обнаружим, что данные, сгенерированные экономической, политической и социальной системой, демонстрируют внутреннюю согласованность. Социальные данные— это нечто большее, чем коллекция непостижимых историй изличной жизни.

АННОТАЦИЯ ИКРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ

Итак, мыживем вэпоху изобилия информации иданных. Генерирующие их технологические достижения сокращают время и расстояние, делая экономических, политических и социальных агентов6 более динамичными, способными мгновенно реагировать на экономические и политические события. Кроме того, они усиливают связанность, азначит, и сложность. В результате возник технологический парадокс: мызнаем об окружающем мире больше, номир стал сложнее. Сучетом этой сложности любая отдельная модель, скорее всего, потерпит неудачу. Тем неменее нам неследует отказываться отмоделей. Напротив, мыдолжны отдавать предпочтение логической связности перед интуицией, атакже вдва, три идаже четыре раза активнее использовать модели, придерживаясь многомодельного мышления.

Адля этого понадобится изучить множество моделей, получив оних практические знания; понять их формальное описание изнать, как их применять. Однако нам ненужно быть экспертами. Поэтому вкниге и соблюдается баланс между доступностью иглубиной. Она может служить как источником информации, так и руководством. Формальное описание моделей размещено в специальных врезках. Вкниге нет многострочных уравнений, которые ужаснут даже самых самоотверженных читателей. Представленные математические формулировки подлежат анализу иусвоению. Моделирование— это мастерство, для овладения которым нужна полная вовлеченность. Оставаясь страстным болельщиком, выего не достигнете. Нужна осознанная практика. В моделировании математика илогика играют роль опытного тренера и исправляют наши ошибки.

Оставшаяся часть книги организована следующим образом. Вглаве2 иглаве3 обосновывается целесообразность многомодельного подхода. Вглаве4 рассказывается о проблемах моделирования поведения людей. Следующие двадцать слишним глав посвящены отдельным моделям или классам моделей. Рассматривая поодному типу моделей зараз, высможете лучше осмыслить области их применения, исходные предположения и последствия. Кроме того, такая структура изложения материала позволяет влюбой момент взять книгу скнижной полки или открыть ее вбраузере инайти исчерпывающий анализ линейных моделей, прогностических моделей, сетевых моделей, моделей последействия, атакже моделей распределения сдлинным хвостом, обучения, пространственной конкуренции, потребительских предпочтений, зависимости от первоначально выбранного пути, инноваций и экономического роста. Вовсех главах приводятся примеры применения многомодельного мышления для решения различных задач ипроблем. Книга завершается глубоким анализом эпидемии опиоидов и неравенства в распределении доходов.

Для меня успех означает эффективность в окружающем мире, способность привнести внего свои идеи иценности иизменить его клучшему.

Максин Хонг Кингстон

Все началось со случайной встречи сМайклом Коэном в2005году возле цветника нааллее, примыкающей кзданию West Hall Мичиганского университета. Тогда Майкл— ученый, известный своим великодушием,— подбросил мне идею, которая изменила мою преподавательскую карьеру. Сблеском вглазах онсказал: «Скотти, когда-то ячитал курс под названием “Введение в моделирование для специалистов вобласти общественных наук”, основанный накниге Чарльза Лейва иДжеймса Марча. Тыдолжен возродить его. Он нуждается втебе».

Нуждается вомне? Вернувшись всвой кабинет в некотором замешательстве, яотыскал программу старого курса. Как оказалось, Майкл ввел меня в заблуждение. Некурс нуждался вомне, а, наоборот, явнем. Ядавно хотел разработать курс, которыйбы позволил студентам ознакомиться с основными концепциями сложных систем (такими как сети, разнообразие, машинное обучение, редкие события, зависимость от предшествующего развития, переломные моменты), что напрямую касалось их повседневной жизни ибудущей карьеры. Преподавая моделирование, ямогбы рассказать им о концепции сложности инаучить эффективно мыслить. Япомогбы имосвоить инструменты, улучшающие способность рассуждать, объяснять, прогнозировать, проектировать, общаться, действовать и исследовать.

Источником мотивации вовремя обучения моглабы стать уверенность втом, что множество моделей помогут разобраться вовсех перипетиях современного мира. Вконце семестра, вместо того чтобы видеть мир под определенным углом, студенты обрелибы способность рассматривать его сразных сторон. Находясь вдоме согромным количеством окон, они моглибы смотреть в нескольких направлениях ибылибы лучше подготовлены к комплексу стоящих перед ними сложных задач, таких как совершенствование системы образования, снижение уровня бедности, обеспечение устойчивого роста, поиск значимой работы вэпоху искусственного интеллекта, управление ресурсами и разработка надежных финансовых, экономических и политических систем.

Осенью следующего года явозродил курс. Сначала яхотел дать ему новое название «Тридцать две модели, которые превратят вас вгения», но, учитывая, что культура Мичиганского университета неодобряет использования гипербол, оставил вариант Майкла «Введение в моделирование». Безусловно, книга Лейва иМарча была блестящим фундаментом. Однако ввиду того, что за последующие десятилетия вобласти моделирования был достигнут существенный прогресс, мне требовалась обновленная версия курса, включающая распределение сдлинным хвостом1, сети, адаптивный ландшафт и случайные блуждания. Мне также нужна была книга, рассматривавшая вопросы сложности.

И яначал ееписать. На протяжении двух лет почва была очень каменистой, имой плуг двигался медленно. Однажды весной яснова столкнулся сМайклом, наэтот раз варке West Hall, иначал расспрашивать его окурсе, накоторый записалось уже двадцать человек. Неслишкомли абстрактны модели для студентов базового университетского курса? Следуетли мне преподаватьотдельные курсы по конкретным проблемам или областям политики? Майкл улыбнулся исказал, что любое стоящее начинание заслуживает критической оценки, и напрощание подчеркнул, насколько важно помогать людям учиться четко мыслить. Он советовал не сдаваться иотметил, что его вдохновляют стоящие передо мной вызовы.

Осенью 2012года ситуация улучшилась. Заместитель проректора Марта Поллак предложила мне вести онлайн-версию курса— то, что сейчас называют MOOC (massive open online course— массовый открытый онлайн-курс). Так спомощью планшета, камеры за29долларов и микрофона за90долларов ипоявился курс «Модельное мышление». При содействии сотрудников Мичиганского университета, проекта Coursera и Стэнфордского университета (которых слишком много, чтобы ямог должным образом ихвсех поблагодарить; упомяну только Тома Хикки, проделавшего колоссальную работу) яперевел свои лекции вформат, подходящий для онлайн-курса, разделив каждую тему намодули иудалив все материалы, защищенные авторским правом. Сосвоим псом покличке Баундер вкачестве слушателя яупорно записывал и переписывал лекции.

Первый курс лекций «Модельное мышление» привлек 60000 студентов. Сегодня их количество приближается кмиллиону. Такая популярность онлайн-курса заставила меня прекратить работу над книгой, поскольку ярешил, что теперь она ненужна. Однако втечение следующих двух лет мой почтовый электронный ящик заполнили письма спросьбой дополнить онлайн-курс книгой. Акогда Майкл Коэн проиграл битву сраком, я почувствовал, что просто обязан закончить книгу, иснова открыл папку с рукописью.

Написание книги требует много времени и пространства, чтобы ясно мыслить. Поэт Уоллес Стивенс писал: «Возможно, правда зависит отпрогулки вокруг озера». Я полагался наблизкий аналог там, где моя семья проводит лето,— на проясняющие разум заплывы возере Уинанс. Время работы над книгой скрашивали члены моей семьи— любовь всей моей жизни Дженна Беднар, наши сыновья Орри иКупер инаши огромные собаки Баундер, Ода иХильди. Оно было наполнено смехом, умиротворением и возможностями— в частности, Орри на протяжении недели исправлял математические ошибки в предпоследнем черновике, аДженна посвятила две недели поиску втексте угловатых конструкций, логических ошибок и сбивчивых рассуждений. Как и большинство моих работ, эту правильнее всего представить как черновик Скотта Пейджа, существенно переработанный Дженной Беднар.

За тесемь лет, что яписал эту книгу, мои дети из подростков превратились в прекрасных молодых юношей. Орри уехал учиться вколледж, аКупер отправится туда в следующем году. Заэто время члены моей семьи поглотили изрядное количество бибимбапа, пасты карбонара и шоколадного овсяного печенья, срезали исрубили множество веток исучьев, залатали десятки дыр взаборе назаднем дворе, предприняли множество безуспешных попыток уменьшить энтропию вподвале игараже, атакже с нетерпением каждый раз ждали и надеялись, что лед наозере будет достаточно крепким для катания наконьках. Нам также довелось пережить потерю. Когда япроделал примерно половину работы над книгой, от сердечного приступа внезапно умерла моя мама Мэрилин Тамбуэр Пейдж. Это произошло вовремя одной из ежедневных прогулок ссобакой, которые она обожала. Стех пор непроходит идня, чтобы я не вспоминал отой любви, которой мама одаривала семью, ио ее неиссякаемом желании помогать людям.

Книга, которую выдержите вруках, настолько исчерпывающа, насколько это возможно вданный момент. Безусловно, будут созданы новые модели, адля старых появятся новые области применения, из-за чего возникнут определенные пробелы в представленном материале. Смиренно отправляя рукопись вбольшой мир, ячувствую, что мои усилия будут вознаграждены, если вы, читатель, сочтете содержащиеся вней модели иидеи полезными и продуктивными исможете применить их вреальном мире, чтобы изменить его клучшему.

Если однажды, сидя вкабинете какого-либо профессора или аспиранта (желательно водном из колледжей или университетов моего любимого Среднего Запада), я, просматривая книжные полки, увижу там эту книгу, как всвое время увидел потрепанный экземпляр книги Лейва иМарча, значит, мои усилия непропали зря.

Познание реальности означает построение систем трансформации, более-менее адекватно соответствующих реальности.

Жан Пиаже

Вэтой главе мы определим типы моделей. Модели часто описываются как упрощенное представление мира. Они действительно могут выполнять такую функцию, номогут также выступать ввиде аналогий или вымышленных миров, вкоторых можно найти новые идеи или знания. Кроме того, мы рассмотрим области применения моделей. Вучебных заведениях модели служат для объяснения данных. Вреальной жизни ихможно использовать для прогнозирования, разработки и совершения действий, поиска идей и возможностей, атакже распространения идей и представлений.

Ценность моделей— в их способности выявлять условия, при которых достижим тот или иной результат. Большая часть того, что мызнаем, возможна только в определенных случаях: квадрат самой длинной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон только вслучае, если самая длинная сторона расположена напротив прямого угла. Модели раскрывают аналогичные условия для наших интуитивных выводов. С ихпомощью мыможем проанализировать, когда распространяются заболевания, когда работают рынки, когда голосование приводит к благоприятным результатам икогда группы людей дают точные прогнозы. Навсе эти вопросы нет однозначных ответов.

Эта глава состоит издвух частей. Впервой описываются три типа моделей, вовторой рассматриваются области их применения— рассуждение, объяснение, прогнозирование, разработка, коммуникация, действие и исследование,— которые образуют акроним REDCAPE7 (reason, explain, design, communicate, act, predict, explore), нетакой ужтонкий намек нато, что многомодельное мышление наделяет нас сверхспособностями[1].

ТИПЫ МОДЕЛЕЙ

При построении модели придерживаются одного изтрех подходов. Можно использовать подход максимального воплощения, стремящийся к максимальной достоверности. Такие модели включают важные детали илибо исключают ненужные параметры исвойства, либо объединяют их. Поэтому принципу создаются модели экологических ниш, законодательной власти и транспортных систем, атакже климатические модели имодели головного мозга. Можно применить метод аналогий и абстрагироваться от реальности. Можно смоделировать распространение преступности поаналогии с распространением заболеваний, авыбор политической позиции считать одним из вероятных вариантов в диапазоне между левыми иправыми взглядами. Сферическая корова— излюбленный учебный пример метода аналогий: чтобы рассчитать площадь шкуры животного, мыисходим изтого, что корова имеет сферическую форму. Иделаем это потому, что таблицы интегралов вконце учебников по матанализу содержат такие значения, как tg(x) или cos(x), но неcow(x)[2].

Тогда как метод воплощения акцентируется на реалистичности, метод аналогий позволяет уловить суть процесса, системы или явления. Когда физик не учитывает трение, но в остальном исходит из реалистичных предположений, он использует метод воплощения. Когда экономист представляет конкурирующие компании как разные виды и определяет продуктовые ниши, онтоже проводит аналогию. Иделает это спомощью модели, разработанной для воплощения другой системы. Четкого разграничения между методом воплощения иметодом аналогий нет. Психологические модели процесса познания, вкоторых альтернативам присваиваются веса, сводят воедино дофаминовую реакцию идругие факторы; кроме того, они используют аналогию суровнем, накотором мыприводим альтернативы в равновесие.

Третий подход, метод альтернативной реальности, намеренно не представляет и неотражает реальность. Эти модели работают как аналитические и вычислительные игровые площадки, накоторых можно исследовать различные возможности. Метод позволяет обнаружить общие идеи, применимые за пределами физического и социального мира. Такие модели помогают понять последствия ограничений реального мира (ачто еслибы энергию можно было безопасно и эффективно передавать повоздуху?) или проводить неосуществимые эксперименты (ачто еслибы мы попытались развить головной мозг?). Вкниге описывается несколько подобных моделей, в частности игра «Жизнь», которая представляет собой плоскость (нечто вроде шахматной доски), разделенную наживые (черные) имертвые (белые) клетки, которые переходят изодного состояния вдругое согласно установленным правилам. Хотя эта модель нереалистична, она углубляет понимание сути самоорганизации, сложности и, как утверждают некоторые, даже самой жизни.

Чтобы ниделала модель— воплощала более сложную реальность, создавала аналогию или выстраивала вымышленный мир для исследования идей, она должна быть распространяемой иразрешимой, поддающейся описанию формальным языком, таким как математика или машинный код. При описании модели нельзя использовать такие термины, как убеждения ипредпочтения, без их формального определения. Убеждения могут быть представлены ввиде распределения вероятностей впределах множества событий или гипотез. Предпочтения— ввиде упорядоченного списка альтернатив или математической функции.

Степень разрешимости чего-либо говорит отом, насколько это поддается анализу. Впрошлом анализ опирался на математические или логические рассуждения. Автор модели должен был обосновывать каждый шаг. Такое ограничение привело к формированию эстетики, придававшей особое значение строгим моделям. Английский монах итеолог Уильям Оккам (1287–1347) писал: «Недолжно множить сущее без необходимости». Эйнштейн переформулировал этот принцип, известный как «бритва Оккама», так: «Все следует упрощать дотех пор, пока это возможно, но неболее того». Сегодня, столкнувшись с ограничением вплане аналитической разрешимости, можно прибегнуть к вычислениям. Мыможем создавать сложные модели со множеством меняющихся частей, незаботясь об их аналитической разрешимости. Ученые придерживаются такого подхода при построении моделей глобальной климатической системы, головного мозга, лесных пожаров и транспортных систем. Они по-прежнему прислушиваются ксовету Оккама, ноосознают, что принцип «все следует упрощать» может потребовать множества меняющихся параметров.

СЕМЬ ОБЛАСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

Внаучной литературе описаны десятки вариантов применения моделей. Мыже остановимся насеми: рассуждение, объяснение, прогнозирование, разработка, коммуникация, действие и исследование.

Области применения моделей (REDCAPE)

Рассуждение: определение условий ивывод логических следствий.

Объяснение: предоставление (поддающихся проверке) объяснений эмпирических явлений.

Разработка: выбор характеристик институтов, политик иправил.

Коммуникация: передача знаний и представлений.

Действие: обеспечение выбора политических альтернатив и стратегических действий.

Прогнозирование: получение численных и категорийных прогнозов будущих и неизвестных явлений.

Исследование: изучение возможностей игипотез.

REDCAPE: РАССУЖДЕНИЕ

При построении модели мывыделяем такие важные составляющие, как агенты иобъекты, наряду с соответствующими характеристиками, азатем описываем способы взаимодействия и объединения отдельных фрагментов, что позволяет определить, что изчего следует ипочему. Такой подход повышает эффективность наших рассуждений. Хотя полученные выводы зависят отисходных предположений, процесс рассуждений раскрывает нечто большее, чем тавтологии. Крайне редко можно получить весь спектр последствий наших предположений только изодного наблюдения— нужна еще и формальная логика. Логика позволяет раскрыть возможности и невозможности. С еепомощью можно установить точные ипорой неожиданные связи. Это позволяет обнаружить обусловленность интуитивных выводов.

Теорема Эрроу (теорема невозможности)— пример того, как логика раскрывает невозможное. Модель рассматривает вопрос отом, приводитли объединение индивидуальных предпочтений к формированию коллективного предпочтения. Предпочтения представлены вней ввиде упорядоченного списка альтернатив. Применительно кпяти итальянским ресторанам, обозначенным буквами отA доE, эта модель допускает любой из120 упорядоченных списков. Согласно введенным Эрроу требованиям, общий упорядоченный список должен быть монотонным (если каждый ставит всвоем списке Aвыше B, тоже происходит вобщем списке), независимым от посторонних альтернатив (если относительный ранг A иBвкаждом списке остается неизменным, аранг других альтернатив меняется, топорядок A иBвобщем упорядоченном списке неменяется) инедиктаторским (ниодин человек недолжен определять общий упорядоченный список альтернатив). Далее Эрроу доказывает, что если разрешены любые предпочтения, то коллективное упорядочение списка может и не существовать[3].

Кроме того, логика раскрывает парадоксы. Применение моделей позволяет продемонстрировать возможность ситуации, когда вкаждой подгруппе содержится более высокий процент женщин, чем мужчин, но вобщей совокупности наблюдается более высокий процент мужчин. Этот феномен известен как парадокс Симпсона. И он действительно имел место: в1973году Калифорнийский университет вБеркли зачислил на большинство факультетов больше студенток, чем студентов. Однако вцелом университет принял больше студентов мужского пола. Модели также показывают, что чередование двух проигрышных ставок может обеспечить положительный ожидаемый результат (Парадокс Паррондо); или что включение дополнительной вершины вграф позволяет сократить общую длину ребер, необходимых для соединения всех вершин[4].

Неследует отбрасывать эти примеры как математические новшества. Каждый изних имеет практическое применение: усилия по увеличению численности женщин могут иметь обратный эффект, сочетание проигрышных инвестиций способно обеспечить выигрыш, аобщую длину сети электрических линий, трубопроводов, Ethernet-линий или дорог можно сократить путем добавления дополнительных узлов.

Логика также раскрывает математические зависимости. Исходя изаксиом Эвклида, треугольник однозначно определяется любыми двумя углами истороной или любыми двумя сторонами иуглом. Стандартные предположения о поведении потребителей икомпаний позволяют сделать вывод, что нарынках сбольшим количеством конкурентов цена равна предельным издержкам. Некоторые результаты оказываются неожиданными, как вслучае парадокса дружбы, который гласит, что влюбой сети дружеских связей удрузей человека больше друзей, чем унего самого.

Этот парадокс объясняется тем, что уочень популярных людей больше друзей. Нарис.2.1 показана сеть дружеских связей вклубе карате, описанная Уэйном Закари. Учеловека, представленного черным кружком, шесть друзей, которые обозначены серыми кружками. Уего друзей всреднем семь друзей, отмеченных белыми кружками. Вцелом всети двадцать девять изтридцати четырех человек имеют друзей, которые пользуются большей популярностью, чем они сами[5]. Далее выувидите, что если сделать ряд других допущений, тодрузья большинства людей всреднем будут также более красивыми, добрыми, богатыми иумными, чем они сами.

Рис.2.1. Парадокс дружбы: удрузей человека больше друзей, чем унего самого

И последнее, самое важное: логика раскрывает обусловленность истины. Политик может утверждать, что снижение налогов увеличивает налоговые поступления в государственный бюджет, стимулируя экономический рост. Простейшая модель, вкоторой доход исчисляется как произведение налоговой ставки науровень дохода, доказывает, что объем налоговых поступлений увеличивается только вслучае, если процентный рост дохода превышает процентное сокращение налогов[6]. Следовательно, 10-процентное снижение подоходного налога увеличит объем налоговых поступлений только тогда, когда приведет к повышению уровня доходов более чем на10процентов. Логические рассуждения политика верны лишь при некоторых условиях, которые позволяют определить модели.

Сила обусловленности становится очевидной при сопоставлении утверждений, полученных спомощью моделей, и описательных утверждений, пусть иимеющих эмпирическое обоснование. Рассмотрим управленческую поговорку «впервую очередь самое важное», смысл которой сводится ктому, что при наличии множества задач прежде всего нужно решать самую важную. Это правило также известно как «сначала крупные камни», поскольку, складывая введро камни разных размеров, сначала выдолжны уложить большие камни, потому что если первыми сложить мелкие камни, токрупные могут не поместиться.

Правило «сначала крупные камни», выведенное наоснове экспертных наблюдений, может быть верным в большинстве случаев, нооно не безусловно. Подход, основанный на применении моделей, вывелбы оптимальное правило, исходя из конкретных предположений озадаче. Взадаче обупаковке в контейнеры множество предметов разных размеров (или сразным весом) необходимо уложить в контейнеры определенного объема, использовав при этом как можно меньше контейнеров. Представьте, что вы упаковываете вещи изсвоей квартиры и складываете их вкоробки размером примерно 60×60сантиметров. Упорядочить вещи поразмеру иположить каждую изних впервую коробку с достаточным объемом (метод, известный как алгоритм первого подходящего)— весьма эффективный подход. Иправило «сначала крупные камни» здесь вполне применимо. Однако предположим, что мы рассматриваем более сложную задачу: выделить место на Международной космической станции для исследовательских проектов. Укаждого проекта есть вес полезного груза, размер и требования ксистеме электропитания наряду с требованиями ковремени и когнитивным способностям астронавтов. Кроме того, каждый исследовательский проект вносит определенный научный вклад. Даже еслибы мы установили какой-либо показатель значимости как взвешенное среднее всех этих характеристик, правило «сначала крупные камни» не сработало бы, учитывая размерность взаимозависимостей. Вданном случае гораздо лучше работалибы более сложные алгоритмы и, возможно, рыночные механизмы[7]. Таким образом, при одних условиях правило «сначала крупные камни» эффективно, тогда как при других нет. Применение моделей позволяет выяснить, когда целесообразно сначала складывать крупные камни, акогда нет.

Критики формального подхода заявляют, что модели просто переформатируют то, что нам уже известно, что они наливают старое вино в сверкающие математические бутылки, что нам ненужна модель для понимания того, что две головы лучше одной ичто промедление смерти подобно. Мыможем осознать ценность самоотверженности, прочитав историю отом, как Одиссей привязал себя кмачте корабля. Такая критика непризнает того факта, что выводы, сделанные спомощью моделей, принимают условную форму: если условие Aвыполняется, то наступает следствие B(например, если вы складываете что-то в контейнеры иразмер— единственное ограничение, укладывайте сначала самые крупные предметы). Уроки, почерпнутые из литературы, или общеизвестные советы великих мыслителей вомногих случаях несодержат никаких условий. Пытаясь жить или управлять другими людьми согласно безусловным правилам, мы потеряемся вморе противоположных поговорок. Действительноли две головы лучше одной? Или усеми нянек дитя без глазу?

Поговорка	Противоположная поговорка
Одна голова— хорошо, адве лучше	У семи нянек дитя без глазу
Промедление смерти подобно	Семь раз отмерь, один раз отрежь
Привяжи себя кмачте	Не загоняй себя вугол
Лучшее— враг хорошего	Делай работу хорошо или неделай еевовсе
Дела говорят громче слов	Перо сильнее меча

Противоположных поговорок множество, авот противоположных теорем небывает. Спомощью моделей мыделаем предположения и доказываем теоремы. Две теоремы, которые расходятся в отношении оптимальных действий, дают разные прогнозы или предлагают несовпадающие объяснения, скорее всего, исходят изразных предположений.

REDCAPE: ОБЪЯСНЕНИЕ

Модели дают четкое логическое объяснение эмпирических явлений. Экономические модели объясняют динамику цен ирыночной доли. Физические— скорость падающих предметов иформу траекторий. Биологические— распределение видов. Эпидемиологические— скорость ихарактер распространения заболеваний. Геофизические— распределение очагов землетрясений поразмерам.

Модели способны объяснить выраженные впунктах показатели и изменение ихзначений. В частности, модель может объяснить нынешнюю цену фьючерсов насвиную грудинку ипричины роста цен нанее за последние шесть месяцев. Модель может также объяснить, почему президент назначает на должность судьи Верховного суда человека с умеренными взглядами ипочему тот или иной кандидат склоняется всторону левых или правых. Кроме того, модели объясняют форму: модели распространения идей, технологий иболезней дают S-образную кривую принятия (или распространения).

Модели, которые мыизучаем врамках курса физики, такие как закон Бойля-Мариотта (модель, которая гласит, что произведение давления газа наего объем есть величина постоянная PV= k), объясняют различные явления непостижимо хорошо[8]. Зная начальные объем идавление, мыможем вычислить постоянную k, азатем объяснить или спрогнозировать давление Pкак функцию V иk: P= k/V. Точность модели обусловлена тем фактом, что газы состоят из огромного количества простых частиц, которые следуют фиксированным правилам: любые две молекулы газа, помещенные в идентичную среду, подчиняются одним итемже физическим законам. Таких молекул настолько много, что статистическое усреднение исключает любую случайность. Большинству социальных явлений не свойственна ниодна изэтих характеристик: социальные агенты неоднородны, взаимодействуют в небольших группах и не подчиняются твердым правилам. Ктомуже люди умеют думать. Более того, они попадают под влияние социальной среды, азначит, вариации их поведения могут небыть взаимно скомпенсированы. Поэтой причине социальные явления гораздо менее предсказуемы, чем физические[9].

Наиболее эффективные модели объясняют как очевидные, так и неожиданные результаты. Классические модели рынков могут объяснить, почему непредвиденное повышение спроса наобычный товар, такой как обувь или картофельные чипсы, приводит кросту цен в краткосрочной перспективе— это интуитивно понятный результат. Этиже модели объясняют, почему увеличение спроса в долгосрочной перспективе меньше сказывается наценах, чем предельные издержки производства товара. Увеличение спроса может даже привести кснижению цен вследствие повышения рентабельности засчет роста масштабов производства— более неожиданный результат. Теже модели могут объяснить парадоксы, например, почему алмазы, не представляющие большой практической ценности, настолько дороги, авода, столь необходимая для выживания, такая дешевая.

Что касается утверждения, что модели могут объяснить все что угодно, тоэто правда, так иесть. Вместе стем объяснение, полученное наоснове модели, включает исходные предположения ичетко обозначенные причинно-следственные связи, которые могут быть преобразованы вданные. Модель, гласящая, что высокий уровень преступного поведения можно объяснить низкой вероятностью разоблачения, поддается проверке.

REDCAPE: РАЗРАБОТКА

Модели облегчают процесс разработки, обеспечивая концептуальные схемы, врамках которых можно проанализировать последствия сделанного выбора. Инженеры используют модели для проектирования цепей поставок. Программисты— для разработки интернет-протоколов. Социологи— для создания институтов.

Виюле 1993года группа экономистов собралась в Калифорнийском технологическом институте вПасадене для подготовки аукциона по распределению радиочастот для мобильной связи. Впрошлом правительство предоставляло право на использование радиочастотного спектра крупным компаниям за умеренную плату. Всеобщий закон об урегулировании бюджетных противоречий 1993года включал положение, разрешавшее проводить такие аукционы сцелью сбора средств.

Учитывая, что радиосигнал свышки охватывает определенную территорию, правительство намеревалось продавать лицензии по конкретным регионам: Западная Оклахома, Северная Калифорния, Массачусетс, Восточный Техас итак далее. Это вызвало вопросы кформату проведения аукциона. Стоимость любой лицензии для компании зависела отдругих полученных еюлицензий. Например, лицензия начастоты вЮжной Калифорнии обошласьбы компании, имеющей лицензию начастоты вСеверной Калифорнии, дороже. Экономисты называют такие взаимозависимые оценки экстерналиями, или внешними эффектами. Вданном примере у экстерналий были две основные причины: строительство иреклама. Владение лицензиями начастоты всоседних регионах означало снижение затрат на строительство и возможность использования перекрывающихся медиарынков.

Экстерналии создавали проблему с проведением одновременных аукционов. Компания, пытающаяся получить пакет лицензий, могла проиграть одну лицензию другому участнику аукциона, соответственно, утратить экстерналии и в результате отказаться отсвоих заявок надругие лицензии. У последовательных аукционов был другой недостаток. Напервых аукционах участники торгов могли предлагать заниженную цену, чтобы застраховаться отпотери лицензий на следующих аукционах.

Предполагалось, что эффективный формат проведения аукциона должен обеспечивать выгодный результат, быть защищенным от стратегических манипуляций ипонятен участникам торгов. Экономисты использовали модели теории игр, чтобы определить, могутли стратегически действующие участники торгов использовать свойства аукциона всвоих интересах, модели компьютерной симуляции для сравнения эффективности различных форматов аукциона и статистические модели для выбора параметров экспериментов с реальными людьми. Окончательный формат (многораундовый аукцион, который позволял его участникам отзывать заявки изапрещал пропускать первые этапы, чтобы скрыть свои намерения) оказался успешным. На протяжении последних тридцати лет Федеральная комиссия по средствам связи собрала на аукционах такого типа почти 60миллиардов долларов[10].

REDCAPE: КОММУНИКАЦИЯ

Создавая общее представление, модели улучшают коммуникацию. Модели требуют формального описания соответствующих характеристик и их взаимосвязей, что обеспечивает точную передачу информации. Модель F= maсоотносит три измеримые величины— силу (F), массу (m) и ускорение (a), делая это вформе уравнения, каждый член которого выражен в измеримых единицах, информацию окоторых можно распространять, неопасаясь ошибочного толкования. Напротив, утверждение, что «более крупные, быстрые объекты генерируют больше мощности», обеспечивает гораздо более низкую степень точности. Многое теряется при переводе. Более крупный означает вес или размер? Более быстрый— имеется ввиду скорость или ускорение? Мощность— это энергия или сила? Икак соединяется более крупное ибыстрое, чтобы генерировать мощность? Попытки формализовать это утверждение могут привести к получению ряда формул; при этом мощность может быть некорректно описана как вес плюс скорость (P= w+ v), как вес умножить наскорость (P= wv) или как вес плюс ускорение (P= w+ a).

При формальном описании абстрактных концепций (таких как политическая идеология) спомощью воспроизводимой методики они приобретают некоторые свойства, аналогичные физическим параметрам, таким как масса и ускорение. Мыможем использовать туили иную модель, чтобы сказать, что один политик более либерален, чем другой, на основании их голосования. Затем можем точно сформулировать и распространить это утверждение. Либеральность хорошо поддается определению и количественному измерению. Кто-то может применить аналогичный метод для сравнения других политиков. Безусловно, данные о результатах голосования не единственный показатель либеральности. Мыможем сконструировать еще одну модель, определяющую идеологию наоснове текстового анализа речей. В комбинации спервой она позволит четко обозначить, что мыимеем ввиду, говоря оболее либеральных взглядах.

Многие недооценивают влияния коммуникации напрогресс. Идея, которую нельзя распространить, подобна упавшему дереву влесу, где этого никто незаметит. Поразительный экономический рост вэпоху Просвещения был в значительной мере обусловлен возможностью передачи знаний, нередко вформе моделей. Фактически данные указывают нато, что возможность передачи идей скорее объяснялась экономическим ростом, чем уровнем образования: развитие городов воФранции XVIII столетия вбольшей степени соотносится с количеством подписок на«Энциклопедию» Дидро, чем суровнем грамотности[11].

REDCAPE: ДЕЙСТВИЕ

Фрэнсис Бэкон писал: «Величайший итог жизни— незнание, адействие». Эффективные действия требуют эффективных моделей. Все правительства, корпорации и некоммерческие организации используют модели вкачестве руководства кдействию. Будь то повышение или снижение цен, открытие нового магазина, поглощение компании, обеспечение всеобщего доступа к медицинскому обслуживанию или финансирование программы внеклассного обучения— вовсех этих случаях лица, принимающие решения, полагаются намодели. Для самых важных действий ответственные запринятие решений используют модели высокой сложности. Модели связаны сданными.

В2008году врамках программы поспасению проблемных активов (Troubled Asset Relief Program, TARP) Федеральная резервная система США выделила 182миллиарда долларов финансовой помощи наспасение транснациональной страховой компании American International Group (AIG) от банкротства. Поданным министерства финансов США, правительство предпочло стабилизировать ситуацию вAIG, «поскольку ее банкротство вовремя финансового кризиса имелобы катастрофические последствия для нашей финансовой системы и экономики»[12]. Целью этой финансовой помощи было неспасение компании AIG как таковой, а поддержка финансовой системы вцелом. Вконце концов, компании терпят крах каждый день, но правительство не вмешивается[13].

Конкретные решения, принятые врамках программы TARP, основывались намоделях. Нарис.2.2 представлен один из вариантов сетевой модели, разработанной Международным валютным фондом. Вершины графа (кружки) представляют финансовые учреждения. Ребра графа (линии между кружками) отражают корреляцию между стоимостью активов этих учреждений. Цвет иширина ребра соответствуют степени корреляции между учреждениями: более темные иширокие линии означают более высокую степень корреляции[14].

Рис.2.2. Граф корреляций между финансовыми учреждениями

Компания AIG занимает центральное место вэтой сети, поскольку предоставляла услуги страхования другим компаниям и обязывалась им заплатить вслучае, если ихактивы потеряют стоимость. Из-за падения курса акций AIG былабы должна этим компаниям деньги. Следовательно, ее банкротство повлеклобы засобой и банкротство связанных сней компаний, что моглобы привести ккаскаду банкротств. Стабилизация положения AIG позволила правительству поддержать рыночную стоимость активов других компаний, входящих всеть[15].

Рис.2.2 также помогает объяснить, почему правительство допустило банкротство Lehman Brothers. Lehman Brothers незанимала центрального места всети. Повернуть историю вспять невозможно, поэтому нам недано знать, предпринялали Федеральная резервная система правильные действия. Однако мызнаем, что банкротство Lehman Brothers непривело кколлапсу всей финансовой отрасли. Нам также известно, что правительство заработало 23миллиарда долларов прибыли назайме компании AIG. Следовательно, мыможем сделать вывод, что выбор политики (основанный на многомодельном мышлении) небыл провальным.

Модели, выступающие вкачестве руководства кдействию (такие как модели политики), часто полагаются наданные, ноэто касается невсех моделей. В большинстве моделей политики также используется математика, хотя так было невсегда. Впрошлом политические деятели создавали и физические модели. Гидравлическая модель британской экономики Филлипса использовалась для анализа политических альтернатив всередине ХХвека, а физическая модель залива Сан-Франциско сыграла ключевую роль врешении оботказе от строительства внем дамбы для создания резервуара пресной воды[16]. Модель экспериментальной станции водных путей площадью около 80 гектаров вбассейне реки Миссисипи возле города Клинтон— миниатюрная копия бассейна реки, построенная в горизонтальном масштабе 1:100. Эта модель позволяет проверить воздействие строительства новых плотин и резервуаров на территорию вверх ивниз потечению реки. Впределах этой физической системы сбрасываемая вода подчиняется физическим законам. Втаких физических моделях объекты сами посебе являются аналогами объектов реального мира. Подобные модели логичны, поскольку подчиняются законам физики.

Вовсех представленных примерах речь шла об организациях, использующих модели вкачестве руководства кдействию. Нолюди могут делать тоже самое. При принятии важных решений вличной жизни мытоже должны применять модели. Входе размышлений опокупке дома, переходе нановую работу, поступлении в магистратуру, покупке или аренде автомобиля мыможем использовать модели как основу. Ихотя эти модели будут скорее качественными, чем опирающимися наданные, они все равно заставят нас задавать правильные вопросы.

REDCAPE: ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Модели давно используются для прогнозирования. Метеорологи, консультанты, гандикаперы и руководители центральных банков составляют с ихпомощью прогнозы. Полиция и спецслужбы используют ихдля прогнозирования преступного поведения. Эпидемиологи— для прогнозирования того, какой штамм гриппа получит самое широкое распространение в предстоящем эпидемическом сезоне. Поскольку данные стали доступнее и детализированнее, эта область применения моделей расширилась. Ленты вTwitter и инструменты поиска в интернете применяются для прогнозирования предпочтений потребителей и социальных волнений.

Модели позволяют прогнозировать как отдельные события, так иобщие тенденции. Первого июня 2009года самолет авиакомпании Air France, выполнявший рейс AF447 помаршруту Рио-де-Жанейро— Париж, потерпел крушение над Атлантическим океаном. В следующие нескольких дней после катастрофы спасатели находили плавающие обломки авиалайнера, но несмогли обнаружить фюзеляж. Виюле аккумуляторы акустических маяков самолета разрядились, ипоиски были прекращены. Проведенная год спустя вторая поисковая операция, организованная Океанографическим институтом Вудс-Хоул сучастием кораблей ВМФ США, оборудованных гидролокаторами бокового обзора, атакже автономных глубоководных аппаратов, тоже недала результатов. Витоге французское бюро по расследованию ианализу безопасности гражданской авиации обратилось кмоделям. Специалисты бюро применили вероятностные модели для анализа океанических течений и обнаружили небольшую прямоугольную область, где с наибольшей вероятностью мог находиться фюзеляж. Спомощью прогноза, составленного на основании этой модели, поисковые команды втечение недели нашли обломки самолета[17].

Впрошлом объяснение и прогнозирование, как правило, были тесно связаны. Электротехнические модели, которые объясняют картину распределения напряжения, также могут прогнозировать напряжение. Пространственные модели, объясняющие результаты прошлых голосований, позволяют прогнозировать результаты будущих голосований. В, пожалуй, самом знаменитом примере использования объяснительной модели для прогнозирования французский математик Урбен Леверье применил законы Ньютона, объясняющие движение планет, для анализа отклонений орбиты Урана. Ипришел квыводу, что орбиты планет указывают на присутствие большой планеты вовнешней области Солнечной системы. Леверье отправил свой прогноз в Берлинскую обсерваторию 18сентября 1846года, ачерез пять дней астрономы обнаружили планету Нептун именно там, где и предсказывал математик.

Вместе стем прогнозирование отличается от объяснения. Модель может прогнозировать, но не объяснять. Алгоритмы глубокого обучения позволяют прогнозировать продажи продуктов, погоду назавтра, тенденции изменения цен и некоторые показатели состояния здоровья, номало что предлагают вплане объяснения. Такие модели напоминают собак, вынюхивающих бомбы. Хотя обонятельная система собаки способна определить, естьли взрывчатые вещества впакете, нестоит искать объяснений усобаки, почему бомба там оказалась, как она работает икак ее обезвредить.

Обратите также внимание, что другие модели, наоборот, могут давать объяснения, но не представлять особой ценности сточки зрения прогнозирования. Модели тектоники плит объясняют, как возникают землетрясения, но не предсказывают, когда они произойдут. Модели динамических систем объясняют возникновение ураганов, но не позволяют успешно прогнозировать, когда сформируется ураган икаким будет его траектория движения. А экологические модели, хотя имогут объяснить закономерности видообразования, неспособны прогнозировать появление новых видов[18].

REDCAPE: ИССЛЕДОВАНИЕ

Инаконец, модели можно использовать для проверки интуитивных выводов и возможностей. Такие исследования могут быть связаны скурсом действий: ачто если сделать все городские автобусы бесплатными? Что если позволить студентам выбирать, откаких заданий будет зависеть ихитоговая оценка закурс обучения? Что если установить нагазонах таблички с указанием их энергопотребления? Каждое изэтих гипотетических предположений можно проанализировать спомощью моделей. Кроме того, модели будут полезны при изучении нереальной среды. Что еслибы Ламарк был прав и приобретенные признаки могли передаваться потомству, чтобы детям родителей, прошедших ортодонтическую коррекцию зубов, ненужны были брекеты? Как былбы устроен такой мир? Постановка этого вопроса ианализ вытекающих изнего следствий позволяет определить границы эволюционных процессов. Устранение ограничений реальности может стимулировать креативность. Поэтой причине сторонники движения критического дизайна прибегают к умозрительным построениям для генерации новых идей[19].

Иногда исследование сводится к сопоставлению распространенных допущений вразных областях. Для того чтобы понять сетевой эффект, специалист по моделированию может сформировать совокупность условных сетевых структур, азатем выяснить, влияетли сетевая структура на кооперацию, распространение болезней или социальные волнения, иесли да, токаким образом. Кроме того, онможет применить совокупность моделей обучения кпроцессу принятия решений ииграм сдвумя или несколькими участниками. Цель таких действий не в объяснении, прогнозировании или разработке, а визучении иобучении.

Применять туили иную модель напрактике можно любым из нескольких способов. Одна итаже модель может объяснять, прогнозировать и выступать вкачестве руководства кдействию. Рассмотрим следующий пример: 14августа 2003года обвисшие ветви склонившихся над линиями электропередач возле Толедо (штат Огайо) деревьев стали причиной локального прекращения подачи электроэнергии, которое распространилось, когда из-за сбоя программного обеспечения техники несмогли передать предупреждение о необходимости перераспределения электроэнергии. Втот день более 50миллионов жителей северо-восточных районов США иКанады остались без электричества. Втомже году буря вывела изстроя линию электропередачмежду Италией и Швейцарией, оставив без электричества 60миллионов европейцев. Инженеры иученые обратились кмоделям, вкоторых энергосистема представлена как сеть. Иэти модели помогли объяснить, как происходили сбои, позволили составить прогнозы, вкаких регионах сбои наиболее вероятны, истали руководством кдействию, определив места, где новые линии электропередач, трансформаторы и электростанции могли повысить надежность электросети. Использование одной модели для множества целей станет лейтмотивом этой книги. Как мыувидим далее, этот принцип дополняет ееосновную тему: использование множества моделей для осмысления сложных явлений.

Нет ничего менее реального, чем реализм. Детали вводят в заблуждение. Только путем отбора, исключения, акцента мы постигаем истинный смысл вещей.

Джорджия О’Кифф

Вэтой главе мынаучно обоснуем эффективность многомодельного подхода. Иначнем стеоремы Кондорсе ожюри присяжных итеоремы опрогнозе разнообразия, которые содержат поддающиеся количественной оценке аргументы впользу ценности множества моделей как помощников впринятии решений, прогнозировании и объяснении. Однако эти теоремы могут преувеличивать такие аргументы. Чтобы объяснить, почему, мы обратимся кмоделям категоризации, которые делят мир наблоки. Применение моделей категоризации покажет, что построение множества моделей может оказаться более сложной задачей, чем мы предполагали. Использование этогоже класса моделей позволит нам обсудить степень их детализации (насколько точными они должны быть), атакже решить, применятьли одну большую модель или несколько маленьких. Выбор будет зависеть отобласти применения. При прогнозировании мычасто стремимся действовать сразмахом. Вслучае объяснения разумнее руководствоваться принципом «чем меньше, тем лучше».

Этот вывод решает одну давнюю проблему. Напервый взгляд может показаться, что многомодельное мышление требует изучения большого количества моделей. Хотя нам действительно нужно освоить некоторые модели, их нетак много, как выдумаете. Нам непридется изучать сто или даже пятьдесят моделей, поскольку они обладают важным свойством, известным как «один комногим». Мыможем применять одну итуже модель вразных ситуациях, введя новые переменные, параметры иизменив допущения. Это свойство вкакой-то мере противоречит идее многомодельного мышления. Использование модели вновой области требует креативности, открытости разума и скептицизма. Мыдолжны признать, что некаждая модель подходит для решения любой задачи. Если модель неможет объяснить, спрогнозировать или помочь нам рассуждать, еенужно исключить из рассмотрения.

Навыки, необходимые для использования одной модели вомногих областях, отличаются от математических и аналитических способностей, наличие которых многие считают обязательным условием для достижения успеха в моделировании. Процесс использования одной модели вомногих областях подразумевает творческий подход. Прежде всего задайте себе вопрос: «Сколько областей применения ямогу найти для модели случайного блуждания?» Чтобы вымогли составить представление отом, какие формы может принимать креативность, вконце главы мы используем геометрическую формулу площади иобъема вкачестве модели иприменим еедля объяснения размера супертанкеров, критики индекса массы тела, прогноза масштабирования метаболизма и объяснения, почему так мало женщин-руководителей.

МНОЖЕСТВО МОДЕЛЕЙ КАК НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЕВ ЛЖИ

Теперь обратимся кмоделям, которые помогают раскрыть преимущества многомодельного мышления. И представим в их контексте две теоремы: теорему Кондорсе ожюри присяжных итеорему опрогнозе разнообразия. Теорема Кондорсе ожюри присяжных основана намодели, созданной для объяснения преимуществ принципа большинства. В соответствии сней присяжные принимают бинарное решение о виновности или невиновности подсудимого. Каждый присяжный восновном выносит правильное решение. Чтобы применить эту теорему к совокупности моделей, а нечленов жюри присяжных, мы интерпретируем принятие решения каждым присяжным как классификацию согласно той или иной модели. Вкачестве классов могут выступать действия (купить или продать) или прогнозы (победителем станет представитель демократической или республиканской партии). Далее теорема указывает нато, что конструирование множества моделей и применение принципа большинства обеспечит более высокий уровень точности, чем при использовании одной измоделей данного множества. Модель опирается наконцепцию состояния мира— полное описание всей значимой информации. Для жюри присяжных состояние мира складывается из доказательств, представленных всуде. Для моделей, которые оценивают социальный вклад благотворительного проекта, оно может представлять команду проекта, организационную структуру, план проведения мероприятий и особенности проблемы или ситуации, которую должен решить проект.

Теорема Кондорсе ожюри присяжных

Каждый из нечетного количества людей (моделей) классифицирует неизвестное состояние мира как истинное или ложное. Каждый человек (модель) классифицирует правильно с вероятностью вероятность того, что другой человек (модель) выполнит правильную классификацию, статистически независима от правильности классификации любого другого человека (модели).

Теорема Кондорсе ожюри присяжных: большинство голосов обеспечивают правильную классификацию сболее высокой вероятностью, чем любой отдельный человек (модель), а помере увеличения количества членов жюри (моделей) точность решения, принятого большинством, приближается к100процентам8.

Эколог Ричард Левинс объясняет, как применить логику этой теоремы к многомодельному подходу: «Мыпытаемся решить одну итуже задачу спомощью ряда альтернативных моделей сразными упрощениями, нообщим биологическим предположением. Втаком случае, если эти модели, несмотря наразличие исходных предположений, приводят к аналогичным результатам, мыимеем то, что можно назвать устойчивой теоремой, относительно свободной отдеталей модели. Следовательно, истина находится на пересечении независимых случаев лжи»[1]. Обратите внимание, что здесь Левинс рассчитывает наединство классификации. Когда многие модели дают одну итуже классификацию, наша уверенность должна повыситься.

Следующая теорема, опрогнозе разнообразия, применима кмоделям, которые делают численные прогнозы или оценки. Она количественно оценивает влияние точности моделей и их разнообразия наточность ихсреднего[2],9.

Теорема опрогнозе разнообразия

Погрешность множества моделей= средняя погрешность модели— разнообразие прогнозов моделей

где Mi— это прогноз i-й модели, — среднее значений моделей, аV— истинное значение.

Теорема опрогнозе разнообразия описывает математическое тождество. Нам ненужно его проверять— оно всегда справедливо. Вот пример. Две модели прогнозируют количество «Оскаров», которые присудят одному изфильмов. Одна модель предсказывает два «Оскара», адругая— восемь. Среднее значение прогнозов двух моделей (прогноз наоснове множества моделей) равно пяти. Если насамом деле фильм получит четыре «Оскара», то квадратичная погрешность прогноза первой модели будет равна 4(2вквадрате), второй— 16 (4 вквадрате), а множества моделей— 1. Разнообразие прогностических моделей составляет 9, поскольку прогноз каждой модели отличается отсреднего прогноза на3. Втаком случае теорему опрогнозе разнообразия можно записать так: 1 (погрешность множества моделей)= 10 (средняя погрешность моделей)– 9 (разнообразие прогностических моделей).

Логика этой теоремы опирается на противоположные (плюсы иминусы) взаимоисключающие типы погрешностей. Если одна модель прогнозирует слишком высокое значение, адругая— слишком низкое, тоэти модели демонстрируют разнообразие прогнозов. Обе погрешности исключают друг друга, асреднее значений моделей будет точнее, чем значение каждой модели в отдельности. Даже если оба прогнозируемых значения слишком высоки, ошибка среднего этих прогнозов все равно будет небольше, чем средняя двух завышенных прогнозов.

Изтеоремы неследует, что совокупность различных моделей обеспечивает точную картину. Если всем моделям свойственна общая систематическая ошибка, то исреднее тоже будет ее содержать. Данная теорема подразумевает, что любая совокупность различных моделей (или людей) будет точнее, чем средний член этой совокупности— феномен, известный как «мудрость толпы». Этот математический факт объясняет эффективность ансамблевых методов в информатике, которые выводят среднее множества классификаций, атакже то, что люди, использующие в рассуждениях множество моделей и концептуальных схем, делают более точные прогнозы по сравнению стеми, кто ориентируется лишь на отдельные модели. Любой однобокий взгляд намир упускает важные детали и оставляет белые пятна. Утаких людей меньше шансов предвидеть крупные события, такие как крах рынка или арабская весна 2011года[3].

Обе теоремы приводят убедительные аргументы впользу применения множества моделей, покрайней мере в контексте прогнозирования. Однако порой эти аргументы излишне убедительны. Теорема Кондорсе подразумевает, что при достаточном количестве моделей мыбы практически никогда не ошибались, атеорема опрогнозе— что формирование разнопланового множества умеренно точных моделей прогнозирования позволилобы нам свести погрешность множества моделей практически кнулю. Однако, как мыувидим далее, наша способность строить множество разноплановых моделей не беспредельна.

МОДЕЛИ КАТЕГОРИЗАЦИИ

Чтобы объяснить, почему обе теоремы могут преувеличивать аргументы впользу многомодельного подхода, прибегнем кмоделям категоризации, которые обеспечивают микрообоснования теоремы Кондорсе ожюри присяжных иделят состояния мира на непересекающиеся блоки. Эти модели восходят кэпохе античности. Всвоем труде The Categories10 Аристотель выделил десять атрибутов, втом числе такие как субстанция, количество, место иположение, которые использовал для разделения мира на категории. Каждая комбинация этих атрибутов образует отдельную категорию.

Мы используем категории каждый раз, когда употребляем нарицательное существительное. «Брюки»— это категория, также как «собаки», «ложки», «камины» и«летние каникулы». Нам свойственно использовать категории вкачестве руководства кдействию. Мы распределяем рестораны по национальному признаку (итальянские, французские, турецкие или корейские), чтобы выбрать, где пообедать. Классифицируем акции по отношению рыночной цены акции кчистой прибыли наодну акцию ипродаем малодоходные акции. Используем категории для объяснения тех или иных явлений— как вслучае с утверждением, что численность населения Аризоны возросла, потому что вэтом штате благоприятные погодные условия. Кроме того, категории применяются для прогнозирования: мыможем предсказать, что у кандидата на государственную должность, имеющего военный опыт, более высокие шансы напобеду.

Мыможем интерпретировать вклад моделей категоризации врамках иерархии мудрости. Объекты образуют данные. Группирование объектов по категориям порождает информацию. Определение оценок по категориям требует знаний. Для критического анализа теоремы Кондорсе мы полагаемся намодель бинарной категоризации, которая делит объекты или состояния мира надве категории— «виновен» и«невиновен». Основная идея состоит втом, что количество соответствующих атрибутов ограничивает число отдельных вариантов категоризации, азначит, ичисло полезных моделей.

Модели категоризации

Существует множество объектов или состояний мира, каждое изкоторых определяется множеством атрибутов иимеет тоили иное значение. Модель категоризации М делит эти объекты или состояния наконечное множество категорий {S1, S2, …, Sn} наоснове атрибутов объекта и присваивает оценки {M1, M2, …, Mn} каждой категории.

Представьте, что унас есть сто заявок на получение студенческого кредита, половина изкоторых были погашены, аполовина— нет. Покаждому кредиту нам известны две детали: превышалли его размер 50000долларов и специализировалсяли его получатель в инженерном деле или в гуманитарных науках. Это иесть два атрибута. С ихпомощью мыможем выделить четыре типа кредитов: крупные кредиты студентам со специализацией «инженерное дело», мелкие кредиты студентам со специализацией «инженерное дело», крупные кредиты студентам со специализацией «гуманитарные науки» имелкие кредиты студентам со специализацией «гуманитарные науки».

Модель бинарной категоризации классифицирует каждый изчетырех типов кредитов как выплаченный или невыплаченный. Одна модель может классифицировать мелкие кредиты как выплаченные, акрупные как невыплаченные. Другая может классифицировать кредиты студентам со специализацией «инженерное дело» как погашенные, а студентам со специализацией «гуманитарные науки» как непогашенные. Вполне вероятно, что каждая изэтих моделей может быть правильной более чем вполовине случаев ичто эти две модели могут быть практически независимы друг отдруга. Проблема возникает при попытке создать больше моделей. Существуют только шестнадцать уникальных моделей, которые соотносят четыре категории сдвумя возможными исходами. Две классифицируют все кредиты как выплаченные или невыплаченные, укаждой из оставшихся четырнадцати есть полная противоположность. Всякий раз, когда модель обеспечивает правильную классификацию, ее противоположный вариант дает неправильную классификацию. Таким образом, изчетырнадцати возможных моделей максимум семь могут быть правильными более чем вполовине случаев. Иесли таили иная модель окажется правильной ровно вполовине случаев, тоже произойдет ис ее противоположностью.

Размерность наших данных ограничивает количество моделей, которые мыможем создать. Унас может быть максимум семь моделей. Мы неможем построить одиннадцать независимых моделей, неговоря уже о семидесяти семи. Даже еслибы унас были данные сболее высокой размерностью (например, еслибы мызнали возраст, средний балл, доход, семейное положение иадрес получателей кредита), категоризация, основанная наэтих атрибутах, должна обеспечивать точные прогнозы. Каждое подмножество атрибутов должно быть релевантным тому, погашенли кредит, и не связанным сдругими атрибутами. Вобоих случаях речь идет осильных предположениях. Например, если между адресом, семейным положением идоходом наблюдается корреляция, томодели, вкоторых эти атрибуты поменяны местами, тоже должны коррелировать[4]. Вслучае строгой вероятностной модели независимость кажется обоснованной: разные модели порождают разные ошибки. Объяснение этой логики спомощью моделей категоризации позволяет осознать сложность построения множества независимых моделей.

Попытки формирования совокупности разноплановых, точных моделей сопряжены с аналогичной проблемой. Предположим, нам нужно создать ансамбль моделей категоризации, прогнозирующих уровень безработицы впятистах городах среднего размера. Точная модель должна разделить города на категории таким образом, чтобы врамках одной категории вних наблюдался схожий уровень безработицы. Кроме того, модель должна точно прогнозировать безработицу вкаждой категории. Для того чтобы две модели обеспечивали разные прогнозы, они должны по-разному делить города на категории, по-разному составлять прогнозы, или ито идругое. Хотя эти два критерия не противоречат друг другу, могут возникнуть трудности с их удовлетворением. Если один вариант категоризации основан насреднем уровне образования, адругой— насреднем уровне дохода, они могут обеспечивать разбиение на аналогичные категории. Тогда обе модели будут точными, но не разнообразными. Формирование двадцати шести категорий с использованием первой буквы названия каждого города обеспечит разноплановую категоризацию, но, повсей вероятности, непозволит создать точную модель. Поэтому здесь снова напрашивается вывод, что напрактике количество элементов «множества» обычно ближе кпяти, чем к пятидесяти.

Результаты эмпирических исследований прогнозирования согласуются сэтим выводом. Хотя увеличение числа моделей повышает уровень точности (как идолжно быть согласно теоремам), после формирования группы моделей предельный вклад каждой изних снижается. Вкомпании Google обнаружили, что привлечение одного интервьюера для оценки кандидатов на вакантную должность (вместо случайного выбора) повышает вероятность найма высококвалифицированного сотрудника с50 до74процентов, привлечение второго интервьюера повышает эту вероятность до81процента, привлечение третьего интервьюера— до84процентов, а четвертого— до86процентов. Наличие двадцати интервьюеров повышает вероятность всего до90процентов с небольшим. Это указывает на ограничение предельного количества значимых способов оценки потенциального сотрудника.

Аналогичный вывод справедлив ипри оценке десятков тысяч прогнозов экономистов в отношении безработицы, экономического роста иинфляции. Вэтом случае следует рассматривать экономистов как модели. Включение второго экономиста повышает точность прогноза примерно на8процентов, еще два экономиста повышают его на12процентов, аеще три— более чем на15процентов. Десять экономистов увеличивают точность прогноза примерно на19процентов. Кстати, прогноз лучшего экономиста всего на9процентов точнее, чем среднего, при условии, что вызнаете, какой экономист лучший. Таким образом, три произвольно выбранных экономиста эффективнее, чем один лучший[5]. Еще одна причина использования нескольких средних экономистов, не полагаясь наодного, пусть впрошлом илучшего,— изменчивость мира. Экономист, демонстрирующий сегодня самые высокие результаты, завтра может стать середняком. Аналогичная логика объясняет, почему Федеральная система США полагается на совокупность экономических моделей, ане наодну модель: как правило, множество моделей обеспечивают более высокий средний результат, чем самая лучшая одиночная модель.

Урок должен быть очевиден: формирование множества разноплановых, точных моделей позволяет нам составлять очень точные прогнозы иоценки ивыбирать правильные действия. Теоремы обосновывают логику многомодельного мышления. Чего они неделают и немогут сделать, так это построить множество моделей, удовлетворяющих ихисходным предположениям. Напрактике мыможем обнаружить, что имеем возможность создать три-пять хороших моделей. Иесли так, тоэто здорово! Нам нужно только вернуться к предыдущему абзацу: включение второй модели обеспечивает улучшение на8процентов, атретьей— уже на15процентов. Учтите, что вторая итретья модели не обязательно должны быть лучше первой. Они могут быть хуже. Однако если эти модели чуть менее точны, но отличаются в категорийном смысле, ихследует включить в совокупность.

ОДНА БОЛЬШАЯ МОДЕЛЬ ИВОПРОС ОСТЕПЕНИ ДЕТАЛИЗАЦИИ

Многие модели работают втеории и напрактике. Ноэто незначит, что многомодельный подход всегда верен. Иногда лучше разработать одну большую модель. Вэтом разделе мы проанализируем, когда целесообразнее использовать каждый изподходов ипопутно рассмотрим вопрос остепени детализации, тоесть отом, насколько детальным должно быть разделение данных.

Для того чтобы ответить напервый вопрос (использовать одну большую модель или множество маленьких), вспомните обобластях применения моделей: рассуждение, объяснение, разработка, коммуникация, действие, прогнозирование иисследование. Четыре изних (рассуждение, объяснение, коммуникация и исследование) требуют упрощения, благодаря чему мыможем использовать логику, позволяющую объяснять теили иные явления, распространять свои идеи и исследовать возможности.

Вспомните теорему Кондорсе ожюри присяжных. С еепомощью мысмогли раскрыть логику, объяснить, почему подход с использованием множества моделей сбольшой вероятностью обеспечит правильный результат, исделать выводы. Еслибы мывключили вмодель жюри присяжных типы личности и представили доказательства ввиде одномерного массива слов, мы заблудилисьбы влесу деталей. Борхес рассуждает обэтом всвоем эссе онауке, рассказывая о составителях карт, стремившихся к чрезмерной детализации: «Коллегия картографов создала карту империи, которая была размером симперию и совпадала сней доединой точки. Потомки, нестоль преданные изучению картографии, сочли эту пространную карту бесполезной»11.

Модели свысоким уровнем точности будут полезны идля трех оставшихся областей применения моделей, таких как прогнозирование, разработка идействие. При наличии БОЛЬШИХ данных мыдолжны их использовать. Эмпирическое правило звучит так: чем больше унас данных, тем детализированнее должна быть модель. Это можно продемонстрировать напримере применения моделей категоризации для структурирования мышления. Допустим, нам нужно построить модель для объяснения вариации во множестве данных. Для создания контекста предположим, что унас есть огромный массив данных сети продуктовых магазинов, содержащий подробную информацию о ежемесячных расходах нескольких миллионов домохозяйств напродукты питания. Пообъему расходов они разнятся, что мыизмеряем как вариацию— сумму квадратов разности между величиной расходов каждого домохозяйства исредним объемом расходов повсем домохозяйствам. Если средний объем расходов составляет 500долларов вмесяц, асемья тратит 520долларов, она вносит вклад вобщую вариацию, равный 400, или 20 вквадрате12.

Если общая вариация составляет 1миллиард долларов, амодель объясняет 800миллионов этой вариации, то ее показатель R² составляет 0,8. Величина объясненной вариации соответствует тому, насколько данная модель улучшает оценку среднего значения. Если оценка, полученная спомощью модели, указывает, что домохозяйство потратит 600долларов, ионо действительно тратит 600долларов, тоданная модель объясняет все 10000, которые это домохозяйство вносит вобщую вариацию. Если семья потратила 800долларов, асогласно модели должна была потратить 700долларов, тогда то, что было вкладом вобщую вариацию 90000 ((800– 500)²), теперь составляет всего 10000 ((800– 700)²). Таким образом, данная модель объясняет вариации.

R²: процент объясненной дисперсии (коэффициент детерминации)

где V(x)— это значение xна множестве X, — среднее значение, аM(x)— оценка модели.

Вданном контексте модель категоризации делит домохозяйства на категории и определяет значение покаждой. Более детализированная модель обеспечивает создание большего числа категорий. Это может потребовать анализа большего количества атрибутов домохозяйств. Увеличение числа категорий позволяет объяснить большую долю вариации, но мыможем зайти слишком далеко. Последовав примеру картографов Борхеса иотнеся каждое домохозяйство к отдельной категории, мысможем объяснить всю вариацию. Нотакое объяснение, как икарта в натуральную величину, непринесет особой пользы.

Создание избыточного количества категорий приводит к чрезмерной подгонке данных, аона препятствует прогнозированию будущих событий. Предположим, мыхотим использовать данные опокупках продуктов запрошлый месяц для прогнозирования данных занынешний месяц. Ежемесячные расходы домохозяйств отличаются. Модель, которая относит каждое домохозяйство кего собственной категории, предскажет, что оно потратит столькоже, сколько и впрошлом месяце. Ноэто будет неочень хороший прогноз, учитывая ежемесячные колебания расходов. Отнеся домохозяйства к категории имподобных, мысможем использовать средний объем расходов напродукты аналогичных домохозяйств для создания более точного прогноза.

Для этого мыбудем рассматривать ежемесячный объем расходов каждого домохозяйства как одно иззначений распределения (о распределениях рассказывается вглаве5). Уэтого распределения есть среднее значение и дисперсия. Задача построения модели категоризации— создать категории наоснове атрибутов таким образом, чтобы у домохозяйств врамках одной категории были близкие средние значения. Тогда объем расходов одной семьи запервый месяц позволит определить объем расходов другой семьи завторой месяц. Однако ниодин вариант категоризации неможет быть идеальным. Средний объем расходов домохозяйств, входящих водну категорию, будет немного отличаться. Мыназываем это погрешностью категоризации.

Увеличивая категории, мы увеличиваем и погрешность категоризации, поскольку возрастает вероятность отнесения кодной категории домохозяйств сразными средними значениями. Впрочем, более крупные категории основаны набольшем количестве данных, азначит, оценки среднего вкаждой категории будут точнее (см. правило квадратного корня вглаве5). Погрешность, возникающая из-за неправильной оценки среднего, называется погрешностью оценки. Помере увеличения категорий погрешность оценки уменьшается. Включение одного или даже десяти домохозяйств водну категорию непозволит получить точную оценку среднего, если они будут существенно разниться по ежемесячному объему расходов. Тысяча домохозяйств водной категории обеспечат такую оценку.

Итак, мыполучили важный интуитивный вывод: увеличение количества категорий влечет засобой погрешность категоризации всвязи с отнесением домохозяйств сразными средними значениями кодной категории. Статистики называют это систематической ошибкой модели. Вместе стем создание большего количества категорий увеличивает погрешность оценки среднего впределах каждой категории. Статистики называют это увеличением дисперсии среднего значения. Компромиссное решение в отношении того, сколько категорий необходимо выделить, можно формально описать спомощью теоремы о декомпозиции погрешности модели. Статистики называют этот результат компромиссом между смещением и дисперсией.

Теорема о декомпозиции погрешности модели

Компромисс между смещением и дисперсией

Погрешность модели= погрешность категоризации+ погрешность оценки

где M(x) иMi— это значения модели для элемента данных xв категории Si, аV(x) иVi— истинные значения[6],13.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОЙ МОДЕЛИ ВОМНОГИХ ОБЛАСТЯХ

Для изучения моделей требуется время, усилия иширота охвата. Снизить эти требования помогает подход «использование одной модели вомногих областях». Мы предлагаем освоить небольшое количество гибких моделей и креативно их применять. Мы используем модель изобласти эпидемиологии, чтобы понять процесс распространения семян кукурузы, сети Facebook, преступности ипоп-музыки. Мы применяем модель распространения сигнала крекламе, браку, оперению павлинов и страховым взносам. Кроме того, мы используем модель пересеченного адаптивного ландшафта, чтобы объяснить, почему улюдей нет дыхала. Безусловно, некаждая модель применима влюбом контексте, но большинство моделей достаточно гибкие. Мы выигрываем даже вслучае неудачи, поскольку попытки креативного применения моделей позволяют установить ихпределы. Ктомуже это интересно.

Подход «использование одной модели вомногих областях» сравнительно новый. Впрошлом модели относились к конкретным дисциплинам. У экономистов были модели спроса и предложения, монопольной конкуренции и экономического роста; у политологов— модели предвыборной борьбы; уэкологов— модели видообразования и репликации, а уфизиков модели, описывающие законы движения. Все эти модели разрабатывались для определенных целей. Никто неприменял модель изфизики к экономике или модель из экономики к головному мозгу, как никто несталбы использовать швейную машинку для ремонта протекающей трубы.

Выход моделей зарамки своих дисциплин и использование одной модели в нескольких областях позволило добиться значительных успехов. Пол Самуэльсон переосмыслил модели изфизики для объяснения нюансов рыночного равновесия. Энтони Даунс использовал модель конкуренции между продавцами мороженого напляже для объяснения позиционирования кандидатов на политические должности, ведущих идеологическую борьбу. Социологи применили модели взаимодействия частиц для объяснения ловушек бедности, колебаний уровня преступности идаже экономического роста вразных странах. А экономисты использовали модели саморегулирования, основанного на экономических принципах, чтобы понять, как функционирует головной мозг[7].

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОЙ МОДЕЛИ ВОМНОГИХ ОБЛАСТЯХ: ПРИМЕР— ВЫСОКИЕ СТЕПЕНИ X^N

Креативное применение моделей требует практики. Для того чтобы получить предварительное представление о потенциале подхода использования одной модели вомногих областях, возьмем знакомую формулу возведения переменной встепень, X^N, и используем ее вкачестве модели. Кода степень равна 2, формула дает площадь квадрата состороной Х, акогда 3— объем куба состороной Х. Вслучае более высоких степеней формула отражает геометрическое расширение или геометрический спад.

Супертанкеры. Наш первый пример применения этого подхода— супертанкер ввиде прямоугольного параллелепипеда, длина которого ввосемь раз превышает его высоту иширину, обозначенные символом S. Как показано нарис.3.1, площадь поверхности супертанкера равна 34S², аобъем— 8S³. Стоимость строительства супертанкера зависит прежде всего отплощади его поверхности, которая определяет количество используемой стали. Размер дохода от эксплуатации супертанкера зависит отего объема. Вычисление отношения объема кплощади поверхности поформуле показывает линейное повышение рентабельности (которая пропорциональна объему) засчет увеличения размера.

Рис.3.1. Супертанкер ввиде прямоугольного параллелепипеда: площадь поверхности= 34S², объем= 8S³

Судоходный магнат Ставрос Ниархос, знавший обэтом соотношении, построил первые современные супертанкеры и заработал миллиарды впериод восстановления после Второй мировой войны. Чтобы вымогли получить некоторое представление о масштабах, давайте сравним: длина нефтяного танкера T2, который использовался вовремя Второй мировой войны, составляла 152,4метра, высота 7,62метра иширина 15,24метра. У современных супертанкеров, таких как Knock Nevis, следующие размеры: длина 457,2метра, высота 24,38метра иширина 54,87метра. Представьте, что башня Willis (Sears) вЧикаго легла набок иплывет поозеру Мичиган. Супертанкер Knock Nevis похож натанкер Т2, ноувеличен втри с небольшим раза. Площадь поверхности Knock Nevis вдесять раз превышает площадь поверхности Т2, аобъем втридцать раз больше. Возникает вопрос, почему супертанкеры небывают еще крупнее? Ответ прост: танкеры должны проходить через узкий Суэцкий канал; Knock Nevis буквально протискивается через него, оставляя всего несколько десятков сантиметров скаждой стороны[8].

Индекс массы тела. Индекс массы тела (body mass index, BMI) используется вмедицине для определения весовых категорий. Разработанный вАнглии, BMI равен отношению веса человека (в килограммах) кквадрату его роста вметрах[9]. При постоянном росте индекс массы тела находится влинейной зависимости отвеса. Если один человек весит на20процентов больше, чем другой человек тогоже роста, BMI первого человека будет на20процентов больше.

Сначала мы используем нашу модель для приближенного представления человека ввиде идеального куба, состоящего изжира, мышц икостей. Обозначим символом Mвес одного кубического метра нашего кубического человека. Вес человека-куба равен произведению его объема навес кубического метра, или H³· M, аBMI равен H· M. Данная модель указывает надва недостатка: BMI увеличивается линейно в зависимости отроста, аучитывая, что мышцы тяжелее жира, улюдей, которые находятся вхорошей физической форме, более высокое значение M, азначит, иболее высокий индекс массы тела. Рост недолжен быть связан с ожирением, а мускулатура— вовсе нетучность, аеепротивоположность. Эти недостатки сохраняются и вболее реалистичной модели. Если мысделаем глубину (толщину отгруди доспины) иширину человека пропорциональной росту посредством введения параметров d иw, тоиндекс массы тела можно будет записать так: BMI многих звезд NBA идругих спортсменов относит их к категории людей с избыточным весом (BMI > 25), как имногих лучших мужчин-десятиборцев мира[10]. Учитывая, что высокий BMI бывает даже улюдей среднего роста, находящихся вхорошей физической форме, нестоит удивляться тому, что согласно метаанализу результатов примерно сотни исследований сразмером смешанной выборки, исчисляемым миллионами, дольше всего живут люди сослегка избыточным весом[11].

Уровень метаболизма. Теперь применим нашу модель для прогнозирования обратной зависимости между размером животного иуровнем его метаболизма. Укаждого живого существа происходит обмен веществ— повторяющаяся последовательность химических реакций, которые расщепляют органические вещества и преобразуют их вэнергию. Скорость обмена веществ в организме, или уровень метаболизма, измеряемый вкалориях, эквивалентен количеству энергии, необходимой для поддержания жизнедеятельности. Если мы сконструируем кубические модели мыши ислона, то, как показывает рис.3.2, укуба меньшего размера отношение площади поверхности кобъему будет гораздо больше.

Рис.3.2. Взрывающийся слон

Мыможем представить мышь ислона вкачестве модели, состоящей изячеек объемом 1 кубический дюйм, каждая изкоторых обладает метаболизмом. Эти метаболические реакции создают тепло, которое должно рассеиваться через поверхность животного. Площадь поверхности мыши равна 14квадратных дюймов, аобъем— 3 кубических дюйма, азначит, отношение площади поверхности кобъему составляет 5:1[12]. Накаждую ячейку объема водин кубический дюйм умыши есть пять квадратных дюймов площади поверхности, через которую она может рассеивать тепло. Площадь поверхности каждой теплообразующей ячейки слона равна всего одной пятнадцатой квадратного дюйма. Следовательно, мышь может рассеивать тепло в семьдесят пять раз быстрее слона.

Для того чтобы уобоих животных была одинаковая внутренняя температура, услона должен быть более медленный метаболизм. Слону с метаболизмом мыши понадобилосьбы 15000 фунтов (около 7 тонн) пищи вдень. Кроме того, ячейки слона выделялибы слишком много тепла, чтобы его можно было рассеивать через шкуру животного. Витоге слон началбы тлеть, азатем взорвался бы. Однако слоны не взрываются, потому что уровень их метаболизма примерно вдвадцать раз ниже, чем умышей. Данная модель прогнозирует нескорость изменения уровня метаболизма в зависимости отразмера, атолько направление. Более сложные модели могут объяснить законы масштабирования[13].

Доля женщин-руководителей. В последнем примере мыувеличим показатель степени вформуле и используем данную модель для объяснения того, почему так мало женщин становятся руководителями компаний. В2016году менее чем в5процентах компаний изсписка Fortune 500должность СЕО14 занимали женщины. Для того чтобы стать СЕО, человек должен получить ряд повышений. Мыможем представить шансы на повышение как вероятностные события: учеловека есть определенная вероятность получить повышение. Кроме того, будем исходить из предположения, что для назначения на должность СЕО человек должен продвигаться по служебной лестнице при каждом удобном случае. Возьмем пятнадцать повышений вкачестве эталона, поскольку это соответствует повышению каждые два года за тридцатилетний путь ккреслу СЕО. Факты свидетельствуют о небольшом смещении впользу мужчин, что мыможем представить как наличие умужчин более высокой вероятности продвижения послужбе[14]. Обозначим это как вероятность повышения мужчин PM, которая немного выше вероятности продвижения женщин PW. Если оценить эти вероятности как 50 и40процентов соответственно, то умужчины будет примерно в30 раз больше шансов стать СЕО, чем уженщины[15]. Данная модель показывает, как постепенно накапливаются скромные смещения. Десятипроцентная разница втемпах продвижения по карьерной лестнице витоге превращается в30-кратное отличие. Этаже модель объясняет, почему гораздо более высокая доля (25процентов) президентов колледжей и университетов— женщины. В колледжах и университетах меньше административных уровней, чем в компаниях изсписка Fortune 500. Профессор может стать президентом всего затри повышения: заведующий кафедрой, декан, азатем президент. Натрех уровнях накапливается меньшее смещение. Следовательно, более значительная доля женщин-президентов колледжей и университетов неозначает, что вучебных заведениях уровень эгалитарности по сравнению с корпорациями выше.

РЕЗЮМЕ

Итак, вначале главы мызаложили логические основы применения одной модели вомногих областях, воспользовавшись теоремой Кондорсе ожюри присяжных итеоремой опрогнозе разнообразия, азатем спомощью моделей категоризации показали пределы многообразия моделей. Мывыяснили, какое количество моделей может усилить нашу способность прогнозировать, действовать, разрабатывать итак далее, и, кроме того, поняли, что найти много разноплановых моделей нетак просто. Иначе мыбы составляли прогнозы спочти идеальной точностью, что, как мызнаем, нереально. Тем неменее наша задача по-прежнему состоит в построении как можно большего числа полезных, разноплановых моделей.

В следующих главах представлен базовый набор моделей, описывающих разные аспекты мира. Они исходят изразных предположений опричинно-следственных связях и благодаря многообразию создают условия для продуктивного многомодельного мышления. Акцентируясь на отдельных аспектах более сложного целого, каждая модель вносит свой вклад. Кроме того, каждая модель может входить всостав еще более эффективного ансамбля моделей.

Как отмечалось выше, многомодельное мышление требует знания более чем одной модели. Однако это неозначает, что нам нужно знать огромное количество моделей, учитывая возможность применения каждой модели вомногих областях. Это невсегда будет просто. Успешное использование одной модели вомногих областях зависит от креативной модификации исходных предположений ивыстраивания необычных аналогий для применения модели вновом контексте. Таким образом, чтобы научиться многомодельному мышлению, необходимо нечто большее, чем просто знание математики; для этого нужен креативный подход, очем свидетельствуют примеры применения модели куба.

Пакетирование и множество моделей

Нередко мы подбираем модель так, чтобы она соответствовала выборке из имеющегося набора данных, азатем тестируем ее на оставшихся данных. Вдругих случаях мы приспосабливаем модель к существующим данным и используем для прогнозирования будущих данных. Моделирование такого типа создает противоречие: чем больше параметров мывключаем вмодель, тем лучше подбираем данные итем выше становится риск чрезмерной подгонки (переобучения). Хорошее соответствие невсегда дает хорошую модель. Физик Фримен Дайсон рассказывает ореакции Энрико Ферми наодно из исследований, вкотором была задействована исключительно точно подобранная модель. «Вотчаянии яспросил Ферми, разве его не впечатлило соответствие между нашими расчетными показателями иего результатами измерений. Онспросил вответ: “Сколько произвольных параметров вы использовали всвоих вычислениях?” Яподумал немного онаших процедурах исключения иответил: “Четыре”. Онсказал: “Помню, как мой друг Джонни фон Нейман говорил, что счетырьмя параметрами онможет описать слона, а спятью— заставить его махать хоботом”. Наэтом разговор закончился»[16].

Оценки, используемые для того, чтобы «заставить слона махать хоботом», очень часто включают всебя члены высшего порядка— квадраты, кубы и четвертые степени. Это создает риск крупных ошибок, поскольку члены высшего порядка усиливают соответствующие признаки. 10 вдва раза больше 5, тогда как 10⁴ уже в16 раз больше 5⁴. На представленном ниже рисунке показан пример переобучения.

Переобучение и вневыборочная ошибка

Награфике слева отображены (гипотетические) данные опродажах вкомпании по производству 3D-принтеров в зависимости отсреднего количества визитов сотрудников отдела продаж наместа замесяц. Награфике представлено нелинейное наилучшее соответствие, включающее нелинейные члены вплоть допятой степени. Награфике справа показано, что данная модель прогнозирует продажу 100принтеров, если количество визитов торговых агентов достигнет 30. Этот прогноз неможет быть правильным, если клиенты покупают максимум поодному 3D-принтеру.

Чтобы предотвратить чрезмерную подгонку модели, мымоглибы избегать использования членов высшего порядка. Более сложное решение, известное как бутстрэп-агрегирование, или пакетирование, позволяет сконструировать множество моделей. Для выполнения бутстрэп-анализа набора данных мысоздаем несколько наборов данных одинакового размера путем случайного выбора элементов данных изисходных данных с их последующим возвратом— после извлечения того или иного элемента данных мы возвращаем его назад, чтобы можно было выбрать его снова. Этот метод позволяет получить совокупность одинаковых поразмеру наборов данных, каждый изкоторых содержит множество копий определенных элементов данных и ниодной копии других элементов данных.

Далее мы подбираем (нелинейные) модели ккаждому набору данных и витоге получаем множество моделей[17], которые затем можем отобразить водной системе координат, получив при этом спагетти-график (см. рис.ниже). Темная линия показывает среднее для различных моделей.

Бутстрэппинг испагетти-график

Пакетирование позволяет обнаружить устойчивые нелинейные эффекты, поскольку они проявляются вомногих случайных выборках, ипри этом избежать подгонки моделей к специфическим закономерностям влюбом отдельно взятом наборе данных. Обеспечивая многообразие посредством случайных выборок и усреднение множества моделей, пакетирование использует логику, лежащую воснове теоремы опрогнозе разнообразия. Такой подход позволяет создать разноплановые модели, среднее которых, как мызнаем, гораздо точнее, чем сами модели.

Пока невозможно указать наединую теорию человеческого поведения, которая былабы успешно сформулирована и проверена в различных условиях.

Элинор Остром

Вэтой главе мы рассмотрим вопрос, лежащий воснове книги: как мы моделируем поведение людей? Вомногих из описанных ниже моделях люди выступают вкачестве базовой единицы анализа. Мысоздадим модели людей, которые участвуют в голосовании, поддерживают кооперацию, поднимают восстания, поддаются модным увлечениям, вносят деньги на пенсионные счета и подсаживаются на наркотики. Врамках каждой модели нам предстоит сделать предположения олюдях. Каковы ихцели? Они заботятся только осебе или действуют из альтруистических побуждений? Каковы их вероятные действия? Как они ихвыбирают, или уних нет выбора?

Мымоглибы выдвинуть специальные предположения для каждой модели, ноэто вызвалобы путаницу ипривело кпотере благоприятных возможностей. Нам пришлосьбы иметь дело с уникальной совокупностью конструкций. Каждая новая модель требовалабы новых представлений о человеческом поведении. Возникающая всвязи сэтим разнородность ограничивалабы нашу способность широко мыслить и объединять модели. Мы несмоглибы эффективно использовать принцип многомодельного мышления.

Подход, которого мыбудем придерживаться, ставит воглаву угла согласованность наряду с разнообразием. Мыбудем моделировать людей либо как агентов, действующих наоснове правил, либо как рациональных агентов15. Врамках множества агентов, действующих наоснове правил, мыбудем рассматривать тех, кто действует наоснове простых фиксированных правил, итех, кто действует наоснове адаптивных правил. Агент, действующий наоснове адаптивного правила, может изменить свое поведение исходя из полученной информации, прошлых успехов или наблюдений задругими. Как мыувидим, между этими случаями нет четкого разграничения: адаптивное правило иногда можно интерпретировать как фиксированное, а рациональные действия порой принимают форму простых правил.

То, как именно мырешим моделировать людей, будет зависеть от контекста инаших целей. Мы прогнозируем или объясняем? Оцениваем теили иные политические меры? Пытаемся разработать тот или иной институт? Или занимаемся исследованием? Всреде снизкой степенью важности (такой как моделирование того, какой цвет курток предпочитают люди, или аплодируютли они стоя после спектакля) мычаще всего будем исходить изтого, что люди применяют фиксированные правила. Когда люди решают, стоитли сотрудничать врамках какого-то предприятия идоверятьли другому человеку, мыбудем считать, что они учатся и адаптируются. Инаконец, всреде свысокой степенью важности мыбудем исходить из предположения, что информированные, опытные люди делают оптимальный выбор.

Прежде чем подробно описывать наш подход, рассмотрим ряд распространенных заблуждений. Многие люди впервые сталкиваются с формальными моделями социальных явлений навводных курсах по экономике. Эти модели часто основаны на простейшей модели рационального агента, согласно которой все руководствуются личными интересами испособны делать оптимальный выбор. Модель также может исходить изтого, что увсех одинаковые предпочтения иуровень дохода. Затем экономисты находят равновесие врамках этих моделей, что позволяет им оценивать последствия рыночных потрясений или изменения политического курса. Хотя подобные модели иоснованы на ошибочных предположениях, они полезны, поскольку помогают экономистам коммуницировать, а студентам— понимать изучаемый материал.

Наоснове такого опыта многие люди приходят квыводу, что формальное моделирование требует узкого, нереалистичного взгляда на человеческую природу, согласно которому люди руководствуются личными интересами иникогда не ошибаются. Однако это нетак. Насамом деле даже экономисты так недумают. В передовых областях экономики используются модели с недостаточно информированными, разнородными агентами, которые адаптируются в соответствии сновыми знаниями ииногда (хотя и невсегда) заботятся овыигрыше других людей. Степень, вкоторой люди склонны учитывать интересы окружающих, также зависит отситуации. Например, при пожертвовании в благотворительный фонд или волонтерстве человек может быть более участливым, чем при покупке дома.

Тем неменее продолжает бытовать мнение, что моделирование исходит из эгоистичности и нереалистичной рациональности людей. Мыдолжны избавиться отнего. Проведем аналогию: сделав несколько шагов вокеан, выможете подумать, что онмелкий, ноотплывая все дальше идальше, начнете ощущать его глубину. Вданном случае мыстартуем сберега, новремя отвремени будем двигаться дальше ипокажем, что модели могут включать сфокусированных надругих, ограниченно рациональных людей.

Какиебы предположения мы ниделали, нам неудастся избежать их последствий. Мы привязаны кмачте логической согласованности и неможем фабриковать последствия. Если мы предполагаем сильное социальное влияние навыбор потребителей, наша модель даст ряд продуктов сбольшой рыночной долей. Если мыисходим изтого, что люди получают информацию изсетей, товластью будут обладать те, кто заполняет структурные пустоты.

В оставшейся части главы мысначала кратко опишем ряд проблем, связанных с моделированием поведения людей: все мыразные, подвержены социальному влиянию исклонны кошибкам, нацелены на результат, адаптивны испособны действовать. Мы неможем включить все эти характеристики водну модель, несоздавая запутанный хаос, поэтому должны выбирать.

Если неоднородность мало что значит, мыможем исходить из идентичности агентов. Если проблема проста или люди имеют богатый опыт, мы предполагаем, что они не совершают ошибок.

Далее мы проанализируем модель рационального агента иобсудим еетеоретические аспекты и обоснования применения, несмотря на ее описательную неточность. Что именно представляет собой модель рационального агента— золотой стандарт, соломенное чучело или нечто среднее,— зависит отзадачи нашей модели. Модель рационального агента будет менее эффективна вобласти прогнозирования человеческого поведения, чем вкачестве инструмента коммуникации, оценки действий и разработки политики.

Затем мы продемонстрируем, как включить психологическое смещение и альтруистические предпочтения в стандартную модель рационального агента. Решение об их включении зависит оттого, что именно мыизучаем. Иногда потребуется включить вмодель определенные человеческие предубеждения, такие как страх потери и презентистский подход (когда человек больше озабочен срывом сроков в настоящем, чем вбудущем). Например, они могут быть важны вмоделях пенсионных накоплений или массовых волнений именее значимы вмоделях манеры вождения или распространения заболеваний.

В четвертом разделе рассказывается о поведении, основанном направилах. Преимущество этой категории моделей— в ихгибкости (любая линия поведения, поддающаяся описанию, в большинстве случаев представляет собой игру поправилам) и разрешимости. Достаточно описать такое поведение спомощью компьютерной программы (выполнить агентное моделирование)— и наблюдать за развитием событий. Подобная свобода действий подразумевает ответственность. Поскольку мыможем выбрать любое правило поведения, нам следует остерегаться специальных предположений. Иногда правила поведения можно считать обоснованными сучетом ихцелевой функции, хотя так бывает невсегда.

Глава заканчивается пересмотром значения рациональности как эталонного поведения. Даже непринимая оптимальных решений, люди все равно адаптируются к меняющимся обстоятельствам иновым знаниям. Это наблюдение порождает своего рода парадокс. Когда мы разрабатываем тот или иной общественный институт или политику, исходя из предположения, что людям свойственна предвзятость или они действуют не всвоих интересах, остается риск того, что люди могут изменить свое поведение. Людей можно обмануть один раз, но одурачить два или три раза гораздо труднее. Мы недолжны считать, что рациональность— единственное правдоподобное предположение, нологика всеже говорит в еепользу как значимого эталона. Кроме того, логика также поддерживает рассмотрение простых правил поведения как нижней границы рациональности. Помимо всего прочего, при моделировании конкретной ситуации мыможем применить любое количество адаптивных и психологических правил вкачестве способа, позволяющего исследовать огромное пространство между этими двумя крайностями.

ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ЛЮДЕЙ

Моделирование поведения людей— сложная задача, поскольку модели требуют низкоразмерного представления, алюди не поддаются простому описанию. Все мыразные, подвержены социальному влиянию, склонны кошибкам, целеустремленны иобучаемы. Кроме того, мыобладаем агентивностью— способностью действовать.

Напротив, физические объекты, такие как атомы углерода или бильярдные шары, не демонстрируют ниодного изэтих свойств. Атомам углерода неприсуще многообразие (хотя они могут занимать различные позиции в соединениях, например впропане). Они никогда ненарушают законов физики и неживут целеустремленной жизнью. Они неменяют свое поведение сучетом прошлого опыта илишены агентивности; они нерешают возглавить восстание или сменить сферу деятельности. Отсюда и проистекает часто повторяемый шуточный комментарий социологов: насколько сложной былабы физика, еслибы электроны могли думать. Физика былабы еще сложнее, еслибы электроны могли описывать модели.

Мыможем начать спроблем, обусловленных многообразием. Люди отличаются по предпочтениям, способности действовать, сети социальных связей, уровню альтруизма иуровню когнитивного внимания, которое они уделяют действиям. Моделирование былобы проще, еслибы все мыбыли одинаковыми. Иногда мы прибегаем к статистической логике и предположению, что поведенческое многообразие уравновешивается. Например, мымоглибы построить модель, которая прогнозирует благотворительные пожертвования как функцию дохода. При определенном уровне дохода и налоговой ставки некоторые люди могут быть более, адругие менее альтруистичными, чем мы предполагаем. Если отклонения отмодели исключаются путем усреднения (вглаве5 мы поговорим омоделях распределений, объясняющих, почему это происходит), тонаша модель может быть точной. Такое уравновешивание многообразия возможно только вслучае независимых действий. Когда поведение формируется под влиянием социальных факторов, экстремальные действия могут привести кпобочным эффектам. Так происходит, когда политические активисты побуждают избирателей к действиям. Мы столкнемся сэтим при моделировании массовых волнений.

Произойдетли взаимоисключение ошибок в ихобщей совокупности, зависит от контекста. Ошибки, возникающие из-за отсутствия когнитивной привязанности, могут быть случайными и независимыми. Ошибки, обусловленные когнитивными искажениями, могут быть систематическими и коррелированными. Например, люди могут придавать чрезмерное значение недавним событиям и вспоминать описательную информацию лучше, чем статистические данные. Общее смещение такого рода не уравновешивается.

Следующая проблема связана с желаниями людей. Самая большая трудность вописании моделей людей— дать точную оценку ихцелей изадач. Одни люди жаждут богатства иславы. Другие хотят внести вклад в улучшение жизни своих общин имира вцелом. Вмодели рационального агента мы представляем выигрыш человека непосредственно ввиде функции. Вмоделях, основанных направилах, цели носят более имплицитный характер. Правило поведения, согласно которому люди стремятся жить в интегрированных районах, нопокидают район, если доля людей ихрасы падает ниже 10процентов, отражает определенные убеждения в отношении стремлений людей.

Инаконец, последняя проблема моделирования людей связана с их агентивностью— способностью действовать, менять то, что они делают, иучиться. Вместе стем в некоторых контекстах людей лучше охарактеризовать как рабов привычек. Действия могут быть нам неподвластны. Мало кто стремится к зависимости отопиоидов или кбедности. Тем неменее люди совершают действия, приводящие ктаким результатам.

Когда действия человека влекут засобой негативные последствия, он вомногих случаях адаптирует свое поведение. Мыможем учесть это, включив всвои модели обучение. То, как люди учатся, зависит от контекста. Сколько часов нужно готовиться кэкзамену, чтобы получить хорошую оценку, или сколько раз внеделю тренироваться— этому люди учатся наоснове личного опыта и самоанализа. Вкаких продуктовых магазинах делать покупки и жертвоватьли на благотворительность— обэтом люди узнают, наблюдая задругими. Вглаве26 мыпокажем, как обычно работает обучение в нестратегических контекстах. Люди осваивают наиболее подходящие действия. Кроме того, мы продемонстрируем, что в стратегических контекстах, которые мы моделируем как игры, все ставки аннулируются. Однако индивидуальное и социальное обучение не обязательно обеспечивает хорошие результаты.

Каждая изшести характеристик является потенциальным свойством модели. Включая тоили иное свойство вмодель, мыдолжны решить, вкаком объеме это делать. Насколько разноплановыми должны быть наши агенты? Какое социальное влияние мы учитываем? Учатсяли люди удругих? Как мы определяем задачи? Вкакой степени людям свойственна активность? Мыможем обладать меньшей свободой действий, чем думаем. Джонатан Хайдт описывает отсутствие способности действовать спомощью метафоры о наезднике ислоне. «Образ, который япридумал для себя, когда поражался своей слабости,— что янаездник, сидящий наспине слона. Ядержу вруках поводья и, потянув их втуили иную сторону, могу велеть слону повернуть, остановиться или двигаться дальше. Ямогу управлять происходящим, нотолько если услона нет собственных желаний. Еслиже слон действительно захочет что-то сделать, мне его неодолеть»[1]. Иногда нам удается прокатиться верхом наслоне, аиногда нет. Ниодин подход к моделированию людей неможет быть применим при любых обстоятельствах, поэтому мы моделируем ихразными способами.

МОДЕЛЬ РАЦИОНАЛЬНОГО АГЕНТА

Модель рационального агента предполагает, что люди делают оптимальный выбор сучетом функции выигрыша или полезности. Действиями могут выступать решения— тогда выигрыш зависит только отдействий человека, или осуществляться врамках игры— тогда выигрыш зависит отдействий других игроков. Вигре с одновременным выбором или неполной информацией модель также определяет убеждения в отношении действий других агентов.

Модель рационального агента

Предпочтения индивида представлены математической функцией полезности или выигрыша, определенной на множестве возможных действий. Человек выбирает действие, максимизирующее значение функции. Вигре такой выбор может потребовать убеждений в отношении действий других игроков.

Давайте построим вкачестве примера простую модель рационального агента, отражающую индивидуальное решение отом, какую часть дохода выделять нажилье. Модель отражает полезность как функцию отзатрат нажилье ивсе остальные виды потребления, втом числе продукты питания, одежду и развлечения (см. врезку). Вданной модели делается предположение в отношении цены нажилье ицены всех остальных товаров. Модель далека от реалистичности: она одинаково подходит ковсем вариантам жилья, объединяет все остальные товары водну категорию «потребление» и устанавливает наних одну итуже цену. Мыможем игнорировать какое-то время все эти неточности, поскольку задача модели— объяснить долю дохода, выделенную нажилье.

Модель рационального агента в контексте потребления

Исходное предположение: польза, получаемая человеком отобщего потребления C ирасходов нажилье H, можно описать как:

Результат: человек, максимизирующий полезность (рациональный агент), тратит нажилье ровно треть доходов[2],16.

Вэтой модели доля дохода, выделяемая человеком нажилье, независит отцены жилья или дохода. Оба результата представляют собой достаточно точное приближение данных[3]. За исключением тех, кто находится наконцах шкалы распределения доходов, большинство людей тратят нажилье около трети дохода. Этот вывод имеет политические последствия: если цены нажилье упадут на10процентов, люди будут покупать его на10процентов больше. Кроме того, онтакже обосновывает предположение об идентичности агентов. Если люди тратят нажилье фиксированный процент дохода, тообщий объем расходов нажилье зависит только отсреднего дохода.

Использование функции полезности делает модели разрешимыми, поддающимися анализу ипроверке. Мыможем оценить такие функции спомощью данных, вывести оптимальные действия, атакже задать вопросы типа «что, если», изменив значения параметров. Делая предположение относительно функции полезности, мы подразумеваем согласованность предпочтений, которой может не существовать. Для того чтобы предпочтения были представимы посредством функции полезности, они должны удовлетворять определенным аксиомам. Теоремы, доказывающие существование функций полезности, предполагают наличие совокупности альтернатив в сочетании супорядочением предпочтений. Представьте, что мыможем перечислить все возможные группы товаров, которые может купить человек. Упорядочение предпочтений ранжирует эти группы отнаиболее донаименее предпочтительных. Человек может предпочесть кофе смолоком чаю слимоном итогда разместит группу {кофе, молоко} выше группы {чай, лимон}.

Функция полезности отражает предпочтения, если она присваивает группе Aболее высокое значение, чем группе B, тогда итолько тогда, когда порядок предпочтений ставит группу Aвыше группы B. Для того чтобы предпочтения можно было представить ввиде функции полезности, они должны удовлетворять таким условиям, как полнота, транзитивность, независимость и непрерывность. Полнота требует, чтобы порядок предпочтений был определен навсех парах альтернатив. Транзитивность исключает циклы предпочтений. Если человек предпочитает группу Aгруппе B, агруппу Bгруппе C, то ондолжен также отдавать предпочтение группе Aперед группой C. Иначе говоря, если человек предпочитает яблоки бананам, абананы сыру, то ондолжен также отдавать предпочтение яблокам перед сыром. Это условие исключает противоречивые предпочтения.

Независимость требует, чтобы люди оценивали результаты лотереи по отдельности. Лотерея— это распределение вероятностей по совокупности альтернатив, например, вероятность результата Aсоставляет 60процентов, а результата B— 40процентов. Предпочтения удовлетворяют условию независимости, если, когда Aнаходится впорядке предпочтений выше B, влюбой лотерее, включающей всебя Bвкачестве результата, человек отдает предпочтение альтернативной лотерее, где место Bзанимает A17. Условие независимости исключает сильное неприятие риска. Человек, несклонный рисковать, может ставить поездку вНовый Орлеан выше поездки вDisney World, но предпочитает точно знать, что поедет вDisney World, чем участвовать влотерее, которая отправит его вНовый Орлеан с вероятностью ивDisney World в остальных случаях. Последнее условие, непрерывность, гласит, что если человек ставит Aвыше B, аBвыше C, то существует лотерея, вкоторой онполучит Aс вероятностью p иCс вероятностью (1− p), которая нравится ему точно также, как илотерея B18. Это предположение исключает сильные предпочтения в отношении определенных результатов[4].

Условия независимости и транзитивности, которые люди нарушают, в дополнение кспорным утверждениям, что люди склонны к оптимизации, побуждают многих ставить под сомнение модель рационального агента, особенно популярную среди экономистов. Тем неменее существуют веские основания исходить из рациональности. Во-первых, люди могут действовать, «как будто» они склонны к оптимизации, имогут применять правила, обеспечивающие почти оптимальное поведение. Когда люди играют вбильярд, ловят летающий диск фрисби или водят автомобиль, они не составляют математических уравнений. Математические расчеты времени прыжка, необходимого, чтобы поймать фрисби, озадачат практически любого. Тем неменее люди ловят фрисби. Кстати, собаки тоже это умеют. Таким образом, люди исобаки действуют так, будто решают сложную задачу оптимизации.

Этаже логика распространяется и назадачи высокой размерности. Анализ действий Гарольда Зерчера, директора отдела технического обслуживания муниципальной автобусной компании вМэдисоне, показал, что онпринял почти оптимальное решение относительно замены двигателей автобусов[5]. Зерчер неделал никаких математических расчетов, а полагался на эвристику, основанную наопыте, аэто означало, что он действовал (почти) как рациональный агент.

Во-вторых, даже если люди действительно совершают ошибки, при повторении подобной ситуации способность учиться должна подталкивать нас к оптимальным действиям. В-третьих, втех случаях, когда ставки высоки, люди должны вкладывать время исилы впринятие почти оптимальных решений. Люди могут переплачивать 30процентов закофе или батарейки, ноони не переплачивают 30процентов за автомобили или дома. Утверждение, что обучение ивысокие ставки повышают уровень рациональности, подкреплено большим объемом эмпирических и экспериментальных данных[6].

Как ни парадоксально, четвертое основание для принятия модели рационального агента состоит втом, что она упрощает анализ. Вслучае большинства функций полезности есть единственное оптимальное действие. Человек может вести себя неоптимально тысячами способов. Утверждение, что люди несклонны к оптимизации, открывает огромное окно возможностей. Исходя из предположения, что люди делают выбор впользу сохранения своей идентичности или соблюдения культурных норм, мыможем неполучить одного четкого ответа. Рациональный выбор не реалистичен, нореализм имеет свою цену— он порождает путаницу. Ответ, пусть изаведомо неправильный, может быть полезнее, чем отсутствие ответа вообще, поскольку это позволяет применить модель кданным и проанализировать последствия изменения переменных[7].

Аргументы впользу рационального выбора

«Как будто»: разумное поведение, основанное направилах, может быть неотличимо от оптимального или почти оптимального поведения.

Обучение: в повторяющихся ситуациях люди должны приближаться к оптимальному поведению.

Большие ставки: вслучае важных решений люди собирают информацию идумают медленно.

Уникальность: оптимальное поведение часто носит уникальный характер, что делает модель поддающейся проверке.

Непротиворечивость: оптимальное поведение создает непротиворечивую модель. Освоив ее, люди небудут менять свое поведение.

Эталон: оптимальное поведение выступает вкачестве эталона, позволяющего определить верхнюю границу когнитивных способностей людей.

В-пятых, предположение о рациональном агенте обеспечивает внутреннюю непротиворечивость. Если модель предполагает субоптимальное поведение и находится воткрытом доступе, ееможно изучить. Люди могут менять поведение. Они могут небыть оптимальны, однако любое предположение, отличное от предположения об оптимальности, подвергается критике за отсутствие непротиворечивости. Мывернемся кэтому вопросу вконце главы.

И последнее, помнению некоторых, самое важное: рациональность может выступать вкачестве эталона[8]. При разработке политики, составлении прогноза или выборе действия мыдолжны анализировать, чтобы произошло, еслибы улюдей были рациональные предпочтения и склонность к оптимизации. Это указалобы наизъяны внаших рассуждениях. Кроме того, мыдолжны быть готовы ктому, что это действие приведет нас квыводу, что модель рационального агента неприменима инам следует использовать другие модели. Кэтому списку можно добавить иседьмую причину: многомодельное мышление. Когда люди применяют множество моделей, вероятность ошибок снижается.

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ СМЕЩЕНИЯ

Модель рационального агента ставят под сомнение психологи, экономисты и нейроученые, заявляя, что она не соответствует поведению людей. Эмпирические результаты лабораторных и естественных экспериментов указывают нато, что люди подвержены различным искажениям и смещениям, втом числе исмещению в отношении статус-кво. При вычислении вероятностей мы игнорируем базовые ставки, придаем слишком большое значение беспроигрышным вариантам и стараемся избегать потерь.

Помере того как исследователи начинают связывать поведение и убеждения с процессами, протекающими вголовном мозге, доказательства предрасположенности людей к психологическим смещениям становятся все более убедительными. Например, нейроэкономика использует исследования мозга для изучения экономически значимых аспектов поведения, таких как отношение криску, уровень доверия иреакция на информацию[9]. По утверждению Канемана, то, что нам известно наданный момент, позволяет провести различие между двумя типами мышления: быстрые, интуитивные правила (быстрое мышление) и неторопливые размышления (медленное мышление). Быстрое мышление более подвержено такого рода смещениям[10]. В долгосрочной перспективе мыможем определить некоторые поведенческие шаблоны наоснове структур головного мозга, носледует помнить, что мозг обладает огромной пластичностью— испособен преодолеть смещения посредством медленного мышления.

Кроме того, мыдолжны проявлять осмотрительность и несчитать универсальным любой вывод, задокументированный всего в нескольких исследованиях. Результаты многих психологических исследований не подтвердились. Входе одного из последних исследований неудалось воспроизвести иполовины изсотни результатов, опубликованных введущих психологических журналах[11]. Кроме того, воспроизводимость невсегда подразумевает универсальность. Вомногих исследованиях совокупность объектов исследования лишена экономического и культурного многообразия[12]. Можно предположить, что вболее разнообразной выборке поведенческих закономерностей будет еще меньше, что дает еще больше оснований избегать обобщений в отношении поведения.

Наконец, при создании более реалистичных моделей мыдолжны помнить о разрешимости. Ктомуже они могут потребовать более сложной математики[13]. Однако ниодна изэтих причин не убедительна настолько, чтобы отказаться отмоделей с психологически реалистичным поведением, но в совокупности они указывают нато, что мыдолжны действовать осмотрительно иуделять особое внимание документально подтвержденным поведенческим закономерностям.

Два неоднократно воспроизведенных отклонения— это неприятие потерь и гиперболическое дисконтирование. Неприятие потерь означает, что люди несклонны рисковать вслучае потенциальной выгоды иготовы рискнуть вслучае возможных потерь. Канеман иТверски обозначают эту общую теорию как «теорию перспектив»[14]. Неприятие потерь поначалу некажется иррациональным, ноговорит отом, что люди выбирают разные действия, если один итотже сценарий представлен как потенциальная потеря или потенциальный выигрыш.

Например, люди предпочитают выиграть 400долларов наверняка, чем участвовать влотерее сравными шансами выиграть 1000долларов. Тем неменее они примут участие влотерее сравными шансами проиграть 1000долларов, чем наверняка потерять 600долларов. Такая непоследовательность распространяется и на неденежные сферы. Врачи, которым дают варианты выбора, представленные ввиде выгоды, избегают риска. Когда эти варианты представлены ввиде потерь, врачи восновном идут нариск[15].

Теория перспектив: пример

Представление альтернатив ввиде выгоды

Увас есть два варианта выбора:

Вариант A: однозначно получить 400долларов.

Вариант B: получить 1000долларов, если при подбрасывании симметричной монеты выпадет орел, и0долларов, если выпадет решка.

Представление альтернатив ввиде потери

Вам дают 1000долларов идва варианта выбора:

Вариант Â: однозначно потерять 600долларов.

Вариант : потерять 0долларов, если при подбрасывании симметричной монеты выпадет орел, и1000долларов, если выпадет решка.

Варианты A иÂэквивалентны вариантам B и. Согласно теории перспектив, большинство людей выбирают варианты A и.

Гиперболическое дисконтирование подразумевает более высокий коэффициент дисконтирования для ближайшего будущего. Стандартные экономические модели опираются наэкспоненциальное дисконтирование, при котором ценность будущих благ убывает по экспоненте. Человек сгодовой ставкой дисконтирования 10процентов оценивает сумму в1000долларов в следующем году как эквивалентную 900долларам сегодня. Этот человек дисконтировалбы деньги следующего года на10процентов каждый очередной год. Однако опыт показывает, что большинство людей не дисконтируют будущие доходы по фиксированной ставке дисконтирования. Напротив, они подвержены смещению всторону безотлагательности, тоесть дисконтируют ближайшее будущее вгораздо большей степени, чем более отдаленное[16]. Например, если выспросите людей, что они предпочлибы — 9500долларов через двадцать лет или 10000долларов через двадцать лет иодин день, практически каждый подождалбы еще один день ради дополнительных 500долларов. Ноесли выспросите этихже людей, что они предпочлибы — 9500долларов сегодня или 10000долларов завтра, многиебы взяли 9500долларов сейчас. Это иесть пример смещения всторону безотлагательности[17].

Такое смещение порождает поведение, рассогласованное вовремени. Через год большинство людей предпочтут подождать еще один день иполучить 10000долларов. Такие предпочтения неявляются логически противоречивыми. Гиперболическим дисконтированием объясняют, почему люди накапливают задолженность по кредитным картам, едят нездоровую пищу, вступают в незащищенные половые связи и не откладывают напенсию.

Таким образом, в зависимости оттого, как мыбудем использовать модель, мыможем предпочесть неприятие потерь и гиперболическое дисконтирование, учитывая, что эти допущения лучше соответствуют поведению большинства людей. Основная причина этого неделать— если они усложняют модель без качественного изменения того, что мынаходим, или если при допущении гиперболического дисконтирования наша модель приводит к нереалистичному поведению.

МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НАПРАВИЛАХ

Теперь рассмотрим модели, основанные направилах[18]. Тогда как модели наоснове оптимизации опираются набазовую функцию полезности или выигрыша, который люди стремятся максимизировать, модели, основанные направилах, предполагают определенное поведение. Они могут исходить изтого, что вовремя аукциона человек предложит затот или иной лот на10процентов меньше его истинной стоимости или скопирует действия друга, если этот друг неизменно получает более высокие выигрыши. Многие приравнивают модели наоснове оптимизации к математике, а основанные направилах— к вычислениям. Хотя различие между ними нестоль однозначное, как может показаться напервый взгляд. Вспомните нашу модель затрат нажилье. Оптимальное поведение приняло форму простого правила: выделять нажилье треть дохода. Ключевое различие между двумя подходами заключается в ихбазовых предположениях. Вмоделях наоснове оптимизации главную роль играют предпочтения или выигрыш, а вмодели, основанной направилах,— поведение.

Правила поведения могут быть фиксированными или адаптивными. Фиксированное правило подразумевает применение одного итогоже алгоритма вовсех случаях. Модели рационального выбора обеспечивают верхний предел когнитивных способностей людей, амодели с фиксированными правилами— нижний предел. Распространенное нарынках фиксированное правило, правило нулевого интеллекта, подразумевает принятие любого предложения, обеспечивающего более высокий выигрыш. Это правило не допускает глупых действий (например, снижающих полезность). Предположим, мыхотим оценить эффективность одностороннего рынка, накотором продавцы размещают предложения опродаже товара без возможности торга. Продавец, придерживающийся правила нулевого интеллекта, случайным образом выберет цену, превышающую ценность этого товара для него. Покупатель купит любой товар поцене ниже ценности, которую представляет для него этот товар. Проанализировав эти варианты поведения спомощью компьютерной модели, мы обнаружим, что нарынках трейдеры снулевым интеллектом обеспечивают почти оптимальные результаты. Следовательно, эффективное функционирование фондовых рынков независит отналичия рациональных покупателей и продавцов[19].

Адаптивное правило подразумевает переключение между вариантами наборов поведения, развитие новых типов поведения или копирование поведения других. Эти действия предпринимаются ради повышения выигрыша. Следовательно, вотличие от фиксированных правил адаптивные правила требуют функции полезности или выигрыша. Сторонники этого подхода утверждают, что влюбой ситуации люди склоняются кпростым и эффективным правилам, араз люди ведут себя именно так, мыдолжны моделировать их поведение аналогичным образом[20]. Хотя модели, основанные направилах, несодержат явно выраженных предположений в отношении рациональности, модели наоснове адаптивных правил демонстрируют экологическую рациональность— более эффективные правила начинают доминировать[21].

Для того чтобы объяснить, как работают модели наоснове адаптивных правил, опишем модель самоорганизованной координации под названием Эль Фароль[22]. «Эль Фароль»— ночной клуб вСанта-Фе, вкотором каждый вторник проводится вечер танцев. Каждую неделю 100 потенциальных танцоров решают, пойти в«Эль Фароль» натанцы или остаться дома. Все 100 человек любят танцевать, но нехотят идти вклуб, когда он переполнен. Модель основана настрогой системе предпочтений. Человек получит нулевой выигрыш, оставшись дома, выигрыш 1— при посещении клуба при условии, что там будет 60 или менее посетителей, ивыигрыш−1— при посещении клуба, если там будет более 60 посетителей.

Если мыпостроим модель, основанную на фиксированных правилах, это может привести кчему угодно. Например, еслибы мы предписали каждому человеку придерживаться правила «ходить каждую неделю; если вклубе будет более 60 посетителей, неидти на следующей неделе; азатем отправиться туда через неделю», то вклубе «Эль Фароль» былобы 100 посетителей впервую неделю, ноль посетителей вовторую и100 посетителей втретью. Модель «Эль Фароль» создает адаптивные правила, позволяя каждому человеку использовать совокупность правил. Каждое правило говорит человеку отом, идти вклуб или неидти. Этиправила принимают несколько форм. Одни носят фиксированный характер: ходить вклуб каждую неделю. Другие основаны на закономерностях в количестве людей, посетивших клуб на протяжении последних недель. Третьи могут предсказывать, что количество посетителей заведения наэтой неделе будет такимже, как и напрошлой. Если напрошлой неделе вклубе было меньше 60 посетителей, правило посоветует человеку посетить его наэтой неделе.

Модель адаптивных правил поведения может присваивать каждому правилу оценку, эквивалентную проценту недель, накоторые оно предоставило правильный совет. Тогда каждый человек могбы использовать данную модель всвоей совокупности правил ссамой высокой оценкой. Лучшее правило будет меняться на протяжении нескольких недель. Моделирование такого типа показывает, что при наличии большой совокупности правил клуб каждую неделю посещают около 60 человек: координация происходит без централизованного планирования. Иначе говоря, система адаптивных правил путем самоорганизации обеспечивает почти оптимальные результаты.

Модель «Эль Фароль»: адаптивные правила

Еженедельно втечение года каждый из100 человек независимо друг отдруга решают, идти вклуб «Эль Фароль» или нет. Человек, посетивший клуб, получает выигрыш 1, если внем будет 60 или менее посетителей, ивыигрыш –1 в противном случае. Тот, кто неидет вклуб, получает нулевой выигрыш.

Укаждого человека есть совокупность правил, на основании которых онрешает, идтили вему клуб. Эти правила могут быть фиксированными или зависеть от посещаемости клуба в последнее время. Каждый человек еженедельно придерживается того правила изсвоей совокупности, выполнение которого обеспечивало максимальный выигрыш впрошлом.

Мыможем интерпретировать поведение врамках моделей, основанных на адаптивных правилах, спомощью микро-макро цикла (см. рис.4.1). На микроуровне группа индивидов совершают действия (обозначенные как ai) в соответствии с правилами. Эти правила порождают явления макроуровня (обозначенные как макро1 имакро2), накоторые указывают стрелки, направленные вверх. Взадаче клуб «Эль Фароль» вкачестве явлений макроуровня выступают последовательности посещений за прошедший период. Стрелки, направленные вниз, указывают нато, как эти явления макроуровня отражаются на поведении людей. Вмодели «Эль Фароль» каждый индивид может применять разные правила. Если в результате примененных людьми правил клуб «Эль Фароль» переполнен четыре недели подряд, тогда правила, которые советуют реже посещать клуб, обеспечат более высокие выигрыши. Когда люди переключатся наэти правила, количество посетителей клуба уменьшится. Правила микроуровня порождают явление макроуровня (слишком высокая посещаемость), которое учитывается вправилах микроуровня.

Рис.4.1. Микро-макро цикл

КОГНИТИВНАЯ ЗАВЕРШЕННОСТЬ, БОЛЬШОЙ ВОПРОС И МНОЖЕСТВО МОДЕЛЕЙ

Микро-макро цикл позволяет преодолеть основные разногласия относительно того, насколько умными следует делать агентов. Должныли люди определять все последствия своих действий? Кроме того, цикл подразумевает более крупный вопрос (скоторым мыбудем постоянно сталкиваться вкниге) отом, какую категорию результатов обеспечивает таили иная модель: переходитли она к равновесию, порождает последовательность случайных событий, создает цикл или сложную серию результатов?

Критика Лукаса

Изменения вполитике или среде обитания сбольшой вероятностью повлекут засобой поведенческую реакцию тех, кого это затрагивает. Следовательно, модели, которые оценены наоснове данных опрошлом поведении людей, будут неточными. Модели должны учитывать тот факт, что люди реагируют на политические и экологические изменения.

Как должно быть ясно наданный момент, наилучшего решения отом, как моделировать поведение людей, нет. Насколько рациональными делать их, или адаптивными— ихправила, зависит от обстоятельств. Мыдолжны проявлять максимальную проницательность вкаждой ситуации. Сучетом факторов неопределенности нам нужно отдавать предпочтение большему числу моделей, а неменьшему.

Даже если мысклонны отбрасывать модели рационального выбора как нереалистичные, нам следует признать их разрешимость, способность выявлять направляющую силу стимулов, атакже ихценность как эталона. Простые модели поведения, основанного направилах (такие как нулевой интеллект), также далеки от реальности. Однако даже будучи неправильными, они могут быть полезны. Ихлегко анализировать иони позволяют определить, какой уровень интеллекта важен в определенной среде.

Человеческое поведение попадает вдиапазон между двумя крайними вариантами— нулевым интеллектом иполной рациональностью, поэтому имеет смысл строить модели, вкоторых люди адаптируются спомощью правил. Эти правила должны учитывать тот факт, что люди отличаются когнитивной привязанностью и способностями впределах одной области. Всвязи сэтим нам следует ожидать поведенческого многообразия. Кроме того, мыможем рассчитывать на определенную непротиворечивость впределах группы. Это также можно включить вмодели[24].

Вобщем, сучетом сложностей, связанных с моделированием людей, унас есть все основания для применения множества разноплановых моделей. Возможно, нам неудастся точно прогнозировать действия человека, но мысможем определить набор возможных вариантов. Это позволит извлечь пользу изсоздания моделей, поскольку мыбудем знать, что может произойти.

В заключение мы призываем ксмирению и состраданию. При построении моделей людей специалист по моделированию должен быть скромным. Учитывая такие сложные аспекты моделирования, как многообразие, социальное влияние, когнитивные ошибки, целеустремленность и адаптация, наши модели неизбежно будут вчем-то неправильными— именно поэтому мы используем многомодельный подход. Упрощенные модели поведения вполне соответствуют некоторым ситуациям и позволяют сфокусироваться надругих аспектах окружающей среды. Более содержательные модели поведения уместны при наличии более качественных данных. Унас должны быть скромные ожидания. Все мыразные: нам свойственна целеустремленность, адаптивность и предвзятость, мы подвержены социальному влиянию иобладаем определенной степенью агентивности. Как мыможем неожидать, что какая-то отдельная модель человеческого поведения будет неправильной? Так идолжно быть. Наша задача— построить множество моделей, ансамбль которых будет полезен.

Я несчитал себя умнее шестидесяти пяти человек, ноумнее среднего из шестидесяти пяти человек— безусловно.

Ричард Фейнман

Распределения— один из элементов базовых знаний для любого разработчика моделей. В дальнейшем мы используем распределения для построения ианализа таких моделей, как зависимость от первоначально выбранного пути, случайные блуждания, процессы Маркова, поиск иобучение. Кроме того, навыки работы с распределениями нужны для оценки неравенства в распределении власти, доходов и богатства, атакже для выполнения статистических тестов. Наш подход к использованию распределений представлен вдвух небольших главах— одна посвящена нормальному распределению, адругая— распределению по степенному закону (распределению сдлинным хвостом),— где мыбудем рассуждать скорее как специалисты по моделированию, чем как статистики. Нас как разработчиков моделей интересуют два серьезных вопроса: почему распределения имеют именно такой вид ипочему они так важны?

Для того чтобы ответить напервый вопрос, прежде всего нужно вспомнить, что такое распределение. Распределение математически описывает вариацию (различия впределах одного типа) и многообразие (различия между типами) путем представления их ввиде распределения вероятностей, заданного начисловых значениях или классах. Нормальное распределение принимает знакомую форму колоколообразной кривой. Рост ивес представителей большинства видов удовлетворяют нормальному распределению. Такое распределение симметрично относительно среднего значения и невключает особо крупные или мелкие события. Врядли мывстретим двухметрового муравья или двухкилограммового лося. Мыможем использовать центральную предельную теорему, чтобы объяснить широкую распространенность нормального распределения. Эта теорема говорит, что, выполняя сложение или усреднение случайных величин, мыможем ожидать получения нормального распределения. Многие эмпирические явления, в частности любой совокупный показатель (такой как данные опродажах или итоги голосования), можно записать ввиде суммы случайных событий.

Однако невсе события распределены по нормальному закону. Землетрясения, количество погибших вовремя военных действий иданные опродажах книг демонстрируют распределение сдлинным хвостом, которое восновном состоит из крохотных событий, ноиногда включает единичные масштабные события. Ежегодно калифорнийцы переживают более 10000 землетрясений. Если несмотреть на трепещущие лепестки жасмина, вы ихдаже незаметите. Однако время отвремени разверзается земля, рушатся автомагистрали и содрогаются города.

Знать, порождаетли система нормальное распределение или распределение сдлинным хвостом, важно поряду причин. Нам необходимо знать, будетли энергосистема подвержена массовым отключениям иприведетли рыночная система к появлению горстки миллиардеров и миллиардов бедняков (что гарантирует распределение сдлинным хвостом). Знание распределений позволит нам прогнозировать вероятность наводнений, в результате которых вода перельется через дамбу, вероятность того, что рейс 238 авиакомпании Delta прибудет вСолт-Лейк-Сити вовремя, атакже вероятность того, что транспортный хаб обойдется вдвое дороже заложенной вбюджете суммы. Знание распределений также понадобится при проектировании. Нормальное распределение не подразумевает значительных отклонений, поэтому авиаконструкторам ненужно выделять всамолете место для ног пятиметрового человека. Кроме того, знание распределений также может служить руководством кдействию. Как мыузнаем чуть ниже, предотвращение массовых беспорядков зависит нестолько отснижения среднего уровня недовольства, сколько от умиротворения людей, занимающих крайние позиции.

Эта глава организована попринципу «структура— логика— функция». Мыдадим определение нормальному распределению, опишем, как оно возникает, азатем спросим, почему оно имеет такое большое значение. Опираясь назнание распределений, мыобъясним метод управления процессами «шесть сигм», атакже почему хорошее происходит вмалых количествах икак проверить значимость эффекта. Затем мывернемся квопросу логики и зададимся вопросом, что произойдет, если умножить, а не суммировать случайные величины. Иузнаем, что при этом будет получено логарифмически нормальное распределение, которое включает более крупные события и не симметрично относительно среднего значения. Отсюда следует, что умножение эффектов приводит кусилению неравенства— вывод, указывающий нато, как политика повышения заработной платы сказывается на распределении доходов.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: СТРУКТУРА

Распределение присваивает вероятности событиям или величинам. Распределение суточного количества осадков, результатов тестов или роста людей присваивает вероятность каждому возможному значению этих результатов. Статистические показатели представляют информацию, содержащуюся в распределении, ввиде отдельных чисел, таких как математическое ожидание (среднее значение) распределения. Средняя высота деревьев вгорном массиве Шварцвальд вГермании может быть более 24метров, асредний период пребывания вбольнице после операции наоткрытом сердце может составлять пять дней. Социологи используют среднее значение распределения для сравнения социально-экономических условий вразных странах. В2017году ВВП США надушу населения вразмере 57000долларов превысил ВВП Франции надушу населения, который составил 42000долларов, тогда как средняя продолжительность жизни воФранции превышает этот показатель вСША натри года.

Второй статистический показатель, дисперсия, измеряет разброс распределения— среднее значение квадрата отклонения данных от их математического ожидания[1]. Если все точки распределения имеют одно итоже значение, дисперсия равна нулю. Если одна половина данных имеет значение 4, адругая— значение 10, то всреднем каждая точка отстоит отсреднего значения на3, а дисперсия равна 9. Стандартное отклонение распределения (еще один распространенный статистический показатель) равно квадратному корню из дисперсии.

Совокупность возможных вероятностных распределений безгранична. Мыможем нарисовать любую линию налисте координатной бумаги и интерпретировать еекак распределение вероятностей. Ксчастью, распределения, скоторыми мы сталкиваемся, как правило, относятся к нескольким классам. Нарис.5.1 показано самое распространенное распределение— нормальное распределение, или колоколообразная кривая.

Рис.5.1. Нормальное распределение со стандартными отклонениями

Нормальное распределение симметрично относительно среднего значения. Если среднее значение равно нулю, вероятность значений больше 3 равна вероятности значений меньше−3. Нормальное распределение характеризуется математическим ожиданием и стандартным отклонением (или, что тоже самое, дисперсией). Другими словами, графики нормального распределения всегда выглядят одинаково: примерно 68процентов результатов впределах одного стандартного отклонения отсреднего значения, 95процентов результатов вдвух стандартных отклонениях иболее 99процентов результатов втрех стандартных отклонениях отсреднего значения. Нормальное распределение допускает результат или событие любого масштаба, хотя крупные события происходят редко. Событие, лежащее впяти стандартных отклонениях отсреднего, происходит примерно один раз накаждые два миллиона случаев.

Мыможем использовать регулярность нормальных распределений для присвоения вероятностей диапазонам результатов. Если средняя площадь домов вМилуоки равна 2000квадратных футов со стандартным отклонением в500квадратных футов, топлощадь 68процентов домов составляет от1500 до2500квадратных футов, аплощадь 95процентов домов— от1000 до3000квадратных футов. Если автомобили Ford Focus 2019года способны проехать всреднем 40 миль нагаллон со стандартным отклонением в1 милю нагаллон, тоболее 99процентов этих авто будут проходить от37 до43 миль нагаллон. Какбы нихотел потребитель, его новый Focus непроедет 80 миль наодном галлоне бензина.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА: ЛОГИКА

Множество явлений демонстрируют нормальное распределение: физические размеры представителей флоры ифауны, экзаменационные оценки учащихся, дневной оборот мини-маркетов и продолжительность жизни морских ежей. Центральная предельная теорема, которая гласит, что сумма или усреднение случайных величин дает нормальное распределение, объясняет, почему так происходит (см. врезку).

Центральная предельная теорема

Сумма N≥ 20 случайных величин будет иметь распределение, близкое к нормальному, при условии, что случайные величины независимы, что каждая изних имеет конечную дисперсию ичто ниодно малое подмножество случайных величин невносит определяющего вклада ввариацию[2].

Один примечательный аспект этой теоремы состоит втом, что сами посебе случайные величины не нуждаются в нормальном распределении. Уних может быть любое распределение при условии, что каждая изних имеет конечную дисперсию и ниодно малое подмножество случайных величин невносит определяющего вклада ввариацию. Предположим, данные о покупательском поведении жителей небольшого поселка с населением 500 человек говорят отом, что каждый изних тратит напокупки всреднем 100долларов внеделю. Некоторые жители тратят 50долларов заодну неделю и150долларов— завторую. Другие могут тратить по300долларов каждую третью неделю, акто-то может еженедельно выделять напокупки произвольную сумму в диапазоне от20долларов до180долларов. При условии, что расходы каждого человека имеют конечную дисперсию и ниодно малое подмножество людей невносит определяющего вклада ввариацию, сумма распределений будет распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 50000долларов. Совокупный недельный объем расходов также будет симметричным: онможет с одинаковой вероятностью оказаться выше 55000долларов иниже 45000долларов. Согласно тойже логике, количество бананов, литров молока или коробок корзиночек тако, которые покупают люди, тоже будет подлежать нормальному распределению.

Мыможем использовать центральную предельную теорему, например, для объяснения распределения роста людей. Рост человека определяется совокупностью генетики, среды обитания и взаимодействия между этими двумя факторами. Вклад генетики может достигать 80процентов, поэтому будем считать, что рост зависит только отгенов. Нанего влияют как минимум 180 генов[3]. Один ген может внести вклад вдлину шеи или размер головы, адругой— вдлину большой берцовой кости. Хотя гены взаимодействуют друг сдругом, впервом приближении можно исходить изтого, что каждый ген вносит свой вклад независимо отдругих генов. Если рост человека равен сумме вкладов 180 генов, то онбудет иметь нормальное распределение. Согласно этойже логике, также будет распределен вес волков идлина больших пальцев панд.

ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ О РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ: ФУНКЦИЯ

Наш первый пример применения нормального распределения объясняет, почему исключительные результаты гораздо чаще имеют место вмалых совокупностях, почему лучшие школы небольшие ипочему страны ссамым высоким уровнем заболеваемости раком, как правило, малонаселенные. Напомним, что вслучае нормального распределения около 95процентов результатов находятся впределах двух стандартных отклонений и99процентов результатов— впределах трех стандартных отклонений ичто согласно центральной предельной теореме математическое ожидание совокупности независимых случайных величин распределено по нормальному закону (с оговорками о дисперсии и независимости). Отсюда следует, что мыможем быть в достаточной степени уверены, что совокупные средние показатели по результатам тестов идругие подобные показатели будут иметь нормальное распределение. Вместе стем стандартное отклонение среднего случайных величин неравно среднему стандартных отклонений этих величин, также как стандартное отклонение суммы неравно сумме стандартных отклонений. Насамом деле воснове этих формул лежит квадратный корень извеличины совокупности (см. врезку).

Правило квадратного корня

Стандартные отклонения σμ математического ожидания μ исуммы σΣ Nнезависимых случайных величин, каждая изкоторых имеет стандартное отклонение σ, описываются следующими формулами[4]:

Формула стандартного отклонения математического ожидания означает, что большие совокупности имеют более низкие показатели стандартного отклонения, чем малые. Изэтого следует, что вмалых совокупностях должно быть больше хорошего ибольше плохого. Насамом деле так иесть. Маленькие города— наиболее ивтоже время наименее безопасное место для проживания. Страны ссамым высоким уровнем ожирения и заболеваемости раком обычно малонаселенные. Все эти факты можно объяснить различиями в стандартных отклонениях.

Неспособность учитывать размер выборки ивыявить причинно-следственные связи из отклоняющихся значений может привести к неправильным политическим действиям. Поэтой причине Говард Уэйнер называет формулу стандартного отклонения математического ожидания «самым опасным уравнением вмире». Например, в1990-х годах Фонд Билла иМелинды Гейтс идругие некоммерческие организации выступили за разделение школ наболее маленькие, основываясь на доказательствах, что такие школы лучше[5]. Для того чтобы найти ошибку вэтих рассуждениях, представьте, что школы бывают двух типов (маленькие, рассчитанные на100 учащихся, ибольшие, на1600 учащихся) ичто оценки ихучеников получены наоснове одного итогоже распределения сосредним баллом 100 и стандартным отклонением 80. В маленьких школах стандартное отклонение отсреднего значения равно 8 (стандартное отклонение оценок учеников 80, деленное на10, квадратный корень из количества учеников), вбольших— 2.

Если мы обозначим школы сосредним баллом выше 110 как школы «свысокими показателями успеваемости», ашколы сосредним баллом выше 120 как «с исключительными показателями успеваемости», тотолько небольшие школы будут отвечать любому изэтих пороговых значений. Для маленьких школ средний балл 110 находится в1,25 стандартного отклонения выше среднего значения; такие события имеют место примерно в10процентах случаев. Средний балл 120 находится в2,5 стандартного отклонения выше среднего; подобные события встречаются примерно один раз на150 школ. Выполнив аналогичные расчеты для крупных школ, мы обнаружим, что пороговое значение среднего балла вшколах свысокой успеваемостью находится впяти стандартных отклонениях выше среднего, а пороговое значение вшколах с исключительной успеваемостью— вдесяти стандартных отклонениях отсреднего. В действительности такие события никогда ненаступят. Следовательно, тот факт, что самые лучшие школы маленькие, не доказывает того, что они лучше работают. Самые лучшие школы будут небольшими (хотя размер ни начто невлияет) исключительно всилу правил квадратного корня.

ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ

Регулярность нормального распределения можно также использовать для проверки существенных различий между средними значениями. Если эмпирическое среднее лежит более чем вдвух стандартных отклонениях от гипотетического среднего, социологи отклоняют гипотезу об их идентичности[6]. Предположим, мывыдвинем гипотезу, что время поездки наработу в Балтиморе соответствует аналогичному показателю вЛос-Анджелесе. Допустим, наши данные показывают, что поездка в Балтиморе всреднем занимает 33минуты, авЛос-Анджелесе— 34минуты. Если оба множества данных имеют стандартное отклонение отсреднего, равное одной минуте, то мы неможем отклонить гипотезу отом, что значения этого показателя идентичны. Средние значения отличаются, новсего наодно стандартное отклонение. Еслибы продолжительность поездки наработу вЛос-Анджелесе составляла всреднем 37минут, тогда мыбы отклонили эту гипотезу, потому что средние значения отличаются начетыре стандартных отклонения.

Однако физики, возможно, так не поступилибы — покрайней мере, если данные получены наоснове физических экспериментов. Физики вводят более строгие стандарты, потому что располагают более крупными иболее достоверными множествами данных (атомов гораздо больше, чем людей). Экспериментальные данные, накоторые полагались физики в2012году вкачестве доказательства существования бозона Хиггса, менее одного раза на7миллионов испытаний указывали нато, что его не существует.

Процесс утверждения лекарственных препаратов, используемый Управлением по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США (Food and Drug Administration, FDA), также основан напроверке значимости. Если фармацевтическая компания заявляет, что ееновое лекарство снижает тяжесть атопического дерматита, она должна провести два рандомизированных контролируемых испытания. Для того чтобы их организовать, компания формирует две идентичные группы страдающих атопическим дерматитом людей. Одна группа получает лекарственный препарат, адругая— плацебо. Вконце исследования сравниваются показатели средней тяжести заболевания исреднего уровня негативных побочных эффектов. Затем компания проводит статистические тесты. Если лекарственный препарат существенно снижает тяжесть атопического дерматита (в стандартных отклонениях) и невызывает значительного повышения уровня негативных побочных эффектов, онбудет одобрен. FDA не придерживается непреложного правила одвух стандартных отклонениях. Статистический показатель будет ниже для препарата, излечивающего смертельное заболевание и демонстрирующего незначительные побочные эффекты, чем для лекарства отгрибка ногтей, с применением которого связан более высокий уровень заболеваемости раком костей, чем ожидалось. Кроме того, FDA обращает внимание намощность статистического теста— вероятность того, что тест продемонстрирует эффективность лекарственного препарата.

МЕТОД «ШЕСТЬ СИГМ»

Вэтом разделе мы продемонстрируем, как применение нормального распределения обеспечивает контроль качества спомощью метода «шесть сигм». Разработанный компанией Motorola в1980-х годах, этот метод снижает частоту ошибок. Он моделирует свойства продукта наоснове нормального распределения. Представьте себе компанию, выпускающую болты для дверных ручек, изготовленных другим производителем, которые должны точно им соответствовать. Согласно техническим спецификациям диаметр болтов должен равняться 14миллиметрам, хотя любой болт диаметром от13 до15миллиметров будет функционировать должным образом. Если диаметры болтов распределены посреднему закону сосредним значением 14миллиметров и стандартным отклонением 0,5миллиметра, толюбой болт, диаметр которого отличается больше чем надва стандартных отклонения, будет непригоден. События сдвумя стандартными отклонениями встречаются в5процентах случаев— слишком большой показатель для производителей.

Метод «шесть сигм» подразумевает работу по уменьшению размера стандартного отклонения для снижения вероятности отказа. Компании могут сократить частоту ошибок путем ужесточения контроля качества. Например, 26февраля 2008года сеть кофеен Starbucks натри часа закрыла семь тысяч своих заведений для переподготовки сотрудников. Аналогично чек-листы, используемые авиакомпаниями, атеперь и больницами, сокращают вариацию[7]. Метод «шесть сигм» позволяет сократить стандартное отклонение таким образом, что даже при шести стандартных отклонениях ошибка неприводит котказам. Внашем примере сболтом это потребовалобы сокращения стандартного отклонения диаметра болта доодной шестой миллиметра. Шесть стандартных отклонений подразумевают 2ошибки намиллиард случаев. Пороговое значение, используемое напрактике, допускает неизбежный уровень вполтора стандартных отклонения. Получается, что событие со стандартным отклонением шесть сигм фактически соответствует событию с отклонением четыре с половиной сигмы, означающим допустимую погрешность— около одной ошибки натри миллиона случаев.

Применение центральной предельной теоремы (азначит, и подразумеваемой модели аддитивной ошибки) вметоде «шесть сигм» носит настолько неочевидный характер, что остается почти незамеченным. Разумеется, производитель болтов не выполняет точного измерения диаметра каждого болта. Онможет провести выборочные измерения нескольких сотен болтов и на основании этой выборки вычислить среднее значение и стандартное отклонение, азатем, исходя изтого, что разброс диаметра обусловлен суммой случайных воздействий, таких как вибрация станка, различия вкачестве металлов и колебания температуры искорости пресса, обратиться к центральной предельной теореме и определить нормальное распределение значений диаметра. Так производитель получит эталонное стандартное отклонение, которое может попытаться сократить.

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ АНОМАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Центральная предельная теорема требует сложения или усреднения независимых случайных величин для того, чтобы получить нормальное распределение. Если случайные величины не суммируются, нокаким-то образом взаимодействуют, или не удовлетворяют условию независимости, то полученное витоге распределение не обязательно должно быть нормальным. Насамом деле оно, как правило, таковым и неявляется. Например, случайные величины, которые представляют собой произведение независимых случайных величин, дают логарифмически нормальное, а не нормальное распределение[8]. В логнормальном распределении отсутствует симметрия, поскольку произведения чисел, которые больше 1, возрастают быстрее, чем ихсуммы (4+ 4+ 4+ 4= 16, но4× 4× 4× 4= 256), а произведения чисел меньше 1 уменьшаются быстрее, чем суммы Если мы перемножим множества издвадцати случайных величин с равномерно распределенными значениями от0 до10, то их произведение будет состоять из множества результатов, близких кнулю, и нескольких больших результатов, что создаст асимметричное распределение, показанное нарис.5.221.

Рис.5.2. Логнормальное распределение

Длина хвоста логнормального распределения зависит от дисперсии случайных величин, умноженных друг надруга. Если уэтих величин низкая дисперсия, хвост будет коротким, если высокая, хвост будет достаточно длинным, поскольку, как уже отмечалось, умножение последовательности больших чисел дает очень большое число. Логнормальное распределение возникает вшироком диапазоне примеров, включая размер британских ферм, концентрацию полезных ископаемых внедрах земли и продолжительность периода от заражения болезнью до появления симптомов[9]. Распределение доходов вомногих странах стремится к логнормальному распределению, хотя в некоторых странах может отклоняться отнего уверхней границы всвязи сналичием слишком большого количества людей свысокими доходами.

Простая модель, объясняющая, почему распределение доходов ближе к логнормальному, чем к нормальному, связывает политику повышения заработной платы с распределением доходов, которое она подразумевает. Большинство организаций повышают зарплату на определенный процент. Сотрудники, эффективность работы которых выше среднего, получают более высокий процент повышения. Сотрудники с эффективностью ниже среднего получают повышение наболее низкий процент. Вместо такого подхода организации моглибы повышать заработную плату на абсолютную величину. Средний сотрудник могбы получить прибавку в1000долларов. Тот, кто работает лучше, могбы получить больше, атот, кто хуже,— меньше. Различие между относительными и абсолютными значениями может показаться семантическим, ноэто нетак[10]. Повышение заработной платы на определенный процент в зависимости от эффективности работы сотрудников (когда показатели эффективности вразные годы— это независимые и случайные величины) порождает логнормальное распределение. Различия вдоходах вбудущем усугубляются даже при идентичной последующей эффективности. Сотрудник, который работал хорошо впрошлом и зарабатывает 80000долларов, получит 4000долларов вслучае повышения зарплаты на5процентов. Другой сотрудник, зарабатывающий 60000долларов, получит всего 3000долларов при повышении на5процентов. Неравенство порождает еще большее неравенство даже при идентичной эффективности работы. Еслибы организация повышала оплату труда на абсолютную величину, оба сотрудника получилибы одинаковое повышение, и в результате распределение доходов былобы ближе к нормальному распределению.

РЕЗЮМЕ

Вэтой главе мы рассмотрели структуру, логику ифункцию нормального распределения иувидели, что его можно описать математическим ожиданием и стандартным отклонением. Мы сформулировали центральную предельную теорему, которая показывает, как возникает нормальное распределение при сложении или усреднении независимых случайных величин сконечной дисперсией. Кроме того, мы представили формулы стандартного отклонения математического ожидания исуммы случайных величин, азатем продемонстрировали следствия, вытекающие изэтих свойств. Мыузнали, что малые генеральные совокупности сгораздо большей вероятностью порождают исключительные события ичто из-за непонимания этого мыделаем неправильные выводы и совершаем недальновидные поступки. Мыузнали, как предположение о распределении случайных величин по нормальному закону позволяет ученым формулировать утверждения о значимости имощности статистических тестов, атакже как управление процессами помогает прогнозировать вероятность отказов исходя из допущения о нормальном характере распределения.

Некаждый показатель можно записать как сумму или среднее значение независимых случайных величин. Следовательно, невсякое распределение будет нормальным. Некоторые показатели представляют собой произведение независимых случайных величин иимеют логнормальное распределение. Логнормальное распределение принимает только положительные значения. Кроме того, унего более длинный хвост, азначит, оно включает больше крупных событий игораздо больше очень мелких. Хвост такого распределения становится длинным, когда случайные величины, умноженные друг надруга, имеют высокую дисперсию. Распределение сдлинным хвостом указывает наболее низкую предсказуемость, тогда как нормальное распределение подразумевает регулярность. Как правило, мы предпочитаем регулярность вероятности крупных событий. Таким образом, мыможем извлечь выгоду из понимания логики, создающей разныераспределения. Вцелом мы предпочлибы суммировать аномальные случайные величины, а неумножать их, чтобы снизить вероятность наступления крупных событий.

Вкаждом фундаментальном законе есть исключения. Однако закон все равно нужен, иначе все, что увас есть,— это наблюдения, неимеющие смысла. Иэто ненаука. Апросто ведение записей.

Джеффри Уэст

Вэтой главе мы рассмотрим степенные распределения, которые часто называют распределениями сдлинным, или тяжелым хвостом. При построении графика такие распределения создают длинный хвост по горизонтальной оси, отражая крупные события. Численность населения городов, вымирание видов, количество гипертекстовых ссылок во Всемирной паутине иразмер компаний— все эти распределения имеют длинные хвосты, как и вслучае загруженных видео, проданных книг, цитирования научных статей, военных потерь, наводнений и землетрясений. Другими словами, все они включают всебя крупные события: вТокио 33миллиона жителей, книг Джоан Роулинг оГарри Поттере продано более полмиллиарда экземпляров, великое наводнение на Миссисипи в1927году покрыло территорию больше площади штата Западная Вирджиния, аглубина затопления превышала 9метров[1].

Анализ степенного распределения роста людей показывает, насколько такие распределения отличается от нормальных распределений. Еслибы значения роста людей распределялись по степенному закону подобно распределению численности населения городов иеслибы мы установили, что средний рост составляет 176сантиметров, то в Соединенных Штатах былбы один человек ростом сEmpire State Building, более 10000 человек выше жирафа и180миллионов человек ростом неменее 213сантиметров[2].

Распределение сдлинным хвостом подразумевает отсутствие независимости, часто вформе положительной обратной связи[3]. Такие события, как продажи книг, лесные пожары и население городов, вотличие отпоходов в продуктовые магазины, неявляются независимыми. Когда один человек покупает книгу оГарри Поттере, он рекомендует другим тоже еекупить. Когда загорается одно дерево, огонь может перекинуться насоседние деревья. Когда растет численность населения города, внем увеличивается количество объектов инфраструктуры и возможностей для трудоустройства, что делает его более привлекательным для людей. Социолог Роберт Мертон называет тот факт, что имеющий больше иполучит больше, эффектом Матфея: «Ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется ито, что имеет» (Евангелие отМатфея, 25:29).

Учитывая разнообразие областей, вкоторых можно обнаружить распределения по степенному закону, былобы просто замечательно, еслибы один механизм мог объяснить ихвсе, но, увы, такого механизма нет. Былобы еще лучше, еслибы каждый случай степенного распределения имел единственное уникальное объяснение, но иего нет. Вместо этого мыимеем совокупность отдельных моделей, порождающих степенные распределения, причем все модели объясняют разные явления.

Вэтой главе мы сосредоточимся надвух моделях— модели предпочтительного присоединения, которая объясняет размер городов, продажи книг и гипертекстовые ссылки во Всемирной паутине, имодели самоорганизованной критичности, объясняющей образование транспортных заторов, количество погибших вовремя военных действий, землетрясения, пожары имасштаб лавин. Вглаве12, где речь пойдет обэнтропии, мыизучим третью модель, вкоторой степенной закон максимизирует неопределенность при наличии фиксированного математического ожидания. Вглаве13 показано, что время возврата вмодели случайного блуждания также удовлетворяет степенному закону. Другие модели демонстрируют, как степенное распределение возникает вследствие оптимального кодирования, правил случайной остановки и объединения распределений[4]. Оставшаяся часть главы посвящена структуре, логике ифункции степенного распределения с последующим обсуждением, входе которого мы переосмыслим последствия крупных событий и определим пределы нашей способности их предотвращать и планировать.

СТЕПЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: СТРУКТУРА

В распределении по степенному закону вероятность события пропорциональна его масштабу, возведенному в отрицательную степень. Так, например, знакомая функция описывает степенной закон распределения. В степенном распределении вероятность события обратно пропорциональна его масштабу: чем крупнее событие, тем ниже вероятность его наступления. Поэтому в степенном распределении больше мелких событий, чем крупных.

Степенное распределение

Степенное распределение[5], заданное на интервале [xmin, ∞), можно записать следующим образом:

p(x)= Cx^−a,

где показатель степени a > 1 определяет длину хвоста, а постоянный член гарантирует, что полная вероятность распределения равна единице.

Величина показателя степени распределения по степенному закону определяет вероятность имасштаб крупных событий. Когда показатель степени равен 2, вероятность события обратно пропорциональна квадрату его масштаба. Событие с масштабом 100 происходит с вероятностью, пропорциональной , или 1 раз на10000 случаев. Когда показатель степени увеличивается до3, вероятность этогоже события пропорциональна . При показателе степени 2 или менее у степенного распределения нет четко определенного среднего значения. Математическое ожидание данных, полученных наоснове степенного распределения с показателем степени 1,5, никогда несходится, а беспредельно возрастает.

Нарис.6.1 представлен приближенный график распределения количества ссылок навеб-страницы во Всемирной паутине.

Рис.6.1. Приближенное степенное распределение ссылок навеб-страницы

Вероятность крупных событий отличает степенное распределение от нормального распределения, вкотором крупных событий практически небывает. Вслучае распределения сдлинным хвостом такие события происходят редко, но счастотой, достаточной для привлечения внимания и подготовки. Даже события, которые происходят один раз намиллион, стоит рассматривать. Например, масштаб землетрясений примерно удовлетворяет степенному закону с показателем степени около 2. Предположим, в определенном регионе землетрясение магнитудой 9,0 пошкале Рихтера (землетрясение, которое разрушает здания именяет рельеф местности) происходит каждый день с вероятностью один намиллион. Втечение столетия землетрясение такого масштаба наступит с вероятностью 3,5процента[6].

Для того чтобы увидеть разницу между вероятностью наступления событий один раз намиллион вслучае нормального распределении и распределения сдлинным хвостом, используем распределение количества погибших в результате террористических актов, которое соответствует распределению по степенному закону с показателем степени 2[7]. Событие с вероятностью один намиллион включает почти 800 погибших. Еслибы количество погибших в результате терактов подчинялось нормальному распределению с математическим ожиданием 20 и стандартным отклонением 5, событие с вероятностью один намиллион привелобы кгибели менее 50 человек.

У распределения по степенному закону есть точное определение. Некаждое распределение сдлинным хвостом— это степенное распределение. Построение графика распределения вдвойном логарифмическом масштабе позволяет выполнить приближенную проверку того, являетсяли данное распределение степенным. График в логарифмическом масштабе пообеим осям преобразует значения масштаба событий и их вероятности в логарифмы, а степенное распределение выглядит как прямая линия[8].

Рис.6.2. Распределение по степенному закону (черная линия) vsлогнормальное распределение (серая линия)

Другими словами, прямая линия награфике вдвойном логарифмическом масштабе— наглядное подтверждение степенного закона, тогда как первоначально прямая линия, которая отклоняется отпрямой вниз, соответствует логнормальному (или экспоненциальному) распределению. Скорость, скоторой график логнормального распределения изгибается вниз, зависит отзначения величин, характеризующих распределение[9]. Помере увеличения дисперсии логнормального распределения длина хвоста увеличивается, делая его более близким к линейному награфике вдвойном логарифмическом масштабе[10].

Особый случай степенного распределения с показателем степени, равным 2, известен как распределение Ципфа. Для степенного распределения с показателем степени 2 произведение ранга события наего вероятность равно постоянной величине— закономерность, известная как закон Ципфа. Частота слов отвечает закону Ципфа. Наиболее распространенное английское слово the встречается в7процентах случаев. Второе по распространенности слово of— в3,5процента случаев. Обратите внимание, что умножение его ранга (2) начастоту 3,5процента дает 7процентов[11].

Закон Ципфа

Вслучае степенного распределения с показателем степени 2 (a= 2) произведение ранга события22 наего вероятность равно постоянной величине:

Ранг события× Масштаб события= константа

Примерно потакому закону распределена численность населения городов вомногих странах, втом числе ивСША. Наоснове данных о численности населения городов за2016год можно сделать вывод, что произведение ранга города на численность населения дает значение около 8миллионов.

Ранг	Город	Население в2016г.	Ранг× население
1	Нью-Йорк	8600000	8600000
2	Лос-Анджелес	4000 000	8000 000
3	Чикаго	27000 000	81000 000
4	Хьюстон	23000 000	92000 000
5	Феникс	16000 000	80000 000

МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПО СТЕПЕННОМУ ЗАКОНУ: ЛОГИКА

Теперь рассмотрим модели, которые порождают распределение по степенному закону, поскольку без них степенное распределение остается закономерностью без объяснения.

Наша первая модель, модель предпочтительного присоединения, касается структур, темп роста которых зависит от ихразмера. Речь идет обэффекте Матфея: большее порождает большее. Данная модель описывает совокупность, которая увеличивается засчет входящего потока объектов. Новый объект либо присоединяется к существующей структуре, либо создает новую. Вовтором случае вероятность присоединения к существующей структуре пропорциональна ееразмеру.

Модель предпочтительного присоединения

Новые объекты (люди) прибывают последовательно один задругим. Первый прибывший объект создает структуру. Каждый очередной объект применяет следующее правило: с вероятностью p(небольшой) прибывший объект образует новую структуру и с вероятностью (1− p) присоединяется к существующей структуре. Вероятность присоединения к определенной структуре равна ееразмеру, деленному на количество объектов, прибывших наданный момент.

Представьте, что в университетский городок приезжают студенты. Первый студент создает новый клуб. С небольшой долей вероятности второй студент тоже создаст собственный клуб, однако вероятность того, что он присоединится кклубу первого студента, выше. Первых десять студентов могут открыть три клуба: один ссемью членами, второй сдвумя итретий содним. Студент, прибывший одиннадцатым, с небольшой долей вероятности создаст четвертый клуб, носкорее присоединится кодному из существующих. Присоединяясь кклубу, студент выбирает клуб ссемью членами в70процентах случаев, клуб сдвумя членами в20процентах случаев иклуб содним членом в10процентах случаев.

Модель предпочтительного присоединения позволяет объяснить, почему распределение текстовых гиперссылок во Всемирной паутине, численность населения городов, размер компаний, объемы продаж книг ичастота цитирования научных работ подчиняются степенному закону. Вкаждом изэтих случаев совершается действие (скажем, человек покупает книгу), что повышает вероятность того, что также сделают другие. Если вероятность покупки продукции компании пропорциональна еенынешней доле нарынке, ановые компании выходят нарынок низкими темпами, тоданная модель прогнозирует, что распределение размеров компаний будет подчиняться степенному закону. Аналогичная логика применима кпродаже книг, загрузке музыкальных файлов иросту городов.

Наша вторая модель, модель самоорганизованной критичности, порождает степенное распределение вследствие процесса, который формирует взаимозависимости всистеме дотех пор, пока она не достигнет критического состояния. Существуют разные варианты модели самоорганизованной критичности, например модель песчаной кучи. Предположим, кто-то роняет песчинки настол примерно сметровой высоты. Помере накопления песчинок образуется куча, которая вконце концов достигает критического состояния, когда дополнительные песчинки могут провоцировать обвалы. Вэтом критическом состоянии дополнительные песчинки часто не оказывают никакого воздействия или приводят кпадению максимум нескольких песчинок. Это иесть множество мелких событий в распределении по степенному закону. Ноиногда одна дополнительная песчинка вызывает настоящий обвал. Это крупное событие.

Следующая модель, модель лесных пожаров, представлена ввиде двумерной сетки, накоторой могут расти деревья; имеется риск попадания вних случайного удара молнии. При низкой плотности леса любой пожар, вызванный ударом молнии, будет небольшим изатронет максимум несколько клеток. При большой плотности деревьев пожар в результате удара молнии распространится почти повсей сетке.

Самоорганизованная критичность: модель лесных пожаров

Изначально лес состоит изпустой сетки размером N×N. На протяжении каждого периода случайным образом выбирается участок насетке. Если участок пустой, то с вероятностью g нанем вырастет дерево, а с вероятностью (1− g) внего ударит молния. Если научастке растет дерево, оно загорается, иогонь распространяется навсе примыкающие участки с деревьями.

Обратите внимание, что вмодели лесных пожаров вероятность удара молнии равна единице минус вероятность роста дерева. Такая структура позволяет менять относительные темпы роста деревьев ичастоты ударов молнии. Это упрощение сокращает количество параметров внашей модели. Поэкспериментировав со скоростью роста деревьев, мы обнаружим, что при темпе роста, близком кединице, плотность деревьев достигает критического состояния— мыполучаем относительно густой лес, где удар молнии способен уничтожить огромные участки. Вэтом критическом состоянии распределение размера лесных прогалин, азначит, имасштаба пожаров, удовлетворяет распределению по степенному закону. Более того, лес естественным образом стремится ктакому уровню плотности. Если лес менее густой, уровень его плотности повышается, потому что возникают неочень большие пожары. Еслиже плотность превышает пороговое значение, толюбой пожар может уничтожить весь лес. Поэтому плотность деревьев самоорганизуется до критического состояния[12].

Как вмодели песчаной кучи, так и вмодели лесных пожаров переменная макроуровня— высота кучи или плотность леса— имеет критическое значение, поскольку еезначение снижается, когда происходят события (обвалы ипожары). Варианты этой модели могут объяснить распределение вспышек наСолнце, землетрясений и транспортных заторов. Увеличение переменной макроуровня, значение которой уменьшается при наступления событий,— необходимое, но недостаточное условие самоорганизованной критичности. Равновесные системы тоже обладают этим свойством. Вода поступает возера ивытекает изних поручьям, но поскольку ееотток носит равномерный характер, уровень воды возере меняется постепенно. Ключевое условие самоорганизации до критического уровня состоит втом, что нагрузка увеличивается равномерно (как вода, поступающая возеро), а сокращается рывками, с возможным наступлением крупных событий.

СЛЕДСТВИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СДЛИННЫМ ХВОСТОМ

Мы рассмотрим три следствия распределений сдлинным хвостом: ихвлияние на справедливость, катастрофы и волатильность. Распределение сдлинным хвостом по определению подразумевает несколько крупных лидеров (таких как большие коллапсы, землетрясения, пожары и транспортные заторы) имного отстающих, вотличие от нормального распределения, которое симметрично относительно математического ожидания. Кроме того, распределение сдлинным хвостом может внести свой вклад в волатильность, поскольку случайные флуктуации вболее крупных структурах влекут засобой более серьезные последствия.

СПРАВЕДЛИВОСТЬ

Автор бестселлера, песенного хита или более качественной научной работы должен получать больше дохода отпродаж иболее высокую степень признания. Несправедливо, когда человек работает натолику лучше или ему просто сопутствует удача, а зарабатывает гораздо больше. Как мывидели вслучае модели предпочтительного присоединения, положительная обратная связь создает крупных лидеров вследствие эффекта Матфея. Для того чтобы нарынке она имела место, люди должны знать, что покупают другие, ибыть в состоянии купить соответствующий продукт. Что касается неимеющих веса информационных товаров, таких как приложения для смартфонов, второе допущение вполне логично. Для iPhone-приложений нет производственных ограничений, замедляющих положительную обратную связь, как это происходит, скажем, вслучае грузовиков F-150. Компания Ford может увеличить их производство только до определенного уровня. Напротив, компания Intuit может продать программу TurboTax втаком количестве, вкаком пользователи готовы еескачать.

Как показывают результаты эмпирических исследований, воздействие социальных факторов приводит к появлению более крупных лидеров. Входе музыкальных лабораторных экспериментов студенты колледжей должны были выбирать и загружать песни. Водном варианте условий эксперимента участники незнали, какие песни скачивают другие, поэтому распределение загрузок имело более короткий хвост: ниодна песня неполучила более двухсот скачиваний итолько одна получила меньше тридцати загрузок. Вдругом варианте условий студенты знали, что загружают другие участники эксперимента. Хвост распределения вырос: одна песня получила более трехсот скачиваний. Пожалуй, еще более примечательным стал тот факт, что более половины песен получили меньше тридцати загрузок. Хвост стал длиннее. Влияние социальной среды усилило неравенство. Тем неменее такое неравенство не представляет проблемы, если социальное воздействие побуждает людей загружать лучшие песни. Однако корреляция между загрузками вдвух вариантах условий эксперимента небыла сильной. Если представить количество загрузок какой-то песни впервом варианте вкачестве косвенного показателя еекачества, товлияние социальной среды непривело к скачиванию лучших песен. Крупные лидеры были не случайными, ноони небыли лучшими[13].

Однако давайте проявим осмотрительность и небудем делать поспешных выводов наоснове одного исследования. Тем неменее мыможем прийти к заключению, что, хотя автор, продающий 50миллионов книг, или ученый, чья работа цитируется 200000 раз, заслуживают всяческих похвал, такой чрезвычайный успех подразумевает, что центральная предельная теорема вданном случае не выполняется. Люди непокупают книги и нецитируют научные работы независимо. Повсей вероятности, поразительный успех предполагает наличие положительной обратной связи и, возможно, немного везения. Мывернемся кэтим идеям при обсуждении причин неравенства в распределении доходов взаключительной главе книги[14].

КАТАСТРОФЫ

Распределения сдлинным хвостом включают всебя катастрофические события: землетрясения, пожары, финансовые коллапсы и транспортные заторы. Хотя модели немогут предсказать землетрясения, они помогают понять, почему их распределение подчиняется степенному закону. Такая информация позволяет определить вероятность землетрясений разного масштаба. Витоге мыхотябы будем знать, чего ожидать, раз уж незнаем, когда[15].

Модель лесных пожаров действительно может служить руководством кдействию. Большие пожары можно предотвратить путем выборочной вырубки леса, чтобы уменьшить его загущенность. Можно также создать противопожарные просеки. Кто-то может возразить, что нам ненужна модель для того, чтобы проредить лес или сделать просеки. Это действительно так. Однако модель помогает понять, существуетли критическая плотность. Укаждого леса она своя, иможет зависеть оттипа деревьев, преобладающей скорости ветра ирельефа местности. Модель лесных пожаров объясняет, почему лес может самоорганизоваться до критического состояния.

Эту модель можно также использовать вкачестве аналогии. Помните, как вглаве1 мы обсуждали крах сетей финансовых учреждений? Мыможем применить вэтом контексте модель лесных пожаров, представив банки идругие финансовые структуры ввиде деревьев на плоскости, разделенной наклетки, где примыкающие клетки соответствуют непогашенным кредитам. Вэтой модели банкротство одного банка эквивалентно возгоранию дерева иможет распространиться насоседние банки.

Такое примитивное применение модели лесных пожаров кбанкам предсказывалобы масштабные банкротства помере усиления взаимосвязей между банками. Однако анализ этой аналогии выявляет четыре недостатка. Во-первых, финансовая сеть невстроена в физическое пространство. Банки отличаются по количеству связей. Уодного банка могут быть десятки финансовых обязательств, тогда как удругого всего одно-два. Во-вторых, дерево влесу неможет предпринять действий поснижению вероятности распространения пожара, в товремя как банки могут, например, увеличив объем резервов. В-третьих, чем больше убанка связей, тем меньше вероятность распространения банкротств, поскольку убытки банка будут распределены между другими банками. Например, если банк не возвращает кредит вразмере 100000долларов, взятый вдругом банке, второй банк вполне может обанкротиться. Однако если первый банк взял кредит у консорциума издвадцати пяти банков, ниодин изних непонесет больших убытков. Такая система способна поглотить убытки всвязи с невыплатой кредита, недопустив коллапса[16]. Инаконец, распространение краха отодного банка кдругому зависит от портфелей банков. Если вдвух связанных банках аналогичные портфели, то банкротство одного банка, скорее всего, ослабит другой банк. Худший сценарий наступает тогда, когда все банки всети имеют идентичные портфели. Втаком случае крах одного банка повышает вероятность банкротства остальных банков[17]. Ноесли укаждого банка особый портфель, неэффективная работа одного банка не обязательно указывает нанизкие показатели другого банка. Банкротство банков может неохватить другие банки. Следовательно, эффективная модель должна учитывать активы, входящие всостав разных портфелей. Без этой информации знания того, укаких банков есть обязательства перед другими банками, будет недостаточно для прогнозирования или предотвращения банкротств, а совокупный эффект более сильной связанности банков остается нечетким.

ВОЛАТИЛЬНОСТЬ (ИЗМЕНЧИВОСТЬ)

В заключение рассмотрим более тонкое следствие распределений сдлинным хвостом. Если объекты, образующие степенное распределение, отличаются поразмерам, то экспонента степенного закона становится косвенным показателем волатильности науровне системы. Изэтого следует, что распределение размеров компаний должно влиять на волатильность рынка. Вданном контексте представьте валовой внутренний продукт (ВВП) страны как совокупный продукт тысяч компаний. Если объем выпуска продукции— это независимый показатель, имеющий конечную вариацию, тосогласно центральной предельной теореме распределение ВВП будет подчинено нормальному закону. Изэтого также следует, что чем больше вариация объема выпуска продукции вразных компаниях, тем выше совокупная волатильность. Если распределение размеров компаний сболее длинным хвостом приводит кболее высокому уровню вариации объема производства, тоэто распределение также будет коррелировать сболее высокой совокупной волатильностью.

Анализ динамики волатильности вСША показывает, что в1970-х и1980-х годах она росла, азатем на протяжении следующих двух десятилетий снижалась вовремя так называемой эпохи великой умеренности[18]. Примерно в2000году волатильность снова начала усиливаться. Эти флуктуации волатильности можно объяснить изменениями в распределении размеров компаний[19]. Помере того как хвост распределения размеров компаний становится длиннее (короче), самые крупные компании оказывают непропорционально большое (меньшее) влияние на волатильность. Иначе говоря, совокупная волатильность повышается (снижается), когда хвост распределения размеров компаний удлиняется (укорачивается). В1995году, когда волатильность была низкой, объем доходов компании Walmart составлял 90миллиардов долларов, что соответствует 1,2процента отВВП. К2016году объем доходов Walmart достиг 480миллиардов долларов, или 2,6процента отВВП. Доля компании Walmart вваловом национальном продукте увеличилась более чем вдвое. В2016году увеличение или сокращение объема доходов Walmart вдва разабы увеличило вклад в совокупную волатильность.

Никто не опровергает логику этой аргументации. Но возникает вопрос: оказываетли откалиброванная модель воздействие, масштаб которого соответствует фактическим уровням волатильности? Соответствие оказалось достаточно близким. Распределение размеров компаний хорошо коррелирует с историческими данными обэпохе «великой умеренности». Эта корреляция не доказывает, что именно изменения в распределении размеров компаний (а не эффективное государственное управление экономикой или надлежащее управление товарно-материальными запасами) обусловили такую умеренность, но и не позволяет отвергать данную модель[20]. Кроме того, этот факт дает основания сохранять ее внашем арсенале, чтобы использовать для оценки флуктуаций вбудущем.

РАЗМЫШЛЕНИЯ ОМИРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СДЛИННЫМ ХВОСТОМ

Вслучае распределений сдлинным хвостом крупные события происходят с вероятностью, достаточной для того, чтобы это вызвало беспокойство. В рассмотренных нами моделях распределения сдлинным хвостом возникают вследствие обратных связей и взаимозависимостей. Нам следует учесть это наблюдение. Поскольку мир становится взаимосвязаннее, а количество обратных связей растет, мыбудем видеть все больше распределений сдлинным хвостом. А унынешних распределений хвосты могут стать еще длиннее. Неравенство может усугубиться, катастрофы— стать масштабнее, а волатильность— более выраженной. Все эти последствия нежелательны.

Пока мы обсуждали возможные сценарии на макроуровне, однако они могут иметь место и вболее мелких масштабах. Большой бостонский тоннель (длиной 5,6километра, пролегающий через центр города)— пример катастрофы умеренного масштаба. Проект обошелся налогоплательщикам в14миллиардов долларов (что более чем втрое превышает первоначальную смету) истал самым дорогостоящим проектом строительства автострады вистории США. Модельное мышление представляет Большой бостонский тоннель некак один проект, акак совокупность подпроектов, таких как рытье рва, заливка тоннеля бетоном, прокладка дренажной системы, атакже строительство стен исвода. Общая сумма затрат навесь проект равна сумме затрат на подпроекты.

Еслибы затраты накаждый подпроект были аддитивными, то их распределение навесь проект подчинялосьбы нормальному закону[21]. Однако они были взаимосвязаны. Когда материал наоснове эпоксидной смолы, который использовали для фиксации свода тоннеля, оказался непригодным, его заменили наболее дорогостоящий ипрочный, что увеличило затраты напроект. Просчет спервым эпоксидным материалом повлек засобой дополнительные затраты всвязи с извлечением изаменой рухнувшего свода. Общий объем затрат увеличился более чем вдвое, поскольку несколько других частей проекта пришлось переделывать. Взаимозависимости привели ккрупному и дорогостоящему событию.

Вероятность наступления крупных событий затрудняет процесс планирования. Распределение таких стихийных бедствий, как землетрясения, подчиняется степенному закону. Следовательно, большинство событий будут мелкими, но несколько— крупными. Если катастрофические события подчиняются степенному закону с показателем степени 2, правительствам нужно держать врезерве или как минимум наготове много денег, тоесть подготовиться к«черному дню». Если правительства сделают это, сохраняя огромный излишек в резервном фонде для чрезвычайных обстоятельств, они могут воздержаться от расходования этих денег или снизить налоги, если крупные события так и ненаступят.

Поиск и благоприятные возможности

Мыможем применить свои знания о распределениях врамках моделей поиска, чтобы объяснить, почему количество возможностей, получаемых человеком, сильно коррелирует сего успехом. Мывстроим один класс моделей (модели распределения) вдругой класс (модели поиска). Когда мычто-то ищем, будь тоновая пара обуви, работа или место для отдыха, мы незнаем значения выбранного варианта, пока неопробуем его. Вместе стем мыможем знать кое-что о распределении значений, таких как математическое ожидание, стандартное отклонение иявляетсяли распределение нормальным или имеет длинный хвост.

Мы смоделируем выбор профессии как процесс поиска. При наличии профессии человек пытается сделать карьеру, которую мы смоделируем как выбор значения из распределения. Предположим, что человек либо будет придерживаться этого карьерного пути, либо попробует строить карьеру заново. Новая попытка соответствует новому значению из распределения. Рассмотрим вкачестве примера выбор профессии для талантливого молодого ученого. Онможет поступить на медицинский факультет или заняться исследованиями вобласти квантовых вычислений. Медицинский факультет обеспечивает более надежный путь. Выбор впользу квантовых вычислений подразумевает серьезные риски и необходимость заняться бизнесом. Для того чтобы учесть эти различия, представим распределение заработной платы врачей ввиде нормального распределения с математическим ожиданием 250000долларов и стандартным отклонением 25000долларов, а распределение заработной платы вслучае предпринимательской карьеры ввиде степенного распределения с показателем степени 3 и ожидаемой заработной платой 200000долларов[22].

Наш ученый врамках каждой профессии может попробовать себя во множестве специализаций. Врач может переключиться с онкологии на радиологию. Неудачник-предприниматель— собрать осколки своего стартапа иначать все заново. Каждый случай изменения карьеры предполагает определенные издержки. Для врача это означает дополнительное обучение. Для предпринимателя вобласти квантовых вычислений— больше длинных ночей работы при небольшой или нулевой компенсации.

Мыбудем исходить изтого, что наш молодой ученый найдет две вравной степени интересные профессии исделает выбор сучетом заработной платы. Наша модель указывает нато, что более удачный выбор зависит оттого, сколько раз наш герой может себе позволить строить новую карьеру. Если онвынужден остановиться на еепервом варианте, профессия врача обеспечивает более высокую заработную плату. Если унего есть ресурсы для продолжения попыток вобласти предпринимательства, современем оннайдет высокооплачиваемый вариант выбора издлинного хвоста. На представленном ниже рисунке показана средняя максимальная заработная плата подвадцати попыткам вслучае одного, двух, пяти идесяти вариантов поиска карьеры вкаждой профессии. Если унашего молодого ученого есть возможность десять раз попробовать свои силы всоздании стартапов по квантовым вычислениям, его заработная плата будет почти вдвое больше, чем он заработал бы, еслибы выбрал медицинский факультет и экспериментировал сдесятью вариантами карьеры вэтой области.

Средний доход в зависимости от количества благоприятных возможностей

Если богатство и поддержка состороны семьи соотносятся с количеством благоприятных возможностей для того, чтобы попробовать новую карьеру, наша модель прогнозирует, что более состоятельные люди предпочтут профессии, вбольшей степени сопряженные сриском[23]. Данные опатентах согласуются сэтой моделью. Вероятность того, что человек получит патент, соотносится сего математическими способностями. Люди, принадлежащие кодному проценту людей с развитыми математическими способностями, сгораздо большей вероятностью владеют патентами. Среди тех, кто относится кодному проценту лучших излучших, у представителей семей, принадлежащих кверхним 10процентам шкалы распределения доходов, вероятность получить патент еще выше[24]. Минимум две модели могут объяснить это неравноправие. Одна модель может исходить изтого, что талантливые ученики изболее бедных семей не поступают вколледж. Они выполняют рутинную работу иперед ними нестоит выбор между медицинским факультетом и квантовыми вычислениями. Кроме того, ученики изкласса неимущих могут выбирать более надежную карьеру.

Логические рассуждения отом, что расширение благоприятных возможностей создает стимул для риска, применимы вболее широком контексте. Венчурные инвесторы рискуют, потому что делают множество инвестиций. Начальные инвестиции водного единорога (миллиардную компанию) сизбытком компенсируют инвестиции вомногие неудачные проекты. Научно-исследовательские лаборатории фармацевтических компаний тоже рискуют, выделяя миллиарды долларов на разработку новых лекарственных препаратов. Этаже логика применима ипри решении отом, где пообедать. Проехав сотни километров и остановившись в незнакомом городе, мыможем пообедать водном из ресторанов какой-либо сети. При переезде вэтот город нам придется экспериментировать.

Да, явру, потому что тытребуешь отменя однозначных ответов, а однозначные ответы почти всегда ложь.

Элена Ферранте

Нередко модели устанавливают определенную функциональную зависимость между переменными. Она может быть линейной, вогнутой, выпуклой, S-образной или содержать пороговый эффект. Извсех этих вариантов линейные модели самые простые и распространенные— иименно они будут находиться вцентре внимания вэтой главе. Влияние образования науровень доходов, увеличение продолжительности жизни благодаря физической активности, атакже зависимость явки избирателей отдохода— все это можно количественно измерить спомощью линейных моделей. Вначале главы мыосвежим ваши знания олинейных функциях содной переменной. Затем покажем, как регрессия приводит данные в соответствие слинейной функцией, раскрывая знак, величину и значимость эффекта. Кроме того, мыобсудим, почему ошибки, помехи и разнородность означают, что данные непопадают точно налинию регрессии. Затем мырасширим линейную модель, включив внее несколько переменных, иобъясним, как выполнить подгонку моделей со множеством переменных. Для того чтобы выработать интуитивное понимание таких моделей, мыопишем модель успеха как линейную функцию навыков иудачи. Вконце главы мы поговорим отом, как использование данных и регрессий вкачестве руководства кдействию ограничивает количество ошибок, номожет также привести к малозначимым, консервативным действиям. Мышление, ориентированное набольшие коэффициенты, способно сдерживать инновации. Для выявления более инновационных вариантов мы рассмотрим возможность построения других, более умозрительных моделей.

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

Влинейной зависимости величина изменения одной переменной в результате изменения другой переменной независит отзначения второй переменной. Если высота дерева находится влинейной зависимости отего возраста, это дерево ежегодно вырастает наодну итуже величину. Если стоимость дома возрастает линейно в зависимости отего площади, то ее увеличение на200квадратных футов повышает стоимость дома вдвое по сравнению с увеличением на100квадратных футов. Увеличение площади дома на400квадратных футов повышает стоимость дома вчетыре раза.

Линейные модели

В линейной модели изменения независимой переменной xприводят клинейным изменениям зависимой переменной yпо следующей формуле:

y= mx+ b,

где m— это наклон линии, аb— отрезок, отсекаемый на координатной оси, значение зависимой переменной, когда независимая переменная равна нулю23.

Модель линейной регрессии находит линию, которая минимизирует расстояние доточек данных. Линейная регрессия может объяснить колебания уровня преступности, объема продаж стиральных машин идаже цен навина[1]. Предположим, унас есть данные овзрослых ввозрасте отдвадцати до шестидесяти лет, втом числе расстояние, которое они проходят каждую неделю. Мынаходим следующее уравнение регрессии:

Проходимое человекомi расстояние вмилях=−0,1· возрастi+ 12+ ei

Это уравнение регрессии указывает знак (с возрастом расстояние уменьшается) ивеличину (каждый год возраста сокращает расстояние надесятую часть мили) эффекта. Вданном примере отрезок на координатной оси неимеет отношения кделу, поскольку находится вне нашего диапазона данных, тоесть невключает данные олюдях ввозрасте около нуля лет. Уравнение позволяет предположить, что сорокалетний человек должен проходить восемь миль внеделю, а пятидесятилетний— семь миль. Данные, используемые для построения регрессии, непопадают точно налинию регрессии. Нарис.7.1 показаны гипотетические данные, наоснове которых построена наша линия регрессии. Серым кружком обозначена сорокалетняя женщина поимени Бобби, которая проходит одиннадцать миль внеделю— расстояние, превышающее оценочный показатель модели натри мили. Для того чтобы привести эти данные в соответствие смоделью, в уравнение включена погрешность покаждой точке данных, которая обозначена символом e иравна разности между оценкой, полученной спомощью модели, и фактическим значением зависимой переменной. Вслучае Бобби погрешность eравна+3мили.

Рис.7.1. Диаграмма разброса илиния регрессии

В социальном и биологическом контекстах мы неожидаем идеальных линейных соответствий. Результат зависит от множества переменных, а регрессия содной переменной по определению содержит только одну переменную. Прогнозируемые значения могут отклоняться от фактических именно из-за этих пропущенных переменных. Бобби может пройти больше, чем ожидается, потому чтокак профессор ботаники водит своих студентов напрогулки влес. Модель не учитывает профессию как переменную, что объясняет, почему данные нарис.7.1 не находятся налинии. Член уравнения eможет также быть следствием погрешности измерения. Фитнес-данные, которые собирают смартфоны, содержат ошибки, если люди забывают где-то свои устройства или одалживают ихдругим. Кроме того, ошибка может возникнуть из-за помех окружающей среды— набрать дополнительное расстояние можно засчет поездки наработу по ухабистой дороге[2].

Чем ближе линия регрессии кданным, тем больше данных объясняет модель итем выше значение Rвквадрате (доля объясненной вариации). Если все данные находятся точно налинии регрессии, тозначение Rвквадрате равно 100процентам. При прочих равных условиях мы предпочитаем модели сболее высокими значениями Rвквадрате24.

Знак, значимость ивеличина

Линейная регрессия предоставляет нам информацию о коэффициентах независимых переменных.

Знак: корреляция (положительная или отрицательная) между независимой и зависимой переменной, определяется познаку коэффициента m.

Значимость (p-значение): вероятность того, что коэффициент mотличен отнуля25.

Величина: наилучшая оценка коэффициента при независимой переменной.

В регрессии содной переменной чем ближе данные клинии регрессии ичем больше ихобъем, тем больше мыможем доверять знаку ивеличине коэффициентов. Статистики измеряют значимость коэффициента спомощью p-значения, которое равно основанной на регрессии вероятности того, что коэффициент отличен отнуля. P-значение, равное 5%, означает наличие одного шанса издвадцати, что данные были сгенерированы процессом, вкотором коэффициент равен нулю. Стандартные пороговые уровни значимости— 5процентов (обозначается как*) и1процент (обозначается как**). Однако значимость— это невсе, что нам нужно. Коэффициент может быть значимым, ноиметь малую величину (когда это так, мыможем быть уверены вналичии корреляции, но переменная оказывает незначительное воздействие), или может быть большим, но неиметь значимости. Так часто происходит сданными с искажениями или со множеством пропущенных переменных.

Для того чтобы увидеть, как использовать регрессию вкачестве руководства кдействию, представьте компанию, которая поставляет специи. Компания предлагает более ста видов специй. Клиенты покупают наборы изшести, двенадцати или двадцати четырех специй, которые сотрудники упаковывают и отгружают. Регрессия, оценивающая количество заказов, отгруженных за восьмичасовую смену, как функцию стажа работы сотрудника, дает следующее уравнение:

количество выполненных заказов= 200+ 20**· стаж

Уровень значимости коэффициента 20, который указан перед стажем работы, составляет 1процент. Мыможем быть уверены, что значение этого коэффициента положительное. Если зависимость носит причинно-следственный характер (см. ниже), модель можно использовать для прогнозирования количества заказов, которые сотрудник может выполнить заодну смену в зависимости отстажа работы. Кроме того, мыможем использовать эту модель для прогнозирования количества заказов, которые эти сотрудники выполнят в следующем году. Здесь мыимеем пример модели, которая позволяет составить прогноз ислужит руководством кдействию.

КОРРЕЛЯЦИЯ VSКАУЗАЦИЯ

Регрессия выявляет только корреляцию между переменными, но не причинность[3]. Если мысначала построим модель, азатем используем регрессию, чтобы проверить, подкрепленыли данными результаты, полученные спомощью этой модели, это тоже непоможет доказать наличие причинно-следственной связи (казуальности). Тем неменее описать модель ссамого начала— гораздо лучше, чем выполнять регрессионный анализ впоисках значимой корреляции, тоесть использовать метод, известный как глубинный анализ данных. Вслучае глубинного анализа данных существует риск обнаружить переменную, которая коррелирует сдругими каузальными переменными. Например, глубинный анализ данных может выявить значимую положительную корреляцию между уровнем витамина D иобщим состоянием здоровья. Люди получают витамин Dотсолнца, азначит, этот факт может быть обусловлен тем, что люди, ведущие активный образ жизни, проводят больше времени насвежем воздухе иимеют более крепкое здоровье. Кроме того, регрессионный анализ может выявить сильную корреляцию между уровнем успеваемости вшколе и количеством учеников, входящих всостав школьной команды конного спорта. Скорее всего, команды конного спорта не оказывают прямого причинно-следственного воздействия, но соотносятся суровнем семейного дохода иобъемом финансирования школы— факторами, такое воздействие оказывающими.

Глубинный анализ данных может также приводить к обнаружению ложной корреляции, когда связь между переменными обусловлена случайным стечением обстоятельств. Мыможем обнаружить, что компании сболее длинными названиями получают более высокую прибыль, или что улюдей, живущих неподалеку отпиццерий, выше риск заболеть гриппом. При пороговом уровне значимости 5процентов одна издвадцати проверяемых переменных будет значимой. Следовательно, проанализировав достаточное количество переменных, мы обязательно найдем значимую (иложную) корреляцию.

Избежать ложных корреляций можно путем создания обучающих ипроверочных наборов данных. Корреляция, выявленная на обучающем наборе данных и присутствующая в проверочном наборе данных, сгораздо большей вероятностью является истинной. Тем неменее унас по-прежнему нет никаких гарантий наличия причинно-следственной связи. Для того чтобы доказать каузальность, необходимо провести эксперимент, входе которого мыбудем манипулировать с независимой переменной и наблюдать, изменитсяли зависимая переменная. Вкачестве альтернативы можно найти естественный эксперимент, тоесть когда это произошло совершенно случайно.

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ СО МНОЖЕСТВОМ ПЕРЕМЕННЫХ

В большинстве явлений задействовано несколько каузальных и корреляционных переменных. Счастье человека можно связать со здоровьем, семейным положением, потомством и религиозной принадлежностью. Стоимость дома зависит отего площади, размера участка, количества ванных комнат испален, типа строительства икачества местных школ. Все эти переменные можно включить в регрессию, чтобы объяснить стоимость жилья. Однако мыдолжны помнить, что при добавлении дополнительных переменных нам понадобится больше данных для получения значимых коэффициентов регрессии.

Прежде чем обсуждать множественную регрессию, выработаем интуитивное понимание уравнений со множеством переменных, введя уравнение успеха Майкла Мобуссина[4]. Это уравнение описывает успех, будь то вработе, спорте или играх, как взвешенную линейную функцию мастерства иудачи.

Уравнение успеха

успех= a· мастерство+ (1− a)· удача,

где значение aв диапазоне[0,1] равно относительному весу мастерства.

Присвоение относительного веса мастерству иудаче (возможно, спомощью регрессии при наличии данных) позволилобы нам использовать модель для прогнозирования результатов. Если менеджер команды агентов попродаже рекреационных автомобилей обнаруживает, что успех, выраженный вобъеме продаж, содержит большой элемент удачи, онбудет ожидать регрессии ксреднему значению: продавцы, обеспечившие высокий уровень продаж вэтом месяце, скорее всего, покажут средние результаты в следующем месяце. Втаком случае менеджер может использовать эту модель как основу для дальнейших действий. Возможно, он незахочет поднимать зарплату агенту попродажам, укоторого было два удачных месяца подряд, доуровня оплаты в конкурирующей компании. Однако еслибы вместо этого регрессионный анализ показал, что удача несыграла почти никакой роли, авысокий результат задва месяца былбы хорошим предиктором аналогичной результативности в следующие месяцы, тогда менеджер, возможно, захотелбы заплатить лучшему продавцу столькоже, сколько платят вдругих компаниях.

Аналогичные соображения применимы и коплате труда СЕО. Совет директоров недолжен выплачивать бонусы СЕО, работающим вотраслях, где удача определяет успех. Прибыль нефтедобывающей компании зависит отрыночной цены нефти— переменной, которая находится вне контроля компании. Следовательно, совет директоров нефтедобывающей компании должен воздерживаться от вознаграждения СЕО захороший год. В рекламном агентстве целесообразно поступать с точностью донаоборот— если компания работает хорошо, выплачивать большие бонусы СЕО. Словом, платите за мастерство, ане заудачу. Насамом деле корпорации сболее эффективной системой управления платят заудачу меньше[5].

Даже такие простые модели, как эта, позволяют сделать глубокие выводы. Проанализировав данное уравнение, мывидим, что даже в контексте, почти полностью зависящем от мастерства (как вслучае бега, велоспорта, плавания, шахмат или тенниса), при небольших отличиях вего уровне именно удача в значительной мере определяет успех. Можно предположить, что всамых конкурентных средах (таких как Олимпийские игры) различия внавыках несущественные, азначит, значение имеет удача. Мобуссин называет это парадоксом мастерства. Величайший пловец вистории Майкл Фелпс был наего обеих сторонах. Вовремя Олимпийских игр 2008года вконце 100-метровой дистанции баттерфляем Фелпс отставал отМилорада Чавича, но по счастливой случайности коснулся стены первым. Вовремя Олимпийских игр 2012года Фелпс опережал Чада леКло нафинише, нопервым кстене прикоснулся леКло. Да,Фелпс обладает невероятным мастерством, ноэта победа и поражение— продукты удачи.

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

Модели множественной линейной регрессии соответствуют линейным уравнениям со множеством переменных и минимизируют суммарное расстояние доданных. Эти уравнения содержат коэффициенты для каждой независимой переменной. Представленное ниже уравнение описывает конечный результат гипотетической регрессии оценок учащихся по математическим тестам как функцию количества часов обучения (HRS), социально-экономического статуса семьи (SES) и количества курсов ускоренного обучения (AC).

оценка по математике= 21,1+ 9,2**· HRS+ 0,8· SES+ 6,9*· AC.

Согласно этой регрессии, оценка учащегося повышается на9,2 пункта накаждый дополнительный час обучения. У коэффициента две звездочки, азначит, он существенно отличается отнуля науровне значимости 1процент. Это подразумевает наличие сильной корреляции, но непричинно-следственной связи.

Уравнение также показывает, что оценка одного учащегося повышается почти насемь пунктов накаждый курс ускоренного обучения. Этот коэффициент тоже имеет значимость, нотолько науровне 5процентов. Социально-экономический статус семьи (переменная, принимающая значения от1 (низкий статус) до5 (высокий статус)) имеет положительный коэффициент, который незначительно отличается отнуля, поэтому можно предположить, что он, повсей вероятности, оказывает небольшое причинно-следственное воздействие.

На основании этого или любого другого регрессионного анализа мыможем прогнозировать конечные результаты. Модель прогнозирует, что учащийся, который уделяет учебе семь часов ипроходит один курс ускоренного обучения, должен набрать около 90 баллов. Кроме того, модель также можно использовать вкачестве руководства кдействию, но с осторожностью, поскольку здесь мы неможем вывести причинно-следственную связь. Данные показывают, что учащиеся, которые усердно учатся ипроходят ускоренные курсы обучения, получают более высокие оценки. Одна изпричин того, что упорная учеба или ускоренные курсы обучения могут непринести пользы— смещение отбора. Возможно, такие учащиеся более сильны в математике.

Хотя регрессия неможет доказать, что именно порождает теили иные закономерности вданных, она позволяет исключить некоторые объяснения. Рассмотрим различия вуровне благосостояния разных рас. В2016году средний уровень благосостояния белых семей (около 110000долларов) более чем вдесять раз превышал уровень благосостояния семей афро- илатиноамериканцев. Этот разрыв можно объяснить множеством причин, втом числе институциональными факторами, различиями вдоходах, поведением в отношении сбережений или процентом браков. Регрессия поддерживает одни объяснения и исключает другие. Например, регрессионный анализ указывает на отсутствие значимой зависимости между семейным положением иуровнем благосостояния афроамериканцев, азначит, семейное положение неможет быть причиной. Различий вдоходах, хотя они и достаточно большие, тоже оказалось недостаточно для объяснения данного разрыва[6].

БОЛЬШОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ИНОВЫЕ РЕАЛИИ

Как уже говорилось, модели линейной регрессии играют важнейшую роль вобласти научных исследований, политического анализа ипринятия стратегических решений— отчасти потому, что ихлегко оценить и интерпретировать. Помере повышения доступности данных их применение стало еще шире. Фраза «Мыверим Богу, все остальные должны предоставлять данные» звучит вделовых и правительственных кругах все чаще. Широкое применение данных (которое нередко означает использование моделей линейной регрессии) может подталкивать нас к совершению второстепенных действий— всторону, противоположную реализации перспективных новых идей. Компании, правительства или фонды, которые собирают данные, азатем используют модель линейной регрессии инаходят переменную ссамым большим коэффициентом статистической значимости,— практически не в состоянии воздержаться от корректировки этой переменной и получения предельного выигрыша.

При совершении того или иного действия лучше выбрать переменную сбольшим коэффициентом, чем смалым. Кроме того, мышление с ориентацией набольшие коэффициенты опирается на консервативный подход, который фокусируется на определенных незначительных улучшениях и отвлекает внимание от принципиально нового курса действий. Вторая проблема мышления, ориентированного набольшие коэффициенты, состоит втом, что ихвеличина соответствует предельному эффекту сучетом имеющихся данных. Нередко, как мыувидим в следующей главе, величина эффекта уменьшается помере повышения значения переменной. Если это так, большой коэффициент становится меньше, когда мыпытаемся его использовать.

Большой коэффициент иновые реалии

Линейная регрессия указывает навеличину корреляции между независимыми переменными и изучаемой переменной. Если такая корреляция каузальна (описывает причинность), изменение переменной сбольшим коэффициентом будет иметь серьезные последствия. Курс действий, опирающийся набольшие коэффициенты, гарантирует улучшения, но исключает новые реалии, которые подразумевают более фундаментальные перемены.

Альтернативой мышлению, ориентированному набольшие коэффициенты, является мышление, ориентированное нановые реалии. Мышление с ориентацией набольшие коэффициенты расширяет дороги истроит полосы для транспортных средств с пассажирами, чтобы снизить интенсивность дорожного движения. Мышление с ориентацией нановые реалии строит сети железнодорожного и автобусного сообщения. Мышление с ориентацией набольшие коэффициенты финансирует покупку компьютеров для студентов снизкими доходами. Мышление с ориентацией нановые реалии предоставляет компьютеры всем без исключения и сокращает сроки доставки почты дотрех дней внеделю. Мышление с ориентацией набольшие коэффициенты увеличивает ширину сидений в самолетах. Мышление с ориентацией нановые реалии создает такой салон самолета, который можно заполнять взаимозаменяемыми отсеками для людей сразными габаритами. Большие коэффициенты— это хорошо. Предпринимать действия, основанные на фактических данных,— мудро, но мытакже должны быть открыты для новых идей. А обнаружив их, должны использовать модели, чтобы выяснить, обеспечатли они требуемые результаты. Регрессионный анализ дорожно-транспортных происшествий сучастием подростков может указывать нато, что возраст имеет самый большой коэффициент, подразумевая, что правительство может захотеть повысить возраст для получения водительских прав. Это действительно может сработать, нотакого результата позволяют добиться и принципиально новые меры, такие как запрет навождение вночное время, автоматический мониторинг водителей-подростков через их смартфоны или введение ограничений на количество пассажиров в автомобилях подростков. Действия сучетом новых реалий могут дать более масштабный эффект, чем использование большого коэффициента.

РЕЗЮМЕ

Таким образом, линейные модели исходят из постоянной величины эффекта. Линейная регрессия— мощный инструмент предварительного анализа данных, позволяющий определить знак, величину и значимость переменных. Если мыхотим знать овлиянии потребления кофе, алкоголя и газированных напитков наздоровье человека, регрессионный анализ поможет нам вэтом. Мыможем обнаружить, что потребление кофе снижает риск сердечно-сосудистых заболеваний, также как и умеренное потребление алкоголя. Однако нам следует скептически относиться к экстраполяции линейных эффектов слишком далеко запределы диапазона имеющихся данных. Мы недолжны думать, что выпивать задень тридцать чашек кофе, неговоря уже ошести бокалах вина, это хорошо. Нестоит также делать линейные прогнозы наслишком отдаленное будущее. Запериод с1880 по1960год численность населения Калифорнии росла со скоростью 45процентов. Применив линейную экстраполяцию, мыполучилибы численность населения Калифорнии в2018году вразмере 100миллионов человек, что более чем вдва раза превышает фактический показатель.

Имейте ввиду, что мытолько начинаем. Большинство изучаемых явлений носят нелинейный характер. Поэтой причине многие регрессионные модели содержат нелинейные параметры, такие как квадрат возраста, квадратный корень извозраста идаже логарифм возраста. Для того чтобы объяснить нелинейные характеристики, мытакже можем организовать непрерывную последовательность линейных моделей. Эти сопряженные линейные модели могут аппроксимировать кривую вомногом подобно тому, как из прямоугольных кирпичей можно выложить извилистую дорожку. Хотя линейность может быть слишком сильным и нереалистичным предположением, это хорошая отправная точка. При наличии данных можно использовать линейные модели для проверки интуитивных выводов, азатем разработать более сложные модели, вкоторых воздействие переменной слабеет помере увеличения еезначения (убывающая отдача) или усиливается (положительная отдача). Такие нелинейные модели— тема следующей главы.

Бинарная классификация данных

Вэпоху больших данных организации используют для их классификации алгоритмы, основанные намоделях. Политическая партия может захотеть выяснить, кто голосует, авиакомпании может понадобиться информация о характеристиках часто летающих пассажиров, а организатор мероприятий может захотеть узнать оего участниках. Вкаждом изэтих случаев организация распределяет людей надве категории: те, кто покупает, вносит свой вклад или регистрируется на мероприятие, обозначаются как положительные величины (+), ате, кто этого неделает,— как отрицательные величины (–).

Модели классификации используют алгоритмы для разделения людей на категории сучетом таких характеристик, как возраст, доход, уровень образования или количество часов, проведенных в интернете. Разные алгоритмы подразумевают разные базовые модели взаимосвязи между характеристиками и результатами. Применение множества алгоритмов (использование множества моделей) обеспечивает более точную классификацию.

Линейная классификация. Нарис.M1 положительные величины (+) представляют участников голосования, а отрицательные величины (–)— тех, кто не голосовал. Линейная функция возраста иуровня образования человека позволяет определить, приметли онучастие в голосовании. Данные указывают нато, что более образованные люди илюди старшего возраста сбольшей вероятностью голосуют. Вданном примере прямая линия почти идеально делит избирателей на категории[7].

Рис.M1. Использование линейной модели для классификации поведения избирателей

Нелинейная классификация. Нарис.M2 положительные величины (+) представляют часто путешествующих пассажиров (которые летают более 10000 миль вгод), а отрицательные величины (–) всех остальных клиентов авиакомпании. Люди среднего возраста иболее обеспеченные летают чаще. Для классификации этих данных необходима нелинейная модель, которую можно рассчитать спомощью алгоритмов глубокого обучения, таких как нейронные сети. Нейронные сети содержат больше переменных, поэтому могут построить практически любую кривую.

Рис.M2. Использование нелинейной модели для классификации часто путешествующих пассажиров

Лес деревьев принятия решений. Нарис.M3 положительные величины (+) представляют людей, которые участвовали в конференции понаучной фантастике, сучетом ихвозраста и количества часов, проведенных в интернете. Вэтом случае мы классифицируем данные спомощью трех деревьев принятия решений. Деревья принятия решений обеспечивают классификацию наоснове наборов условий по характеристикам. Нарисунке показаны следующие деревья:

Рис.M3. Лес деревьев принятия решений, классифицирующий участников конференции

Дерево 1: если (возраст < 30) и(количество часов в интернете занеделю в диапазоне[15, 25]).

Дерево 2: если (возраст в диапазоне[20, 45]) и(количество часов в интернете занеделю >30).

Дерево 3: если (возраст >40) и(количество часов в интернете занеделю >20).

Такая совокупность деревьев принятия решений называется лесом. Алгоритмы машинного обучения создают деревья в произвольном порядке на обучающих наборах данных, азатем сохраняют те, которые обеспечивают точную классификацию на проверочном и обучающем наборах.

Говорить о нелинейной науке— все равно что говорить о неслоновьей зоологии.

Джон фон Нейман

Рассмотрим теперь нелинейные модели и нелинейные функции. Нелинейные функции могут изгибаться вниз или вверх, иметь S-образную форму, образовывать петли, скачки изавитки. Всвое время мыопишем все эти варианты. Апока начнем смоделей, основанных на выпуклости и вогнутости, ипокажем, как рост и положительная обратная связь создают выпуклость, а убывающая отдача и отрицательная обратная связь— вогнутость. Большинство предметных областей содержат модели обоих типов. Экономические модели производства предполагают, что затраты надоставку ихранение товарно-материальных запасов сокращаются в зависимости отразмера компании, всвязи счем прибыль наединицу проданной продукции имеет вид выпуклой функции26 размера компании. Это объясняет, почему Walmart получает такую большую прибыль[1]. Экономические модели потребления исходят изтого, что полезность (или ценность)— это вогнутая функция (пятый кусок пиццы приносит нам меньше удовольствия, чем первый). В экосистемах, когда новый вид захватывает среду обитания и не встречает там хищников, его популяция растет с постоянной скоростью, создавая выпуклую функцию. Помере роста численности вида количество пищи уменьшается. Поэтому приспособленность как функция размера популяции имеет вогнутую форму.

Вглаве три части. Впервой рассматриваются модели увеличения и сокращения численности популяций. Вторая посвящена вогнутости. Вней мыувидим, как вогнутость приводит к неприятию риска и предпочтениям разнообразия. Втретьей мыизучим ряд моделей роста изобласти экономики, сочетающих вогнутые илинейные функции.

ВЫПУКЛОСТЬ

Выпуклые функции имеют возрастающий наклон: значение функции увеличивается набольшую величину помере повышения значения переменной. Количество возможных пар людей— это выпуклая функция от численности группы. Группа изтрех человек включает три уникальные пары, группа изчетырех человек— шесть уникальных пар, агруппа изпяти человек— десять. Каждое увеличение численности группы увеличивает количество пар набольшую величину. Аналогично, когда шеф-повар добавляет новые специи вблюда, он увеличивает количество сочетаний специй набольшую величину.

Наша первая модель выпуклости, модель экспоненциального роста, описывает величину переменной (восновном это популяция или ресурс) как функцию ее исходного значения, скорости роста и количества периодов.

Модель экспоненциального роста

Величину Vt ресурса вмомент времени t, имеющую исходное значение V0 и возрастающую со скоростью R, можно описать так:

Vt= V0(1+ R)^t.

Эта модель ввиде одного уравнения играет важную роль вобласти финансов, экономики, демографии, экологии и технологий. Применительно кфинансам вкачестве переменной выступают деньги. Спомощью данного уравнения можно рассчитать, что облигация стоимостью 1000долларов сгодовой процентной ставкой 5процентов увеличивается вцене на50долларов запервый год иболее чем на100долларов в двадцатый год. Для чистоты выводов будем подразумевать постоянный темп роста. Сучетом такого предположения наоснове уравнения экспоненциального роста можно вывести правило72.

Правило 72

Если таили иная величина регулярно увеличивается на небольшой (менее 15процентов) процент Rвтечение некоторого периода, то приблизительно определить срок ееудвоения позволяет следующее уравнение:

Правило 72 позволяет наглядно продемонстрировать, как работают сложные проценты. В1966году ВВП Зимбабве составлял 2000долларов надушу населения ивдвое превышал этот показатель вБотсване. На протяжении следующих тридцати шести лет вЗимбабве наблюдался только незначительный рост ВВП, в товремя как вБотсване средний рост загод составил 6процентов, азначит, ВВП Ботсваны удваивался каждые двенадцать лет. Затридцать шесть лет онудвоился три раза, вцелом увеличившись ввосемь раз. В результате в2004году ВВП Ботсваны надушу населения вразмере 8000долларов вчетыре раза превышал ВВП Зимбабве.

Эта формула объясняет, почему пузыри нарынке недвижимости непременно лопаются, а технологический прогресс— нет. В2002году цены надома вСША выросли на10процентов, что подразумевает удвоение каждые семь лет. Еслибы эта тенденция сохранялась на протяжении тридцати пяти лет, тоцены надома удваивалисьбы пять раз, что означалобы ихобщее повышение в32 раза. Дом стоимостью 200000долларов в2002году в2037-м оценивалсябы в6,4миллиона долларов. Ноцены немогут расти такими темпами. Пузырь должен был лопнуть. Вотличие отзакона Мура, который гласит, что количество транзисторов, которые могут поместиться на микросхеме, удваивается каждые два года. Закон Мура актуален27, поскольку расходы на исследования и разработки обеспечивают постоянное улучшение технологий.

Демографы применяют модель экспоненциального роста к народонаселению. Если численность населения ежегодно увеличивается на6процентов, тоона удваивается каждые двенадцать лет. Затридцать шесть лет этот показатель удваивается трижды, азасто лет— восемь раз (что означает общее увеличение в256 раз). В1798году британский экономист Томас Мальтус обратил внимание нато, что численность населения растет по экспоненте, иописал модель, показавшую, что, если способность экономики производить продукты питания будет возрастать линейно, наступит кризис. Сокращенная версия этой модели выглядит так. Численность населения возрастает как 1, 2, 4, 8, 16, 32… Выпуск продуктов питания растет как 1, 2, 3, 4, 5… Мальтус предсказывал катастрофу. Ксчастью, уровень рождаемости упал, а наступившая промышленная революция обусловила рост производительности. Еслибы ничего не изменилось, Мальтус оказалсябы прав. Однако он неучел потенциала процесса инноваций, который находится вцентре внимания моделей, представленных далее. Инновации обернули эту тенденцию вспять.

Модель экспоненциального роста можно также применить к распространению видов, причем нетолько ккроликам. Когда вы подхватываете бактериальную инфекцию, крошечные бактерии воспроизводятся с невероятной скоростью. Их численность вносовых пазухах человека увеличивается примерно на4процента вминуту. Применив правило 72, мыможем вычислить, что их численность удваивается каждые двадцать четыре минуты. Всего заодин день каждая первоначальная бактериальная клетка порождает более миллиарда (!) потомства[2]. Рост останавливается, когда из-за физических ограничений ваших носовых пазух вних неостается свободного места. Дефицит пищевых ресурсов, хищники и отсутствие свободного места— все это замедляет рост. Некоторые виды, например олени в пригородной зоне Америки или гиппопотамы, которых наркобарон Пабло Эскобар завез вКолумбию, не встречают серьезных препятствий для роста, поэтому их численность стремительно увеличивается, хотя ине стакой скоростью, как численность бактерий[3].

Выпуклая функция с положительным наклоном повышается с увеличением значения. Выпуклая функция с отрицательным наклоном становится менее наклонной. Выпуклая функция с изначально большим отрицательным наклоном становится плоской. Это верно вслучае уравнения, используемого вмодели периода полураспада, описывающей радиоактивный распад, обесценивание и забывание.

Вмодели периода полураспада каждые Hпериодов половина количественной величины распадается, поэтому показатель Hназывают периодом полураспада. Для некоторых физических процессов период полураспада— величина постоянная. Вся органическая материя содержит два типа углерода: нестабильный изотоп углерод-14 и стабильный изотоп углерод-12. Вживой органической материи они присутствуют в постоянном соотношении. Когда организм умирает, углерод-14 вего теле начинает распадаться спериодом полураспада 5734года. При этом количество углерода-12 неменяется. Специалист по физической химии Уиллард Либби понял, что, измерив соотношение между содержанием углерода-14 иуглерода-12, можно определить возраст окаменелости или артефакта— метод, известный как «радиоуглеродное датирование». Археологи применяют этот метод для оценки подлинности артефактов, а палеонтологи используют аналогичный метод (втом числе и сдругими, гораздо более долгоживущими изотопами) для оценки возраста останков динозавров, шерстистых мамонтов и доисторических рыб. Возраст останков ледяной мумии человека Эци, найденной в итальянских Альпах, оценивается впять тысяч лет. Туринская плащаница, впервые продемонстрированная в1357году как погребальная плащаница Иисуса Христа, датируется XIV столетием, а не временами Христа28.

Модель периода полураспада

Если каждые Hпериодов половина количественной величины распадается, топосле tпериодов верно следующее выражение:

Модель периода полураспада нашла применение и в психологии. Ранние психологические исследования показали, что люди забывают информацию спочти постоянной скоростью. Период полураспада нашей памяти зависит от значимости события[4]. В2016году фильм Spotlight («Вцентре внимания») получил премию Американской киноакадемии в номинации «Лучший фильм». Если память человека о лауреатах премии «Оскар» имеет двухгодичный период полураспада, то в2018году офильме вспомнилибы людей, ав2026-м ивовсе . Уразных людей разные воспоминания об определенном событии. Том Маккарти, режиссер иодин изавторов сценария фильма, скорее всего, никогда незабудет тот год, когда онполучил «Оскар».

ВОГНУТЫЕ ФУНКЦИИ

Вогнутые функции— противоположность выпуклым. Наклон вогнутых функций снижается. Вогнутые функции с положительным наклоном отражают убывающую отдачу: дополнительная ценность каждого нового объекта уменьшается помере увеличения количества таких объектов. Полезность или ценность практически всех благ демонстрирует убывающую отдачу. Чем больше унас досуга, денег, мороженого или даже времени, проведенного сблизкими людьми, тем меньше мывсе это ценим. Подтверждением служит тот факт, что чем больше мы потребляем практически всего, втом числе шоколада, тем меньше удовольствия получаем итем меньше готовы занего платить[5].

Убывающая отдача может объяснить целый ряд явлений, включая ито, почему отношения на расстоянии часто бывают такими счастливыми. Если вывидитесь с партнером всего несколько часов вмесяц, каждая дополнительная минута прекрасна. Через месяц непрерывной близости наклон кривой счастья выравнивается и несколько дополнительных моментов теряют свою значимость[6]. Это объясняет, почему девелоперы предлагают людям бесплатное посещение своих кондоминиумов наберегу вовремя уик-энда (а недольше). Заэтот срок вы склоняетесь крешению опокупке, однако после десяти дней напляже выможете заскучать.

Предполагая наличие вогнутости, мы подразумеваем предпочтение разнообразия инеприятие риска. Для демонстрации первого требуется вогнутая функция со множеством аргументов. Если наше счастье отражает вогнутая функция ионо возрастает в зависимости отдосуга иденег, мы предпочитаем иметь какое-то количество досуга иденег, а невесь досуг и отсутствие денег или все деньги и отсутствие досуга. Неприятие риска означает предпочтение беспроигрышного варианта перед лотереей со случайным исходом. Человек, избегающий риска, предпочитает гарантированный выигрыш вразмере 100долларов лотерее, вкоторой вполовине случаев можно выиграть 200долларов, а вдругой половине— ничего. Такой человек выберет вафельный стаканчик сдвумя шариками мороженого вместо варианта получить либо ничего, либо большую порцию мороженого изчетырех шариков.

Нарис.8.1 показано, почему вогнутость подразумевает неприятие риска. Нарисунке отображен уровень радости в отношении ценности трех результатов: высокий результат (H), низкий результат (L) исреднее значение этих результатов (M). Учитывая, что кривая изгибается вниз, радость в отношении среднего результата превышает средний уровень радости поповоду низкого ивысокого результатов. Для выпуклых функций верно обратное. Выпуклость подразумевает склонность криску: мы предпочитаем крайние варианты среднему. Количество акций, которые выможете купить, представляет собой выпуклую функцию ихцены. Всвязи сэтим их покупатели предпочитают волатильность цен. Если цена акций повышается и снижается, покупатели приобретают больше акций, чем вслучае, когда цена неменяется[7].

Рис.8.1. Неприятие риска: ценность среднего результата больше среднего значения ценности низкого ивысокого результатов

МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

Далее мыпостроим ряд моделей экономического роста. Эти модели раскрывают причины роста имогут объяснить и спрогнозировать его закономерности вразных странах. Кроме того, они могут стать руководством кдействию, например, вслучае повышения нормы накоплений. Чтобы заложить основу для изучения моделей роста, введем стандартную экономическую модель производства, вкоторой выпуск продукции зависит оттрудовых ресурсов и физического капитала. Эмпирические данные и логические выводы подтверждают вогнутость функции объема производства потаким параметрам, как трудовые ресурсы икапитал. При неизменном объеме капитала ценность трудовых ресурсов должна уменьшаться помере увеличения ихобъема. Аналогично увеличение количества машин или компьютеров приводит кснижению ихценности при фиксированном числе работников. Логика также подсказывает, что выпуск продукции должен увеличиваться линейно. Удвоение количества работников иобъема капитала должно обеспечить удвоение объема производства. Компания повыпуску веников с шестьюдесятью сотрудниками иодним цехом, которая строит второй цех инанимает еще шестьдесят работников, должна увеличить объем производства вдва раза. Модель Кобба— Дугласа (широко используемая в экономике) включает оба свойства. Производственная функция будет вогнутой потрудовым ресурсам икапиталу илинейной помасштабу производства. Эту модель можно применить для описания экономики и отдельной компании, истраны вцелом[8].

Модель Кобба— Дугласа

При наличии Lработников иKединиц капитала общий объем производства равен:

объем производства= Constant· L^aK^{(1− a)},

где a— действительное число от0 до1, соответствующее относительной важности трудовых ресурсов.

Воспользуемся моделью Кобба— Дугласа для построения моделей экономического роста. Для упрощения задачи предположим, что в экономике занято 10000 человек, небудем учитывать заработную плату ицены, что позволит нам сфокусироваться натом, как количество машин влияет наобъем производства. Тогда мысможем связать инвестиции вкапитал сростом. Чтобы максимально упростить модель, допустим, что объем производства представлен вформе одного товара, скажем, кокосовых орехов, мякоть ижирное молоко которых можно употреблять впищу. Однако кокосовые орехи растут высоко напальмах, поэтому работникам необходимы машины для ихсбора. Далее мысделаем весьма нереалистичное предположение, что машины конструируются из кокосовых орехов. Это упрощает модель, но поддерживает важный компромисс между текущим потреблением ибудущими инвестициями. Вкачестве особого случая модели Кобба— Дугласа мызапишем объем производства как квадратный корень из количества работников, умноженный наквадратный корень из количества машин:

Если в экономике используется одна машина, объем производства составляет 100 тонн. Если люди потребляют все 100 тонн кокосовых орехов, они не инвестируют вновые машины. В следующем году объем производства не изменится. Экономика демонстрирует отсутствие роста. Если люди вложат 1 тонну кокосов всоздание второй машины, объем производства увеличится до141 тонны, тоесть на41процент. Вслучае создания третьей машины объем производства составит 173машины[9]. Постоянные инвестиции приводят кснижению темпов роста экономики. Следовательно, объем производства— это вогнутая функция.

Теперь, получив базовое представление отом, как инвестиции стимулируют рост, построим более сложную модель, включающую правило инвестиций. Представим инвестиции как произведение нормы накоплений иобъема производства, атакже будем исходить изтого, что фиксированная норма амортизации машин (такая как количество машин, которые кконцу года подлежат списанию) равна фиксированному проценту от их количества. Далее мыможем записать общее количество машин в следующем году как количество машин впрошлом году плюс инвестиции вновые машины минус машины, потерянныепопричине износа. Полная простая формула роста состоит изчетырех уравнений.

Простая модель роста

Производственная функция:

Правило инвестиций: I(t)= s·O(t).

Уравнение потребления и инвестиций: O(t)= C(t)+ I(t).

Уравнение инвестиций и амортизации:

M(t+ 1)= M(t)+ I(t)− d· M(t).

O(t)= объем производства, M(t)= количество машин, I(t)= инвестиции, C(t)= потребление, s= норма накоплений иd= норма амортизации.

Если предположить, что в экономике есть 100машин, норма накоплений составляет 20процентов, анорма амортизации— 10процентов, тообъем производства будет равен 1000 тонн кокосовых орехов, потребление— 800 тонн, ановые инвестиции составят 200машин. Вобщей сложности 10машин будут списаны из-за износа, азначит, вначале следующего года останется 290машин. Аналогичные расчеты показывают, что объем производства завторой год составит 1702 тонны, а затретий— почти 2500 тонн[10]. Впервые три года темпы роста объема производства увеличиваются. Первоначальная выпуклость— это следствие того, что из-за небольшого количества машин на протяжении первых нескольких лет эффект амортизации почти не проявляется. Современем количество машин растет и амортизация становится значимым фактором, делающим функцию объема производства вогнутой. В долгосрочной перспективе она вообще перестает расти, как показано нарис.8.2. Проанализировав модель, мысможем понять, почему так происходит. Функция инвестиции линейна пообъему производства: количество новых машин увеличивается линейно вместе собъемом производства. Функция объема производства является вогнутой по количеству машин. Однако амортизация— это линейная функция по количеству машин, поэтому современем значения линейной амортизации приближаются куровню вогнутой функции увеличения объема производства.

Рис.8.2. Объем производства вбазовой модели роста насто лет

Вслучае долгосрочного равновесия экономики количество новых машин, созданных засчет инвестиций, равно количеству машин, потерянных попричине износа. Внашей модели равновесие наступает, когда в экономике задействовано 40000машин и20000 тонн кокосовых орехов. Наэтом этапе экономика инвестирует 20процентов (или 4000 кокосов) вновые машины итеряет ровно столькоже машин из-за износа (10процентов от40000). Таким образом, количество новых машин, потерянных попричине физического износа, равно количеству машин, созданных засчет инвестиций,— ирост останавливается[11].

МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА СОЛОУ*

Теперь построим обобщенную модель, которая будет упрощенным (всвязи счем обозначим ее звездочкой) вариантом модели роста Солоу. Мызаменим машины физическим капиталом и используем труд вкачестве переменной. Кроме того, включим параметр технологий, обеспечивающий линейный рост объема производства. Инновации увеличивают этот параметр. Как и в предыдущей модели, долгосрочное равновесие возникнет, когда инвестиции равны амортизации. Однако вданной модели выпуск продукции науровне равновесия зависит от количества труда и параметра технологий, атакже отнормы накоплений инормы амортизации[12].

Модель роста Солоу*

Общий объем производства в экономике описывается следующим уравнением:

объем производства= A√L√K,

где L— количество труда, K— объем физического капитала, аA— уровень технологий. Объем производства вслучае долгосрочного равновесия O* описывается уравнением[13]:

Объем производства при долгосрочном равновесии увеличивается в зависимости от количества труда, развития технологий ироста нормы накоплений, а сокращается помере повышения нормы амортизации. Эти результаты невызывают удивления. Чем больше работников, более развитые технологии ибольше накоплений, тем выше объем производства, однако рост темпов амортизации снижает его. На интуитивном уровне менее понятно то, что объем производства растет линейно вместе с количеством труда инормой накоплений. Затраты труда порождают убывающую отдачу, поэтому, не проанализировав модель, мымоглибы ожидать, что функция объема производства в долгосрочной перспективе будет вогнутой по количеству труда. Однако, когда трудозатраты увеличиваются, тоже самое происходит и собъемом производства, что, всвою очередь, повышает объем инвестиций иприводит к дальнейшему росту объема производства. Положительная обратная связь состороны инвестиций полностью компенсирует убывающую доходность. Функция равновесного объема производства является выпуклой понорме амортизации. Снижение амортизации на20процентов увеличивает объем производства на25процентов.

Инаконец, объем производства при долгосрочном равновесии увеличивается как квадрат темпов совершенствования технологий. Следовательно, инновации увеличивают объем производства более чем линейно. Спомощью этой модели мыможем объяснить, почему. Если мыначнем с экономики в состоянии долгосрочного равновесия иповысим параметр технологий на50процентов, тообъем производства увеличится на50процентов, также как иобъем инвестиций. Тогда объем инвестиций превысит норму амортизации, поэтому экономика продолжит расти. Инвестиции будут опережать амортизацию дотех пор, пока рост экономики снова несоставит 50процентов— вэтот момент капитал, утерянный попричине износа, уравновесит инвестиции. Эти расчеты показывают, что процесс инноваций оказывает двоякое воздействие, создавая мультипликатор инноваций. Во-первых, инновации непосредственно увеличивают объем производства. Во-вторых, опосредовано они приводят кросту капиталовложений, обеспечивая дополнительное увеличение объема производства. Следовательно, главный фактор устойчивого роста производства— инновации[14].

Однако объем производства не увеличивается мгновенно. Вовремя прорыва параметр технологий меняется медленно. Последствия проявляются на протяжении длительного периода. Устаревший физический капитал необходимо заменить новым сболее совершенной технологией. Быстродействие компьютеров компании не увеличивается при изменении технологии, оно увеличивается тогда, когда технология меняется икомпания покупает новые компьютеры. Повышение второго порядка, обусловленное ростом объема инвестиций в физический капитал, происходит на протяжении еще более длительного периода. Разрыв между появлением новых технологий и ихвлиянием нарост указывает нато, что инновации обеспечивают рост втечение десятилетий. Поезда были изобретены вначале XIX столетия. «Позолоченный век» наступил только вконце XIX столетия, тоесть более чем через пятьдесят лет. Стремительное развитие интернета началось через три десятилетия после создания ARPANET29^,[15].

ПОЧЕМУ ОДНИ СТРАНЫ УСПЕШНЫ, АДРУГИЕ ТЕРПЯТ НЕУДАЧУ

Мыможем применить модели роста для поиска ответов на серьезные политические вопросы, такие как могутли отсталые страны ускорить развитие, почему одни страны добиваются успеха, адругие терпят неудачу, икакова роль правительства в стимулировании роста. Все эти исследования показывают ценность и ограничения наших моделей. Начнем со способности стран снизким ВВП добиться стремительного роста. Приведенные выше модели показывают, что наращивание капитала может обусловить быстрый рост, также как инвестиции в технологии. Отсталая страна сменьшим объемом капитала вслучае выхода на передовые рубежи технологий спомощью новых капиталовложений моглабы продемонстрировать поразительный рост[16].

Необходимость инноваций для долгосрочного роста, как показано вовторой модели, подтверждает ограниченность однократного заимствования новой технологии. Непрерывный рост требует постоянных инноваций. Когда после Второй мировой войны Советский Союз демонтировал немецкие заводы иперенес их насвою территорию, это обеспечило краткосрочный рост, причем такой, что 18ноября 1956года премьер Никита Хрущев, выступая в посольстве Польши перед послами стран Запада, заявил: «Мывас похороним!» Ноэтого не произошло. СССР несмог это сделать из-за отсутствия встране инноваций[17]. Советы ограничивали свободу и подавляли предпринимательство.

Эти модели также показывают, как изъятие ресурсов и коррупция, использование экономики для государственных нужд сдерживают рост всвязи с сокращением накоплений. Анализ темпов роста вразных странах подтверждает оба вывода: сокращение изъятия ресурсов и коррупции наряду со стимулированием инноваций способствует дальнейшему росту. Достижение этих целей требует сильной, но ограниченной центральной власти, поощряющей плюрализм. Сильный центр обеспечивает соблюдение прав собственности и верховенство права. Плюрализм предотвращает захват власти элитой, которая часто предпочитает сложившееся положение вещей и не приветствует инновации, что может иметь пагубные последствия.

Вкачестве примера деструктивных инноваций приведем сайт Craigslist, накотором размещаются объявления опродаже инайме. Вначале 2000-х деятельность Craigslist привела кпотере сотен тысяч рабочих мест вгазетах США. В товремя насамом сайте работало всего несколько десятков человек. Хотя люди потеряли работу, сайт Craigslist сделал экономику более эффективной, повысив параметр технологий. Вменее плюралистическом обществе печатные средства массовой информации добивалисьбы от правительства закрытия сайта Craigslist, что привелобы к замедлению экономического роста.

Экономическое господство Японии Китая

Линейная модель+ правило 72. С1960 по1970год ВВП Японии ежегодно рос на10процентов. Линейная проекция дальнейшего роста ВВП на10процентов позволилабы сделать вывод обудвоении японской экономики каждые семь лет (согласно правилу 72). В1970году ВВП Японии надушу населения равнялся примерно 2000долларам. Еслибы эта тенденция сохранилась, то к2012году онудвоилсябы шесть раз и в результате составилбы 128000долларов.

Модель роста. Данная модель объясняет рост японской экономики инвестициями в физический капитал и подразумевает вогнутую функцию темпов роста на протяжении длительного периода. Модель роста прогнозирует, что помере приближения ВВП Японии кВВП США иЕвропы темпы его роста должны снизиться до исторического среднего значения повсем странам, составляющего 1–2процента[18]. Фактические данные подтверждают это. С1970 по1990год ВВП Японии увеличивался примерно на4процента вгод, ас1990 по2017год его рост составлял неболее 1процента.

Экономический рост Китая. ВВП Китая с1990 по2016год вырос почти на10процентов. В2016году ВВП надушу населения вКитае достиг примерно 8000долларов и, как предсказывала модель роста, экономический рост страны замедлился: с2013 по2017год рост ВВП составлял около 6процентов. Таким образом, вКитае устойчивый 10-процентный рост вступил в противоречие справилом 72. Еслибы на протяжении следующего столетия рост китайской экономики составлял всреднем 10процентов, ВВП надушу населения превысилбы 100миллионов долларов.

ИВСЕЖЕ МИР НЕЛИНЕЕН

Мыстроим нелинейные модели, потому что немногие линейные явления представляют для нас интерес. Вэтой главе мыувидели, что убывающая и возрастающая отдача— общие свойства экономических, физических, биологических и социальных явлений. Мытакже обнаружили внаших моделях ряд следствий, включая кривизну. Пожалуй, самое важное из увиденного то, что функциональные формы структурируют наше мышление, а их согласование сданными позволяет составлять точные формулировки. Ученые могут вычислить возраст артефактов спомощью данных обизотопе углерод-14. Экономисты могут оценить долгосрочные последствия небольшого увеличения роста.

Самый важный вывод изэтой главы— интуиции становится недостаточно, когда мывключаем в рассмотрение нелинейность. Интуиция подсказывает нам направление воздействия: рост увеличивается засчет повышения заработной платы, наращивания трудовых ресурсов и внедрения технологических инноваций. Накопления, как и следовало ожидать, имеют линейный эффект. Наращивание трудовых ресурсов оказывает аналогичное воздействие в долгосрочной перспективе, хотя модель исходит из краткосрочной убывающей отдачи. Рост инноваций оказывает мультипликативный эффект идает квадратный рост вышеуказанных эффектов. Первое увеличение объема производства— прямое следствие инноваций. Второе обусловлено ростом капиталовложений.

Подобные выводы становятся очевидны благодаря использованию моделей. Без них мылишь можем определить, какой показатель растет, акакой падает, ноэто недает нам понимания формы функциональной зависимости. Витоге мычасто делаем линейные экстраполяции— например, китайская экономика вскоре захватит весь мир. Модели позволяют нам тщательнее проанализировать логику, порождающую нелинейные эффекты. Набор нелинейных функций огромен. Вогнутые ивыпуклые модели, окоторых шла речь вэтой главе,— лишь малая его часть. Если мыхотим улучшить свою способность рассуждать, объяснять и действовать вэтом сложном мире, нам нужно еще глубже погрузиться визучение нелинейных явлений.

Ваша ценность не втом, что вызнаете, автом, чем выделитесь.

Джинни Рометти

Вэтой главе мы рассмотрим модели, количественно определяющие ценность истепень влияния отдельных агентов. Некоторые случаи довольно просты. Когда группа обеспечивает результат, равный сумме индивидуальных вкладов еечленов, ценность каждого члена группы эквивалентна его вкладу. Если коллективный результат неделится на составляющие (например, когда команда программистов пишет программу или группа предпринимателей предлагает креативный способ применения новой технологии), определение заслуг усложняется. Оценка влияния политических партий создает аналогичные проблемы: количество мест, которые контролирует партия, коррелирует с еевлиянием, но неидеально.

Мы определим два показателя ценности ивлияния: предельная ценность игрока (предельный вклад агента при условии, что группа уже сформирована) ивектор Шепли (средний предельный вклад агента вовсе возможные последовательности включения новых людей вгруппу). Вгруппе изтрех человек мывычислим среднее значение дополнительной ценности человека, если он присоединяется кгруппе первым, вторым итретьим. Мы определим эти показатели врамках моделей кооперативных игр, состоящих из множества игроков, атакже функции ценности, которая присваивает коллективный выигрыш каждому возможному подмножеству игроков.

Глава состоит изчетырех частей. Впервой мы рассмотрим модели кооперативных игр, предельную ценность игрока, вектор Шепли и несколько примеров. Вовторой опишем аксиоматику вектора Шепли. Мыдокажем, что это показатель, удовлетворяющий четырем условиям. Первое условие: игроку, не повышающему ценность, должно быть присвоено нулевое значение ценности. Согласно второму условию, сумма значений ценности игроков должна равняться общему значению ценности игры. Втретьей части мыприменим вектор Шепли по отношению кгруппе, выполняющей творческую задачу (когда каждый член группы предлагает свои идеи), и продемонстрируем, как вэтом контексте данный показатель порождает интуитивно понятное значение ценности. В четвертой части мы рассмотрим особый случай применения вектора Шепли виграх голосования, чтобы провести различие между влиянием участников голосования и процентом голосов. Мыувидим, что эти два показателя невсегда совпадают. Партия может иметь 20процентов мест иноль влияния водном случае итреть отобщего объема влияния вдругом.

КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ

Кооперативная игра состоит из множества игроков ифункции ценности, присваивающей определенное значение ценности каждому возможному подмножеству игроков, которое часто называют коалицией. Кооперативные игры предназначены для описания коллективной работы и совместных проектов. Вданной модели мыбудем исходить из предположения, что люди участвуют вигре, чтобы сосредоточиться на присвоении ценности ихвкладу.

Кооперативные игры

Кооперативная игра состоит из множества Nигроков и характеристической функции V(S), присваивающей значение ценности любому подмножеству S⊆N. Эти подмножества называются коалициями. Ценность пустой коалиции (без игроков) равна нулю: V(∅)= 0; ценность всех Nигроков, V(N), равна общей ценности игры.

В кооперативной игре предельная ценность игрока равна той ценности, которую он добавляет, присоединяясь кгруппе последним. Предельная ценность игрока отражает предельное значение ценности. Если четырех человек нанимают для перестановки стола, иони создают ценность 10, при этом нужны все четверо, токаждый человек имеет предельную ценность, равную 10. Если требуются только три человека, каждый изних имеет нулевую предельную ценность. Обратите внимание, что значения предельной ценности не обязательно всумме должны давать общую ценность игры. В частности, если функция ценности демонстрирует убывающую отдачу отмасштаба, тосумма значений предельной ценности будет меньше общей ценности, аесли дополнительная ценность демонстрирует растущую отдачу отмасштаба, тоэтот показатель превысит общую ценность.

Ценность игрока поШепли равна его предельному вкладу при вступлении вкоалицию, усредненному повсем возможным вариантам порядка, вкотором формируется коалиция всех игроков. Иначе говоря, мы представляем себе включение игроков вкоалицию в определенной последовательности и вычисляем дополнительную ценность игрока вкаждой последовательности. Рассмотрим небольшую компанию, ведущую бизнес вИспании иФранции. Вней работают три сотрудника: один владеет испанским языком, второй— французским, атретий говорит наобоих языках.

Предположим, наша кооперативная игра присваивает ценность 1200долларов любому множеству сотрудников, владеющих французским и испанским языками. Эта сумма равна суточному доходу компании, когда она работает. Если вофис приходят любые два сотрудника, третий ненужен. Следовательно, каждый игрок имеет предельную ценность, равную нулю.

Чтобы определить ценность игрока, владеющего французским языком, рассмотрим все шесть последовательностей, вкоторых сотрудники могут приходить наработу. Только водном случае (когда испаноговорящий сотрудник приходит первым, а франкоговорящий вторым) франкоговорящий сотрудник увеличивает ценность; его ценность поШепли равна , умноженной на1200долларов, тоесть 200долларов. Испаноговорящий сотрудник добавляет ценность только вслучае, когда онприходит вторым, а франкоговорящий первым, поэтому его ценность поШепли тоже равна 200долларов. Вчетырех оставшихся вариантах последовательности двуязычный сотрудник приходит либо первым, либо вторым и увеличивает ценность. Таким образом, его ценность поШепли составляет 800долларов. Сумма значений ценности поШепли равна 1200долларов, тоесть общей ценности игры.

Вектор Шепли

При наличии кооперативной игры {N, V} вектор Шепли определяется следующим образом: пусть Oпредставляет все N! вариантов последовательности, вкотором Nигроков могут быть включены вгруппу. Для каждого варианта последовательности во множестве Oопределим дополнительную ценность i-го игрока как изменение функции ценности, имеющее место вслучае добавления игрока i. Ценность i-го игрока поШепли равна среднему его значений дополнительной ценности повсем вариантам порядка вO.

Теперь, уловив общую идею, составим более сложный пример. Представьте себе команду, вкоторой должно быть четыре гребца иодин рулевой— человек более низкого роста, который задает темп гребли и управляет рулем. Внаш экипаж (включающий участников кооперативной игры) входит шесть человек: пять рослых, сильных гребцов иодин более низкий человек снавыками рулевого. Для участия в состязаниях вкоманде должно быть четыре гребца иодин рулевой. Команда изпяти человек, вкоторую входит специально обученный рулевой, будет конкурентоспособной иимеет ценность 10. Команда изпяти гребцов без рулевого тоже может участвовать в соревнованиях, но непокажет высоких результатов из-за избыточного веса. Присвоим ейценность 2.

Для того чтобы вычислить вектор Шепли, представим, что игроки прибывают вкоманду вовсех возможных последовательностях. Если более низкий рулевой прибывает первым, вторым, третьим или четвертым, он не добавляет ценности. Прибывая пятым (что происходит водной шестой случаев), онсоздает ценность 10. Если он прибывает шестым, тозаменяет одного изгребцов вкачестве рулевого, иего дополнительная ценность составит 8. Вычислив среднее значение всех этих вариантов, мысможем определить, что ценность рулевого поШепли равна 3.

Каждый гребец увеличивает ценность тогда итолько тогда, когда он прибывает пятым, что происходит водном изшести случаев. Если рулевой неприбыл, гребец, который прибывает пятым, увеличивает ценность на2. Если рулевой прибыл, гребец создает ценность 10. Учитывая вероятность один кпяти того, что рулевой окажется последним изпяти оставшихся игроков, атакже вероятность четыре кпяти того, что рулевой прибудет впервой четверке, мыполучим ценность каждого гребца поШепли, равную 30^,[1]. Интуитивно понятно, что ценность рулевого должна быть больше ценности отдельного гребца и, сучетом того, что без рулевого гребцы могут состязаться (пусть иплохо), меньше совокупной ценности всех гребцов. Существует бесконечное количество способов определить значения ценности, удовлетворяющие этим ограничениям. Ценность игроков поШепли имеет конкретные значения: 3— ценность рулевого и7— общая ценность пяти гребцов.

АКСИОМАТИКА ВЕКТОРА ШЕПЛИ

Теперь опишем набор аксиом, которым однозначно удовлетворяют значения вектора Шепли. Этот результат объясняет, почему мыможем предпочесть вектор Шепли другим показателям. Во-первых, обратите внимание, что мы вычисляем значения вектора Шепли путем определения среднего значения предельного вклада игрока повсем возможным вариантам порядка, поэтому ценность игрока, который не добавляет ценности, поШепли равна нулю. Кроме того, любым двум идентичным игрокам (тоесть тем, которые вносят одинаковый вклад вкаждую коалицию) должна быть присвоена одна итаже ценность поШепли. А сучетом того, что сумма значений дополнительной ценности равна общей ценности игры при любом варианте упорядочения, значения вектора Шепли тоже должны давать всумме ценность игры. Это иесть три изчетырех аксиом. Обратите внимание, что ценность последнего игрока удовлетворяет двум первым аксиомам, но нетретьей.

Добавим кэтим трем свойствам четвертое, аддитивность, согласно которому, если функция ценности кооперативной игры делится надве функции ценности, каждая изкоторых соответствует отдельной кооперативной игре, тоценность участника объединенной игры должна равняться сумме значений его ценности вдвух играх, входящих всостав общей игры. Быстрый анализ показывает, что вектор Шепли удовлетворяет иэтому свойству. Тот факт, что все четыре свойства однозначно определяют вектор Шепли, менее очевиден.

Демонстрация того, что тот или иной показатель однозначно удовлетворяет набору аксиом, позволяет логически его обосновать. Без аксиом показатель интуитивно понятен, ноего можно рассматривать как произвольный, тоесть один изряда возможных. Теорема также указывает нато, что при выборе любого другого показателя нам придется отбросить одну изаксиом. Это неозначает, что вектор Шепли— единственный приемлемый показатель. Возможно, экономист и математик Ллойд Шепли сначала описал показатель итолько потом сформулировал аксиомы, которым он однозначно удовлетворяет. Неимеет значения, что именно первично. Даже если аксиомы были сформулированы после описания показателя, приняв их, мыдолжны принять исам показатель. Приемлемость показателя зависит от обоснованности аксиом. Вданном случае первые три трудно оспорить. Четвертая, аксиома аддитивности, сложнее остальных, но ееможно подтвердить тем, что еслибы она не выполнялась, тоигроки былибы заинтересованы вразрыве отношений или формировании коалиции.

Аксиоматика вектора Шепли

Вектор Шепли однозначно удовлетворяет следующим аксиомам.

Нулевое свойство: если дополнительная ценность, создаваемая игроком, равна нулю влюбой коалиции, тоценность игрока тоже равна нулю.

Справедливость (симметрия): если два игрока создают одну итуже дополнительную ценность влюбой коалиции, тоони имеют одинаковую ценность.

Полное распределение: сумма значений ценности игроков равна общей ценности игры, V(N).

Аддитивность: при наличии двух игр, определенных наодном множестве игроков, с функциями ценности V и ценность игрока вигре равна сумме значений его ценности виграх V и.

ВЕКТОР ШЕПЛИ ИТЕСТ НА АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ВАРИАНТЫ ПРИМЕНЕНИЯ

Теперь используем значения вектора Шепли в кооперативной игре, основанной натесте на альтернативные варианты применения. Входе теста каждый человек должен придумать новые варианты использования какого-либо обычного объекта, скажем, кирпича. Такой тест позволяет оценить креативность человека, исходя из количества вариантов или категорий применения, которые он предложит. При вычислении значений вектора Шепли мыувидим, что можем вывести интуитивно понятное правило подсчета результатов.

Допустим, унас есть три игрока— Арун, Бетти иКарлос, каждый изкоторых ищет альтернативы использования блокчейна (технологии распределенного реестра), как показано нарис.9.1. Арун иКарлос выдвинули пошесть идей, что дает каждому изних по6 баллов за креативность, аБетти— семь, что обеспечивает ей7 баллов. Общий уровень креативности группы равен 9, поскольку всего было выдвинуто девять оригинальных идей. Для того чтобы вычислить значения вектора Шепли, мымоглибы записать все шесть возможных последовательностей, вкоторых может формироваться группа, начислить еечленам баллы только за уникальные идеи, предложенные вгруппе, азатем вывести среднее значение повсем шести случаям. Мыможем также заметить, что при вычислении значения вектора Шепли вероятность того, что кто-то получит баллы за туили иную идею, равна единице, деленной на количество предложивших еелюдей. Любой, кто предлагает уникальную идею, всегда получает максимальное количество баллов. Нарис.9.1 такие идеи (например, идея Аруна об использовании блокчейна для регистрации сделок вобласти искусства) выделены жирным шрифтом. Если два человека выдвигают какую-то идею, каждый изних имеет один шанс издвух присоединиться кгруппе первым. Аналогично, если все трое выдвигают туили иную идею, укаждого изних есть один шанс изтрех войти вгруппу первым. Следовательно, равное распределение баллов между теми, кто предложил идею, дает значения вектора Шепли. Таким образом, это иесть уникальный способ присвоить значения, удовлетворяющие всем четырем аксиомам. Эти значения показывают, что хотя Арун предложил не большинство идей, онсоздал самую большую ценность[2].

Рис.9.1. Вектор Шепли итест на альтернативные варианты применения

ИНДЕКС ШЕПЛИ— ШУБИКА

Теперь применим вектор Шепли кклассу игр голосования. Втакой игре каждый игрок (представляющий политическую партию или должностное лицо) контролирует фиксированное число мест или голосов, при этом большинство этих мест или голосов нужно для принятия решений. Виграх голосования вектор Шепли обозначается термином «индекс влияния Шепли— Шубика»[3]. Вычислив его, мыувидим, что прямого соответствия между процентом мест (голосов), которые контролирует партия, и еевлиянием нет.

Для расчета индексов влияния проанализируем все возможные последовательности вхождения партий вкоалицию. Если партия присоединяется ккоалиции и формирует строгое большинство, то ее дополнительная ценность равна 1. Втаких случаях партия считается ключевой. В противном случае партия не добавляет никакой ценности. Рассмотрим вкачестве примера парламент со101 местом, которые распределены между четырьмя политическими партиями следующим образом: партия Aконтролирует 40 мест, партия B— 39мест, а упартий C иD по11 мест. Вэтом примере партия Aнеможет быть ключевой, если входит всостав коалиции первой или последней, соответственно, входя вкоалицию второй или третьей, она всегда будет ключевой. Следовательно, ееиндекс влияния равен . Когда партия Bвходит всостав коалиции первой или последней, она тоже не увеличивает ценность. Вслучаеже вхождения вкоалицию второй она становится ключевой только тогда, когда партия Aприсоединилась ккоалиции первой. Если партия Bвходит вкоалицию третьей, она может стать ключевой, только если партия Aприсоединится ккоалиции последней. Каждая изэтих комбинаций происходит с вероятностью . Таким образом, индекс влияния партии Bравен 31. Партии C иDстановятся ключевыми втакойже совокупности случаев, как ипартия B. Ниодна изэтих партий неможет быть ключевой, войдя вкоалицию первой. Каждая партия становится ключевой, если присоединяется ккоалиции второй, при условии, что партия Aвошла в еесостав первой. Каждая партия становится ключевой, входя вкоалицию третьей, только когда партия Aприсоединится кней последней. Азначит, каждая изпартий также имеет индекс влияния .

Партия	Количество мест	Влияние
A	40
B	39
C	11
D	11

Рис.9.2. Разрыв между количеством мест ивлиянием

Этот пример демонстрирует возможный разрыв между процентом мест, контролируемых партией, и еевлиянием. Партии A иBконтролируют почти одинаковое количество мест, но упартии Aвтри раза больше влияния, чем упартии B, имеющей столькоже влияния, как ипартии C иD. Аналогичное распределение мест часто происходит вреальных условиях встранах с парламентской формой правления. Витоге партии с небольшим количеством мест часто могут обладать значительным влиянием. В парламенте Израиля, кнессете, 120 мест. В2014году коалиция воглаве спартией «Ликуд» получила 43 места. Оппозиция контролировала 59 мест (немногим менее большинства), а ортодоксальная коалиция 18 мест. Увсех трех партий был одинаковый индекс Шепли— Шубика. Это неозначает, что напрактике мелкие ортодоксальные партии стольже влиятельны— все модели неправильные. Ноэто действительно указывает нато, что ихвлияние более значительно, чем можно былобы предположить, исходя из количества контролируемых ими мест в парламенте.

Еще более поразительный разрыв между количеством мест ивлиянием имел место в наблюдательном совете округа Нассау (штат Нью-Йорк) всередине 1960-х годов. В товремя совет состоял изшести членов, каждый изкоторых контролировал количество голосов, пропорциональное численности населения соответствующего административного района (рис.9.3). Решение большинством голосов требовало 58 или более из115 голосов. Обратите внимание, что любые два изтрех крупнейших районов округа имели большинство, азначит, голоса оставшихся трех районов нипри каких обстоятельствах немогли стать решающими. Следовательно, представители остальных районов неимели влияния.

Район	Количество голосов	Влияние
Хемпстед 1	31
Хемпстед 2	31
Ойстер-Бей	28
Северный Хемпстед	21
Лонг-Бич	2
Глен-Коув	2

Рис.9.3. Есть голоса, нонет влияния

Индекс влияния Шепли— Шубика можно применить клюбой ситуации снеравным распределением мест или голосов, например вслучае Евросоюза или коллегии выборщиков. Это незначит, что онприемлем вовсех без исключения случаях. Пятьдесят штатов США можно упорядочить 50! (3· 10⁶⁴) разными способами. Учитывая региональные корреляции в предпочтениях избирателей, невсе коалиции возможны. Так, штат Миссисипи врядли сформирует коалицию соштатом Нью-Йорк. Для того чтобы разработать более полезный показатель влияния, понадобилосьбы поставить одни коалиции в привилегированное положение по отношению кдругим или вообще исключить некоторые коалиции. Чуть ниже мы рассмотрим вектор Майерсона, позволяющий сделать второе— исключить ряд коалиций.

РЕЗЮМЕ

Значение ценности отдельного игрока поШепли соответствует его среднему дополнительному вкладу вкоалиции помере их формирования. Это показатель дополнительной ценности. Виграх голосования вектор Шепли можно также интерпретировать как показатель влияния, хотя он невсегда бывает наилучшим. Предельная ценность игрока может быть более эффективным показателем влияния вситуации, когда группа уже сформировалась, поскольку это демонстрирует, какую выгоду каждый отдельный игрок могбы получить вследствие угрозы выйти изсостава группы (при условии, что угроза реальна). Втаких случаях коалиции необходимо уменьшить значение ценности последнего игрока. Коалицию свысокой ценностью, нонизкой предельной ценностью игрока можно создать путем увеличения ееразмера. Включение дополнительных членов вкоалицию делает ее действующих членов теми, кем можно пожертвовать, исводит их предельную ценность кнулю. Мычасто наблюдаем это напрактике. Работодатели нанимают больше, чем нужно, сотрудников, чтобы снизить ихвлияние. Производственные компании пользуются услугами множества конкурирующих поставщиков промежуточных продуктов. Правительства заключают контракты, чтобы многочисленные подрядчики оставались вбизнесе.

Аналогичные интуитивные рассуждения применимы и ксозданию коалиций в законодательных органах. Лоббисты Конгресса илидеры партий стремятся принимать законы (результат, представляющий ценность), но ограничивают влияние отдельных членов палаты представителей и сенаторов[4]. Если лоббист оказывает содействие минимальному количеству членов палаты представителей и сенаторов, необходимому для того, чтобы выиграть голосование, токаждый член палаты представителей икаждый сенатор имеет огромную предельную ценность. Любой может проголосовать иначе, полностью изменив судьбу законопроекта. Такой лоббист может сократить значение предельной ценности политиков, заручившись поддержкой квалифицированного большинства членов палаты представителей и сенаторов. Таже логика подразумевает, что партией, имеющей незначительное большинство, трудно руководить. Укаждого еечлена высокая предельная ценность. В подавляющем большинстве ниодин член палаты представителей или сенатор неимеет большого влияния.

Если мырасширим перспективу и поразмыслим овлиянии в современном связанном мире, топридем квыводу о полезности применения как предельной ценности игроков, так ивектора Шепли. Влияние отдельного человека, организации, корпорации, правительства или террористической группы отчасти зависит оттого, какой ущерб они могут нанести, отклонившись от кооперативного режима (предельная ценность игрока). Опытный компьютерный хакер (человек, способный уничтожить значительный объем богатства) обладает огромным влиянием. Это верно даже вслучаях, когда хакер неспособен создавать ценность.

В отношении корпораций или других транснациональных организаций вектор Шепли может быть более эффективным показателем. Втаких случаях выход может быть нецелесообразным. Энергетическая компания участвует втаких играх, как производство и распределение электроэнергии, недвижимость, защита окружающей среды итак далее. Общая дополнительная ценность этой компании равна сумме значений дополнительной ценности вразных областях.

Анализ влияния иценности сквозь призму кооперативной теории игр позволяет сделать действенные, основополагающие выводы. Кроме того, онтакже указывает на направление дальнейшего движения. Вполитике ибизнесе невсе коалиции вероятны. Данная модель исходит из возможности любой коалиции. Более содержательная модель должна учитывать связанность мира. Консалтинговые и финансовые компании покупают программное обеспечение у технологических компаний. Технологические и консалтинговые компании инвестируют иберут кредиты через финансовые компании. А финансовые и технологические компании нанимают консультантов. Врамках подобных сетей каждый агент создает ценность иобладает влиянием. Определить влияние втаких ситуациях помогут сетевые модели, окоторых мы и поговорим в следующей главе.

Теория сетей—это целая область науки, ноона относительно новая сточки зрения последних 20–30лет. Унас небыло возможности вывести эту науку из университетов и применить напрактике, поставив вопрос так: «Какие виды сетей идля каких целей нам следует создавать?»

Энн-Мари Слотер

Вэтой главе мы рассмотрим модели сетей. Для их всестороннего изучения понадобится множество книг. Наши цели гораздо скромнее. Мыхотим понять азы теории сетей, изучить их составляющие ивыяснить, почему они важны для моделирования. Ответ, ккоторому мыпридем, покажет, что сети почти всегда имеют значение. Любую построенную нами модель, будь томодель рынка, модель распространения заболеваний или модель передачи информации, можно улучшить путем включения всеть агентов[1].

Сети распространены повсеместно. Люди говорят оторговых сетях, террористических сетях исетях волонтеров. Виды образуют пищевые сети. Компании выстраивают сети цепей поставок. Как уже отмечалось, финансовую систему полезно представлять как сеть обещаний произвести платеж. Сети всегда были важны для понимания социальных отношений. На протяжении большей части истории человечества сети социальных связей ограничивались географией и трудностями с их отображением. Сегодня благодаря развитию технологий многие социальные взаимодействия и экономические операции осуществляются в виртуальных сетях, которые можно проанализировать спомощью моделей.

Эта глава организована втомже формате «структура— логика— функция», который мы использовали для распределений. Сначала мыопишем структуру сетей спомощью таких статистических показателей, как степень, длина пути, коэффициент кластеризации и структура сообщества. Затем обсудим общие классы сетей: случайные сети, звездообразные сети, географические сети, сети малого мира исети со степенным распределением. Апотом перейдем клогике формирования сетей. Мыпостроим процессы микроуровня, порождающие тесети, которые мы наблюдаем. И в заключение рассмотрим функцию, тоесть вопрос отом, почему структура сети имеет значение. Основное внимание вглаве уделяется пяти следствиям. Мыначнем с парадокса дружбы, азатем рассмотрим теорию шести рукопожатий и концепцию силы слабых связей. Инаконец, проанализируем устойчивость сетей котказу узлов или звеньев, атакже агрегирование информации всетях. Глава завершается обсуждением влияния сетей на результаты, полученные спомощью моделей.

СТРУКТУРА СЕТИ

Сеть состоит изузлов извеньев (ребер), которые их соединяют. Узлы, соединенные одним звеном, называются соседями. Сеть считается связанной, если излюбого ееузла можно добраться клюбому другому узлу позвеньям. Сети можно представить ввиде графов, списков звеньев или матриц изнулей иединиц, вкоторых единица встроке Aи встолбце Bобозначает звено между узлами A иB. Хотя люди предпочитают графическое представление сетей, списки иматрицы лучше подходят для статистических расчетов посети.

Звенья сети могут быть направленными, тоесть указывать напереход отодного узла кдругому. В информационной сети направленное звено говорит отом, что один человек получает информацию отдругого. Всети экосистемы направленное звено от краснохвостого ястреба ксерой белке означает, что ястреб охотится набелку. Звенья также могут быть ненаправленными— к ихчислу относятся звенья, соединяющие друзей. В ненаправленной сети степень узла равна количеству ведущих кнему звеньев. Сети характеризуются набором статистических параметров. Для каждого статистического параметра можно вычислить среднее значение степени всети и распределение степеней повсем узлам. Средняя степень сети дружеских связей говорит отом, сколько всреднем друзей укаждого человека. Распределение степеней указывает нато, что одни узлы более связанные, чем другие. Всетях социальных связей более равномерное распределение, чем во Всемирной паутине, интернете исетях цитирования, где наблюдается распределение сдлинным хвостом.

Статистические параметры сети

Степень: количество соседей (атакже звеньев) узла.

Длина пути: минимальное количество звеньев, которые необходимо пройти, чтобы попасть изодного узла вдругой.

Промежуточность: количество проходящих через данный узел путей минимальной длины, связывающих два других узла.

Коэффициент кластеризации: процент пар соседей узла, связанных между собой звеном.

Длина пути— минимальное расстояние между двумя узлами— изменяется обратно пропорционально степени. Включение дополнительных звеньев сокращает длину пути между узлами. Всети рейсов авиакомпании длина пути соответствует среднему количеству рейсов, которыми человеку нужно воспользоваться, чтобы попасть изодного города сети вдругой. При наличии выбора между двумя авиакомпаниями при прочих равных условиях (аименно одинаковых ценах) путешественник предпочтет авиакомпанию сболее низким средним значением длины пути. Кроме того, средняя длина пути коррелирует спотерей информации. Информация, передаваемая через нескольких людей, вбольшей степени подвержена искажению, чем та, которой двое обмениваются непосредственно. Узлы, лежащие напутях минимальной длины, играют всетях важнейшую роль. Информация проходит по кратчайшему маршруту, если передается поузлам, расположенным на минимальном пути. Показатель промежуточности узла равен проценту минимальных путей, проходящих через один узел. Всети социальных связей люди свысоким показателем промежуточности более информированы иобладают более сильным влиянием.

Последний статистический параметр, коэффициент кластеризации, равен проценту пар соседей узла, которые одновременно являются соседями друг друга. Например, учеловека, имеющего 10 друзей, 45 пар друзей. Если 15изэтих 45 пар тоже друзья, то коэффициент кластеризации этого человека равен . Еслибы дружеские связи существовали вовсех 45 парах, то коэффициент кластеризации этого человека составилбы 1, максимально возможное значение. Коэффициент кластеризации всей сети равен среднему коэффициентов кластеризации отдельных узлов.

Нарис.10.1 показаны две сети, состоящие из тринадцати узлов: звездообразная и географическая. Взвездообразной сети центральный узел имеет степень 12, авсе остальные— степень 1, значит, средняя степень меньше 2. Распределение степеней неравномерное. Расстояние отлюбого узла до центрального узла равно 1, а довсех остальных узлов— 2. Центральный узел, который лежит накаждом минимальном пути между всеми остальными узлами, имеет показатель промежуточности 1. Внешние узлы не расположены ни наодном минимальном пути, соединяющем другие узлы, поэтому их показатель промежуточности равен 0. Инаконец, в звездообразной сети узлы, связанные содним изузлов, несвязаны друг сдругом. Следовательно, коэффициент кластеризации такой сети равен нулю.

Рис.10.1. Звездообразная сеть и географическая сеть

Показатель сети	Звездообразная сеть	Географическая сеть
Центральный узел	Внешний узел
Степень	12	1	4
Средняя длина пути	1		2
Промежуточность	1
Коэффициент кластеризации

В географической сети каждый узел связан сдвумя узлами справа отнего и сдвумя узлами слева, поэтому средняя степень равна 4. Каждый узел находится на расстоянии 1 отчетырех узлов, на расстоянии 2 отчетырех узлов и на расстоянии 3 отчетырех узлов. Следовательно, среднее расстояние составляет ровно 2. Распределение степени и расстояния вэтом графе является вырожденным: все узлы имеют одну итуже степень и одинаковое среднее расстояние. Можно продемонстрировать, что промежуточность каждого узла равна [2]. Укаждого узла четыре соседа, что дает шесть пар. Изних три пары связаны: два узла непосредственно слева исправа связаны свнешним узлом идруг сдругом. Таким образом, коэффициент кластеризации равен .

Альтернативный метод определения кластеризации состоит в разделении узлов насообщества. Всети дружеских связей всредней школе сообщества могут включать подростков, которые интересуются искусством, спортом или естественными науками. Сообщества могут быть также выделены попринципу расовой или гендерной принадлежности. Сеть политических объединений может быть разделена на региональные или идеологические союзы. Существует множество методов определения сообществ. Один изподходов подразумевает последовательное удаление звеньев ссамым высоким значением промежуточности, поскольку такие звенья вбольшей мере связывают отдельные кластеры. Другие подходы принимают количество кластеров как данность иищут оптимальные способы разбиения сучетом целевой функции, такой как минимизация количества звеньев между сообществами или максимизация доли звеньев внутри сообществ[3].

Мыможем использовать алгоритм обнаружения сообществ, чтобы задавать вопросы оданных сети. Исследования показывают, что человек может принадлежать кинтернет-пузырям, тоесть к сообществам людей, которые получают новости из аналогичных источников. Втаком случае это имеет последствия сточки зрения социальной сплоченности. До появления интернета такое положение вещей тоже могло иметь место, но демонстрация этого спомощью данных была затруднена. Сегодня специалисты по иханализу и обработке могут спомощью веб-скрейпинга выявить часто посещаемые источники новостей исказать нам, что, посути, мы действительно вкаком-то смысле обитаем впузырях. Модели предоставляют формальное описание сообществ, аоб ихсиле говорят данные. Руководствуясь здравым смыслом и основываясь натом, очем говорят данные, мыможем делать мудрые выводы.

ОБЩИЕ СЕТЕВЫЕ СТРУКТУРЫ

Входе анализа сетей мы сталкиваемся с проблемой многообразия. Немногочисленные статистические параметры сетей неспособны описать особую сетевую структуру: можно сконструировать миллиарды сетей сдесятью узлами исредней степенью 2. Альтернативный подход кописанию сети сводится кпроверке, существенноли отличаются ее статистические параметры от статистических параметров общей сетевой структуры. Например, ученый может собрать данные о цитировании всуде и представить их ввиде сети, отображая звено каждый раз, когда один судья цитирует мнение другого судьи. Граф такой сети может содержать интересные структуры икластеры. Мыможем проверить, являетсяли сеть случайной, сравнив ее статистические параметры со статистическими параметрами случайной сети с аналогичным количеством узлов извеньев. Коэффициент кластеризации случайной сети равен вероятности случайного звена, поскольку вероятность того, что два соседа того или иного узла содержат определенное звено, небольше, чем улюбого другого случайно выбранного узла.

Метод Монте-Карло в контексте случайных сетей

Для того чтобы проверить, являетсяли сеть изNузлов иEзвеньев случайной, необходимо создать большое количество случайных сетей сNузлами иEзвеньями и вычислить распределения для степени, длины пути, коэффициента кластеризации и промежуточности. Азатем выполнить стандартные статистические тесты, чтобы принять или отклонить гипотезу отом, что статистические параметры сети могли быть получены наоснове имитационных распределений[4].

Теоретические модели часто принимают форму определенной сетевой структуры. Многие имеют вид случайных сетей, тогда как другие— форму географических сетей с упорядоченной структурой, как вслучае, когда узлы выстроены вкруг икаждый узел связан с ближайшими узлами вкаждом направлении. Вдругих географических сетях узлы размещены на плоскости, разделенной наклетки; при этом каждый узел соединен ссоседями, расположенными ксеверу, югу, востоку изападу. У большинства распространенных географических сетей низкая степень (они связаны только с локальными соседями) и относительно высокое среднее значение длины пути. В географических сетях промежуточность и коэффициент кластеризации неимеют вариации.

Сеть третьего типа— сеть со степенным распределением— имеет степень, распределенную по степенному закону. У немногочисленных узлов есть множество связей, но большинство узлов имеют очень мало связей. Сеть четвертого типа (сеть малого мира) сочетает всебе свойства географических и случайных сетей[5]. Для ее построения необходимо начать с географической сети, азатем «переделать» ее, произвольно выбрав звено изаменив один изузлов, которые оно связывает, случайным узлом. Если вероятность такой «перепрошивки» равна нулю, мыимеем географическую сеть, аесли единице, то случайную сеть. В промежутке между этими значениями мыполучаем сеть малого мира, которую можно отличить от географической сети по небольшим кластерам, соединенным случайными связями сдругими кластерами. Сети социальных связей выглядят примерно также. Укаждого человека есть кластер друзей и случайные друзья.

Рис.10.2. Случайная сеть, географическая сеть, сеть, распределенная по степенному закону, исеть малого мира

ФОРМИРОВАНИЕ СЕТЕЙ: ЛОГИКА

Теперь кратко опишем модели формирования сетей. Они предоставляют логику для объяснения структуры сетей. Большинство структур сетей, скоторыми мы сталкиваемся, возникают в результате решений отдельных агентов поповоду установления связей. Это касается сетей дружеских связей, Всемирной паутины и электросетей. Все эти сети неявляются запланированными. Другие сети, такие как сети цепей поставок,— результат планирования. Устойчивость запланированных сетей котказу узлов вполне ожидаема. Тот факт, что возникающие сетевые структуры устойчивы— скорее загадка.

Мыуже рассказывали, как создавать случайные сети исети малого мира. Первые создаются путем случайного формирования совокупности узлов и построения звеньев, связывающих случайные пары узлов. Сети малого мира создаются так: сначала мы формируем регулярную географическую сеть (часто посредством выстраивания узлов вкруг и связывания kсоседей вкаждом направлении), азатем случайным образом переставляем часть звеньев.

Модели формирования электросети опираются на экономические и инженерные принципы. Такая сеть должна обеспечивать электроэнергией дома, предприятия и правительственные учреждения. Какиебы организации ни выступали вкачестве производителей электроэнергии, коммерческие компании или коммунальные предприятия, уних мало стимулов для создания сетей свысоким коэффициентом кластеризации, поскольку это былобы неэффективно. Однако отсутствие кластеров снижает устойчивость сети. Кроме того, из экономических и инженерных соображений втаких сетях исключаются дальние прыжки— связи, которые проходят через всю сеть.

Энергетические компании не осуществляют прямую подачу электроэнергии изЧикаго вДаллас, нолюди икомпании поддерживают непосредственные связи друг сдругом. Житель Чикаго может подружиться скем-то изДалласа, акомпания из Сингапура вести бизнес с компанией изДетройта. Как мыувидим в следующем разделе этой главы, такие длинные прыжки способствуют укреплению устойчивости сети.

Для создания сети с распределением сдлинным хвостом можно использовать один из вариантов модели предпочтительного присоединения. Для этого мысоздадим узлы случайным образом, азатем нарисуем звенья, соединяющие новые узлы с существующими. Сделав так, чтобы вероятность подсоединения кузлу была пропорциональна его степени, мыполучим распределение по степенному закону. Вэтой модели появившиеся всети на начальном этапе узлы сгораздо большей вероятностью будут иметь высокую степень. Недостаток модели состоит втом, что она не учитывает различий вкачестве узлов. Более качественные узлы должны иметь более высокую степень. Модель формирования сети свысоким качеством истепенью узлов позволяет исправить это упущение и одновременно обеспечивает распределение сдлинным хвостом.

Модель формирования сети свысоким качеством истепенью узлов

Создайте dнесвязанных узлов. Закаждый период tсоздавайте новый узел с качеством Qt, выбранным из распределения F. Соедините этот узел сdдругими узлами, исходя из ихстепени. Если Dit обозначает степень узла iвпериод t, вероятность выбора узла iпри наличии Nузлов равна

Если укачества новых узлов низкое среднее значение инизкая дисперсия, тоэта модель напоминает стандартную модель предпочтительного присоединения. Если у распределения качества длинный хвост, тоновые узлы очень высокого качества могут получить большую степень[6].

ПОЧЕМУ СЕТИ ВАЖНЫ: ФУНКЦИЯ

В главе1 мы упоминали о парадоксе дружбы— том факте, что влюбой сети всреднем улюдей неможет быть больше друзей, чем у ихдрузей. Логику того, почему так происходит, можно продемонстрировать напримере звездообразной сети. Втакой сети у двенадцати человек есть поодному другу и уодного человека есть двенадцать друзей. Двенадцать человек, имеющих одного друга, связаны содним центральным узлом, а онимеет двенадцать друзей. Именно эта особенность (тот факт, что люди свысокой степенью связаны сбольшим количеством других людей) определяет данный результат. В звездообразной сети улюдей всреднем меньше двух друзей. При этом удрузей каждого человека всреднем больше одиннадцати друзей.

Парадокс дружбы присутствует влюбой сети: сетях цитирования, сетях контактов электронной почты, сетях сексуальных контактов, банковских сетях исетях международной торговли. Всреднем источники, цитируемые внаучной статье, получают более высокий уровень цитирования, чем сама статья; торговые партнеры страны всреднем торгуют сбольшим количеством стран, чем сама страна; а многочисленные виды, связанные с отдельным видом впищевой сети, имеют всреднем больше связей, чем этот вид. Разрыв между количеством друзей и количеством друзей друзей еще более ярко выражен всетях, где распределение степени имеет более высокую дисперсию. Анализ дружеских связей вFacebook показал, что у среднестатистического человека около двухсот друзей, аего друзья имеют всреднем более шестисот друзей[7].

Парадокс дружбы

Если удвух любых узлов всети разные значения степени, всреднем узел имеет более низкую степень, чем его соседи. Иначе говоря, друзья человека пользуются всреднем большей популярностью, чем онсам[8].

Логика парадокса дружбы распространяется налюбое свойство, которое соотносится с количеством друзей. Если активные, счастливые, умные, богатые идобрые люди имеют всреднем больше друзей, тодрузья таких людей будут всреднем активнее, счастливее, умнее, богаче икрасивее[9]. Представьте себе сеть, вкоторой у90процентов несчастливых людей четыре друга иу10процентов— десять друзей. Изменим соотношение наобратное для счастливых людей: у10процентов четыре друга иу90процентов— десять друзей. Среди друзей этих людей будет непропорционально много людей сдесятью друзьями. Подавляющее большинство людей будут счастливы, азначит, большинство друзей этих людей будут счастливее, чем они сами.

Теперь продемонстрируем такой феномен, как теория шести рукопожатий (шесть степеней разделения),— утверждение отом, что два любых человека напланете связаны друг сдругом неболее чем через шесть человек. Тогда как парадокс дружбы справедлив влюбой сети, теория шести рукопожатий верна только для некоторых типов сетей. Название феномена появилось в результате эксперимента Стэнли Милгрэма, проведенного им в1960-х годах. Милгрэм отправил конверты 296 жителям Омахи (штат Небраска) иУичито (штат Канзас), которые требовалось отправить человеку вБостон (штат Массачусетс). Участники эксперимента должны были придерживаться одних итехже правил: им разрешалось отправлять конверты попочте только тем людям, скоторыми они знакомы лично икоторые, по ихмнению, могли знать нужного человека вБостоне, с указанием сделать тоже самое. Люди составляли список, вкотором фиксировался путь, и отправляли почтовые открытки исследователям, чтобы темогли отследить разрывы вцепочке. ВБостон прибыло шестьдесят четыре конверта, среди которых средняя длина пути была немногим меньше шести— отсюда иназвание «шесть степеней разделения».

Входе второго, более масштабного, эксперимента, проведенного через пятьдесят лет, 20000 человек было поручено найти восемнадцать адресатов вовсем мире спомощью электронной почты. Средняя длина цепочек электронных писем составляла отпяти досеми, в зависимости от географического расстояния между источником и адресатом. Длина обнаруженных путей небыла эквивалентна минимальной длине пути между участниками эксперимента. Таким образом, полученные данные указывают нато, что большинство людей связаны менее чем шестью степенями[10].

Давайте сконструируем упрощенную версию сети малого мира, чтобы получить интуитивное представление офеномене шести степеней разделения. Наш вариант сети подразумевает, что улюдей есть небольшой кластер близких друзей, которые знают друг друга, идрузья за пределами кластера, которых мыназовем случайными друзьями[11]. Нарис.10.3 показан человек (обозначенный черным кружком), имеющий пять близких идвух случайных друзей. Кроме того, нарисунке отображен выбор друзей друзей этого узла (светло-серые кружки).

Рис.10.3. Близкие друзья узла (C) и случайные друзья (R)

Случайных друзей можно также рассматривать как слабые связи, тоесть как людей, которые связывают вас сдругими сообществами. Слабые связи (случайные друзья внашей сети) играют важную информационную роль, соединяя сообщества сразными интересами и информацией. Именно поэтому социологи говорят осиле слабых связей[12].

Эта конструкция позволяет вычислить количество соседей второй степени (друзей друзей), определив количество друзей случайных друзей, нодобавляя только случайных друзей близких друзей. Мы небудем подсчитывать близких друзей близких друзей, поскольку это члены круга близких друзей узла. Аналогичным образом мы рассчитаем количество друзей друзей друзей. Мы подсчитаем друзей случайных друзей близких друзей, невключая врасчеты близких друзей близких друзей случайных друзей, так как они уже были подсчитаны как соседи второй степени. Для получения феномена шести степеней разделения мыприменим туже логику ксети, состоящей из100близких и20 случайных друзей.

Шесть степеней разделения

Предположим, каждый узел имеет 100 близких друзей (C), которые дружат друг сдругом, и20 случайных друзей (R), укоторых нет общих друзей сузлом. Вычислим количество соседей разных степеней:

Степень 1: C+ R= 120

Степень 2: CR+ RC+ RR= 2000+ 2000+ 400= 4400

Степень 3: CRC+ CRR+ RCR+ RRC+ RRR= 328000

Степень 4: 17360000[13]

Степень 5: > 1миллиарда

Степень 6: > 20миллиардов

При отсутствии частичного совпадения друзей случайных друзей модель по умолчанию исходит из существования бесконечной генеральной совокупности. Вреальной сети социальных связей частичное совпадение друзей имеет место помере увеличения степени. Всети, включающей совпадения идругие реальные свойства, такие как неоднородность количества друзей, значения будут отличаться от вычисленных выше. Относительная величина количества соседей узла каждой степени останется аналогичной. Учеловека будет гораздо больше соседей третьей степени (друзей друзей друзей), чем второй (друзей друзей).

Большое количество друзей третьей степени (более четверти миллиона внашем примере) может быть полезным. Вотличие отблизких друзей человека, его друзья третьей степени обычно живут вразных городах, посещают разные школы и располагают разной информацией. Они более многообразны. Втоже время они достаточно близки для установления доверительных отношений: друг друга друга может быть коллегой матери вашего соседа покомнате или тетей парня вашей сестры. Количество друзей третьей степени, их разнообразие и относительная близость делают ихважным активом. Они могут предоставить вам ценную информацию и перспективы трудоустройства. Все эти люди охотно помогут человеку найти работу, переехать вновый город или стать партнером вжизни или бизнесе.

НАДЕЖНОСТЬ СЕТИ

Наше последнее следствие структуры сети численно выражает надежность (устойчивость) еесвойств, тоесть насколько сеть близка котказу узла (или звена). Самое важное свойство сети— сохраняетли она свою связность. Мыможем использовать модели для вычисления вероятности того, что сеть останется связной, как функцию от количества удаленных узлов. Мыможем также задаться вопросом, что происходит сосредней длиной пути при удалении узлов. В контексте сети авиалиний анализ средней длины пути сказалбы нам, сколько дополнительных рейсов понадобилосьбы вслучае закрытия аэропорта из-за погодных условий или аварийного отключения электроснабжения.

Здесь мы рассмотрим вопрос отом, как размер самой большой связанной составляющей сети, гигантской компоненты, меняется при отказе узлов в случайном порядке. Нарис.10.4 показан размер гигантской компоненты большой случайной сети ибольшой сети малого мира. В случайной сети размер гигантской компоненты сначала уменьшается линейно. При критическом значении, когда вероятность звена равна единице, деленной на количество узлов, размер самой большой компоненты сокращается досколь угодно малой доли первоначального размера сети. Сеть малого мира не демонстрирует таких резких изменений. Большинство связей существуют впределах географических кластеров. Каждый кластер способен выдержать отказ множества узлов. Это свойство в сочетании со случайными связями предотвращает коллапс всей сети.

Рис.10.4. Размер гигантской компоненты (G) как функция отказа узла

На основании этого рисунка можно сделать вывод, что разреженная сеть, вкоторой отсутствует кластеризация на локальном уровне, подвержена отказам. Мыможем применить этот вывод к энергосети, вкоторой нет длинных связей иплотных кластеров, обеспечивающих устойчивость сетей малого мира. В энергосети отказ одного узла или звена невозможно компенсировать засчет других звеньев кластера или соединения с удаленным рабочим узлом. Локальные отказы могут каскадом распространиться повсей сети[14]. Интернетже, напротив, имеет длинный хвост распределения значений степени узлов иустойчив к случайному отказу последних. Такое распределение степени подразумевает, что у подавляющего большинства узлов мало связей, поэтому даже при ихотказе сеть останется связной.

Досих пор мыисходили из предположения о случайном отказе узлов, номожно также рассмотреть вероятность стратегического удаления узлов. Сегодня сети сдлинными хвостами, такие как интернет, становятся неустойчивыми. Стратегическое удаление узлов ссамой высокой степенью способно разрушить такую сеть. Эту логику можно отследить напримере звездообразной сети. При случайном удалении узлов сеть остается связной дотех пор, пока небудет удален центральный узел, что маловероятно. Стратегическое удаление, уничтожающее центральный узел, разъединяет сеть заодин шаг.

В некоторых сетях, таких как террористические сети исети наркоторговли, может возникнуть необходимость в разъединении сети. Если такие сети разреженные (как энергосеть) или имеют распределение сдлинным хвостом, ихможно разъединить путем стратегического удаления узлов. Вслучае террористической сети это потребовалобы ареста самых связанных членов. Если такие сети подобны сетям малого мира, они будут устойчивы даже к стратегическому удалению узлов. Попытки отделить отсети любой географический сегмент потерпят неудачу из-за случайных связей, соединяющих этот сегмент с остальной частью сети.

РЕЗЮМЕ

Мычасто создаем сетевые модели людей, чтобы отразить факторы социального влияния, когда успех, поведение, информация или убеждения человека, входящего всеть, воздействуют науспех, поведение, информацию или убеждения его друзей. Поведение может зависеть от контекста или быть присуще человеку, также как его ценность или вклад в коллективный проект. Ценность или вклад человека могут зависеть отего качеств, таких как талант, объем усилий ивезение. Успех человека может также определяться его сетью друзей иколлег. Здесь возникает извечный вопрос: так отчего зависит успех— оттого, что вызнаете, или оттого, кого вызнаете?

Представьте себе группу ученых, работающих вместе в исследовательской лаборатории. Они делятся друг сдругом советами, идеями изнаниями. Количество научных работ, патентов или прорывов одного изученых, безусловно, зависит отего знаний, номожет также быть обусловлено его контактами, тоесть взаимодействием сдругими учеными. Размышляя в категориях контекстных характеристик (сетей дружеских связей) и врожденных качеств (способностей человека), мыможем определить, какую часть успеха ученого можно приписать каждому изних.

Инвестиционные компании, нанимающие фондовых менеджеров изчисла суперзвезд, руководствуясь убеждением, что успех в значительной мере зависит отталанта, получают неочень обнадеживающие результаты. Эмпирические данные говорят отом, что успешные инвесторы также полагаются насети коллег, предоставляющих им определенные виды информации[15]. Этот конкретный вывод можно рассмотреть сквозь призму гораздо большего количества публикаций (часть которых основана намоделях), показывающих, как положение человека в организации влияет наего успех.

Тем неменее успех коррелирует со способностями. Бизнес-идея, накоторой инвесторы зарабатывают миллионы, скорее всего, была хорошей. Ученый, который публикует сотни работ иполучает многочисленные награды, безусловно, талантлив. Втоже время наибольший вклад вносят люди, занимающие лучшее положение всети. Мыможем оценить положение человека спомощью промежуточности идругих признаков центральности. Люди, занимающие всети положение свысокой степенью промежуточности, заполняют то, что Рон Берт называет структурными пустотами между сообществами, которые можно обнаружить спомощью алгоритмов[16]. Доступ к информации иидеям из множества сообществ наделяет людей, заполняющих структурные пустоты, властью ивлиянием. Заполнение структурной пустоты требует определенных талантов и способностей. Человек неможет просто так заполнить любую пустоту. Ондолжен завоевать доверие и понимание вкаждом сообществе, атакже овладеть базой знаний каждого сообщества.

Практически идентичную логику можно применить и коценке стоимости компаний и определению влияния отдельных стран. Мыможем определять стоимость компании, оценивая ееактивы ипассивы наоснове балансовой ведомости. Аможем назначить цену, проанализировав контекст, вкотором работает компания, в частности еепозицию вцепи поставок. Аналогично влияние страны зависит от еересурсов и союзников. Как вслучае компаний, так истран присущие имкачества и связность коррелируют. Тот, кто занимает влиятельное положение всети, обладает иважными качествами.

Вэтой книге, также как и в большинстве других работ, узел рассматривается как единица анализа. Звенья тоже могут играть важную роль. Если придерживаться еще более широкого подхода, то вкачестве единицы анализа можно рассматривать исаму сеть. Например, сети преподавателей, обеспечивающие передачу идей и информации между классами, могут повысить результаты обучения, а администратор сширокими связями может эффективно координировать реформу программы обучения. Аналогично учитель второго класса много знает освоих учениках, которые переходят втретий класс,— иэта информация может пригодиться учителю третьего класса. Учитель математики знает, какие математические понятия ученики еще неосвоили,— иэта информация поможет учителю физики структурировать свои уроки. Таким образом вхороших школах формируются сильные сети преподавателей. Это только один пример того, как сетевые модели могут улучшить наше мышление[17].

Вектор Майерсона и структурные пустоты Берта

Люди, заполняющие структурные пустоты, более влиятельны и связывают сообщества всети. Различные статистические параметры сети, такие как промежуточность, должны коррелировать с заполнением структурной пустоты. Альтернативный показатель влияния всети, вектор Майерсона, опирается на туже логику, что ивектор Шепли. Чтобы вычислить значения вектора Майерсона, мы разработаем кооперативную игру всети, норазрешим вней только коалиции, включающие связанные компоненты. Рассмотрим трех человек, выстроенных влинию. Предположим, их местоположение отражает их политическую идеологию; при этом человек Bнаходится вцентре, как показано ниже. При запрете накоалицию с ближайшими соседями A, крайний человек слева, может установить связь сC, крайним человеком справа, только вслучае, если Bневходит всостав коалиции. Чтобы определить ценность каждого игрока по Майерсону, сначала присвоим дополнительную ценность всем возможным коалициям, азатем вычислим значения вектора Шепли покаждой коалиции, рассматривая еекак отдельную игру. Инаконец, суммируем значения вектора Шепли покаждой коалиционной игре, чтобы получить значения вектора Майерсона.

Возможные последовательности: ABC, BAC, BCA, CBA

Исключены: ACB, CAB

Вкачестве примера предположим, что любая коалиция издвух игроков обеспечивает результат с ценностью 10, авсе три игрока вместе— результат с ценностью 14. Тогда получим следующее: ценность по Майерсону игроков 1 и3 составит 3, аигрока 2— 8[18].

Показатели центральности, такие как промежуточность, основаны только насетях. Значения вектора Майерсона зависят отфункции ценности. Использование обоих показателей позволяет вычленить зависимость влияния от положения человека всети и от выполняемых имфункций. Внашем примере значения ценности трех игроков по Майерсону (3, 8, 3) идеально коррелируют с их показателями промежуточности (0, 1, 0). Так бывает невсегда, особенно вслучае более сложных сетей ифункций ценности.

Подобно тому как заражение болезнью вызывает болезнь, заражение доверием порождает доверие.

Марианна Мур

Вэтой главе мыбудем моделировать распространение информации, технологий, моделей поведения, убеждений и заболеваний врамках совокупности спомощью моделей трансляции, диффузии и заражения. Эти модели играют центральную роль вобласти коммуникации, маркетинга и эпидемиологии. Все три модели делят население налюдей, которые что-то знают или имеют, итех, кто этого незнает или неимеет. Современем люди переходят изодной группы вдругую. Кто-то переходит от восприимчивости кболезни к заражению либо из категории неинформированных оновом продукте или идее вгруппу информированных.

Эмпирический график количества людей, которые современем подхватывают болезнь, покупают продукт или узнают какую-то информацию (кривая принятия), как правило, либо вогнутый, либо S-образный. Форма графика зависит оттого, как люди получают информацию или заражаются болезнью, тоесть происходитли это в результате трансляции или диффузии. Особенность главы состоит втом, что она связывает протекающие на микроуровне процессы распространения идей иболезней сформой кривых принятия. Глава начинается санализа модели трансляции, которая применяется, когда люди узнают обидее или заражаются болезнью изодного источника. Эта модель дает графики вформе r-образной кривой. Затем мы рассмотрим модель диффузии, вкоторой распространение происходит в результате контакта, как при передаче болезни отчеловека кчеловеку. Эта модель дает график вформе S-образной кривой.

Многие продукты, программы, идеи и фрагменты информации распространяются как посредством трансляции, так иизуст вуста. Мыможем моделировать эти среды сучетом и трансляции, идиффузии. Полученная витоге модель, известная как модель Басса, играет центральную роль в маркетинге. Какой график она порождает, r- или S-образный, зависит отсилы этих двух процессов. И последней мы проанализируем SIR-модель заражения изобласти эпидемиологии, которая учитывает темпы выздоровления. Эта модель может описывать иммунную систему, борющуюся сболезнью, модели поведения или стили, выходящие измоды, или информацию, которая утрачивает свою ценность вплане передачи еедругим. SIR-модель позволяет определить тот переломный момент, когда от небольших изменений свойств продукта или признаков заболевания зависит провал или успех. Незначительное снижение вирулентности может превратить массовую инфекцию в небольшую вспышку заболевания, а небольшое повышение вероятности распространения молвы— новую популярную группу, игравшую в1960-х годах несколько месяцев впабах Ливерпуля, в легендарную «Битлз».

МОДЕЛЬ ТРАНСЛЯЦИИ

Вовсех моделях, рассматриваемых вглаве, используется такой параметр, как релевантная совокупность, обозначаемый как NPOP. Вцелевую группу входят люди, которые потенциально могут подхватить болезнь, узнать информацию или принять продукт. Релевантная совокупность— это невсе население, скажем, города или страны. Если мы моделируем распространение метода протезирования аортального клапана непрерывным швом, релевантной группой будут кардиохирурги, аневсе жители Филадельфии.

Влюбой момент времени кто-то заболевает, получает информацию или принимает определенную модель поведения. Мыбудем называть таких людей либо инфицированными, либо информированными (обозначим ихкак It). Остальные члены релевантной совокупности относятся к категории восприимчивых (обозначим ихкак St). Они могут подхватить болезнь, получить информацию или принять модель поведения[1]. Численность релевантной совокупности равна сумме количества инфицированных (или информированных) и количества восприимчивых людей: NPOP= It+ St.

Модель трансляции описывает распространение идей, слухов, информации или технологий посредством телевидения, радио и интернета. Информация обо всех происходящих событиях распространяется методом трансляции. Модель отражает процессы, позволяющие источнику, которым может быть правительство, корпорация илигазета, распространять информацию. Она также может описывать загрязнение, распространяющееся посистеме водоснабжения, но неприменима кболезням иидеям, передающимся отчеловека кчеловеку напрямую. Поскольку модель трансляции более уместна вслучае распространения идей и информации, чем болезней, мыбудем говорить очисле информированных, а не зараженных людей.

Количество информированных людей в указанный период равно количеству информированных людей за предыдущий период плюс вероятность того, что восприимчивый человек услышит информацию, умноженную на количество восприимчивых людей (см. врезку). По определению первоначальная совокупность содержит только восприимчивых людей. Чтобы вычислить количество информированных людей вовсех будущих периодах, необходимо включить количество информированных и восприимчивых людей в разностное уравнение. Результатом будет r-образная кривая принятия.

Модель трансляции

It+1= It+ Pтрансл· St,

где Pтрансл— вероятность трансляции; It иSt— количество информированных и восприимчивых вмомент времени t.

Первоначально I0= 0 и S0= NPOP.

Представьте, что мэр города содним миллионом жителей объявляет овведении новой политики вобласти налогообложения. Доэтого отакой политике никто ничего незнал. Предположим, вероятность того, что кто-то услышит определенную новость втот или иной день, равна 30процентам (Pтрансл= 0,3). Тогда впервый день эту новость услышат 300000 человек, а вовторой— 30процентов от оставшихся 700000, тоесть 210000 человек. Закаждый период количество информированных людей увеличивается, новсе меньшими темпами, как показано нарис.11.1.

Рис.11.1. r-образная кривая принятия, образованная моделью трансляции

Вмодели трансляции каждый член релевантной группы узнает информацию или покупает продукт. Следовательно, используя исходные данные опродажах, мыможем рассчитать размер релевантной группы. Предположим, компания выводит нарынок новую линейку обуви для людей, практикующих тай-чи, и запервую неделю получает заказы на20000 пар. Если завторую неделю поступают заказы еще на16000 пар, мыможем вывести приближенную оценку итогового общего объема продаж— размер релевантной совокупности, который составит 100000.

Согласование модели трансляции сданными

Период 1: I1= 20000= Pтрансл· NPOP.

Период 2: I2= 36000= 20000+ Pтрансл· (NPOP− 20000).

Решение[2]: Pтрансл= 0,2 иNPOP= 100000.

Нестоит слишком доверять оценке, основанной надвух элементах данных. Вмодели неучтен ряд аспектов реального мира. Люди могут получать информацию изуст вуста или изсредств массовой информации, некоторые могут купить несколько пар обуви, ареклама может быть ориентирована на вероятных покупателей. Включение этих аспектов вмодель изменит полученные оценки. Ноесли опустить оговорки, модель всеже позволит получить приближенную оценку. Компании нестоит рассчитывать напродажу двух миллионов пар обуви, ноона может быть уверена, что продаст более 100000пар. Помере поступления дополнительных данных оценку можно улучшить. Если затретью неделю объем продаж составит 13000 пар (объем, который прогнозирует модель), токомпания может больше доверять первоначальному прогнозу.

МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ

Большинство болезней, также как и информация омногих продуктах, идеях ипрорывах, распространяются отчеловека кчеловеку. Такие процессы описывает модель диффузии. В ееоснове лежит предположение, что когда один человек начинает использовать какую-то технологию или подхватывает болезнь, существует некоторая вероятность еепередачи тем, скем он контактирует. Вслучае болезни выбор роли неиграет. Вероятность того, что человек заболеет, зависит отряда факторов, таких как генетика, вирулентность заболевания идаже температура воздуха. Вовремя жаркого, влажного сезона малярия распространяется гораздо быстрее, чем вовремя холодного исухого.

Распространение технологии подразумевает выбор состороны тех, кто ее применяет, азначит, более полезные технологии будут приняты сбольшей вероятностью. Однако мы небудем учитывать этот выбор вданной модели непосредственно. Поэтому мода начасы Apple Watch играет такуюже роль, как и вирулентность штамма гриппа.

Мыпридаем особое значение распространению информации, поэтому будем обозначать людей как информированных или неинформированных. Новые люди становятся информированными, когда встречают информированного человека и информация распространяется между ними. Это два разных событиях, зависящих от контекста. У городских жителей вероятность контактов выше, чем усельских, а у сенсационной новости, скажем оприбытии инопланетян, вероятность передачи выше, чем уновости о повторном выводе нарынок крендельков M&M’s. Таким образом, мы представим вероятность диффузии как произведение вероятности контактов навероятность передачи. Мыможем описать модель втерминах вероятности диффузии, но входе оценки или применения модели следует отслеживать две вероятности независимо друг отдруга.

Модель диффузии допускает случайное перемешивание, тоесть тот факт, что любые два члена релевантной совокупности с одинаковой степенью вероятности могут вступить вконтакт. Однако это предположение дает повод для сомнений, поскольку оно совершенно справедливо вмодели распространения болезни в дошкольном учреждении, где дети постоянно взаимодействуют друг сдругом, нотрудно применимо по отношению к населению города. Люди не перемешиваются случайным образом. Они взаимодействуют восновном врамках соответствующих групп— коллеги, семья, социальные связи. Тем неменее следует помнить, что предположение не обязательно должно быть точным, чтобы стать частью полезной модели. Поэтому мы продолжим его использовать, помня отом, что его можно изменить.

Модель диффузии

где Pдифф= Pпер· Pконт.

Согласно этой модели, все члены релевантной совокупности современем также узнают информацию. Однако кривая принятия вмодели диффузии имеет S-образную форму. Изначально кчислу информированных относится совсем немного людей, аI0 имеет малое значение. Отсюда следует, что количество восприимчивых людей, которые встречаются с информированным человеком, тоже должно быть небольшим. Помере того как число информированных людей растет, число контактов между информированными инеинформированными людьми увеличивается, приводя к увеличению количества информированных людей. Когда практически все члены релевантной совокупности становятся информированными, число только что узнавших информацию людей сокращается, образуя вершину S-образной кривой. Кривые принятия технологий, как правило, имеют такуюже форму. Например, кривые принятия гибридных семян впрошлом веке разнятся в зависимости отштата (вштате Айова начали использовать гибридные семена раньше, чем вАлабаме), нопри этом все имеют S-образную форму[3].

Вмодели трансляции оценка размера релевантной совокупности наоснове данных невызывает затруднений. Исходное количество людей, принимающих технологию или продукт, в значительной степени коррелирует с релевантной совокупностью. Напротив, оценить размер релевантной совокупности спомощью модели диффузии достаточно трудно. Одно итоже увеличение объема продаж может быть следствием большой вероятности диффузии среди членов малой релевантной совокупности или малой вероятности среди членов большой совокупности. Нарис.11.2 представлены данные подвум гипотетическим приложениям для смартфонов. Впервый день каждое приложение купили 100 человек. Вкаждый из следующих пяти дней первое приложение демонстрирует как более высокий общий объем продаж, так ибольшее увеличение темпов продаж. При отсутствии модели мы, скорее всего, пришлибы квыводу, что упервого приложения будет более крупный рынок, но согласование модели собоими наборами данных говорит обобратном.

День	Приложение 1	Приложение 2
1	100	100
2	136	130
3	183	169
4	242	220
5	316	286
	…
365	1000	1000 000

Рис.11.2. Кривые принятия, отражающие объем продаж двух приложений

Первое приложение соответствует вероятности диффузии 40процентов и релевантной группе численностью 100 человек, тогда как второе— вероятности диффузии 30процентов и численности релевантной группы миллион человек[4]. За несколько дней мыпришлибы к заключению, что есть более крупная релевантная группа пользователей второго приложения. Тем неменее при отсутствии модели мысделалибы ошибочный вывод обобщем объеме продаж, еслибы основывались только наданных запять дней.

При использовании модели диффузии как руководства кдействию вероятность диффузии равна произведению вероятности передачи и вероятности установления контакта. Для того чтобы повысить темпы продаж приложения, его разработчик могбы увеличить частоту встреч между людьми или вероятность того, что они поделятся информацией оданном приложении. Изменить первую вероятность довольно трудно, авот для повышения второй разработчик могбы предоставлять стимулы за привлечение новых покупателей, что, кстати, многие иделают. Разработчик игр могбы начислять пользователям баллы за привлечение новых покупателей врамках игры. Это увеличилобы скорость диффузии, но не сказалосьбы наобщем объеме продаж (покрайней мере модель наэто не указывает). Как уже говорилось, общий объем продаж равен размеру релевантной совокупности, независимо от вероятности передачи. Увеличение темпов продаж недает долгосрочного эффекта.

Большинство потребительских товаров и информация распространяются как посредством диффузии, так и трансляции. Наша следующая модель, модель Басса, объединяет оба процесса водну модель[5]. Разностное уравнение вмодели Басса представляет собой совокупность разностных уравнений измодели трансляции имодели диффузии. Кривая принятия вмодели Басса становится все более S-образной помере повышения вероятности диффузии. Кривые принятия телевизоров, радиоприемников, автомобилей, компьютеров, обычных и мобильных телефонов— все это сочетание r- иS-образных форм.

Модель Басса

где Pтрансл— вероятность трансляции, аPдифф— вероятность диффузии.

SIR-МОДЕЛЬ

Вуже рассмотренных нами моделях человек, принимающий какую-то технологию, никогда не отказывается отнее. Это касается таких технологий, как электричество, посудомоечная машина и телевидение,— мыникогда неизменим кним отношения. Однако это предположение не относится ковсему тому, что распространяется посредством диффузии. После болезни мы выздоравливаем. Когда мыотдаем дань моде, выбирая определенный стиль одежды или танцевальное движение, то современем можем отказаться отнего. Следуя принятому соглашению, мыбудем обозначать таких людей (отказавшихся) излечившимися. Полученная витоге модель под названием SIR-модель (сокр. отsusceptible— восприимчивый, infected— инфицированный, recovered— излечившийся) занимает центральное место в эпидемиологии.

Учитывая происхождение этой модели, атакже тот факт, что излечение более естественно вслучае болезней, мыопишем ее напримере распространения болезни. Во избежание чрезмерного усложнения математических выкладок будем исходить изтого, что выздоровевшие люди снова становятся восприимчивы кболезни, тоесть что ихорганизм не вырабатывает отнее иммунитет.

SIR-модель

где Pпер, Pконт иPизлеч— вероятность передачи болезни, контакта и излечения соответственно.

Эпидемиологи отслеживают вероятность контакта и вероятность передачи отдельно, поэтому также поступим имы. Частота контактов зависит оттого, как именно болезнь передается отодного человека кдругому. ВИЧ передается при половых контактах, дифтерия— через слюну, авирусы гриппа— воздушно-капельным путем. Следовательно, угриппа вероятность контактов выше, чем удифтерии, укоторой, всвою очередь, более высокая вероятность контактов, чем уВИЧ. После контакта вероятность передачи также бывает разной. Коклюш (судорожный кашель) передается другому человеку легче, чем атипичная пневмония.

SIR-модель позволяет определить переломный момент в формировании показателя, известного как базовое репродуктивное число (R0),— отношение вероятности контакта, умноженной на вероятность передачи, к вероятности излечения. Болезни со значениями R0 больше 1 могут охватить всю группу. Заболевания со значением R0 меньше 1 сходят нанет. Вэтой модели информация (или вданном случае болезнь) невсегда охватывает всю релевантную совокупность, все зависит отзначения R0. Поэтому правительственные учреждения, такие как центры поконтролю и профилактике заболеваний, используют значение показателя R0 для выработки плана действий[6].

R0: базовое репродуктивное число

Как показано втаблице ниже, корь, которая передается воздушным путем, имеет более высокое базовое репродуктивное число, чем ВИЧ, который распространяется половым путем или при совместном использовании игл ишприцев. Оценка значений R0 не учитывает того факта, что люди меняют свое поведение как ответную реакцию наболезнь. Родители могут вответ на заражение детей педикулезом вшколе оставить ихдома, снизив тем самым вероятность контакта. Или побрить имголовы, уменьшив вероятность передачи вслучае контакта. Вобоих сценариях изменение поведения ведет кснижению R0 педикулеза.

	Корь	Полиомиелит	ВИЧ	Грипп
R0	15	6	4	3

При отсутствии вакцины можно ввести карантин, ноэто очень затратно[7]. Если вакцина есть, то вакцинация способна предотвратить распространение болезни; ееможно остановить даже без всеобщей вакцинации. Доля людей, подлежащих вакцинации (порог вакцинации), определяется поформуле V≥ (R0− 1)/ R0, которую можно вывести изданной модели[8].

Чем больше значение R0, тем выше порог вакцинации. Чтобы предотвратить распространение полиомиелита, укоторого значение R0 равно 6, вакцинация должна охватить отобщей численности населения, а распространение кори, значение которой равно 15,— отобщей численности населения. Математический вывод порога вакцинации служит ориентиром для представителей правительственных структур. Если привито слишком мало людей, тоболезнь распространится, поэтому правительство обеспечивает вакцинацию, превышая пороговое значение, установленное спомощью модели. Вслучае заболеваний свысоким базовым репродуктивным числом, таких как корь и полиомиелит, правительственные учреждения стремятся проводить всеобщую вакцинацию.

Некоторые люди беспокоятся поповоду побочных эффектов вакцин и предпочитают не участвовать в программах вакцинации. Если процент таких людей невелик, вакцинация позволит остальным не подхватить болезнь. Эпидемиологи называют этот феномен «популяционным иммунитетом». Люди, отказывающиеся от вакцинации, бесплатно пользуются преимуществами вакцинации других людей. Мы рассмотрим эту тему подробнее вкниге чуть позже[9].

R0, суперраспространители и возведение степени вквадрат

Вывод R0, базового репродуктивного числа основан на предположении о случайном перемешивании: на протяжении каждого временного интервала члены популяции случайно встречаются друг сдругом. Как отмечалось выше, предположение о случайном перемешивании может примерно соответствовать болезням, которые передаются воздушно-капельным путем или через прикосновения, но нестоль уместно вслучае болезней, передающихся половым путем.

Встроив SIR-модель всеть, мыувидим роль распределения степени в распространении болезни. Здесь мысравним сеть ввиде прямоугольной сетки (как шахматная доска), вкоторой каждый узел связан сузлами ксеверу, югу, востоку изападу, созвездообразной сетью, где центральный узел связан совсеми остальными узлами.

Предположим, болезнь случайным образом возникает вкаком-то узле. Пусть Pконт= 1 вданной сети, тоесть каждый человек контактирует совсеми людьми, скоторыми онсвязан. На протяжении следующего периода болезнь может распространиться накаждого соседа по отдельности сзаданной вероятностью, соответствующей вирулентности заболевания.

Сначала рассмотрим прямоугольную сетку. Втечение каждого периода болезнь может распространиться налюбой изчетырех узлов ксеверу, югу, востоку изападу. Если вероятность распространения болезни выше , томожно ожидать, что она распространится. Заглянув вбудущее наодин период, мыувидим, что, если один узел подхватит болезнь, унего есть три соседа, которые также рискуют заразиться. Если два соседа (ксеверу ивостоку от первоначального узла) подхватят болезнь, тоесть шесть узлов, накоторые она может перейти. Следовательно, такая сеть, повсей видимости, несильно влияет на вероятность распространения заболевания.

Теперь рассмотрим звездообразную сеть. Первым заразившимся узлом может стать либо центральный, либо внешний узел. Если центральный узел подхватит болезнь, онможет передать еелюбому внешнему узлу. Вэтом случае следует ожидать распространения болезни даже при низкой вероятности передачи. Если болезнь подхватит один извнешних узлов, то единственным узлом, находящимся взоне риска, будет центральный узел. А, как мытолько что выяснили, это чревато распространением болезни даже при низкой вероятности передачи.

В звездообразной сети значение R0 менее информативно, поскольку при заражении центрального узла болезнь быстро распространится. Эпидемиологи называют людей, выступающих вкачестве узлов свысокой степенью, суперраспространителями. Именно они способствовали раннему распространению ВИЧ и атипичной пневмонии[10]. Суперраспространитель не обязательно должен иметь высокий уровень социальной активности или много связей. Онможет активно общаться слюдьми врамках своей профессии— оператор пропускного пункта, кассир вбанке, стоматолог-гигиенист итак далее. Вначале ХХстолетия Мэри Маллон («тифозная Мэри») работала поваром вНью-Йорке. Она переходила изсемьи всемью, заражая каждую брюшным тифом. Когда выяснилось, что Мэри— источник инфекции, ее поместили вкарантин принудительно.

Для того чтобы определить влияние узлов свысокой степенью, следует сначала отметить, что такие узлы вбольшей мере распространяют болезнь и сбольшей вероятностью подхватывают ее. Для человека, укоторого втри раза больше друзей, чем укого-то другого, втри раза выше вероятность подхватить болезнь ивтри раза выше вероятность ее распространить. Следовательно, его общий вклад в распространение болезни будет вдевять раз больше, чем удругих. Если узел Aимеет степень вKраз больше степени узла B, тоузел Aбудет распространять болезнь с вероятностью, вKраз большей, чем узел B, ипередаст эту болезнь вKраз большему количеству узлов, чем узел B. Общее воздействие узла Aбудет вK² раз превышать воздействия узла B— феномен, известный как возведение степени вквадрат.

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ВОМНОГИХ ОБЛАСТЯХ

Хотя SIR-модель разрабатывалась для анализа распространения болезней, ееможно применить и к социальным явлениям, которые передаются в результате диффузии, азатем теряют актуальность. К ихчислу относятся книги, песни, танцевальные движения, фразы, сайты, диеты и комплексы упражнений. Мыможем вычислить вероятность контактов, распространения, излечения ибазовое репродуктивное число также и вэтих контекстах. Модель подразумевает, что небольшие изменения этих вероятностей увеличивают значение базового репродуктивного числа выше нуля, что определяет разницу между успехом инеудачей. Успех может зависеть оттого, что Джон Апдайк, описывая последний выход Теда Уильямса набиту, назвал «тонким различием между хорошей иплохой работой»[11]. Предположим, вы придумываете новую шутку. Если сделать еенемного смешнее, это может поднять значение базового репродуктивного числа выше 1 ишутка распространится. Аналогичная логика применима к притягательности идей. Если идея закрепилась всознании людей более прочно, темп излечения будет ниже, что также повысит базовое репродуктивное число.

Невсе случаи относятся к пороговому уровню. Группа «Битлз» была необычайно талантлива. Очевидно, что еебазовое репродуктивное число существенно превышало 1. Безусловно, это предположение. Для оценки базового репродуктивного числа современных поп-звезд можно использовать количество интернет-загрузок и просмотров. Оценочное значение R0 поп-звезды Джастина Бибера равно 24, что делает его более вирулентным, чем корь[12].

В SIR-модели мывывели две важные пороговые величины— R0 ипорог вакцинации,— которые становятся контекстными переломными моментами, когда небольшие изменения вовнешней среде (контексте) существенно сказываются наконечном результате. Такие моменты отличаются отнепосредственных переломных моментов, когда небольшие действия в определенный момент навсегда меняют дальнейший путь системы. Непосредственные переломные моменты наступают в неустойчивых точках, как вслучае, когда мяч находится навершине холма. Небольшой толчок влюбом направлении отправляет мяч вниз либо поодному, либо подругому склону. Этот небольшой толчок иесть непосредственный переломный момент32 (точка перелома)[13].

При наступлении контекстного переломного момента изменение параметра меняет поведение системы. Вслучае непосредственного переломного момента траектория будущих результатов делает резкий поворот. Изгиб, подобный первому повороту S-образной кривой принятия вмодели диффузии, не удовлетворяет ниодному из определений переломного момента. Такой изгиб соответствует той точке, вкоторой наклон кривой максимально повышается. Вэтой точке диффузия идет полным ходом инет никаких переломов.

Нарис.11.3 показано количество пользователей сети Google+ запервые две недели ее существования[14]. Изгиб графика происходит через шесть дней после появления сети. Ктому времени процесс диффузии уже набрал обороты. Речь не отом, что на первоначальном этапе сеть Google+ развивалась струдом ичто непосредственный переломный момент наступил нашестой день, вследствие чего количество пользователей сети достигло 16миллионов задве недели. Такое сочетание переломов ирезких подъемов приводит к чрезмерному использованию термина «переломный момент». Моменты, называемые в новостных СМИ и интернете переломными, редко удовлетворяют формальному определению.

Рис.11.3. Изгиб (а неперелом) награфике количества пользователей Google+

Ожирение тоже можно рассматривать как эпидемию. Хотя люди немогут им заразиться так, как подхватывают простуду, под влиянием социальных факторов уних могут сформироваться привычки, приводящие кожирению[15]. Чтобы обратить эпидемию ожирения вспять, мыдолжны уменьшить его базовое репродуктивное число путем снижения вероятности контактов или передачи либо посредством повышения вероятности излечения. Применение SIR-модели в контексте ожирения, отсева учащихся или преступности дает ненамного лучшие результаты, чем экономические и социологические модели. Но поскольку она отличается отдругих, тодает иные объяснения ипрогнозы. Кроме того, SIR-модель может указывать надругие действия или меры. Она вносит свой вклад вансамбль моделей, которые помогают нам осмыслить этот мир. Ноэто не волшебная палочка, способная решить проблему.

При применении моделей трансляции, диффузии и заражения по отношению к социальным явлениям мыможем обнаружить, что одни предположения верны, адругие— нет. Вслучае распространения болезни каждый контакт имеет независимую вероятность еепередачи. В социальной сфере заражение может быть более вероятным, поскольку принятие— это вопрос выбора. Мы невыбираем грипп— мыпросто подхватываем его. Но мы сознательно решаем купить, например, обтягивающие джинсы. Чем больше людей ихносят, тем выше вероятность того, что мытоже будем ихносить. Аналогичная логика применима крешениям обучастии в общественном движении, принятии новой технологии или нанесении тату. Вэтих случаях, как ипри распространении убеждений или доверия, может понадобиться внести изменения вмодель сучетом того, что вероятность принятия врасчете наодно воздействие может повышаться помере увеличения количества воздействий[16]. Необходимость втаких изменениях часто возникает при расширении области применения модели.

Информация— это разрешение неопределенности.

Клод Шеннон

Эта глава посвящена энтропии, формальной мере неопределенности. Энтропия позволяет продемонстрировать взаимосвязь между неопределенностью, количеством информации и неожиданностью. Низкий уровень энтропии соответствует низкому уровню неопределенности и небольшому объему раскрываемой информации. Когда результат относится ксистеме снизким уровнем энтропии (как Солнце, которое восходит навостоке), он невызывает удивления. Нокогда результат носит неопределенный характер— всистемах свысоким уровнем энтропии, как при розыгрыше влотерее,— асам факт его получения раскрывает определенную информацию, все это становится для нас неожиданностью.

Энтропия позволяет сравнивать несопоставимые явления. Мыможем установить, когда результаты выборов вНовой Зеландии носят более неопределенный характер, чем голосование повопросу о вынесении вотума недоверия в Организации Объединенных Наций. Мыможем сравнить неопределенность курсов акций с неопределенностью результатов спортивных соревнований. Мытакже можем использовать энтропию для проведения различий между четырьмя классами результатов, такими как равновесие, периодичность, сложность и хаотичность. Мыможем отличить сложные структуры, которые кажутся хаотичными, отистинной хаотичности, атакже понять, хаотичноли насамом деле то, что кажется закономерностью.

Кроме того, энтропию можно использовать для описания распределений. При отсутствии управляющего или регулирующего фактора некоторые совокупности могут смещаться всторону повышения энтропии. При наличии ограничений, таких как фиксированное математическое ожидание или дисперсия, мыможем находить распределения с максимальной энтропией. Результаты, полученные спомощью этого метода, могут также способствовать принятию решений впроцессе моделирования, обосновывая выбор распределений.

Вглаве пять частей. Впервой мыпоможем вам составить интуитивное представление об информационной энтропии идадим ее определение. Вовторой опишем аксиоматику Шеннона для общего класса показателей энтропии поШеннону. Втретьей поговорим отом, как спомощью энтропии провести различие между равновесием, упорядоченностью, хаотичностью и сложностью. А в заключение обсудим, почему люди иногда предпочитают сложность равновесию.

ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ

Энтропия— это мера неопределенности, связанной с распределением вероятности результатов. Энтропия отличается от дисперсии, которая измеряет разброс множества или распределения числовых значений. Неопределенность коррелирует с разбросом, ноэто разные понятия. Распределения свысоким уровнем неопределенности имеют нетривиальные вероятности для многих результатов (которые не обязательно имеют числовые значения). Распределения свысоким разбросом принимают крайние числовые значения.

Эти различия становятся очевидны при сравнении двух распределений— с максимальной энтропией и максимальной дисперсией. При наличии результатов, принимающих значения от1 до8, распределение с максимальной энтропией присваивает один итотже вес каждому результату[1]. Распределение с максимальной дисперсией принимает значение 1 с вероятностью изначение 8 с вероятностью , как показано нарис.12.1.

Рис.12.1. Максимальная энтропия и максимальная дисперсия

Энтропия зависит от распределения вероятностей. Следовательно, ееможно применять для описания распределений нечисловых данных, таких как виды птиц влесу или рыночная доля разных сортов джема. Формальное выражение для энтропии записывается как минус сумма произведений вероятностей и их логарифмов. Звучит сложно, носкоро все станет интуитивно понятно.

Начнем сособого случая— информационной энтропии, которая измеряет неопределенность в категориях количества случайных подбрасываний симметричной монеты. Предположим, что вкаждой семье ровно подвое детей ичто появление мальчиков идевочек одинаково вероятно. Пол детей всемье (перечисленных впорядке рождения) эквивалентен двум подбрасываниям монеты. Следовательно, распределение результатов имеет информационную энтропию 2, поскольку она соответствует двум случайным событиям. Количество информации тоже равно двум, так как мысмогли узнать результат, задав два вопроса, требующих ответа «да» или «нет».

Аналогично пол детей всемьях стремя детьми эквивалентен трем подбрасываниям монеты. Чтобы выяснить информацию одетях такой семьи, нам понадобилосьбы задать три вопроса. Таже логика применима клюбому количеству детей. Вобщем случае, чтобы узнать пол Nдетей, нам придется задать Nвопросов.

Обратите внимание, что Nвопросов позволяют провести различие между 2^N возможных вариантов очередности рождения. Такая математическая зависимость— ключ к пониманию меры энтропии: Nбинарных случайных событий порождают 2^N возможных последовательностей результатов и, что тоже самое, позволяют выяснить последовательность результатов, задав Nвопросов. Поэтой причине информационная энтропия присваивает для равномерного распределения 2^N результатов уровень неопределенности (и количества информации) N.

Для того чтобы описать эту зависимость спомощью формальной математики, сначала отметим, что вероятность каждой последовательности результатов— . Чтобы превратить ее вN, необходимо воспользоваться довольно сложным выражением [2]. Эту конструкцию можно обобщить наслучай произвольных значений вероятностей. Если последовательность результатов возникает с вероятностью p, то мыприсвоим ейзначение неопределенности, log2(p) которое приблизительно соответствует количеству вопросов «да» или «нет», необходимых для идентификации данной последовательности. Чтобы вычислить информационную энтропию распределения, следует найти среднее значение ожидаемого количества вопросов повсем результатам или, как вданном примере, повсем последовательностям результатов.

Информационная энтропия

При наличии распределения вероятностей (p1, p2, …, pN) информационная энтропия H2 равна

Примечание: нижний индекс 2 означает использование логарифма с основанием 2.

Поначалу такое математическое представление скорее все усложняет, чем проясняет, однако анализ примера сделает данную формулу интуитивно понятнее. Представьте, что семьи, вкоторых сначала рождаются девочки, больше нехотят заводить детей, а всемьях, вкоторых сначала рождается мальчик, появляется еще двое детей. Вполовине этих семей будет одна девочка. Вторая половина семей будет разделена поровну начетыре группы по результатам: три мальчика; два мальчика идевочка; мальчик идве девочки; мальчик, затем девочка, азатем еще один мальчик. Каждый изэтих четырех результатов наступает с вероятностью .

Информационная энтропия равна ожидаемому количеству вопросов, которые мыдолжны задать, чтобы узнать, какие дети есть всемье. Сначала мыспросим:первый ребенок девочка? С вероятностью ответ будет утвердительным, инам непридется больше задавать вопросов. Таким образом, вполовине случаев мыставим один вопрос. Мыможем записать это как . Если ответ отрицательный, мыдолжны задать еще два вопроса, чтобы вобщей сложности ихбыло три. Каждый изчетырех случаев происходит с вероятностью , азначит, каждый вносит в информационную энтропию вклад . Мызапишем каждый случай как . Информационная энтропия равна сумме пяти членов, равной 2[3]. Если оставить встороне систему обозначений и логарифмы, интуитивно должно быть понятно: информационная энтропия соответствует ожидаемому количеству вопросов, требующих ответа «да» или «нет». Если нам нужно задать много вопросов, распределению свойственна неопределенность. Знание результата раскрывает требуемую информацию.

АКСИОМАТИКА ЭНТРОПИИ

Аксиоматика энтропии

Представленный выше класс мер энтропии единственный, удовлетворяющий следующим четырем аксиомам:

Симметричная, непрерывная функция: для любой перестановки вероятностей σ.

Максимизация: имеет максимальное значение при для всех значений N.

Нулевое свойство: H(1, 0, 0, …, 0)= 0.

Разложимость: если :

Для получения общего выражения, описывающего энтропию, применен аксиоматический подход. Клод Шеннон определил для меры энтропии четыре условия. Первые три понятны. Она должна быть непрерывной, симметричной, достигать максимального значения, когда все результаты могут быть получены сравной вероятностью, и равняться нулю для ситуаций, вкоторых имеется только единственный результат, вероятность которого равна 1. Четверное условие (разложимость) гласит, что энтропия распределения вероятностей, определенного наnкатегориях, каждая изкоторых состоит изmподкатегорий, должна быть равна энтропии распределения по категориям плюс сумма энтропий каждой из подкатегорий. Это естественное предположение для произведений распределений. Например, если результаты представляют собой произведение двух независимых событий, данное предположение подразумевает, что информационное содержание общего события равно сумме информационного содержания отдельных событий. Далее Шеннон доказал, что общий класс мер энтропии единственный, удовлетворяющий этим аксиомам.

Как и вслучае с аксиомами, описывающими вектор Шепли, вклад этих аксиом определяется скорее не их существованием, а их логической непротиворечивостью. Опытный математик всегда может сформулировать аксиомы, однозначно определяющие туили иную функцию. Первые две аксиомы трудно подвергнуть сомнению. Можно былобы придраться к произвольности приравнивания неопределенности распределения, вкотором имеется одно событие с вероятностью 1, нулю— однако это вполне приемлемое граничное условие. Другой вариант состоялбы в присвоении такому распределению значения неопределенности, равного 1[4]. Аксиому разложимости хотя итрудно объяснить, но вравной мере трудно иоспорить. Неопределенность совокупности двух случайных событий должна равняться сумме значений неопределенности каждого события в отдельности. Вцелом эти аксиомы более чем обоснованны. И насамом деле ихтрудно опровергнуть.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭНТРОПИИ ДЛЯ РАЗЛИЧЕНИЯ КЛАССОВ РЕЗУЛЬТАТОВ

Теперь мыпокажем, как мера энтропии может помочь классифицировать эмпирические данные врамках четырех классов Вольфрама: равновесие, цикличность (периодичность), хаотичность исложность[5]. Согласно классификации Вольфрама, лежащий настоле карандаш находится в состоянии равновесия. Движение планет вокруг Солнца носит циклический характер. Последовательность подбрасываний монеты случайна, также как (предположительно) икурсы акций наНью-Йоркской фондовой бирже. Инаконец, «выстрел» (генерация электрического импульса) нейрона вмозге человека— сложный процесс, происходящий неслучайно, но и не подчиняющийся закономерности. Нарис.12.2 эти четыре класса представлены графически.

математических моделей. Скотт Пейдж. Иллюстрация 108">

Рис.12.2. Четыре класса Вольфрама

У равновесного результата неопределенности нет, и, следовательно, его энтропия равна нулю. У циклических (или периодических) процессов низкая энтропия, которая не изменяется современем, а у совершенно случайных процессов энтропия максимальна. Класс сложности имеет промежуточную энтропию— она лежит между упорядоченной и случайной энтропиями. Хотя энтропия дает нам точно определенный ответ вдвух крайних случаях, равновесном и случайном, это нетак для циклических исложных результатов. Чтобы различать эти случаи, нам придется использовать другие меры.

Для того чтобы классифицировать временной ряд данных, необходимо вычислить информационную энтропию повсем последовательностям разной длины. Предположим, человек отслеживает то, какой головной убор оннадевает каждый день— либо берет (B), либо шляпу (F). Выбор головного убора на протяжении года образует бинарный временной ряд из365событий. Сначала мыможем вычислить энтропию последовательностей длиной1, тоесть энтропию вероятности ношения головного убора каждого типа. Иесли обнаружим, что человек с одинаковой вероятностью надевает головной убор каждого типа, значит, энтропия повсем последовательностям длиной 1 равна 1. Следовательно, мыможем исключить равновесие, поскольку человек меняет варианты выбора, однако возможна любая ихтрех других категорий.

Чтобы определить категорию, далее вычислим энтропию последовательностей длиной от2 до6. Если все последовательности имеют максимальную энтропию, можно исключить простой цикл. Предположим, что помере анализа более длинных последовательностей энтропия постепенно увеличивается, пока не достигнет максимального значения— 8. Другими словами, независимо отдлины последовательности она никогда не превышает 8. Энтропия, равная 8, эквивалентна равномерному распределению по256 результатам. Это неможет быть простым циклом; вероятно, мыимеем дело сосложной последовательностью, содержащей структуры и закономерности. Мы неможем с уверенностью сказать, что этот временной ряд сложный. Возможно, человек пытался предпринимать случайные действия, ноему это плохо удавалось.

МАКСИМАЛЬНАЯ ЭНТРОПИЯ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Многие моделируемые нами ситуации содержат элемент неопределенности, поэтому разработчики моделей должны делать предположения о соответствующих распределениях. Обычно мы стараемся неделать специальных предположений. Не исключено, что мыобладаем определенным пониманием процесса, порождающего тоили иное распределение. Если это так, то вомногих случаях мыможем вывести статистическую структуру, производимую таким процессом, спомощью подхода «логика— структура— функция».

Например, допустим, что нам нужно сделать предположение о распределении общей стоимости предметов, выставленных нааукцион по распродаже унаследованного имущества. Общая стоимость равна сумме значений стоимости отдельных предметов. Следовательно, воспользовавшись центральной предельной теоремой, мыможем предположить, что вданном случае имеет место нормальное распределение. Мыможем также сделать предположение о нормальном распределении возможных значений стоимости дома, поскольку она зависит отего характеристик, таких как количество спален, ванных комнат иразмер участка.

Нормальное распределение может неиметь смысла, если речь идет о возможных значениях стоимости предмета искусства или редкой рукописи. Как мыуже видели, если исходить из минимальной и максимальной стоимости, равномерное распределение максимизирует энтропию. Многие социологические модели, представленные вкнигах ижурналах, исходят из предположения о равномерном распределении. Мыможем поставить его под сомнение на основании того, что вреальном мире мало равномерных распределений. Тем неменее принцип безразличия (если мы незнаем ничего, кроме диапазона или совокупности возможностей) может обосновать равномерное распределение.

Иногда нам может быть известно математическое ожидание распределения, атакже тот факт, что все значения должны быть положительными. Сучетом этих ограничений распределение максимальной энтропии должно иметь длинный хвост, а помере расширения распределения набольшее количество значений мыдолжны уравновешивать высокие значения со множеством результатов снизким значением. Можно доказать, что распределение, максимизирующее энтропию, обязательно будет экспоненциальным распределением. Таким образом, если мы описываем модель, основанную на распределении посещений сайта или величины рыночной доли, топри отсутствии конкретных данных естественным предположением будет экспоненциальное распределение.

Инаконец, если мы зафиксируем математическое ожидание и дисперсию (иразрешим отрицательные значения), то распределение максимальной энтропии будет нормальным распределением. Логика здесь таже, что и в предыдущем случае. Для создания большей неопределенности мывводим крайние значения. Втаком случае мыможем уравновесить положительные и отрицательные значения, неменяя математическое ожидание. Вместе стем это обусловит повышение дисперсии, азначит, мыдолжны включить больше значений, близких ксреднему, что приведет к формированию колоколообразной кривой.

Мыможем интерпретировать такие распределения максимальной энтропии врамках концептуальной схемы «логика— структура— функция». Если мысчитаем, что взаданном социальном, биологическом или физическом контексте процесс микроуровня максимизирует энтропию, тогда нам следует ожидать одного изэтих распределений. Иначе мыбудем исходить изпроцесса микроуровня исможем показать, что энтропия возрастает. Если это так, сформируется одно из следующих распределений.

Распределения с максимальной энтропией

Равномерное распределение: максимизирует энтропию в диапазоне [a, b].

Экспоненциальное распределение: максимизирует энтропию для данного математического ожидания μ.

Нормальное распределение: максимизирует энтропию для заданного математического ожидания μ и дисперсии σ².

Эти результаты можно также интерпретировать как исследовательские. Мыможем обнаружить данные, распределенные по степенному или нормальному закону. Хотя мы необязаны ставить вопрос отом, увеличиваетли энтропию некоторый глубинный аспект поведения при наличии того или иного ограничения, это позволит нам получить новое представление о происходящем. Ранее мы объяснили нормальное распределение высоты, веса идлины представителей биологических видов, обратившись к центральной предельной теореме. Вэтой главе дано объяснение, основанное намодели энтропии. Если мутация максимизирует энтропию (чтобы наилучшим образом исследовать ниши), аразмер иобщий разброс имеют фиксированное значение, торазмеры будут распределены по нормальному закону. Дело не втом, что метод максимальной энтропии предлагает лучшее объяснение, автом, что максимизация энтропии при наличии ограничений дает нормальное распределение. Следовательно, когда мы встречаем его, оно может быть результатом максимизации энтропии.

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И НОРМАТИВНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ЭНТРОПИИ

Мывидели, как энтропия измеряет неопределенность, информацию и неожиданность, чем она отличается от дисперсии, измеряющей разброс, икак она позволяет определять и сравнивать классы результатов. Дальше, вглаве13 иглаве14, которые посвящены изучению случайных блужданий и зависимости от первоначально выбранного пути, мы используем энтропию для идентификации хаотичности иоценки степени зависимости отпути. Меру энтропии можно использовать влюбом количестве реальных областей применения. Мыможем определить, к повышению или снижению неопределенности приводит интервенция на финансовых рынках, или проверить, случайныли результаты выборов, спортивных соревнований или азартных игр.

Вкаждой изэтих областей применения энтропия выступает вкачестве положительной меры. Она говорит нам отом, каков мир насамом деле, а некаким ондолжен быть. Энтропия— это система, которая посвоей сути неплохая или хорошая. Какой уровень энтропии нам необходим, зависит отситуации. Впроцессе разработки налогового кодекса нужны равновесные модели поведения, а не хаотичность. При проектировании города мыможем стремиться к сложности; равновесие или даже циклы привелибы кскучным решениям. Мыбы предпочли, чтобы вгороде бурлила жизнь ибыло много возможностей для случайных встреч и взаимодействий. Чем больше энтропии, тем лучше, нотолько до определенного момента. Нам ненужна хаотичность, затрудняющая планирование и подавляющая наши когнитивные способности. Видеале миру должна быть свойственна определенная сложность, это позволит нам жить в интересные времена.

Архитектор Кристофер Александер показывает, как геометрические свойства, такие как сильные центры, широкие границы и отсутствие разделенности, позволяют создавать сложные, живые здания, районы игорода[6]. Александер отстаивает идею сложности вгородах исреде обитания. Руководители центральных банков, наоборот, не испытывают больших симпатий к сложности, предпочитая предсказуемые равновесные результаты ипути устойчивого роста. Ключевой вывод этой главы: нас часто волнует то, приходитли система в равновесие, порождаетли порядок или хаос иприводитли к формированию сложных новых последовательностей структур. Спомощью моделей мыможем определить, как именно будут развиваться события, и в некоторых случаях разработать системы, обеспечивающие требуемый класс результатов, будь то сложность или равновесие.

Пьяный человек найдет дорогу домой, а опьяневшая птица может потеряться навсегда.

Сидзуо Какутани

Вэтой главе мыизучим две классические модели изтеории вероятностей и статистики: модель испытаний Бернулли имодель случайного блуждания[1]. Обе описывают случайные процессы, хотя может показаться, что они порождают сложные структуры. Без сбора данных распознать хаотичность достаточно трудно. Вомногих случаях мывидим закономерности витогах выборов, курсе акций и результатах спортивных соревнований, однако, если позаимствовать удачное выражение Нассима Талеба, случайность нас одурачивает[2].

Модель испытаний Бернулли описывает случайные процессы с дискретными исходами, такие как подбрасывание монеты или игральной кости. Разработанная несколько столетий назад для объяснения вероятности выигрыша вазартных играх, сегодня она занимает центральное место втеории вероятностей. Модель случайного блуждания основывается намодели Бернулли, подсчитывая текущее общее количество последовательных выпадений орлов ирешек. Данная модель может описывать движение частиц вжидкости игазах, перемещения животных в физическом пространстве и увеличение роста человека смомента рождения додетского возраста[3].

Глава начинается скраткого обзора модели испытаний Бернулли наряду санализом длины полос удач инеудач. Далее описывается модель случайного блуждания. Мыузнаем, что одномерное и двумерное случайное блуждание возвращаются висходную точку бесконечно часто, тогда как трехмерное вообще может не вернуться кначалу. Мытакже узнаем, что временные промежутки между возвращениями кнулю вслучае одномерного случайного блуждания распределены по степенному закону. Этот вывод, который нам хотелосьбы отбросить как математический казус, может объяснить продолжительность жизни биологических видов икомпаний. В последнем разделе главы мы используем модель случайного блуждания для оценки гипотезы эффективного рынка и определения размера сети.

МОДЕЛЬ ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

Модель испытаний Бернулли строится на извлечении серых ибелых шаров изурны. Извлеченные шары— это результаты случайных событий. Каждое очередное извлечение шара независит от предыдущих ибудущих извлечений, азначит, мыможем применить закон больших чисел: за длительный период доля извлеченных шаров каждого цвета сходится кдоле шаров соответствующего цвета вурне. Это неозначает, что тысяча извлечений изурны, содержащей семь белых итри серых шара, дадут вточности семь сотен белых шаров итри сотни серых. Это всего лишь значит, что доля белых шаров будет стремиться к70процентам[4].

Модель испытаний Бернулли

На протяжении каждого периода шар в произвольном порядке извлекается изурны, содержащей Gсерых иWбелых шаров. Результат эквивалентен цвету шара. Перед извлечением шаров входе следующего периода шар возвращается вурну. Пусть P= G/ (G+ W) обозначает долю серых шаров. Вслучае Nизвлечений можно вычислить ожидаемое количество извлеченных серых шаров NGи стандартное отклонение :

Результаты применения модели испытаний Бернулли представляют собой последовательности событий предсказуемой длины. Вурне сравным количеством серых ибелых шаров вероятность извлечения белых шаров равна . Вероятность извлечения двух белых шаров подряд равна , умноженной на. Вобщем случае, если доля серых шаров вурне равна P, то вероятность извлечения Nбелых шаров подряд составляет P^N. Вычислив значения вероятности, мыможем определить, былали таили иная совокупность событий вероятной, редкостной или настолько маловероятной, что возможен обман. Когда баскетболист делает результативный трехочковый бросок девять раз подряд, это значит, что унего наступила полоса удачи, или нам стоит ожидать последовательность случайных событий такой длины? Математические расчеты показывают, что за десятилетнюю карьеру вероятность результативных трехочковых бросков таже, что и отсутствие девяти таких бросков подряд водном матче[5].

Спомощью аналогичных вычислений можно определить, сопутствовалали инвестору удача, былли онхорошим инвестором или мошенником. Berkshire Hathaway— конгломерат под управлением Уоррена Баффета— на протяжении сорока двух из пятидесяти лет (с1965 по2014год) демонстрировал результаты выше рыночных. Доллар, вложенный вBerkshire Hathaway в1964году, стоил более 10000долларов в2016-м, тогда как доллар, инвестированный вакции компаний S&P 500, около 23долларов. Еслибы шансы Berkshire Hathaway превзойти рынок составляли 50процентов, то запятидесятилетний период компания сделалабы это двадцать пять раз со стандартным отклонением 3,5года Фактическое количество лет, когда компания Berkshire Hathaway превосходила рынок, находится примерно вчетырех стандартных отклонениях выше среднего, аэто событие изразряда «один намиллион». Вданном случае мыможем исключить из рассмотрения удачу. Аучитывая тот факт, что Berkshire Hathaway раскрывает информацию освоих инвестициях, то и мошенничество тоже. «Аферист века» Берни Мэдофф не обнародовал информацию об инвестициях. Объявленная имполоса успехов (десятилетия положительной доходности) была настолько неправдоподобной, что его клиентам следовалобы потребовать прозрачности инвестиций[6].

МОДЕЛИ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ

Наша следующая модель, модель простого случайного блуждания, основывается намодели испытаний Бернулли при подсчете текущей общей суммы предыдущих исходов. Мы установим исходное значение (состояние модели) равным нулю. При извлечении белого шара будем прибавлять 1 кобщей сумме, асерого— вычитать 1 изобщей суммы. Состояние модели влюбой момент времени равно сумме предыдущих результатов (тоесть разности между общим количеством извлеченных белых исерых шаров).

Простое случайное блуждание

Vt+1= Vt+ R(−1,1),

где Vt— значение случайного блуждания вмомент времени t, V0= 0, аR(−1,1)— случайная величина, которая сравной вероятностью равна –1 или 1. Ожидаемое значение случайного блуждания влюбой период равно нулю иимеет стандартное отклонение √t, где tравно количеству периодов[7].

Нарис.13.1 показано простое случайное блуждание. Создается впечатление, что награфике присутствует закономерность: после длинного нисходящего тренда наступает восходящий тренд, закоторым следует умеренный обвал, когда процесс пересекает нулевую линию. Эта закономерность носит случайный характер.

Рис.13.1. График простого случайного блуждания за300 периодов

Простое одномерное случайное блуждание может быть как рекуррентным (возвращается кнулю бесконечно часто), так инеограниченным (превышает любое наперед заданное положительное или отрицательное пороговое значение). За длительный промежуток времени случайное блуждание превышает 10000 и опускается ниже отрицательного значения 1миллион. Оно бесконечно часто пересекает нулевую линию. Кроме того, распределение количества шагов, необходимых для возврата кнулю, удовлетворяет степенному закону[8]. Большая часть возвратов кнулю происходит за несколько шагов. Половина всех блужданий возвращается задва шага. Однако остальным блужданиям требуется много времени для возврата. Так идолжно быть, учитывая неограниченность случайных блужданий. Блуждание, пересекающее пороговый уровень 1миллион, потребует свыше двух миллионов шагов для достижения этого значения и последующего возврата кнулю.

Полученное витоге степенное распределение имеет неожиданные области применения. При моделировании объема продаж компаний (или количества сотрудников) ввиде случайного блуждания значения продолжительности жизни компаний подчиняются степенному закону. Точнее говоря, если исходить изтого, что впериод высоких продаж компания нанимает работника, а впериод низких— увольняет и закрывается, когда вкомпании больше нет работников, то распределение значений времени возврата эквивалентно распределению значений продолжительности жизни компаний, которое будет степенным распределением. Кроме того, впервом приближении продолжительность жизни компаний подчинена степенному закону[9]. Туже логику можно использовать для прогнозирования продолжительности жизни биологических таксонов (таких как царство, тип, класс, семейство, род ивид). Если количество членов таксона меняется попринципу случайного блуждания (например, если количество видов, входящих всостав рода, увеличивается и сокращается случайным образом), размеры таксонов должны удовлетворять степенному закону. Данные подтверждают этот вывод[10].

Мыможем применить эту модель как аналогию, представив случайное блуждание как движение ледника поземле. Согласно прогнозу, сделанному спомощью этой модели, распределение размеров ледниковых озер должно удовлетворять степенному закону. Каждый раз, когда ледник опускается ниже поверхности суши иснова возвращается наверх, образуется озеро, диаметр которого соответствует времени возврата. Вэтом случае данные также приблизительно согласуются с прогнозом[11].

Модель простого случайного блуждания можно модифицировать несколькими способами. Мыможем создать нормальное случайное блуждание, значение которого закаждый период меняется навеличину, взятую из нормального распределения. Нормальное случайное блуждание не возвращается вточности кнулю, хотя и пересекает нулевую линию бесконечное число раз.

Мытакже можем сделать один результат вероятнее другого, тем самым сформировав смещенное случайное блуждание, которое можно использовать для прогнозирования вероятности выигрыша вазартных играх. Врулетке вероятность выиграть ставку накрасное равна [12]. Мыможем смоделировать совокупные выигрыши (или проигрыши) последовательности ставок как случайное блуждание, которое увеличивается на1 с вероятностью (около 47,4процента) и уменьшается на1 с вероятностью . После 100 ставок ожидаемые проигрыши составят 5долларов со стандартным отклонением 10долларов. Мыможем на95процентов быть уверены, что проиграем неболее 25долларов ивыиграем неболее 15долларов. После 10000 ставок ожидаемые проигрыши равны 526долларам со стандартным отклонением 100. Следовательно, в95процентах случаев мы проигрываем от325 до725долларов[13]. Выигрыш после 10000 равных ставок— это событие, находящееся вболее чем пяти стандартных отклонениях выше среднего, вероятность один намиллион. Изэтого следует, что для выигрыша врулетку игроку лучше делать одну большую ставку, чем много мелких.

Некоторые спортивные соревнования, такие как баскетбол, можно смоделировать ввиде двух смещенных случайных блужданий. Укаждой команды есть вероятность заработать очки после каждого прохождения поплощадке. Эта вероятность оценивается наоснове профиля способности команды нападать и способности соперника защищаться. Мыбудем моделировать прохождение команды поплощадке как случайное событие. Количество набранных каждой командой очков соответствует значению ее случайного блуждания. Укоманды сболее высокой вероятностью заработать очки больше шансов выиграть. Анализ данных NBA указывает наблизкое соответствие сэтой моделью. Количество набранных очков отклоняется от случайного блуждания только вслучаях, когда одна команда получает огромное преимущество, после чего оно сбольшей вероятностью сокращается, а не увеличивается. Этот феномен можно объяснить тем, что у побеждающей команды меньше стимулов увеличивать количество очков, чем у проигрывающей команды заработать ихкак можно больше[14].

Когда мысмотрим баскетбол, результаты кажутся далеко не случайными. Умные, сильные игроки разыгрывают сложные комбинации и демонстрируют лучшие качества врешающий момент. Это действительно так, однако эффект оттаких усилий может сойти нанет. Дополнительные усилия, направленные на увеличение очков засчет атаки, могут быть нейтрализованы дополнительными усилиями вобороне. Превосходный отбор мяча может быть нивелирован игроком, который быстро перемещается поплощадке, чтобы заблокировать бросок из-под кольца. Модель также предлагает стратегию: более сильные команды должны ускорять игру, чтобы создать больше возможностей для овладения мячом. Командам, получившим преимущество, следует чаще крутить колесо рулетки, поскольку быстрое прохождение площадки приносит импользу.

Простое случайное блуждание происходит водном измерении, номожно смоделировать и многомерные случайные блуждания. Двумерное случайное блуждание возникает вначале координат на плоскости (0,0), азатем на протяжении каждого периода в случайном порядке переходит насевер, юг, восток или запад. Двумерное случайное блуждание напоминает ломаную линию, нарисованную налисте бумаги. Двумерные случайные блуждания также удовлетворяют условиям рекуррентности и неограниченности. Случайный поиск поможет найти потерянную сережку ввашей гостиной. Применение такого математического подхода, как рекуррентность, позволяет муравьям использовать стратегию случайного поиска корма[15]. Еслибы двумерное случайное блуждание небыло рекуррентным, муравьям понадобилисьбы более детальные внутренние карты или более сильные феромонные следы для поиска своих муравейников. Случайные блуждания втрех измерениях не удовлетворяют условию рекуррентности. Мухи, носящиеся покомнате, имолекулы, перемещающиеся ввоздухе, возвращаются висходную точку конечное число раз— именно это объясняет приведенную вначале главы цитату Какутани опьяном человеке и опьяневших птицах[16].

Отсутствие рекуррентности случайных блужданий— еще один пример того, как модели могут внести ясность внаше мышление. Интуиция говорит, что рекуррентность помере добавления измерений должна встречаться реже. Логика указывает нарезкое изменение состояния. Вслучае одного идвух измерений случайное блуждание возвращается висходную точку бесконечное число раз, атрех— уходит навсегда. Для того чтобы получить этот результат, требуется серьезная математика— одной интуиции для этого недостаточно.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ РАЗМЕРА СЕТИ

Рекуррентность случайных блужданий снизкой размерностью можно использовать для оценки размера сети. Метод прост. Выбираем случайным образом узел, начинаем случайное блуждание позвеньям сети и отслеживаем, как часто оно возвращается к исходному узлу. Средний период времени между возвратами соотносится сразмером сети. Для оценки размера социальной сети можно попросить кого-то назвать друга, азатем этого друга попросить назвать своего друга. Процесс можно продолжить, отслеживая, как часто мы возвращаемся кодному итомуже человеку.

Нарис.13.2 показаны две сети. Сеть слева состоит изтрех узлов, образующих треугольник. Сеть справа— изшести узлов, образующих два треугольника. Мыможем начать случайное блуждание всети сузла A. Предположим, блуждание переходит кузлу B, затем кузлу C иснова кузлу A. Таким образом, случайное блуждание возвращается висходную точку затри шага. Вправой сети случайное блуждание начинается сузла D иможет пройти семишаговый путь F−H−G−F−E−F−D. При многократном повторении этих экспериментов средний период времени возврата влевой сети будет короче. Вслучае небольших подобных сетей этот метод ненужен, его целесообразно использовать для более крупных сетей, таких как Всемирная паутина ибольшие сети электронной почты.

Рис.13.2. Случайные блуждания всетях

СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ И ЭФФЕКТИВНЫЕ РЫНКИ

Как оказалось, курсы акций почти полностью согласуются с нормальным случайным блужданием с положительным дрейфом, отражающим рост нарынке. Курсы множества отдельных акций также почти случайны. Нарис.13.3 представлены данные осуточных котировках акций Facebook за следующий год после их первичного размещения 18мая 2012года. Акции Facebook предлагались по42доллара заштуку. По состоянию на1июня 2012года ихкурс упал до28,89доллара, ачерез год снизился до24,63доллара. Нарисунке также показано случайное блуждание, откалиброванное таким образом, чтобы унего была аналогичная вариация.

Рис.13.3. Суточные котировки акций Facebook запериод сиюня 2012года поиюнь 2013года и случайное блуждание

Мыможем применить статистические тесты к последовательности курсов акций Facebook, чтобы определить, отвечаетли она предположениям о нормальном случайном блуждании. Во-первых, курс акций должен повышаться и снижаться сравной вероятностью. Из249 операционных дней курс акций Facebook падал 127 дней, или в51проценте случаев. Во-вторых, при случайном блуждании вероятность повышения должна быть независима от повышения, произошедшего в предыдущий период. Курс акций Facebook двигался втомже направлении втечение нескольких дней подряд в54процентах случаев. Инаконец, самая длинная ожидаемая последовательность движения втомже направлении должна составлять восемь дней. Курс акций Facebook повышался на протяжении десяти дней подряд один раз заэтот период. Таким образом, мы неможем опровергнуть утверждение, что курс акций Facebook согласуется с нормальным случайным блужданием.

Аналогичный анализ можно выполнить для суточных котировок всех акций. Для этого сначала необходимо исключить из рассмотрения средний восходящий тренд вкурсах акций. Согласно исследованиям, впериод с1950-х по1980-е годы суточные котировки имели небольшую положительную корреляцию. После исключения тренда вероятность нового роста после роста превысила . Начиная с1980года, когда инвесторы стали более осведомленными, вероятность повышения после повышения снизилась до50процентов, что сопоставимо со случайным блужданием. Тот факт, что курсы акций могут следовать закономерности, свойственной случайному блужданию, объясняется тем, что умные инвесторы обнаруживают и устраняют закономерности. Например, в1990-х годах аналитики заметили, что курсы акций растут вначале каждого года— феномен, получивший название «эффект января». Умные инвесторы могли вдекабре купить акции понизким ценам ипродать их вянваре повысоким, получив прибыль. Возможно, эта стратегия кажется вам слишком хорошей для того, чтобы быть правдой, нотак оно иесть. Если инвесторы покупают акции вдекабре, это приводит кросту курса, что устраняет эффект января. Нестоит удивляться тому, что эффекта января больше не существует.

Экономисты проводят аналогию между распознаваемой устойчивой закономерностью врыночных котировках и стодолларовой купюрой натротуаре. Увидев стодолларовую купюру, человек поднимает ее, после чего она исчезает. Такаяже логика применима к закономерностям вкурсах акций: даже если они существуют, тосходят нанет. Поэтому рынок, накотором действуют умные инвесторы, содержит мало предсказуемых ценовых моделей. Если курсы акций не демонстрируют никаких закономерностей, оставшаяся часть движения котировок должна соответствовать случайному блужданию (с оговоркой, что общий восходящий рыночный тренд следует исключить из рассмотрения).

Пол Самуэльсон разработал первую модель, производящую случайное блуждание. Она не требовала, чтобы инвесторы знали стоимость акций на протяжении всех будущих периодов— достаточно было знать только распределение. Сам Самуэльсон заметил: «Нестоит вкладывать особый смысл вхорошо известную теорему. Она не доказывает, что реальные конкурентные рынки работают удовлетворительно»[17]. Невсе разделяли сдержанность Самуэльсона. Другие расширили его подход и сформулировали гипотезу об эффективности рынка, которая гласит, что влюбой момент времени курс акций отражает всю релевантную информацию, абудущий курс должен следовать принципу случайного блуждания. Гипотеза об эффективности рынка основывается на парадоксальной логике[18]. Определение точного курса требует времени иусилий. Финансовый аналитик должен собрать данные и разработать модели. Еслибы курсы акций следовали принципу случайного блуждания, эти действия не обеспечивалибы ожидаемой отдачи. Тем неменее, если никто неприложит усилий для оценки курсов акций, тоцены станут неточными итротуар покроется стодолларовыми купюрами. Вобщем, парадокс Гроссмана— Стиглица гласит, что, если инвесторы верят вгипотезу об эффективности рынка, они перестают анализировать происходящее, что делает рынки неэффективными. Если инвесторы считают, что рынок неэффективен, они выполняют анализ спомощью моделей иэто делает рынки эффективными.

Насамом деле движения курсов акций достаточно близки к случайным блужданиям, хотя сложные статистические методы позволяют выявить краткосрочные закономерности[19]. Конечно, стодолларовые купюры могут на тротуарах ине валяться, но наполях втраве всегда можно найти четырехлистный клевер, если проявить усердие.

По утверждению критиков гипотезы, некоторые инвесторы неизменно выигрывают на протяжении периодов более длительных, чем можно былобы ожидать при случайном развитии событий[20]. Кроме того, курсы акций могут колебаться в случайном порядке покакой-либо иной причине, например в результате применения совокупности сложных правил биржевой торговли. Ежедневная волатильность курсов акций превышает объем информации, поступающей нарынки, арынок совершает огромные скачки вверх ивниз, когда вмире напервый взгляд происходит мало значимых событий,— что свидетельствует оналичии пузырей. То, что для одного человека может быть неудобным фактом, другой будет воспринимать как «несмотря наэто». Да, волатильность высокая, но небольшой объем информации может иметь серьезные последствия. Ихотя рынок действительно демонстрирует огромные скачки вверх ивниз, онвсеже может подчиняться принципу случайного блуждания сболее длинным хвостом, когда ежедневные колебания проистекают из распределения сболее длинным хвостом.

Хотя нельзя утверждать, что курс акций всегда достоверен, в долгосрочной перспективе ихцена неможет значительно отклоняться от ихистинной стоимости. Мыможем вэтом убедиться, применив правило 72. Еслибы экономика росла на3процента вгод, точерез полстолетия она вырослабы вчетыре раза. В1967году ВВП США составлял около 4,2 триллиона долларов (вдолларах 2009года), а к2017-му достиг почти 17 триллионов долларов (вдолларах 2009года), тоесть увеличение вчетыре раза, как и следовало ожидать при трехпроцентном росте. Заэтотже период реальная стоимость акций S&P500 тоже увеличилась примерно в4 раза. Еслибы рост фондового рынка составлял 12процентов вгод (вреальном долларовом выражении), курс акций повысилсябы в256 раз, аэто невозможно[21].

В долгосрочной перспективе есть все основания исходить изгипотезы об эффективности рынка или чего-то вэтом роде, а в краткосрочной ставка на корректировку курсов может быть сопряжена сриском. Случай схедж-фондом Long Term Capital Management (LTCM), всовет директоров которого входили два лауреата Нобелевской премии по экономике, весьма поучителен. В1996 и1997годах фонд LTCM обеспечивал доходность инвестиций, превышающую 40процентов, отчасти засчет обнаружения факторов неэффективности и прогнозирования корректировки рынка. В1998году вLTCM (совершенно верно) заметили, что цена российских облигаций не соответствует цене казначейских облигаций США,— исделали наэто большую ставку. Однако дефолт вРоссии (первый с1917года) еще больше усугубил это несоответствие в краткосрочном периоде. В результате фонд LTCM потерял 4,6миллиарда долларов иедва нестал причиной коллапса финансовых рынков. Вскоре после того, как LTCM получил финансовую помощь, цены облигаций выровнялись, хотя и недостаточно быстро. Вывод очевиден: нестоит слишком полагаться наодну модель.

РЕЗЮМЕ

Итак, вэтой главе мыизучили модель испытаний Бернулли имодель случайного блуждания, атакже сферы их применения. Мытакже узнали, как отличить случайность отполосы удачи, разработать стратегии для азартных игр, определить временныеряды курсов акций и логически объяснить результаты баскетбольных матчей. Мыувидели, как использовать степенное распределение времени возврата при случайном блуждании, чтобы глубже понять продолжительность жизни компаний и биологических таксонов.

На основании всех этих областей применения мы убедились, что модель случайного блуждания предоставляет полезную концептуальную схему для оценки временныхрядов. Нас недолжны вводить в заблуждение несколько лет успеха— это невсегда подразумевает наличие устойчивого превосходства. Водной изсамых продаваемых бизнес-книг Good toGreat: Why Some Companies Make the Leap and Others Don’t33 ееавтор Джим Коллинз перечислил характеристики неизменно успешных компаний, такие как скромные руководители, привлечение вкоманду подходящих специалистов и поддержание дисциплины (то, что Коллинз назвал «полоскать свой творог», отдавая дань уважения привычке шестикратного победителя чемпионата потриатлону Ironman Дэйва Скотта в буквальном смысле полоскать свой творог для снижения его жирности). Коллинз выделил одиннадцать великих компаний, которые придерживались его принципов. Через десять лет после публикации книги только одна изних демонстрировала высокий рост. Одна из остальных была выкуплена, еще одна перешла под контроль правительства, а оставшиеся восемь показывали нулевую доходность.

Тот факт, что великим компаниям свойственны общие качества, неозначает, что они способствуют успеху. Компании ссамыми низкими показателями тоже могут ими обладать. Выбор лучших компаний ианализ их характеристик неимеет ничего общего с модельным мышлением. Последнее определилобы характеристики, обеспечивающие успех, такие как наличие талантливых сотрудников, азатем проверилобы сделанные выводы на соответствие фактическим данным и, если это возможно, искалобы естественные эксперименты, примеры изменения случайным образом указанных характеристик. Другие модели (такие как модели сложного ландшафта, окоторых пойдет речь вглаве28) ставят под сомнение ключевые предположения Коллинза. Если экономика— сложное явление, то текачества, которые оказались успешными сегодня, врядли обеспечат требуемый результат вбудущем. То, что порождает огромный успех сейчас («сначала крупные камни»), через десять лет может оказаться нелучшей стратегией. В большинстве случаев нужно использовать множество моделей, прежде чем делать далеко идущие утверждения,— в противном случае существует риск стольже масштабных ошибок. Кроме того, мы недолжны позволять закономерностям вводить себя в заблуждение. То, что кажется тенденцией, может оказаться случайностью.

Ниодин человек неможет войти водну реку дважды, поскольку это будет уже не тарека инетот человек.

Гераклит

Вэтой главе рассказывается омоделях зависимости от первоначально выбранного (предшествующего) пути34. Влюбой области, где поведение людей зависит отдействий других, будь то международные отношения, искусство, музыка, спорт, бизнес, религия, технологии или политика, следует ожидать определенной степени зависимости от первоначально выбранного пути. Выбирая курс обучения, студент отдает предпочтение одной карьере перед другой. Выдвижение кандидата может дать старт его политической карьере. Дружба может привести к формированию других социальных связей. Одежда, которую мыносим, книги, которые читаем, фильмы, которые смотрим, изанятия, которым уделяем время,— все это в определенной степени зависит от первоначально выбранного пути.

Такая зависимость существует и вболее крупных масштабах. Судебные решения, основанные наобщем праве, создают и подкрепляют прецеденты, что сказывается набудущих судебных решениях[1]. Первые институциональные структуры воздействуют на последующие институциональные предпочтения. Разрешение на предоставление услуг медицинского страхования частными компаниями привело к формированию вСША крупной отрасли частного медицинского страхования, появлению страховых медицинских организаций исозданию совокупности государственных ичастных клиник[2]. Учреждения также способствуют выработке определенных моделей поведения (такие как эгоизм или склонность к сотрудничеству), откоторых, всвою очередь, зависит эффективность будущих учреждений[3].

Вэтой главе мыпостроим динамические урновые модели, которые порождают последовательность результатов, демонстрирующих зависимость от первоначально выбранного пути. Эти модели расширяют модель испытаний Бернулли, делая возможным изменение распределения шаров вурне в зависимости отпрошлых результатов. После того как эти моделиструктурируют наше мышление, мы рассмотрим формальное определение зависимости от первоначально выбранного пути ипроведем различие между зависящими отпути результатами и зависящими отпути равновесиями. Эти формальные определения позволят разграничить зависимость от первоначально выбранного пути и переломные моменты, которые предполагают более резкие изменения результатов.

Глава состоит изчетырех частей. Впервых двух рассматривается процесс Пойа ипроцесс уравновешивания. Процесс Пойа исходит из предположения о положительной обратной связи и порождает как зависимые отпути результаты, так и зависимые отпути равновесия. Многие классические примеры зависимости от первоначально выбранного пути, втом числе распространение клавиатуры QWERTY, основаны на положительной обратной связи, известной также как возрастающая отдача. Процесс уравновешивания подразумевает наличие отрицательной обратной связи и порождает зависимые отпути результаты, но не зависимые отпути равновесия. Втретьей части определяется мера зависимости от первоначально выбранного пути наоснове энтропии, а в четвертой обсуждаются новые области применения этих моделей.

ПРОЦЕСС ПОЙА

Процесс Пойа отражает положительную обратную связь спомощью расширения модели испытаний Бернулли, когда вурну добавляется шар, аналогичный выбранному шару. Этот процесс порождает зависимость результатов отпути, когда результаты каждого периода зависят от предыдущих результатов. Верно ито, что долгосрочное распределение результатов (зависимость равновесия отпути) тоже зависит от результатов[4]. Различие между этими двумя типами зависимости крайне важно для того, очем пойдет речь ниже. Процесс, зависимый отпути вплане равновесия, должен быть зависимым отпути вплане результатов. То, что происходит сейчас, может зависеть отпрошлого, но долгосрочное равновесие может быть определено ссамого начала.

Процесс Пойа

Урна содержит один белый иодин серый шар. На протяжении каждого периода один шар в случайном порядке извлекается изурны и возвращается внее вместе с дополнительным шаром тогоже цвета, что и извлеченный шар. Цвет извлеченного шара определяет результат.

Процесс Пойа отражает целый ряд социальных и экономических явлений. Когда человек решает, вкакую игру учиться играть, теннис или ракетбол, его выбор может зависеть отвыбора других. Человек может предпочесть теннис, потому что большинство его друзей тоже выбрали теннис, так как это повышает его шансы найти партнера для игры. Аналогично решение человека отом, какое программное обеспечение установить, какой язык изучать или смартфон какой компании купить, также зависит отвыбора, сделанного ранее его друзьями. Таже логика применима к компаниям, которые выбирают, какие технологические стандарты применять. Такие компании тоже могут основывать свой выбор на действиях других компаний.

Модель учитывает эти факторы социального влияния посредством изменения распределения шаров. Если серый шар представляет людей, выбирающих теннис, абелый— выбирающих ракетбол, то, помере того как все больше людей выбирают теннис, вурне становится больше серых шаров, что повышает вероятность того, что следующие люди тоже выберут теннис. Это усиливающееся тяготение к результату, который предпочло большинство, создает зависимость от первоначально выбранного пути.

Изпроцесса Пойа можно вывести два неожиданных свойства. Во-первых, любая последовательность изодного итогоже количества белых результатов встречается сравной вероятностью. Во-вторых, каждое распределение белых исерых шаров происходит сравной вероятностью. Второе свойство подразумевает очень сильную зависимость от первоначально выбранного пути. Может произойти все что угодно. Все вравной степени вероятно. После 1000 периодов вероятность того, что урна содержит 40процентов белых шаров, равна вероятности того, что она содержит 2процента белых шаров.

Для того чтобы понять, почему так происходит, давайте рассмотрим все возможные последовательности результатов запервые три периода. Результат первого периода может быть серым с вероятностью . Если это так, мы добавляем серый шар, увеличивая вероятность того, что второй результат будет серым, до. Если этот результат тоже серый, добавляем третий серый шар, увеличивая вероятность того, что третий результат будет серым, до. Изэтого следует, что общая вероятность трех серых шаров (или трех белых) равна умножить на иумножить на, что равно 35.

Три последовательности, вкоторых первых три результата состоят издвух белых иодного серого шара, показаны нарис.14.1. Вверхнем ряду следующий порядок результатов: серый, белый, белый. Вероятность такой последовательности равна , как и вероятность других последовательностей. Стало быть, вероятность получения одной изэтих трех последовательностей равна . Всилу симметрии вероятность выбора двух серых шаров иодного белого тоже равна . Следовательно, каждый набор результатов (три белых; три серых; два белых иодин серый; два серых иодин белый) встречается содной итойже вероятностью . Кроме того, последовательности издвух белых иодного серого шара также встречаются сравной вероятностью. Аналогичные результаты можно продемонстрировать для любого количества периодов испытаний[5].

Рис.14.1. Результаты выбора, состоящего издвух белых иодного серого шара

Если расширить процесс Пойа, включив вмодель шары других цветов, расширения обоих свойств регулярности сохраняются. Формирование любого соотношения цветов вравной степени вероятно. Эти выводы создают серьезную проблему для производителей потребительских товаров. Долгосрочные предпочтения потребителей в отношении тех или иных характеристик продуктов могут носить случайный характер. Тем неменее понимание того, что прогнозировать результат невозможно, все еще может стать толчком к действиям. Врядли компания Ford хотелабы выпустить 40000 желтых грузовых пикапов, азатем, исходя из зависимого отпути процесса обнаружить, что любимый цвет потребителей— красный. Перспектива накопления больших объемов нереализованных продуктов невостребованного цвета указывает надва варианта действий. Компания моглабы организовать свою цепь поставок таким образом, чтобы выбор цвета осуществлялся в последнюю очередь— например, компания повыпуску одежды моглабы отложить покраску свитеров дотого момента, когда выяснится, какой цвет будет популярен. Или компания моглабы вообще лишить людей возможности выбора. Генри Форд предлагал своим клиентам любой цвет автомобиля Model T, какой они пожелают, лишьбы онбыл черным. Компания Apple сделала тоже самое, выпустив свой первый iPhone: вымогли купить либо черный iPhone, либо потойже цене… черный.

ПРОЦЕСС УРАВНОВЕШИВАНИЯ

Наша вторая модель, процесс уравновешивания, исходит из предположения, противоположного процессу Пойа. После извлечения шара одного цвета мы добавляем вурну шар противоположного цвета. Если мыизвлечем белые шары запервых два периода, вурне будет три серых шара итолько один белый, азначит, вероятность извлечения серого шара составит . Этот процесс порождает зависимые отпути результаты втом смысле, что вероятность того или иного результата залюбой период зависит отистории прошлых результатов. Вместе стем процесс не формирует зависимые отпути равновесия. В долгосрочном периоде вурне образуется равное соотношение шаров каждого цвета[6].

Процесс уравновешивания

Урна содержит один белый иодин серый шар. На протяжении каждого периода один шар в случайном порядке извлекается изурны и возвращается внее вместе с дополнительным шаром противоположного цвета. Цвет извлеченного шара обозначает результат.

Процесс уравновешивания охватывает последовательности решений или действий, включающих элементы давления всторону равного распределения. Родители, имеющие двоих детей, пытаются уделять им одинаковое количество времени. Проведенный вечер содним ребенком вызывает желание уделить больше времени второму. Процесс уравновешивания даже позволяет смоделировать организационные усилия по достижению справедливости. Международный олимпийский комитет (МОК) хотел бы, чтобы каждый регион мира стал местом проведения Олимпийских игр. В2013году МОК объявил, что Токио станет местом проведения летних Олимпийских и Паралимпийских игр 2020года. Два европейских города, Стамбул иМадрид, проиграли. Через четыре года МОК выбрал Париж для проведения Олимпийских игр 2024года, а североамериканский город Лос-Анджелес— игр 2028года. Токио победил вконкурсе на проведение Олимпийских игр 2020года отчасти благодаря силе своего предложения, аотчасти потому, что летние Олимпийские игры не проводились вЯпонии с1964года. Создается впечатление, что географическая справедливость повлияла наситуацию. Запериод после Второй мировой войны игры проводились вЕвропе, Азии, Океании иобеих Америках примерно равное количество раз: Европа получала это право восемь раз, Южная иСеверная Америка— шесть раз, Азия иОкеания— семь раз.

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПЕРВОНАЧАЛЬНО ВЫБРАННОГО ПУТИ И ПЕРЕЛОМНЫЙ МОМЕНТ

Зависимость от первоначально выбранного пути (постепенное воздействие на результаты) отличается от переломного момента (резкое изменение результатов). Рост компании Microsoft— наглядный пример зависимости от первоначально выбранного пути. Основанная в1975году, Microsoft разрабатывала интерпретаторы для языка программирования BASIC. В1979году она заключила договор с компанией International Business Machines (IBM) о разработке операционной системы для персонального компьютера IBM. Благодаря этой сделке Microsoft стала напуть, который превратил ее изкомпании ссорока сотрудниками водну изсамых дорогостоящих корпораций мира.

Контракт сIBM способствовал росту Microsoft, но не гарантировал ей долгосрочного успеха. В товремя рынок персональных компьютеров был небольшим. Интернета еще небыло, также как и современных инструментов обработки текстов, программного обеспечения для бизнеса или видеоигр. Кроме того, успех ПКотчасти зависел от операционной системы DOS, разработанной Microsoft. Помере роста рынка персональных компьютеров другие компании начали писать программы, совместимые сDOS, обеспечивая еще больший объем положительной обратной связи. Эти события (успех DOS, рост рынка ПК и разработка ПОдля платформы DOS) можно представить ввиде шаров одного цвета, постоянно извлекаемых изурны и возвращаемых обратно. Каждый очередной результат повышал вероятность следующего результата. Возможно, наступление компьютерной эры было неизбежным, но центральная роль Microsoft ирост рынка ПК— один из множества потенциальных путей.

Зависимость роста компании Microsoft от первоначально выбранного пути можно противопоставить убийству эрцгерцога Франца Фердинанда 28июня 1914года, которое многие считают переломным моментом, приведшим кПервой мировой войне. Зашесть лет доубийства эрцгерцога Австро-Венгрия аннексировала Боснию и Герцеговину. Среди сербов, недовольных таким развитием событий, был Гаврило Принцип, который застрелил Франца Фердинанда иего жену Софию. Австро-Венгрия обвинила Сербию, что было практически предсказуемой реакцией, и обратилась ккайзеру Германии Вильгельму за гарантиями по подготовке квойне против Сербии. Напряженность усиливалась. УСербии был союз сРоссией, которая, всвою очередь, заключила союз сФранцией и Великобританией. Второго августа Германия объявила войну Франции. Апосле того как третьего августа Бельгия отказалась предоставить Германии свободный проход к территории Франции, началась полномасштабная война. Эта значительно упрощенная версия событий говорит отом, что при наличии альянсов убийство эрцгерцога подтолкнуло мир квойне.

Зависимость от первоначально выбранного пути и переломные моменты можно оценить наоснове изменения вероятностей возможных результатов[7]. Для процесса Пойа исходное распределение вероятностей одинаково повсем распределениям вурне. Это распределение максимальной энтропии. Помере дальнейшего развития событий распределение постепенно сужается, что указывает на формирование зависимости от первоначально выбранного пути: возможное развитие событий меняется помере появления результатов. Энтропия уменьшается постепенно. В переломный момент распределение вероятностей резко меняется. Энтропия может уменьшиться быстро. Нарис.14.2 показана разница между двумя процессами, каждый изкоторых порождает два возможных результата. После наступления того или иного события (такого как контракт компании Microsoft или убийство эрцгерцога) вероятность каждого результата меняется. Последующие события также меняют вероятности. Процесс, включающий переломный момент, содержит отчетливый изгиб. Процесс, зависимый от первоначально выбранного пути, меняется постепенно.

Рис.14.2. Переломный момент и зависимость от первоначально выбранного пути

ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Вреальных ситуациях зависимость от первоначально выбранного пути может небыть столь сильной, как вслучае процесса Пойа. Тем неменее на основании этой модели мыможем сделать вывод, что, когда в поведении присутствует сильная социальная составляющая, может произойти что угодно. Водном университетском городке большинство студентов могут носить черные зимние куртки, а вдругом— синие бушлаты. Модельное мышление позволяет предположить, что такие различия могут быть вравной степени следствием социального влияния или индивидуальных глубинных предпочтений. Это верно влюбом контексте, где люди выбирают из фиксированного множества вариантов и ихвыбор зависит отвыбора, сделанного ранее другими людьми. Вкачестве примеров можно привести демократические выборы, выбор фильма для просмотра и технологии для покупки.

Модель можно расширить, чтобы она учитывала изменение социального влияния в зависимости от выбранной альтернативы. Ванильное мороженое может иметь неизменный уровень обратной связи. Авот более экзотическое мороженое сзеленым чаем— генерировать более широкий разброс обратной связи: друг, которому оно не понравилось, отговорит вас отего дегустации, адруг, которому оно понравилось, скорее всего, посоветует вам его заказать. Мыможем доказать, что более низкий уровень разброса обратной связи повышает вероятность выбора того или иного результата[8]. Модель также можно изменить таким образом, чтобы она учитывала различия между людьми в восприимчивости к социальному влиянию: некоторые люди придают большую или меньшую значимость шарам, добавляемым вурну.

Влюбом варианте модели можно измерить (оценить) степень зависимости от первоначально выбранного пути исравнить ее сдругими вариантами. Если предположения, сделанные впроцессе построения модели выпуска нового продукта, указывают нато, что результаты зависят от начального этапа пути, тогда выход нарынок, принятие необходимых мер или получение финансирования всамом начале будет хорошей стратегией. Модель предоставляет компаниям логическое обоснование для быстрого вывода продуктов нарынок или предложения значительных скидок для привлечения ранних последователей. Другие предположения могут указывать нато, что создание более совершенного продукта гораздо важнее, чем быстрый выход нарынок; итогда лучшей стратегией будет сосредоточиться накачестве. Применение моделей позволяет выявить особенности той или иной ситуации (относительная важность индивидуальных предпочтений и воздействия социальных факторов, разброс обратной связи и относительные различия вкачестве) и использовать эти знания как основу для разработки стратегии и руководства посбору данных.

В заключение хотелосьбы отметить, что процесс Пойа демонстрирует, как положительная обратная связь порождает зависимые отпути результаты и равновесия. Зависимость от первоначально выбранного пути возникает вгораздо более широком диапазоне контекстов. Определенная степень зависимости от первоначально выбранного пути (вслучае неравновесных результатов) наблюдается каждый раз, когда одно действие сталкивается или взаимодействует сбудущими действиями. Так происходит при принятии решений окрупных социально значимых проектах[9]. Решение построить парк или автомагистраль ограничивает будущие решения вобласти планирования. Как правило, степень такой зависимости от первоначально выбранного пути обусловлена масштабом проекта— например, Центральный парк существенно повлиял на застройку Нью-Йорка. Хотя процесс Пойа раскрывает основную идею отом, что взаимодействие порождает зависимость от первоначально выбранного пути, нужны более реалистичные модели, чтобы использовать эту информацию как руководство кдействию.

Стоимостная мера риска и волатильность

Мыможем интерпретировать стандартное отклонение временныхрядов данных как волатильность. Инвестициям вакции, недвижимость ичастные компании свойственна волатильность. Стоимостная мера риска (value atrisk, VaR) используется для оценки вероятности потерь взаданном объеме за определенный период. Инвестиция сгодовым показателем 5% VaR, равным 10000долларов, означает равную 5процентам вероятность потери 10000долларов кконцу года[10]. Банки используют вычисление показателя VaR для определения объема активов, которые необходимо иметь вналичии для избежания банкротства. Например, чтобы застраховать инвестицию с двухнедельным показателем 40% VaR, равным 100000долларов, инвестору могут предложить хранить 100000долларов наличными.

Если инвестиция подчиняется принципу простого случайного блуждания с увеличением или сокращением вразмере Mна протяжении каждого периода, то показатель 2,5% VaR запериод Nравен 2M√N[11]. Таким образом, инвестиция, размер которой ежедневно увеличивается или уменьшается на1000долларов, имеет девятидневный показатель 2,5% VaR, равный 6000долларам, агодовой показатель 2,5% VaR— 38000долларов. Обратите внимание, что значение VaR возрастает линейно в зависимости отразмера шагов, нопри этом возрастает как квадратный корень от количества периодов. Мыможем использовать формулу вычисления показателя VaR для объяснения того, почему Федеральная корпорация страхования банковских вкладов требует, чтобы банки держали только 2процента своих активов наличными на протяжении суток, асами банки требуют, чтобы клиенты делали первый взнос по ипотечному кредиту вразмере 20процентов. Срок действия суточного кредита— один день. Ипотечный кредит может быть рассчитан более чем надесять лет. Квадратный корень изтрех тысяч шестисот пятидесяти дней (десять лет) равен примерно шестидесяти.

Здесь мыисходили из предположения оналичии простого случайного блуждания. Аналитики, вычисляющие VaR, часто учитывают эмпирическое распределение доходности за прошедший период. Если оно имеет более длинный хвост, тоесть включает более крупные события, тозначение VaR будет увеличиваться при повышении вероятности наступления крупных событий.

Хотя показатель VaR разрабатывался вобласти финансов, эта идея может найти более широкое применение. Предположим, некоммерческой организации, которая открывает утром посубботам волонтерскую бесплатную столовую, требуются для работы двадцать пять волонтеров. Организации может понадобиться информация о вероятности нехватки волонтеров. Если их количество подчиняется принципу простого случайного блуждания, увеличиваясь или уменьшаясь на1 каждую неделю, то, воспользовавшись представленной выше формулой для вычисления VaR и установив M= 1 иN= 52, можно определить, что годовой показатель 2,5% VaR равен 15. Значит, вероятность нехватки волонтеров составляет 2,5процента.

Каждое поколение смеется над модами предыдущего, но благоговейно следует новым.

Генри Дэвид Торо

Вэтой главе мыизучим две модели локальных взаимодействий— модель локального большинства иигру «Жизнь». Обе модели представлены на плоскости, разделенной наклетки, которые находятся водном издвух состояний. В остальном модели существенно разнятся. Вмодели локального большинства клетки обновляются путем перехода в то состояние, вкотором находится большинство соседних клеток. Вигре «Жизнь» клетки подчиняются более сложному правилу со множеством пороговых значений. Результаты, полученные спомощью этих моделей, тоже разнятся. Модель локального большинства всегда сходится к равновесию, тогда как игра «Жизнь» в зависимости от ее исходного состояния может обеспечить любой класс результатов: равновесие, цикличность, сложность или хаотичность.

Модель локального большинства можно использовать для объяснения и прогнозирования реальных результатов в социальных и физических системах. Она может представлять дискретный выбор, который делают отдельные люди, или описывать такие физические системы, как спиновые стекла, где магнитные структуры приходят в соответствие с соседними структурами. Напротив, игра «Жизнь» носит сугубо исследовательский характер. Она разрабатывалась для изучения того, как совокупность простых правил может порождать сложные явления. Вигре «Жизнь» взаимодействие приводит к появлению периодических структур, сложных последовательностей ихаоса. Эта модель демонстрирует, что целое может отличаться посвоей сути отсвоих частей. Вкачестве грубой аналогии можно привести мозг человека, который также порождает явления (такие как эмоции, познание исознание), возникающие изгораздо более простых составляющих.

Сначала мы рассмотрим модель локального большинства и продемонстрируем, как стандартная координационная игра обеспечивает микрооснования для правила поведения, принятого вмодели. Всвязи сэтим мыможем интерпретировать агентов вмодели либо как агентов, придерживающихся правил, либо как рациональных агентов, использующих стратегию лучшего ответа. Далее мыопишем игру «Жизнь» ипокажем, как она создает сложность изпростых правил. А вконце главы обсудим важность проведения исследований спомощью моделей локальных взаимодействий.

МОДЕЛЬ ЛОКАЛЬНОГО БОЛЬШИНСТВА

Модель локального большинства подразумевает, что плоскость разделена наклетки[1]. Каждая клетка находится водном издвух состояний, которые мы обозначим как «включено» или «выключено». Сначала мыбудем присваивать клеткам состояния в случайном порядке; впоследствии состояние клетки будет зависеть от состояния еесоседей. Соседи могут быть определены несколькими способами. Мыбудем считать соседями клетки Cчетыре клетки, расположенные ксеверу, югу, востоку изападу, атакже четыре клетки, смежные по диагонали. Следовательно, размер окрестности равен восьми клеткам.

Модель локального большинства

Каждая клетка на двумерной сети координат находится водном из состояний— «включено» или «выключено». Укаждой клетки есть восемь соседей (как показано нарисунке ниже)[2]. На протяжении каждого периода клетка выбирается случайным образом[3]. Она меняет свое состояние тогда итолько тогда, когда пять или более еесоседей находятся вдругом состоянии.

Локальные взаимодействия вмодели локального большинства содержат положительную обратную связь: клетки переходят в состояние, вкотором находятся другие клетки. Нарис.15.1 показана типичная равновесная конфигурация модели локального большинства.

Рис.15.1. Равновесная структура вмодели локального большинства

Вслучае равновесия состояние каждой клетки соответствует состоянию большинства еесоседей. Равновесные конфигурации напоминают черно-белую пятнистость коров голштинской породы. Хотя равновесная конфигурация зависит отисходной конфигурации клеток, модель не проявляет высокой чувствительности кисходным условиям. Изменение состояния одной клетки приводит лишь к незначительным изменениям конечной конфигурации. Данная структура также зависит оттого, вкаком порядке активируются клетки. Таким образом, модель локального большинства демонстрирует зависимость от первоначально выбранного пути. Модель порождает огромное количество равновесий. Два равновесия, полученные с еепомощью, похожи небольше, чем две голштинки вполе.

Модель разработана для описания физических систем, вкоторых состояние каждой клетки отражает спин атома: представьте каждую клетку ввиде магнита с отрицательным или положительным зарядом. Каждый магнит находится в локальном магнитном поле, которое на физическом уровне приводит его в соответствие соспинами соседей. Спомощью этой модели можно также описать стекла и кристаллы.

Мыже используем еедля описания локальной координации или согласованности действий людей. Предположим, каждая клетка отражает действие отдельного человека. Это может быть любое общепринятое действие, такое как рукопожатие, кивок взнак приветствия или поднятие руки. Человеку необходимо выбрать действие, соответствующее действиям его соседей. Разделенная наклетки плоскость отображает сеть социальных связей. Такая плоскость будет подходящей сетью социальных связей для домовладельца, принимающего решение поддерживать чистоту водворе, посадить деревья или применить принципы экологического благоустройства, или для людей в зрительном зале, решающих, аплодироватьли исполнителям стоя[4]. Ихотя разделенная наклетки плоскость— грубое приближение, оно позволяет уловить некоторые важные моменты на интуитивном уровне.

Если мызапустим модель на компьютере, то обнаружим, что она всегда образует пятнистую равновесную конфигурацию. Вглаве16 мыпоясним, почему так происходит. В физической интерпретации модели локального большинства пятнистая равновесная структура соответствует фрустрированному состоянию. Умногих клеток соседи находятся как в состоянии «включено», так и«выключено». Если интерпретировать модель в социальном контексте, то фрустрированное состояние можно рассматривать как субоптимальное равновесие. Если состояние «включено» соответствует приветствию людей рукопожатием, а«выключено»— кивку головой, толюди, расположенные награницах пятен, испытывают дискомфорт при взаимодействии с некоторыми соседями: они кивают взнак приветствия, когда другие обмениваются рукопожатием, ипожимают руку, когда другие кивают. Вцелом люди былибы счастливее, еслибы все выбирали одни итеже действия, тоесть решалибы координационную игру. Субоптимальное равновесие (фрустрированное состояние) наступает из-за эффекта взаимодействия, возникающего на локальном уровне. Еслибы вместо этого клетки переходили в состояние глобального большинства, тоочень быстро все они былибы водном итомже состоянии. Этот вывод подразумевает, что формирование общих моделей поведения может потребовать широких сетей влияния. Когда люди координируют свои действия с действиями локальных соседей, образуются зоны разноплановых моделей поведения. Парадокс заключается втом, что координация ведет к разнообразию.

Чистые координационные игры

Вчистой координационной игре каждый игрок выбирает одно издвух действий: Aили B. Если оба игрока выбирают одно итоже действие, каждый получает выигрыш 1. Если игроки выбирают разные действия, каждый получает выигрыш 0.

Действия	A	B
A	1, 1	0, 0
B	0, 0	1, 1

Вчистой координационной игре есть два эффективных равновесия: оба игрока выбирают действие Aили действие B. Кроме того, вней есть неэффективное равновесие, вкотором каждый игрок в случайном порядке выбирает либо A, либо B. Вданном случае модель локального большинства можно интерпретировать так: каждая клетка соответствует игроку, который должен выбрать общее действие, чтобы играть свосемью соседями. Если игроки могут менять свои действия только при их активации в случайном порядке, игрок может увеличить свой выигрыш, выбрав действие, совпадающее с действиями большинства соседей. Такую стратегию называют недальновидным наилучшим ответом, поскольку она не учитывает возможных будущих действий соседей. Игрок спятью соседями, выбравшими действие B, может увеличить свой выигрыш в краткосрочном периоде путем перехода отдействия A кдействию B, ноесли игрок иего соседи находятся в окружении множества других игроков, выбравших действие A, то унего может быть более высокий ожидаемый выигрыш, если онсохранит действие A. Главный вывод— правило поведения, изкоторого исходит модель локального большинства, может основываться на теоретико-игровой модели.

Парадокс координации объясняет различия между группами как свойственную им отличительную особенность. Некоторые действия (например, хранители высоевый соус вшкафу или в холодильнике, ходятли люди дома вобуви или снимают ее упорога) целесообразно координировать с действиями других людей. Обусловленные этим региональные различия обогащают нашу жизнь. Крохотная чашечка ристретто вИталии, средняя чашка эспрессо воФранции иогромная чашка kawa zesmietanka (кофе сосливками) вВаршаве только усиливают удовольствие от путешествий поЕвропе.

Однако другие особенности могут быть неэффективными. Вариации электрических вилок (сдвумя штырями и стремя) способны свести сума. Поскольку мир становится более интегрированным, просчеты с технологической координацией могут обойтись очень дорого. Шведы решили перейти с левостороннего на правостороннее движение, чтобы соответствовать остальной части континентальной Европы. Переход, известный как Dagen H, состоялся в4:45 утра 3сентября 1967года. Все автомобили вШвеции (амногие шведы выехали тем утром надороги, чтобы поучаствовать вэтом событии) резко остановились, азатем втечение следующих пятнадцати минут перестроились слевой стороны дороги направую. В5часов утра автомобили снова начали движение, ноуже по противоположной стороне дороги. Несмотря наналичие стимулов координировать свои действия, люди порой неделают этого. Жители Англии, связанной с континентом тоннелем, продолжают ездить по«неправильной» стороне дороги, как и обитатели некоторых (хотя и невсех) островных колоний.

Парадокс координации

Если люди координируют свои действия на локальном уровне, то глобальная конфигурация носит неоднородный и разноплановый характер.

Применяя эту модель, необходимо помнить, что многие скоординированные культурные нормы (например, то, как люди оплакивают умерших или празднуют рождение ребенка)— не отличительная особенность, аэлемент культуры, целостная совокупность моделей поведения, обычаев и артефактов, которые определяют сущность людей инаделяют ихчувством значимости и принадлежности[5].

Как идля любой другой модели, мыможем поэкспериментировать с параметрами и понаблюдать, как это скажется на результатах. Вмодели локального большинства размер сегментов, формирующихся вслучае равновесия, увеличивается быстрее, чем размер окрестности. Если мы вдва раза увеличим окрестности (тоесть количество квадратов, влияющих на отдельный квадрат сетки), сегменты увеличатся более чем вдвое. Таким образом, модель указывает нато, что, поскольку вследствие развития технологий и урбанизации мы становимся связаннее, сила координации может привести к формированию более крупных однородных сегментов моделей поведения и убеждений.

Эксперименты также показывают, что, если сделать конфигурацию ввиде вытянутого узкого прямоугольника, модель обычно формирует горизонтальные и вертикальные полосы, как показано нарис.15.2[6]. Похожие назебру полосы равновесны, поскольку укаждой, «включенной»/«выключенной» клетки есть пять соседей в состоянии «включено»/«выключено». Подобная структура равновесна и вслучае квадрата, хотя иредко. Озадачивающие выводы такого рода могут быть получены в результате глубокого погружения в«кроличьи норы», неимеющие большой эмпирической или теоретической ценности. Вместе стем эти выводы позволяют получить представление о происходящем, что приведет кболее глубоким, неожиданным открытиям.

Рис.15.2. Устойчивые линии вмодели локального большинства

Вэтом случае результат «квадраты порождают структуры встиле пятнистости коров голштинской породы, а изузких прямоугольников получаются структуры встиле зебры» практически обязывает нас спросить, могутли подобные модели объяснить узоры нашкуре животных. Анализ публикаций поэтой теме говорит отом, что могут[7].

ИГРА «ЖИЗНЬ»

Наша следующая модель, игра «Жизнь», также представлена ввиде клеток на плоскости, находящихся водном издвух состояний. Ключевое отличие от предыдущей модели состоит втом, что правило обновления клеток имеет два пороговых значения ичто все клетки переходят вновое состояние одновременно. Следовательно, мыможем говорить обисходной конфигурации, конфигурации вмомент времени 1, конфигурации вмомент времени 2 итак далее. Синхронное обновление клеток можно рассматривать как «динамику марширующего оркестра» (Обновить! Обновить! Обновить!)[8].

Игра «Жизнь»

Каждая клетка на пространственной координатной сетке может быть либо живой («включено»), либо мертвой («выключено»). Соседями каждой клетки являются восемь смежных клеток. Клетки обновляют свое состояние одновременно в соответствии со следующими двумя правилами.

Правило жизни: мертвая клетка сровно тремя живыми соседями оживает.

Правило смерти: живая клетка сменее чем двумя или более чем стремя живыми соседями умирает.

Начнем стрех живых клеток, расположенных по горизонтали, как показано нарис.15.3. В следующем периоде в результате применения правил жизни исмерти ккаждой клетке мыполучим три клетки, расположенные по вертикали. Уживой клетки, находящейся посредине, двое соседей, поэтому она остается живой. Две живые клетки покраям имеют поодному живому соседу, поэтому они умирают. Инаконец, клетки, находящиеся выше иниже центральной клетки, оживают, поскольку укаждой изних потри живых соседа (два ихсоседа по диагонали). Всилу симметрии после очередного обновления три клетки снова выстраиваются вряд по горизонтали. При повторном применении правила данная структура поочередно принимает горизонтальное и вертикальное положение— другими словами, «мигает».

Рис.15.3. Фигура «мигалка» вигре «Жизнь»

Мигалка формируется вследствие взаимодействия между клетками. Этот результат не относится кчислу исходных предположений. Ученые, изучающие сложные системы, называют такие явления макроуровня эмерджентными. Мигалка относится кчислу наиболее распространенных инаименее впечатляющих эмерджентных структур, порождаемых игрой «Жизнь». Нарис.15.4 показаны еще три простые конфигурации: блок, планер иR-пентамино. Блок— это равновесная конфигурация. Укаждой живой клетки ровно три живых соседа, а укаждой мертвой— неболее двух живых соседей. Ниодна живая клетка неумирает и ниодна мертвая неоживает. Средняя конфигурация порождает цикл длиной 4 такта, который плавно перемещает указанную конфигурацию по диагонали наодну клетку вниз ивправо. Более сложные конфигурации под названием «планерные ружья» порождают бесконечный поток планеров. Третья конфигурация, R-пентамино, создает сложную последовательность фигур. Если выполнять модель на протяжении более чем тысячи шагов набольшой сетке, она генерирует планеры имигалки, атакже несколько небольших стабильных конфигураций. Кроме того, игра «Жизнь» может порождать хаос[9]. Таким образом, она способна генерировать любой класс результатов в зависимости от исходного состояния.

Рис.15.4. Конфигурации вигре «Жизнь»

Эти возможности поднимают философские вопросы. Игра «Жизнь» состоит из расположенных насетке клеток сдвумя состояниями, которые обновляются в соответствии спростыми правилами. Игра может порождать сложные структуры, поэтому при надлежащем кодировании ееможно превратить в универсальный компьютер. Исходную структуру можно рассматривать как входные данные. Правила генерируют результат, который можно интерпретировать как вычисление. Следовательно, можно провести грубую аналогию между данной моделью и человеческим мозгом, который тоже состоит изпростых пространственно связанных элементов, функционирующих наоснове правил с пороговыми значениями (хотя иболее сложных). Это неозначает, что структуры, которые мывидим вигре «Жизнь», могут объяснить сознание. Книги с названием «Игра “Жизнь”: объяснение сознания» не существует, однако Дэниел Деннет действительно написал книгу Consciousness Explained («Объяснение сознания»), вкоторой утверждает, что простые модели типа игры «Жизнь» позволяют глубже понять эволюцию сознания. Такуюже мысль высказал ифизик Стивен Хокинг, написав: «Нетрудно представить, что игра “Жизнь” спомощью всего лишь нескольких элементарных правил может порождать ввысшей степени сложные объекты, возможно, даже интеллект»[10].

РЕЗЮМЕ

Вэтой главе мыизучили две модели, состоящие из взаимодействующих клеток на координатной сетке. Первая, модель локального большинства, всегда переходит водно из множества возможных равновесий, поэтому мыможем интерпретировать еекак аналог различных физических и социальных процессов. Вторая, игра «Жизнь», может порождать любой класс результатов, от равновесий дохаоса. Эта модель не претендует наявную связь среальным миром, но представляет пример того, как создание альтернативной реальности позволяет получить ценную информацию (как вслучае появления динамических структур макроуровня изправил микроуровня), углубляющую наше пониманиемира. Как показывает игра «Жизнь», целое может выполнять функции, которые существенно превосходят возможности его частей. Например, если создать наклонную цифру восемь, соединив два квадрата 3 на3 углами, игра «Жизнь» порождает циклическую конфигурацию спериодом, равным восьми. Игра последовательно образует ряд структур и возвращается кцифре 8 ровно завосемь шагов. Тот факт, что напоминающая восьмерку структура функционирует так, будто она считает довосьми, просто удивителен.

Для того чтобы понять, как ипочему игра «Жизнь» порождает сложность, тогда как модель локального большинства стремится к равновесию, понадобятся дополнительные инструменты анализа и концептуальные схемы. Вглаве16 вводятся функции Ляпунова, которые относят состояние мира ктому или иному классу спомощью разностных уравнений. Тщательно построенные функции Ляпунова позволяют объяснить, почему модель локального большинства должна стремиться к равновесию ипочему игре «Жизнь» это ненужно.

В заключение хотелосьбы отметить, что актуальность вопроса отом, порождаютли модели (азначит, иреальный мир) равновесия, структуры, сложность или хаотичность, естественным образом возникла впроцессе исследования моделей. Изучая их, мы обнаружили, что одни приходят в равновесие, адругие нет. Обычно мы размышляем об использовании модели для получения ответов навопросы. Вэтой главе мыувидели, что модели тоже могут задавать вопросы.

Красота математики открывается только более терпеливым последователям.

Мариам Мирзахани

Вэтой главе мыизучим функции Ляпунова, которые создают условия для достижения моделью равновесия. Функции Ляпунова— это определенные насистеме конфигураций действительные функции, которые индексированы повремени. Накаждом временномшаге функция Ляпунова присваивает конфигурации конкретное значение. Если конфигурация меняется (тоесть модель не находится в состоянии равновесия), тозначение функции Ляпунова уменьшается на фиксированную величину. Функция Ляпунова также имеет минимальное значение, это означает, что вконечном счете еезначение перестает уменьшаться. Когда это происходит, модель достигает равновесия. Функцию Ляпунова можно использовать, например, чтобы показать, почему модель локального большинства втеории коллективного выбора сходится.

Ключевой вывод этой главы— если мысможем построить функцию Ляпунова для модели, тоэта модель обязательно придет в равновесие. Мы неможем получить периодическую орбиту, хаотичность или сложность. Более того, мыможем ограничить время сходимости к равновесию, что станет очевидным при конструировании функции Ляпунова для модели локального большинства.

Глава состоит изшести частей. Сначала мыдадим определение функций Ляпунова, азатем применим их вигре «Гонка по нисходящей». Потом построим функции Ляпунова для модели локального большинства имодели упорядочивающих действий. В четвертой части мыпоясним, почему можно построить функции Ляпунова для одних валютных рынков и невозможно— для других. Азатем выясним, почему вигре «Жизнь» нет функции Ляпунова. Далее мыобсудим обманчиво досадную математическую задачу, которая всегда стремится к равновесию идля которой была найдена функция Ляпунова, а в заключительной части вернемся квопросу оцелесообразности равновесий.

ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА

Дискретная динамическая система состоит из пространства возможных конфигураций (рассматривайте ихкак многомерные состояния мира, такие как первичная совокупность живых имертвых клеток вигре «Жизнь») иправила перехода, которое отображает данную конфигурацию вмомент времени tна конфигурацию вмомент времени t+ 1. Функция Ляпунова преобразовывает конфигурации в действительные числа и удовлетворяет двум предположениям. Во-первых, если функция перехода неявляется равновесием, значение функции Ляпунова уменьшается на фиксированную величину (подробнее обэтом чуть позже). Во-вторых, функция Ляпунова имеет минимальное значение. Если оба предположения верны, данная динамическая система должна достичь равновесия.

Теорема Ляпунова

Для динамической системы с дискретным временем, содержащей правило перехода xt+1= G(xt), действительная функция F(xt) является функцией Ляпунова, если F(xt)≥ M для всех xt иесли существует значение A > 0 такое, что

F(xt+1)≤ F(xt), если G(xt) ≠ xt.

Если F— функция Ляпунова для G, тогда, начиная слюбого x0, существует значение t^* такое, что G(xt*)+ xt* исистема достигает равновесия законечный промежуток времени.

Сначала построим функцию Ляпунова врамках игры «Гонка по нисходящей», описывающей стратегическую среду, вкоторой игроки выбирают уровни поддержки так, что каждый игрок предпочитает предоставлять еенемногим меньше среднего уровня.

Игра «Гонка по нисходящей»

Каждый изNигроков предлагает уровень поддержки в диапазоне {0, 1, …, 100} на протяжении каждого периода. Игрок, максимально приблизившийся к среднего уровня поддержки, получает заэтот период приз.

Эта игра помогает объяснить сокращение расходов правительства штата на социальные программы, такие как помощь малоимущим. Ниодин губернатор или законодательное собрание штата нехочет казаться бессердечным. Нопри этом никто несклонен предлагать щедрые программы, которые привлекалибы неимущих изсоседних штатов. Каждый штат готов предоставить определенное финансирование, номеньшее среднего объема. Аналогичные стимулы существуют идля стран, выбирающих экологические стандарты или ставки налогообложения. Страны предпочитают придерживаться менее ограничительной экологической политики и устанавливать ставки налогообложения ниже среднего уровня для привлечения бизнеса.

Достигнетли игра «Гонка по нисходящей» равновесия, зависит отправил поведения игроков. Например, если игроки выбирают случайные уровни поддержки, то и результаты будут случайными. Случайные уровни неимелибы смысла при наличии структуры выигрышей вигре. Здесь мы предполагаем следующее правило поведения, которое согласуется с экспериментальными данными[1]. Допустим, на протяжении первого периода каждый игрок выбирает случайный уровень поддержки менее 50. После этого каждый игрок выбирает уровень хотябы на1 меньше отсреднего предыдущего периода. Если это число меньше ноля, токаждый игрок выбирает ноль.

Несложно продемонстрировать, что максимальный уровень поддержки состороны любого игрока удовлетворяет условиям функции Ляпунова. У максимального уровня поддержки нулевой минимум. И вкаждом периоде максимальный уровень поддержки снижается минимум на1 при условии, что уровни поддержки принимают целые значения. Таким образом, в определенный момент все предлагают нулевую поддержку. Участники игры достигли дна. Вэтом примере модель порождает нежелательный результат. Предотвращение гонки по нисходящей требует изменения правил игры. Для того чтобы увеличить поддержку малоимущих, федеральное правительство может перейти на федеральное финансирование или установить минимальный уровень расходов[2].

Вкачестве отступления предположим, что мы разрешаем игрокам выбирать любое действительное число в интервале от0 до100, а нетолько целые числа. Если входе каждого раунда игроки выбирают уровень поддержки, равный от предыдущего среднего, средний уровень поддержки будет современем снижаться, ноникогда не достигнет нулевого равновесия. Как и вслучае парадокса Зенона, процесс будет все больше приближаться кнулю, нотак и не достигнет его. Следовательно, для обеспечения равновесия мыдолжны ввести минимальное уменьшение (A).

РАВНОВЕСИЕ ВМОДЕЛИ ЛОКАЛЬНОГО БОЛЬШИНСТВА

Теперь вернемся кмодели локального большинства. Определим функцию Ляпунова как общее несовпадение врамках совокупности: вычисленную повсем клеткам сумму количества соседних клеток в противоположном состоянии. Чтобы доказать, что модель достигнет равновесия, мыдолжны продемонстрировать, что если клетка изменит свое состояние, тообщее несовпадение сократится как минимум на фиксированную величину.

Доказательство неслишком сложное. Во-первых, если клетка меняет состояние, значит, она должна быть в меньшинстве по отношению ксвоим соседям. Мызнаем, что минимум пять еесоседей были в противоположном состоянии имаксимум три— втомже, что иона. Поэтому, когда клетка переходит вдругое состояние, количество не совпадающих сним клеток сокращается минимум на2 (рис.16.1). Для того чтобы вычислить изменение общего несовпадения, необходимо добавить изменения кобщему несовпадению, привнесенному соседними клетками. Пять или более клеток, состояние которых теперь совпадает с состоянием данной клетки, имеют более низкий уровень несовпадения (на1каждая), атри или менее клеток, состояние которых ранее совпадало с состоянием данной клетки,— более высокий уровень несовпадения (на1 каждая). Следовательно, общее несовпадение повсем соседним клеткам уменьшается на4.

Рис.16.1. Общее несовпадение сокращается на4 вмодели локального большинства

Таким образом, мыдоказали, что хотя некоторые клетки могут иметь более высокий уровень несовпадения, общее несовпадение удовлетворяет условиям функции Ляпунова. Азначит, модель локального большинства должна сходиться к равновесию, причем не в некоторых или большинстве случаев, а постоянно. Нам также известна скорость сходимости. Каждый раз, когда клетка меняет свое состояние, общее несовпадение сокращается минимум на4. Отсюда следует, что конфигурация собщим несовпадением 100должна достичь равновесия за25 периодов. Вобщем случае конфигурация собщим несовпадением Dдолжна достичь равновесия за периодов. Как отмечалось вглаве15, достигнутое равновесие почти всегда будет представлять собой неэффективную пятнистую структуру, содержащую фрустрированные клетки.

САМООРГАНИЗАЦИЯ: НЬЮ-ЙОРК ИDISNEY WORLD

В следующей области применения функция Ляпунова используется для доказательства существования равновесия вмодели самоорганизации. Модель включает совокупность людей инабор действий, которые каждый человек может выполнять втечение дня. Основное предположение модели состоит втом, что каждый человек предпочитает менее многолюдные события, поскольку чем меньше людей, тем короче время ожидания в спортзале либо очередь вбулочной или кафе. Стимулом ксозданию модели стала цитата Томаса Шеллинга изкниги Micromotives and Macrobehavior36, вкоторой он описывает поразительный процесс самоорганизации городов— как схема дорожного движения, поток пешеходов, количество людей впарках и ресторанах, атакже товарный запас в магазинах достигают приемлемого уровня при почти полном отсутствии центрального планирования. Как так получается, что вмагазине науглу всегда есть четыре бутылки кленового сиропа из Сидарвилла? Почему свежий ржаной хлеб заканчивается вбулочной примерно задвадцать минут дозакрытия? Такой порядок формируется, даже несмотря на точто действующие вгороде разнообразные агенты (туристы, владельцы магазинов, жители и сотрудники служб доставки) обладают ограниченной информацией обо всем городе.

Модель самоорганизации

Город предлагает Aдействий. Каждый день состоит изLпериодов. Каждый член большой совокупности людей размером Mвыбирает определенный режим, или порядок участия внаборе Lдействий (изболее крупного множества Kвозможностей) на протяжении Lпериодов. Уровень перегруженности этого человека равен количеству других людей, выбравших теже действия втоже время.

Чтобы доказать сходимость модели, мы продемонстрируем, что общая перегруженность (сумма уровней перегруженности всех членов совокупности) удовлетворяет условиям функции Ляпунова. Снижая уровень перегруженности, человек уменьшает свой вклад вобщую перегруженность, атакже снижает уровень перегруженности на1 для каждого человека, скоторым его выбор больше не совпадает, иповышает уровень перегруженности на1 для каждого нового человека, скоторым теперь его выбор одинаков. Учитывая тот факт, что человек снижает собственный уровень перегруженности, впервой группе будет больше людей, чем вовторой. Рассмотрим следующий пример. Предположим, человек ходит в переполненный тренажерный зал в8:00 и в переполненное кафе в16:00. Поменяв местами время посещения этих заведений, он обнаружит, что кафе почти пустует в8:00, а тренажерный зал менее переполнен в16:00, тем самым снизив уровень перегруженности для себя ивсех тех людей, скоторыми встречался ранее. Все это ведет к повышению уровня перегруженности для небольшого числа людей, скоторыми этот человек теперь встречается, однако общая перегруженность уменьшится (как минимум на1). Учитывая, что общая перегруженность неможет быть ниже нуля, система должна достичь равновесия.

Хотя вобщем мы неможем гарантировать, что система обнаружит эффективное равновесие, эта модель почти всегда сходится к конфигурации спочти минимальной общей перегруженностью. В неэффективной конфигурации люди чаще выбирают какое-то одно действие (например, поход в тренажерный зал) на протяжении определенного периода, чем другое (например, посещение кафе). Если разница в перегруженности между этими двумя действиями существенная, человек может снизить уровень перегруженности, изменив время посещения тренажерного зала икафе. Если втечение другого периода в тренажерном зале икафе будет одинаковое количество посетителей, такое изменение приведет к сокращению общей перегруженности[3].

Модель объясняет некоторые аспекты сложившегося вмире порядка ипомогает понять, как города могут самоорганизоваться допочти эффективной конфигурации без централизованного планирования. Она также объясняет, почему центры развлечений (такие как Disney World) неспособны натакую самоорганизацию. Каждый день вDisney World приходят новые посетители, которым нехватает времени опробовать новые маршруты. Без централизованного планирования к некоторым аттракционам Disney World выстроилисьбы огромные очереди, тогда как кдругим совсем небылобы людей. Disney World пытается избежать такого сценария, предоставляя людям возможность записываться на конкретные аттракционы на определенное время ипоручая сотрудникам направлять посетителей вменее оживленные зоны.

ЭКОНОМИКА ЧИСТОГО ОБМЕНА

Мытакже можем использовать функции Ляпунова, чтобы исследовать, когда экономика чистого обмена достигает равновесия, акогда нет. Экономика чистого обмена включает совокупность потребителей, каждый изкоторых имеет первоначальный запас товаров и определенные предпочтения. Предположим, члены некой совокупности приходят нарынок или ярмарку счем-то, чем будут обмениваться (торговать) сдругими, например с баклажанами, сыром или одеялами. Каждый обмен требует затрат времени иусилий собеих сторон. Для того чтобы два человека договорились, каждый должен получить выгоду, превышающую затраты наобмен.

Вместо того чтобы строить функцию Ляпунова, которая всегда уменьшается на фиксированную величину иимеет минимум, мысделаем наоборот: продемонстрируем, что общий уровень счастья всегда повышается на фиксированную величину иимеет максимальное значение. Допустим, каждый раз, когда два человека совершают обмен, ихуровни счастья повышаются как минимум навеличину затрат наэтот обмен. Кроме того, каждый человек приносит фиксированный первоначальный запас товаров, значит, уобщего уровня счастья есть максимальное значение. Предположения функции Ляпунова выполнены, поэтому система приходит в равновесие. Нопри таком равновесии распределение благ невсегда эффективно. Икогда оно неэффективно, некоторые участники рынка могут отыскать вариант обмена, который повысит ихуровень счастья.

При построении доказательства мыисходили изтого, что счастье (или несчастье) обретают только стороны обмена. Однако так бывает невсегда. Представьте, что Ирак обещает поставлять нефть вобмен наядерное оружие из Пакистана. Лидеры обеих стран могут быть счастливы, нообщий уровень счастья (в глобальном масштабе) снизится. Другие страны мира врядли придут ввосторг оттого, что Ирак наращивает свой ядерный арсенал.

Воздействие, которое ощущают жители других стран, обозначается термином «отрицательный внешний эффект». Когда нарынке обмена имеют место отрицательные внешние эффекты (отрицательные экстерналии), обмен невсегда повышает общий уровень счастья. В предыдущем примере рынка чистого обмена (где люди обмениваются фруктами, овощами, одеялами и инструментами) мало экстерналий. Присутствие внешних эффектов не позволяет определить, достигнетли система равновесия. Обмен оружием инефтью (как впримере выше) может породить другие формы обмена. Вответ на наращивание Ираком запаса ядерного оружия Саудовская Аравия может потребовать от союзников усилить военную поддержку, что, всвою очередь, может обусловить определенные действия состороны других стран региона. Уровень глобального счастья (или глобальной безопасности, если уж на топошло) может резко повышаться ипадать после каждого такого действия. При этом мы неможем быть уверены, что процесс обмена когда-либо прекратится.

Существуютли функции Ляпунова в контексте обмена или нет, зависит отразмера отрицательных внешних эффектов, что наглядно иллюстрирует пример, который привела мне одна моя бывшая студентка. Ее работодатель переезжал вновый, так называемый офис открытого типа (open space), где должны были разместиться аналитики. Руководитель предложил моей бывшей студентке в случайном порядке распределить столы среди аналитиков, азатем разрешить имменяться местами насвое усмотрение. Поего мнению, такой подход даст хороший результат, поскольку свободный обмен обеспечивает эффективность.

Моя бывшая студентка понимала, что даже если два любых человека, обменявшихся столами, станут счастливее, то ихпрежние иновые соседи невсегда будут довольны. Человек может почувствовать себя уязвленным, если нынешний сосед (особенно тот, скем онхотел сидеть рядом) перейдет зарабочий стол вдругом конце комнаты. Кроме того, бывшему соседу может не понравиться новый сосед, который, кпримеру, громко разговаривает потелефону, итогда бывший сосед сам предпочтет другое рабочее место. Такие перемещения могут продолжаться бесконечно, икаждое будет подрывать моральный дух коллектива. План казался рискованным. В организации хотели, чтобы среди сотрудников царила атмосфера доверия иуважения, аобмен рабочими столами не способствовал этому. Проанализировав модель, руководитель отказался отсвоей идеи[4].

Однако наэтом история не заканчивается. Тотже руководитель купил офисные кресла разных конструкций иразного цвета ихотел в случайном порядке распределить ихсреди персонала и разрешить обмениваться ими. Вэтом случае моя студентка (применив метод модельного мышления) пришла квыводу, что обмен креслами можно разрешить, поскольку он несоздавал никаких внешних эффектов, да и сотрудниковбы это развеселило. Обмен креслами— пример экономики чистого обмена. Эти два случая позволяют понять, как использовать модели вкачестве ориентира при совершении условных действий. Рынки обмена эффективны при обмене офисными креслами, но непри расстановке рабочих столов.

МОДЕЛИ БЕЗ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

Даже когда наши попытки построить функцию Ляпунова для модели нерезультативны, мывсе равно накапливаем знания. Часто это позволяет понять, почему модель не обеспечивает равновесия. Вигре «Жизнь» одни конфигурации достигают равновесия, адругие нет. Когда игра действительно порождает равновесие, мыможем составить функцию Ляпунова для конкретной конфигурации. Например, любая исходная конфигурация, принимающая форму диагональной линии, будет уменьшаться на2 каждый период, поскольку две живые клетки вконце линии умирают, а оживающих клеток нет. Данная конфигурация заканчивается тем, что все ееклетки умирают. Для таких конфигураций количество живых клеток будет выступать вкачестве функции Ляпунова. Если начать сдругой конфигурации (например, R-пентамино), порождающей сложную последовательность конфигураций, построить функцию Ляпунова будет невозможно, так как система неприходит в равновесие.

Однако невозможность построить функцию Ляпунова неозначает, что модель или система не достигают равновесия. Оно может иметь место. Некоторые системы приходят в равновесие вовсех известных случаях, однако еще никому неудалось построить для них функцию Ляпунова. Один популярный пример— задача оправиле «разделить надва или умножить натри плюс один» (half ortriple plus one rule, HOTPO), также известная как гипотеза Коллатца,— обманчиво прост. Взадаче HOTPO сначала необходимо взять целое число. Если оно нечетное, умножаем его на3 и прибавляем 1. Если четное, тоделим на2. Процесс прекращается, когда будет получено значение 1. Если мыначнем с5 (нечетное число), умножим его на3 идобавим 1, тополучим 16. Разделив 16 на2, получим 8, разделив 8 на2, получим 4, разделив 4 на2, получим 2, аразделив 2 на2, получим 1, достигнув равновесия. Для любого числа до2⁶⁴процесс вычисления HOTPO прекращается. Тем неменее никто недоказал, что HOTPO всегда достигает равновесия. Математик Пол Эрдёш якобы сказал: «Математика еще несозрела для таких задач»[5]. Неспособность математиков определить, достигаетли HOTPO равновесия, указывает наболее общий вывод: модели предлагают вероятность доказательства результатов, но не гарантируют их получения. Нередко мыстроим модель только для того, чтобы обнаружить, что доказать результаты трудно, ато и невозможно.

РЕЗЮМЕ

Изэтой главы мыузнали, как функции Ляпунова помогают доказать, достигнетли (икак быстро) система или модель равновесия. Даже неудачные попытки построить функцию Ляпунова полезны, так как помогают понять причины сложности. Так обстояло дело с экономикой обмена свнешними эффектами и собменом рабочими столами. Ни водном изэтих случаев нам неудалось вывести глобальную переменную, значение которой всегда снижается или повышается. Таким образом, унас нет никаких гарантий, что эти процессы придут в равновесие.

Вернувшись кобластям применения моделей (рассуждение, объяснение, разработка, коммуникация, действие, прогнозирование и исследование), мы обнаружим, что функции Ляпунова могут пригодиться вкаждой. Как уже отмечалось, функции Ляпунова позволяют понять, почему системы приходят в равновесие. Ихможно использовать для разработки информационных систем, как было сзаписью на аттракционы вDisney World. Знания, полученные спомощью данной модели, можно использовать как руководство кдействию (например, не разрешать обмен рабочими столами), атакже для распространения информации отом, как система приходит в равновесие, для прогнозирования времени достижения равновесия идля исследований, как впримере с самоорганизацией городов.

История есть циклическая поэма, записанная временем на человеческой памяти.

Перси Биши Шелли

Модели Маркова— это системы, которые совершают вероятностный переход между состояниями, образующими конечное множество. Политическая система может переходить от демократической к диктаторской, рынок— отволатильности к стабильности, ачеловек— поочередно испытывать счастье, тревогу или уныние. Вмодели Маркова перемещения между состояниями происходят с фиксированными вероятностями. Вероятность того, что страна перейдет от авторитаризма к демократии втечение года, может составлять 5процентов, атого, что человек перейдет оттревоги к усталости заодин час,— 20процентов. Если, кроме этого, система может перейти изодного состояния влюбое другое путем последовательности переходов и не существует ниодного простого цикла, томодель Маркова достигнет единственно возможного статистического равновесия37.

Вслучае статистического равновесия отдельные объекты продолжают переходить изодного состояния вдругое, но распределение вероятностей повсем состояниям остается неизменным. Статистическое равновесие в марковской модели идеологии допускает, что люди могут менять свои взгляды с либеральных на консервативные и независимые, но относительное количество носителей каждой идеологии неменяется. Применительно к отдельному объекту статистическое равновесие означает, что долгосрочная вероятность его пребывания вкаждом состоянии неизменна. Человек может находиться в статистическом равновесии, при котором онсчастлив 60процентов времени игрустит 40процентов времени. Ментальное состояние человека может меняться ежечасно, ноего долгосрочное распределение повсем состояниям останется неизменным.

Единственно возможное статистическое равновесие подразумевает, что долгосрочное распределение результатов неможет зависеть от исходного состояния или полосы событий. Иначе говоря, исходные условия неимеют значения, также как история имеры воздействия38. Современем процесс, удовлетворяющий предположениям данной модели, неизбежно стремится к уникальному статистическому равновесию иостается внем. Модель издесь демонстрирует условную логику: если мир отвечает предположениям модели Маркова, то в долгосрочной перспективе история неиграет роли. Модель Маркова не утверждает, что история вообще неважна. Во-первых, модель учитывает зависимость результатов от первоначально выбранного пути: дальнейшее развитие событий зависит от нынешнего состояния. Во-вторых, она также допускает моделирование истории в долгосрочной перспективе, нодля этого требуется нарушить одно из предположений модели.

Модели Маркова имеют множество областей применения. Ихможно использовать для интерпретации динамических явлений, таких как демократические преобразования, подготовка квойне имеры поборьбе с употреблением наркотиков, для ранжирования сайтов, научных журналов и спортивных команд идаже для установления авторства книг истатей. Вэтой главе мы рассмотрим все перечисленные области применения. Сначала проанализируем два примера, азатем сформулируем общую теорему о существовании статистического равновесия. Втретьем разделе мыперейдем кобластям применения моделей Маркова, а вконце главы вернемся квопросу отом, вкакой степени икогда история имеет значение, и проанализируем его всвете полученных знаний омоделях Маркова.

ДВА ПРИМЕРА

Модель Маркова включает множество состояний ивероятностей перехода между ними. Внашем первом примере настроение человека втот или иной день может быть представлено либо как интеллектуальная увлеченность, либо как скука. Формально оно выступает вкачестве двух состояний модели. Вероятности перехода определяют вероятность перемещения между состояниями. Например, как показано нарис.17.1, мыбудем исходить из предположений, что, когда человек интеллектуально увлечен, вероятность того, что он останется вэтом состоянии, составляет 90процентов, а вероятность того, что онначнет скучать,— соответственно 10 процентов. Вслучае скуки соотношение иное: вероятность, что человек продолжит скучать, равна 70процентам, ачто онперейдет в состояние интеллектуальной увлеченности— 30 процентам.

Рис.17.1. Процесс Маркова

Предположим, эти вероятности перехода верны для 100 студентов, изучающих биологию. Изначально половина студентов увлечены, адругая половина скучает, как показано нарисунке. Применив приведенные выше вероятности перехода, можно ожидать, что на следующий день 5 (10процентов) интеллектуально увлеченных студентов начнут скучать, а15 (30процентов) скучающих студентов увлекутся материалом. Это даст нам 60 интеллектуально увлеченных и40 скучающих студентов. На следующий день 6 из60 интеллектуально увлеченных студентов должны скучать, а12 скучающих— испытать интеллектуальную увлеченность, в результате унас будет 66 увлеченных и34скучающих студента. При продолжении процесса онсойдется ктакому статистическому равновесию: 75 интеллектуально увлеченных и25скучающих студентов. Вэтом равновесии студенты продолжат переходить изодного состояния вдругое, но количество студентов, находящихся вкаждом состоянии, не изменится.

Если процесс начнется со100 увлеченных студентов, то на следующий день только 90 изних испытают интеллектуальную увлеченность. Еще через день ихчисло сократится до84. Продолжив процесс, мы обнаружим, что в долгосрочной перспективе 75 студентов будут находиться в состоянии интеллектуальной увлеченности, а25 студентов— испытывать скуку. Модель достигнет тогоже статистического равновесия.

Вовтором примере мыразделим страны натри категории: свободные, частично свободные и несвободные, которые будем отождествлять с состояниями. Нарис.17.2 показана доля стран вкаждой категории за тридцатипятилетний период, закончившийся в2010году (поданным Freedom House). Нарисунке прослеживается четкая тенденция кусилению демократизации. За прошедших тридцать пять лет доля свободных стран увеличилась до20процентов. Если эта линейная тенденция продолжится, то к2040году две трети всех стран станут свободными, а к2080-му— восемь издевяти стран.

Рис.17.2. Freedom House: процент свободных, частично свободных и несвободных стран

Умодели Маркова иной прогноз. Для его составления мывозьмем пятилетний период и приближенно откалибруем вероятности перехода наоснове данных за прошедший период (табл. 17.1)[1].

Таблица 17.1. Вероятности перехода к демократическому режиму согласно модели Маркова

		Состояние вследующем периоде
		Свободная	Частично свободная	Несвободная
Нынешнее состояние	Свободная	95%	5%	0%
Частично свободная	10%	80%	10%
Несвободная	5%	15%	80%

Если мы инициализируем модель, используя относительное количество стран вкаждой категории по состоянию на1975год, то откалиброванная модель (как и следовало ожидать) почти идеально соответствует распределению 2010года: 48процентов стран относятся к категории свободных, 31процент— частично свободных и21процент— несвободных. Фактические данные за2010год составляли: 46процентов, 30процентов и24процента соответственно. Если мы продолжим применять модель, она даст такой прогноз: в2080году 62,5процента стран будут свободными, 25процентов частично свободными и12,5процента несвободными.

Менее радужный прогноз модели Маркова обусловлен тем, что линейная проекция не учитывает вероятность перехода свободных стран в категорию частично свободных и несвободных. Помере того как все больше стран становятся свободными, количество свободных стран, переходящих в категорию частично свободных, увеличивается поряду причин. Во-первых, для поддержания демократии необходимо налоговое ведомство идругие учреждения, которые способны проводить соответствующую политику. Говоря словами Томаса Флореса иИрфана Нооруддина, в некоторых местах демократии нетак легко укорениться[2]. Втаких местах следует ожидать перехода стран из свободных в категорию частично свободных. Модель Маркова учитывает все эти нюансы.

ТЕОРЕМА ПЕРРОНА— ФРОБЕНИУСА

Вобоих примерах модель сходится к единственно возможному статистическому равновесию— иэто неслучайно. Любая модель Маркова сконечным множеством состояний, фиксированными вероятностями перехода, возможностью перемещения изодного состояния влюбое другое посредством ряда переходов, атакже с отсутствием циклов между состояниями сходится к единственно возможному равновесию. Изтеоремы следует, что, когда все эти четыре условия соблюдены, исходное состояние, история именяющие его меры воздействия немогут изменить долгосрочное равновесие. Если страны переходят от диктатуры к демократии в соответствии с фиксированными вероятностями, томеры воздействия, которые вводят или стимулируют демократию в некоторых странах, невозымеют длительного эффекта. Если колебания в господствующих политических идеологиях удовлетворяют этим предположениям, тоистория неможет влиять на долгосрочное распределение по идеологиям. Аесли психическое состояние человека можно представить ввиде модели Маркова, то ободряющие слова ижесты поддержки не оказывают долгосрочного воздействия.

Теорема Перрона— Фробениуса

Процесс Маркова сходится к единственному статистическому равновесию, если он удовлетворяет следующим четырем условиям:

Наличие конечного множества состояний: S= {1, 2, …, K}.

Фиксированные правила перехода: вероятности переходов между состояниями имеют фиксированное значение. Например, вероятность перехода из состояния Aв состояние Bравна P(A,B) на протяжении каждого периода.

Эргодичность (достижимость состояния): система может перейти изодного состояния влюбое другое посредством некоторой последовательности переходов.

Отсутствие цикличности: система не порождает детерминированный цикл, включающий последовательность состояний.

Вывод изэтой теоремы должен заключаться не втом, что история неможет иметь значения, автом, что если история действительно важна, тоодно из предположений модели должно быть нарушено. Два предположения— конечное множество состояний и отсутствие простых циклов— выполняются почти всегда. Эргодичность может быть нарушена, как, например, вслучае, когда союзники начинают войну и немогут восстановить союз. За исключением таких примеров условие эргодичности тоже всегда выполняется.

Остается только ограничение на фиксированные вероятности перехода между состояниями, которое выполняется реже всего. Таким образом, модель говорит, что когда история имеет значение, базовые структурные факторы должны изменить вероятности перехода (или множество состояний). Рассмотрим вкачестве примера вопрос, как помочь семьям преодолеть бедность. Факторы, создающие социальное неравенство, оказались невосприимчивы к политическим мерам воздействия[3]. Вмоделях Маркова меры воздействия, меняющие состояние семей (такие как специальные программы для отстающих учеников или однодневная благотворительная раздача продуктов), могут привести к временному улучшению, но неспособны изменить долгосрочное равновесие. Напротив, меры воздействия, обеспечивающие ресурсы иобучение, что повышает шансы людей сохранить работу, азначит, меняет их вероятность перехода из категории занятых в категорию безработных, могут изменить долгосрочные результаты. Модель как минимум предоставляет нам терминологию (о разграничении состояний и вероятностей перехода) илогику, позволяющую понять ценность изменения структурных факторов, а не нынешнего состояния.

Парадокс продаж-долговечности

Парадокс продаж-долговечности гласит, что распространенность продукта (или идеи) зависит нестолько от относительного объема продаж, сколько отего долговечности. Модели Маркова позволяют объяснить этот парадокс, если вкачестве состояний выступает процент людей, владеющих такими товарами. Рассмотрим два типа напольных покрытий: керамическая плитка (долговечный товар) илинолеум (товар сболее высоким объемом продаж). Парадокс возникает тогда, когда товар сболее высоким объемом продаж (вданном случае линолеум) оказывается менее распространенным.

Внашей модели мыбудем исходить изтого, что объем продаж линолеума втрое превышает объем продаж керамической плитки. Для того чтобы описать различия в долговечности этих товаров, предположим, что каждый год линолеум меняет 1 из10 человек, а керамическую плитку— 1 из60. Полученная витоге модель Маркова имеет равновесие, вкотором две трети напольных покрытий— это керамическая плитка[4].

Логика, лежащая воснове парадокса продаж-долговечности, объясняет также и положительную зависимость между рыночной долей и лояльностью кбренду (вероятностью перехода кдругому бренду). Если мысоставим модель Маркова, более низкая лояльность кбренду должна подразумевать более низкую рыночную долю в равновесии, поскольку лояльность действует также, как долговечность. Эта эмпирическая закономерность известна как закон двойного риска. Низкая лояльность кбренду обычно означает более низкие продажи[5].

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ МАРКОВА

Модели Маркова можно применять вразных контекстах. Даже для моделирования дрейфа генов между четырьмя нуклеиновыми кислотами: аденин (A), цитозин (C), тимин (T) игуанин (G). Если каждая нуклеиновая кислота имеет небольшую и одинаковую вероятность перейти водну изтрех оставшихся категорий, можно составить матрицу переходов для дрейфа. Модели Маркова можно также использовать для моделирования траекторий здоровья, представив состояния ввиде категорий здоровья, таких как отличное, среднее ислабое. Модель позволяет оценить, каким образом протоколы лечения, изменение поведения и оперативное вмешательство меняют вероятности перехода и распределение вероятностей по результатам. Меры воздействия, обеспечивающие более эффективные равновесия (когда больше людей имеют отличное здоровье), заслуживают реализации[6].

Модели Маркова также используются для выявления закономерностей вразвитии международных кризисов и различения переходов, ведущих квойне иведущих кмиру и компромиссам[7]. Эта сфера применения требует оценки двух разных моделей, водной изкоторых используются случаи, когда кризисы приводили квойне, а вдругой— когда урегулирование достигалось еще доначала войны. Если вэтих двух моделях вероятности перехода существенно отличаются, можно сопоставить существующие схемы (такие как бомбардировка, захват заложников, отказ отобмена пленными и усиленная демонстрация позиции) и посмотреть, какой процесс больше соответствует данным.

Использование моделей Маркова для различения стилей иобразцов позволяет урегулировать споры об авторстве. При наличии известных работ автора можно оценить вероятность того, что одно слово будет следовать задругим. Например, в английской версии этой книги слово the следует засловом for вчетыре раза чаще, чем слово example. Мымоглибы представить эту информацию ввиде вероятностей перехода вбольшой матрице. Матрица для этой книги выгляделабы иначе, чем для книги другого автора. Сконструировав отдельные матрицы переходов между словами для книг Мелвилла, Моррисона иМао Цзэдуна, мыбы увидели различия в их переходах между парами слов[8].

Такой метод позволяет использовать модели для установления авторства Federalist Papers («Записки федералиста»)— сборника из восьмидесяти пяти эссе, написанных в1787 и1788годах Александром Гамильтоном, Джоном Джеем иДжеймсом Мэдисоном сцелью убедить жителей Нью-Йорка в необходимости поддержать Конституцию США. Каждое эссе было подписано псевдонимом Публий. Хотя авторство большинства эссе установлено, несколько изних досих пор остаются предметом спора. Модель Маркова приписывает все спорные эссе Джеймсу Мэдисону[9]. Гамильтон или Джей моглибы ихнаписать,нотолько при условии, что писалибы их встиле Мэдисона. Аналогичный анализ четырех трактатов и двенадцати коротких эссе неустановленного происхождения, обнаруженных Арлин Саксонхаус, продемонстрировал, что как минимум три работы можно свысокой вероятностью приписать Гоббсу[10]. Вовсех этих случаях модель не обязательно дает правильный ответ, ноона порождает знания. Полагаясь насвою мудрость, мыможем решить, как оценить эту модель в сравнении сдругими моделями или интуицией.

Вкачестве примера последней области применения давайте посмотрим, как модели Маркова использовались для разработки исходного алгоритма PageRank отGoogle, вкорне изменившего поиск во Всемирной паутине[11]. Всемирная паутина состоит изсети связанных гиперссылками сайтов. Для оценки важности каждого сайта можно подсчитать количество ссылок ссайта и насайт. Всети сайтов, представленной нарис.17.3, сайты B,C иEимеют подве ссылки, A— одну, ауDнет ссылок. Этот метод позволяет получить приближенную оценку важности сайта, но унего есть недостатки. Усайтов B,C иE подве ссылки, носайт Eкажется важнее, чем B, учитывая его место всети.

Рис.17.3. Связи между сайтами во Всемирной паутине

Алгоритм PageRank рассматривает каждый сайт как состояние вмодели Маркова. Затем он устанавливает положительную вероятность перехода между двумя сайтами, если они имеют общую ссылку. Вэтот момент мы присваиваем одну итуже вероятность всем ссылкам, тоесть предполагаем, что пользователь, осуществляющий поиск вA, с одинаковой вероятностью перейдет насайт Bили E. Вслучае перехода насайт Eонбудет чередовать сайты C иEбесконечно. Апри выборе сайта Bонперейдет насайт C иснова начнет поочередно выбирать C иE. При этом создается впечатление, что сайты C иEнаиболее важны. К сожалению, эта модель не соответствует двум предположениям теоремы Перрона— Фробениуса. Система неможет перейти содного сайта налюбой другой: нет способа перейти ссайта C насайт D. Кроме того, вероятности перехода создают цикл между сайтами C иE.

Для того чтобы устранить обе проблемы, вGoogle прибавили небольшую случайную вероятность перехода содного сайта налюбой другой, как показано нарис.17.4. Теперь модель удовлетворяет всем предположениям теоремы иимеет единственно возможное статистическое равновесие, вкотором сайты можно ранжировать по их вероятностям. Пользователь, начинающий поиск ссайта A, вероятнее всего, попадет насайт Cили Eза несколько сеансов поиска. Оказавшись там, пользователь будет переходить содного сайта надругой, пока незайдет накакой-либо случайный сайт. Если он отправится насайт Aили D, путь назад ксайту C, скорее всего, будет пролегать через сайт Bили E. Отсюда следует, что усайта Bдолжен быть более высокий рейтинг, чем уAили D, новсе три сайта должны иметь малую вероятность. Именно это происходит врамках уникального статистического равновесия, показанного нарис.17.5. Усайтов A,B иDмало посещений, ноBсреди них наиболее посещаемый.

Рис.17.4. Добавление случайных перемещений между сайтами

Рис.17.5. Статистическое равновесие модели PageRank

Модель PageRank можно рассматривать как сочетание модели случайного блуждания имодели Маркова. Думая оPageRank как об алгоритме, мыначинаем понимать, что его можно использовать для составления рейтингов влюбой сети. Ввиде узлов можно представить бейсбольные или футбольные команды, а вероятности перехода могут обозначать процент времени, когда одна команда побеждает другую[12]. Если команды проводят только одну игру, вероятности перехода можно установить на основании отрыва от соперников. Итоговый рейтинг хотя и неявляется определяющим, дополняет субъективные экспертные оценки. Модель PageRank также можно использовать для вычисления важности видов спомощью данных опищевой сети[13].

РЕЗЮМЕ

Модели Маркова описывают динамические системы, перемещающиеся между состояниями в соответствии с фиксированными вероятностями перехода. Если исходить изтого, что процесс может перемещаться между любыми двумя состояниями и не порождает цикла, томодель Маркова достигает единственно возможного статистического равновесия. Вего рамках люди или объекты перемещаются между состояниями таким образом, что распределение вероятностей повсем состояниям неменяется. Отсюда следует, что помере приближения процесса к равновесию изменение вероятностей уменьшается. Если представить эту ситуацию ввиде графика, тонаклон кривой выравнивается. Вспомните, как мы обсуждали рост населения Калифорнии, когда изучали линейные модели. Он замедлился, потому что помере его увеличения росло число людей, которые уезжали изштата. Этот результат справедлив, даже если доля уезжающих калифорнийцев неменяется. При применении моделей Маркова для объяснения явлений или прогнозирования тенденций выбор состояний создателем модели критически важен. Отнего зависят вероятности перехода между состояниями. Марковская модель наркозависимости может предусматривать два состояния: употреблять наркотики и отказаться от наркотиков. Более сложная модель может различать наркоманов почастоте употребления наркотиков. Независимо отвыбора состояний, когда выполняются четыре предположения (а вданном случае ключевым критерием проверки будет то, остаютсяли вероятности перехода фиксированными), система образует уникальное статистическое равновесие. Любое однократное изменение системы производит неболее чем временный эффект. При наличии равновесия сокращение потребления наркотиков потребует изменения вероятностей перехода.

Придерживаясь тойже логики, можно сделать вывод, что однодневное мероприятие, которое подстегнет интерес к образованию, может неоказать значимого воздействия. Волонтеры, решившие убрать городской парк, создают нетак ужмного долгосрочных благ. Эффект отлюбого разового вливания денег, независимо отего размера, рассеется, если это неменяет вероятностей перехода. В2010году Марк Цукерберг пожертвовал 100миллионов долларов наразвитие государственных школ вНьюарке; такуюже сумму пожертвовали идругие доноры. Ноэто разовое вливание, составившее примерно 6000долларов наодного ученика, ощутимо неповлияло на академическую успеваемость[14].

Модели Маркова выступают вкачестве руководства кдействию, позволяя провести различие между мерами, которые меняют вероятности перехода и оказывают долгосрочный эффект, имерами, которые меняют состояние иимеют краткосрочные последствия. Если изменить вероятности перехода невозможно, тодля изменения результатов необходимо на регулярной основе выполнять перезагрузку состояния. Трудовая жизнь человека может создавать вероятности перехода, порождающие негативные психические состояния, такие как агрессия, нездоровое соперничество, стресс итак далее. Ежедневные физические упражнения, медитация или религиозные практики помогают перейти вболее благодарное, сострадательное и расслабленное состояние, скоторого следует начинать каждый день. Выходные выполняют аналогичную функцию, также как и регулярные романтические свидания супружеских пар. Оба способа накакое-то время выводят состояние человека из сложившегося равновесия.

Невсякая динамическая система удовлетворяет предположениям модели Маркова. Всистемах, этого неделающих, меры воздействия исобытия могут иметь долгосрочные последствия. Впроцессе Пойа результаты меняют долгосрочное равновесие. Серьезные меры воздействия или крупные потрясения всистеме могут изменить вероятности перехода идаже множество состояний. Важнейшие технологические достижения, такие как паровой двигатель, электричество, телеграф или интернет, меняют множество возможных состояний экономики. Политические и социальные движения, которые определяют новые права или создают новую политику, тоже меняют множество состояний. Следовательно, мыможем рассматривать историю как последовательность моделей Маркова, анекак единый процесс, движущийся к неизбежному равновесию.

Марковские модели принятия решений

Марковская модель принятия решений— это усовершенствованный вариант модели Маркова, включающий действия. Действие обеспечивает вознаграждение, которое зависит от состояния ивлияет на вероятности перехода между состояниями. Учитывая влияние действия на вероятности перехода, оптимальное действие невсегда максимизирует мгновенное вознаграждение.

Рассмотрим вкачестве примера студентов, укоторых есть выбор между двумя действиями: веб-серфинг или учеба. Интернет-серфинг всегда дает один итотже выигрыш. Учеба обеспечивает высокий выигрыш, если студент увлеченно учится, инизкий, если студенту скучно. Для того чтобы учесть влияние действий на вероятности перехода, предположим, что скучающий студент, просматривающий сайты в интернете, продолжает скучать, а увлеченный учебой студент, путешествующий по интернету, начинает скучать вполовине случаев. Студент, который усердно учится, имеет 75-процентную вероятность войти в состояние интеллектуальной увлеченности на протяжении следующего периода независимо отего нынешнего состояния.

Действия: веб-серфинг (U), учеба (S).

Состояния: скука (B), интеллектуальная увлеченность (E).

Структура вознаграждений:

	Скука (B)	Увлеченность (E)
Серфинг (U)	6	6
Учеба (S)	4	8

Матрица переходов:

	Скука (B)	Увлеченность (E)
Серфинг, скука (U,B)	1
Серфинг, увлеченность (U,E)	1/2	1/2
Учеба, скука (S,B)	1/4	3/4
Учеба, увлеченность (S,E)	1/4	3/4

Решение марковской задачи сводится кдействию, которое нужно предпринять вкаждом состоянии. Недальновидный наилучший ответ, скоторым мыуже сталкивались, подразумевает выбор действия, обеспечивающего максимальное вознаграждение вкаждом состоянии. Внашем примере это соответствует интернет-серфингу в состоянии скуки иучебе в состоянии интеллектуальной увлеченности.

Такое недальновидное решение приводит ктому, что студент впадает в состояние скуки. Как только это происходит, онвыбирает интернет-серфинг и продолжает скучать на протяжении всех оставшихся периодов. Таким образом, долгосрочное среднее вознаграждение равно 6. Решение, подразумевающее постоянную учебу, вводит студента в состояние интеллектуальной увлеченности в75процентах случаев и в состояние скуки в25процентах случаев. Это решение обеспечивает более высокий средний выигрыш, поскольку студент чаще находится в состоянии интеллектуальной увлеченности.

Как следует изэтого примера, предоставление выбора ввиде марковской задачи опринятии решений обеспечивает более эффективные действия. Сучетом последствий совершения действий втом или ином состоянии мыделаем более мудрый выбор. Сон допоздна приносит более высокое мгновенное вознаграждение, чем ранний утренний подъем и гимнастика. Покупка дорогого кофе дает более высокое вознаграждение, чем чашка кофе, приготовленного самостоятельно. Тем неменее в долгосрочной перспективе мыможем стать счастливее, занимаясь спортом иэкономя деньги накофе. Нужнали модель, чтобы прийти ктакому выводу? Мымоглибы вместо этого просто вспомнить стих 21:17 изКниги притчей Соломоновых: «Кто любит веселье, обеднеет; акто любит вино итук, не разбогатеет». Возможно, так оно иесть, ну аесли обратиться кКниге Екклесиаста (стих8:15): «Ипохвалил явеселье; потому что нет лучшего для человека под солнцем, как есть, пить и веселиться»? Уэтой фразы противоположный смысл. Включение вариантов выбора в марковскую модель принятия решений позволяет использовать логику, чтобы определить, какой разумный совет имеет смысл в конкретных условиях.

Мало кто понимает принципы, управляющие поведением систем.

Джей Форрестер

Вэтой главе мы рассмотрим модели системной динамики[1], которые анализируют системы с обратными связями и взаимозависимостями. Эти модели используются для моделирования экологических и экономических систем, цепей поставок и производственных процессов. Они улучшают нашу способность выстраивать и анализировать логические цепочки, содержащие положительную и отрицательную обратную связь. Модель системной динамики включает такие элементы, как источники, стоки, запасы, потоки, скорость и константы. Источники генерируют поток, входящий всистему. Стоки принимают входящие потоки. Запасы характеризуют значения накопленных всистеме величин, апотоки отражают обратную связь между уровнями запасов. Скорости и константы— это параметры потоков, которые могут быть фиксированными или меняться стечением времени.

Модели системной динамики могут включать как положительную, так и отрицательную обратную связь. Положительная обратная связь (такая как эффект Матфея, описанный вглаве6) возникает тогда, когда увеличение значения переменной (или атрибута) приводит кего дальнейшему увеличению. Успех порождает успех, продажи приводят к дополнительным продажам, а цитирование научных работ ипатентов повышает частоту цитирования.

Отрицательная обратная связь ослабляет тенденции. Следует избегать поспешных выводов изслова «отрицательный»: отрицательная обратная связь нередко обеспечивает требуемый результат. Она может предотвращать пузыри икризисы. Когда мыедим, наш мозг получает сигналы отом, что пора прекратить есть. Когда прибыль компании превышает нормальную экономическую отдачу, вигру вступают конкуренты, снижая эту прибыль и непозволяя компании впутывать вигру клиентов. Когда численность вида быстро увеличивается, его члены начинают бороться запищу, что снижает рост популяции. Вкаждом изэтих случаев отрицательная обратная связь способствует повышению устойчивости системы.

Модели системной динамики часто помогают установить причины сложности. Когда система содержит как положительную, так и отрицательную обратную связь, она может порождать сложность. Именно это происходит вигре «Жизнь», где существующие клетки пробуждают кжизни новые клетки, а переизбыток клеток приводит к ихсмерти.

Модели системной динамики, представляющие потоки иуровни запаса ввиде математических функций, можно откалибровать таким образом, чтобы они объясняли величину запаса за прошедший период, прогнозировали будущие значения и позволяли оценить эффект мер воздействия. Тогда ихможно использовать для объяснения, прогнозирования и совершения действий. Кроме того, модели системной динамики могут быть нетолько количественными, но и качественными. Мыможем обозначить каждую стрелку знаком «плюс» или «минус», чтобы внести ясность влогику системы[2].

Оставшаяся часть главы состоит изпяти смысловых блоков. Для введения терминов системной динамики мыпостроим качественную модель булочной. Затем сконструируем модель «хищник— жертва» наоснове уравнений Лотки— Вольтерры. Наша версия модели описывает взаимодействие между лисами изайцами ивключает как отрицательную, так и положительную обратную связь. Далее мы продемонстрируем, как спомощью моделей системной динамики можно прогнозировать формирование порочного круга, азатем расскажем о глобальной модели развития мировой экономики под названием «WORLD3» («Мир-3»). И в заключение поговорим отом, почему модели системной динамики часто дают парадоксальные результаты, что свидетельствует об ограниченности человеческого мышления иценности моделей как инструментов логических рассуждений.

ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛИ СИСТЕМНОЙ ДИНАМИКИ

Модель системной динамики включает такие элементы, как источник, сток, запас ипоток. Источник создает запас, тоесть объем или уровень той или иной величины. Поток описывает, как меняется уровень запаса. Сток принимает исходящий поток, поступающий иззапаса. Сток иисточник— это места для процессов, не включенных вмодель. Уровень запаса современем меняется в зависимости от источника ипотоков. Вмодели системной динамики парка развлечений, например, количество посетителей парка (запас) увеличивается помере прихода новых посетителей (источник). Темпы роста запаса могут, всвою очередь, зависеть отдругих параметров, таких как погода, количество рекламы или цена входного билета.

Вмоделях системной динамики используется система представления, показанная нарис.18.1. Вней источники истоки представлены ввиде облаков, запасы— прямоугольников, апотоки— стрелок сознаком «плюс» или «минус». Переменные потоки обозначены обращенными друг кдругу треугольниками, а постоянные потоки— рассеченными пополам стрелкой потока кружками. Стрелка сознаком «плюс» означает положительную обратную связь, когда большее порождает большее, астрелка сознаком «минус»— отрицательную обратную связь отодной величины кдругой.

Рис.18.1. Элементы моделей системной динамики

Для предварительного ознакомления сэтой темой сначала сконструируем базовую модель системной динамики булочной, состоящую из булочника, хлеба иклиентов. Булочник печет хлеб, аклиенты его покупают. Если скорость, скоторой булочник выпекает хлеб, превышает скорость, скоторой клиенты его покупают, запас хлеба увеличивается и накапливается вбулочной. Инаоборот: если скорость продаж превышает скорость, скоторой булочник выпекает хлеб, вбулочной постоянно будет нехватать хлеба. Для того чтобы сделать модель более реалистичной, разрешим булочнику корректировать скорость выпекания хлеба в зависимости отего запаса, как показано нарис.18.3, где представлен поток (стрелка) отзапаса хлеба кскорости его выпекания. Указанный возле стрелки знак «минус» означает, что скорость выпекания хлеба снижается помере увеличения его запаса. Если скорость корректировки установлена правильно, вмодели сформируется равновесие, при котором скорость выпекания хлеба будет эквивалентна скорости его покупки клиентами.

Рис.18.2. Модель системной динамики булочной

Рис.18.3. Более сложная модель булочной

Для того чтобы сделать модель еще реалистичнее, включим внее еще один запас (очередь), который равен количеству людей, ожидающих убулочной, атакже второй источник (потенциальные клиенты), добавляющий новых людей вочередь. Короткая исредняя очередь может привлечь клиентов, тогда как длинная— отпугнуть. Для того чтобы оценить переменное воздействие длины очереди наскорость потока, поступающего из источника, напишем знак «+/−» над стрелкой. Кроме того, поставим знак «плюс» над стрелкой, направленной оточереди кскорости, скоторой клиенты покупают хлеб, исходя изтого, что чем больше людей вочереди, тем быстрее они принимают решение.

Эту модель можно откалибровать в соответствии сданными. Скорость присоединения людей кочереди можно определить по еедлине. Кроме того, булочник может установить оптимальную скорость корректировки процесса выпекания в зависимости отзапаса хлеба идлины очереди. Это значение станет отправной точкой для поиска более подходящей скорости. Сам процесс описания модели полезен даже без калибровки. Булочник осознает важность длины очереди сточки зрения объема продаж.

МОДЕЛЬ «ХИЩНИК— ЖЕРТВА»

Далее рассмотрим модель «хищник— жертва»— экологическую модель, отражающую взаимосвязь между количеством зайцев (жертва) илис (хищник). Модель включает всебя две положительные (зайцы рождают зайцев, алисы— лис) иодну отрицательную (лисы поедают зайцев) обратную связь. Модель исходит из предположения, что когда численность популяции зайцев высокая, лисы производят больше потомства. Нарис.18.4 эти предположения представлены качественно, но неотражают количественной оценки соотношения. Судя порисунку, увеличение количества лисиц ведет к уменьшению числа зайцев, что, всвою очередь, приводит к уменьшению численности лисиц. Когда это происходит, зайцы начинают быстро размножаться, итогда количество лисиц опять повышается. Эта логика указывает на вероятность формирования цикла, аможет, и равновесия— точно определить невозможно.

Рис.18.4. Системная динамика модели «хищник— жертва»

Чтобы лучше понять суть происходящего, необходимо построить количественную версию модели, включив внее линейные потоки, зависящие отуровня запаса. При отсутствии лис количество зайцев растет с постоянной скоростью; при отсутствии зайцев количество лис сокращается с постоянной скоростью из-за нехватки пищи. Согласно модели, вероятность встречи зайца илисы пропорциональна количеству лисиц, умноженному на количество зайцев. Для того чтобы учесть тот факт, что при этом лисы едят зайцев, будем исходить изтого, что количество лисиц растет с постоянной скоростью, умноженной на произведение количества зайцев и количества лисиц, а количество зайцев сокращается с постоянной скоростью, умноженной наэто произведение. Полученные витоге уравнения известны как уравнения Лотки— Вольтерры.

Модель Лотки— Вольтерры

Экосистема состоит изHзайцев иFлисиц. Популяция зайцев растет со скоростью g, а популяция лисиц сокращается со скоростью d. При встрече зайцев илисиц зайцы погибают со скоростью a, алисицы размножаются со скоростью b. Наоснове этих предположений можно составить следующие дифференциальные уравнения[3]:

Эти уравнения имеют равновесие вымирания (F= H= 0), атакже внутреннее равновесие, представленное уравнениями 39.

Дифференциальные уравнения описывают, как численность зайцев илисиц меняется стечением времени. Когда уравнения равны нулю, количество зайцев илисиц неменяется исистема находится в равновесии. Одно из равновесий, равновесие вымирания, подразумевает полное отсутствие зайцев илисиц. Следовательно, модель прогнозирует, что при определенных условиях взаимосвязи между хищниками ижертвами приводят к вымиранию обоих видов. Это неможет происходить вовсех случаях, иначе напланете неосталосьбы никаких видов.

Внутреннее равновесие включает положительные числа лис изайцев. Внем количество лис увеличивается помере роста количества зайцев и сокращается, если каждое взаимодействие между лисой изайцем сокращает популяцию зайцев более быстрыми темпами. Оба результата интуитивно понятны. Если зайцы размножаются быстрее, система может поддерживать большее количество лис. Аесли каждой лисе требуется больше зайцев для поддержания жизни, система может поддерживать меньше лис. Оба результата согласуются снашими интуитивными выводами. Именно такой результат нам инужен: модели должны генерировать интуитивные выводы.

Вместе стем модели должны приводить и кменее интуитивным выводам, что они иделают, показывая, что равновесное количество лисиц вообще независит от ихуровня смертности. Если лисы умирают быстрее, равновесное количество зайцев увеличивается и у оставшихся лисиц образуется изобилие пищи, поэтому их численность растет быстрее, что уравновешивает более высокий уровень смертности лисиц.

Аналогичная логика применима к популяции зайцев. Равновесное количество зайцев независит оттемпов роста их численности или скорости ихпоедания лисами. Количество зайцев зависит отскорости вымирания лисиц и отскорости, скоторой лисы превращают зайцев вновых лисиц. Интуиция подводит нас втаких случаях, поскольку мы неможем продумать обратные связи доконца. Прямое следствие повышения темпов роста численности зайцев— больше зайцев. Косвенное следствие— больше лисиц, что означает меньше зайцев. Эти два следствия уравновешивают друг друга. Неинтуитивные выводы такого рода— отличительная особенность моделей системной динамики. Интуиция подводит нас, потому что мыслишком увлекаемся прямым следствием и не анализируем всю логическую цепочку. Даже если прямым следствием увеличения (сокращения) скорости или потока становится увеличение (или сокращение) запаса, наличие системных эффектов ввиде положительной и отрицательной обратной связи означает, что величина других запасов тоже изменится, азначит, чистый эффект от изменения скорости или потока может быть уменьшен, аннулирован или обращен вспять.

Спомощью математики можно доказать наличие двух равновесий для уравнений Лотки— Вольтерры. Но мы незнаем, какое изних наступит, если это вообще произойдет. Верно то, что, если модель начинается с равновесия, она внем и останется. Однако дозапуска модели мы небудем знать, что именно порождает уравнение— равновесие, цикл, хаос или сложность. Нам известно только то, что равновесие существует.

Имитационное моделирование этих уравнений порождает запаздывающие циклы. Сначала численность одного вида увеличивается, затем сокращается, а численность другого вида возрастает. Эмпирические исследования указывают на распространенность таких циклов. Нарис.18.5 отображено количество волков (хищников) илосей (жертв) наАйл-Ройал (острове длиной немногим более 72километров наозере Верхнем) запятидесятилетний период. Обратите внимание, что уровни видов хищников ижертв колеблются в зависимости от запаздывающих циклов. Представленные награфике структуры нестоль регулярны, как структуры, которые порождает модель, поскольку вмодель невключены такие факторы, как география, наличие других видов животных, различия впогодных условиях и гетерогенность впределах двух видов.

Рис.18.5. Волки илоси наАйл-Ройал, штат Мичиган (isleroyalewolf.org)

Анализ уравнений Лотки— Вольтерры подтверждает наше более раннее наблюдение относительно того, что мы недолжны путать существование равновесия сего достижением. Вданном случае система порождает циклы, а не равновесие. Вместе стем динамический процесс образует цикл врамках равновесия. Таким образом, равновесие позволяет определить среднее количество лисиц изайцев. Изэтого следует, что полученный ранее парадоксальный результат— то, что скорость роста численности лисиц (или зайцев) никак невлияет на их равновесный уровень,— сохраняет силу и вобщем случае.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМНОЙ ДИНАМИКИ КАК РУКОВОДСТВА КДЕЙСТВИЮ

Модели системной динамики могут включать петли (как положительной, так и отрицательной) обратной связи. Петли положительной обратной связи могут приводить к формированию добродетельных циклов, как вслучае, когда возросшее доверие между странами ведет к активизации торговли и сокращению военных расходов, азначит, и дальнейшему укреплению доверия. Петли положительной обратной связи могут также порождать порочные циклы. Уменьшение количества рабочих мест врегионе может снизить для людей стимулы овладевать профессиональными навыками, что, всвою очередь, побудит компании покинуть регион из-за нехватки квалифицированной рабочей силы, аэто еще больше снизит стимулы приобретать профессиональные навыки.

Модели системной динамики позволяют прогнозировать порочные циклы. В2008году в экономике многих стран наступил серьезный финансовый кризис. Когда цены активов резко снизились, банки свысоким уровнем задолженности оказались награни банкротства. Инвесторы и вкладчики начали беспокоиться о безопасности своих инвестиций. Некоторые страны, такие как США, страхуют банковские депозиты в определенных пределах, тогда как другие (в частности, Австралия) этого неделают.

Для предотвращения паники Австралия решила ввести страхование банковских вкладов. Напервый взгляд логика кажется вполне разумной: страхование вкладов предотвращает ихмассовое изъятие. Однако такое решение учитывает только часть системы, поэтому содержит фатальную ошибку, которая становится очевидной при построении модели системной динамики. Вмодели финансовой системы каждый банк (запас) имеет определенный уровень активов. Вкладчики вносят деньги вбанки иполучают доход. Заемщики используют эти деньги для инвестирования. Страхование банковских вкладов гарантирует вкладчикам, что деньги хранятся вбанке.

Кроме того, люди держат деньги нафондовом рынке и вфондах денежного рынка. Каждый тип инвестиций выступает вкачестве запаса. Как только мыначнем рисовать стрелки (потоки между прямоугольниками), ошибочность такой политики станет очевидной. Прямым следствием страхования банковских вкладов является повышение надежности банков, что делает банки более привлекательными (стрелка 1 нарис.18.6), нопри этом уменьшает привлекательность других типов инвестиций. Представьте, что выинвестор, укоторого есть деньги как вбанках, так и наденежном рынке в неспокойный период. Ваши банковские вклады теперь застрахованы, афонды денежного рынка— нет. Втакой ситуации кажется разумным увеличить банковские вклады (стрелка 2) иизъять инвестиции изфондов денежного рынка (стрелка 3).

Рис.18.6. Модель системной динамики финансовой системы

Итут образуется порочный цикл: сокращение объема инвестиций наденежных рынках делает ихболее рискованными. Повышение риска приводит к дальнейшему изъятию инвестиций изфондов денежного рынка, что создает петлю положительной обратной связи (цикл 4). Очередная волна изъятий еще больше повышает риск, который порождает очередную волну изъятий, что, всвою очередь, влечет засобой дальнейшее повышение риска. Создается впечатление, что такая политика неизбежно приведет ккраху отрасли денежных рынков, что, собственно, и произошло. Втечение четырех дней после введения страхования банковских вкладов правительство заморозило счета денежных рынков впопытке спасти отрасль отколлапса— решение, приведшее к катастрофическим последствиям. Миллионы пенсионеров, которые использовали деньги, снятые сэтих счетов, для оплаты продуктов питания, жилья идругих предметов первой необходимости, теперь немогли удовлетворить даже самые базовые потребности[4].

Хотя в ретроспективе этот порочный цикл кажется очевидным, нет никаких гарантий того, что даже еслибы австралийские власти построили модель системной динамики, тоони увиделибы последствия своей политики. Тем неменее процесс построения такой модели позволилбы обнаружить эффект страхования банковских вкладов врамках финансовой системы вцелом и, возможно, сделалбы очевидным вытекающий изэтого решения порочный цикл. Этот пример демонстрирует также ограниченные возможности данных. Данные оситуации вдругих странах моглибы указывать нато, что страхование депозитов стабилизирует финансовую систему. Однако вэтих странах страхование банковских вкладов вводилось не вовремя кризиса, азначит, ихопыт могбы ввести в заблуждение.

МОДЕЛЬ «WORLD3»

Теперь рассмотрим более сложную модель системной динамики, охватывающую мировую экономику. Эта модель, известная как «WORLD3», была создана в1970-х годах и прогнозировала коллапс мировой экономики, если правительства стран неизменят политику экономического роста иохраны окружающей среды[5]. Модель «WORLD3» включает множество взаимодействующих процессов, которые развиваются разными темпами врамках общей структуры, что позволяет лидерам стран отслеживать взаимозависимости[6]. Многие ведущие экономисты отвергают «WORLD3» как слишком сложную модель, не учитывающую рациональную реакцию экономических акторов.

Модель исходит из предположения, что численность населения иобъем производства ежегодно увеличиваются на фиксированный процент. Стечением времени земля истощается, численность населения превышает способность экономики производить достаточное количество товаров, и в результате мировая экономика потерпит крах. Этот прогноз напоминает зловещие предостережения Мальтуса почти двухсотлетней давности.

Модель содержит около 150 переменных, 300 уравнений и500 параметров, таких как коэффициенты рождаемости, темпы экономического роста и интенсивность землепользования. Для калибровки модели необходимо рассчитать скорость возрастания этих параметров наоснове данных. Модель «WORLD3» учитывает также взаимодействие между переменными, аэто подразумевает, что изменения в нескольких параметрах нередко приводят к нелинейным эффектам. Поэтому проверка устойчивости модели требует одновременного изменения пар итроек параметров. Пятьсот параметров означают более 120тысяч пар параметров иболее 20миллионов троек параметров— что слишком много для того, чтобы кто-то мог проанализировать последствия таких изменений.

Согласно прогнозу данной модели, численность населения должна сократиться к2100году до4миллиардов человек. Джон Миллер считает, что незначительное изменение всего двух параметров (таких как доля объема промышленного производства, которая приходится на потребление, и продолжительность репродуктивного периода женщин) почти удваивает прогнозируемую моделью численность населения, увеличивая этот показатель до7,4миллиарда человек. Столь существенное увеличение обусловлено положительной обратной связью. Более продолжительный репродуктивный период означает рождение большего количества детей, которым требуется больше еды. Увеличение доли объема промышленного производства, приходящейся напродукты питания, обеспечивает выживание большего числа детей. Увыживших женщин более продолжительный репродуктивный период, поэтому они рожают больше детей. Результат— активный рост численности населения[7].

Вывод обудвоении численности населения вследствие незначительного изменения параметров настораживает. Однако факт сильной зависимости результатов отзначений параметров нельзя считать недостатком модели. Напротив, модель разрабатывалась для использования вкачестве руководства кдействию, для определения эффективных политических мер. В частности, она указывает, что снижение коэффициента рождаемости (которое насамом деле произошло) должно замедлить рост численности населения. Кроме того, откалиброванная модель позволяет определить величину уменьшения прироста населения. Затем ееможно включить вансамбль моделей для составления более точных прогнозов.

Современем первоначальные прогнозы модели «WORLD3» стали менее точными— отчасти потому, что темпы роста населения замедлялись помере его увеличения. Эти прогнозы больше не соответствовали предположениям модели. Именно такую адаптивную реакцию предвидели экономисты[8]. Сторонники модели «WORLD3» принимают критику, нопри этом подчеркивают тот факт, что многие прогнозы модели, втом числе относительно экономического роста иобщей численности населения Земли, достаточно точны. Что касается снижения уровня рождаемости, сторонники модели «WORLD3» отмечают, что даже если она исыграла какую-то роль в собственном провале (другими словами, способствовала повышению осведомленности оперенаселенности иважности заботы об окружающей среде), тоони будут только рады, что ошиблись.

РЕЗЮМЕ

При построения модели системной динамики необходимо выбрать ключевые элементы (запасы), описать взаимосвязи между ними (потоки), азатем воспроизвести модель, чтобы определить последствия. Эти модели отличаются отмоделей Маркова тем, что вних происходит корректировка значений скорости (которые выступают вкачестве вероятностей перехода). Поэтому такая модель невсегда приводит к равновесию. Для того чтобы увидеть, что произойдет, необходимо применить модель. Кроме того, поскольку нам ненужно вычислять конечный результат, можно не беспокоиться о трактовке исходных предположений.

Модели системной динамики могут содержать множество переменных ивключать любой тип обратной связи между ними. Можно описать модель ибез обратных связей, ноесли вней есть прямоугольники, обозначающие запасы, создателю модели ничего неостается, как нарисовать между ними стрелки. Разработчик модели должен задаться вопросом: «Сколько еще переменных можно задействовать икак изменение ихзначений скажется на имеющейся модели?» Такая постановка вопроса может привести ксозданию еще более сложных моделей.

Подобная гибкость имеет свою цену: чем больше запасов ипотоков включается вмодель, тем менее понятной она становится. Искусство построения полезной модели системной динамики заключается в способности включить внее достаточно деталей, чтобы она помогала нам там, где нас подводит интуиция, но неслишком много, чтобы случайно не оказаться вмодели, запутанной неменее, чем реальный мир. Модели такого рода помогают обнаруживать нежелательные последствия и разрабатывать более эффективные политические меры. Как мыуже убедились, даже самые благие намерения (например, австралийская политика страхования банковских вкладов) могут привести к нежелательным результатам.

Модели системной динамики также показывают, как петли отрицательной обратной связи могут ограничить эффект предпринимаемых мер. Законы, требующие наличия в автомобилях систем безопасности (таких как антиблокировочная тормозная система или подушки безопасности), могут привести кснижению внимания зарулем. Расширение дорог может обусловить массовое переселение людей в пригороды, что повысит перегруженность транспортных магистралей. Снижение содержания никотина в сигаретах может привести ккурению большего числа сигарет. Разработка более эффективных методов лечения заболеваний, передающихся половым путем (таких как ВИЧ), может повысить частоту незащищенных половых контактов. Список можно продолжать[9]. В ретроспективе многие изэтих случаев отрицательной обратной связи кажутся очевидными, но предвидеть ихгораздо труднее. Сам процесс описания качественной модели системной динамики проливает свет натакие петли обратной связи ипомогает нам эффективнее мыслить.

Преимущество моделей системной динамики состоит втом, что они побуждают нас учитывать обратные связи. В1696году король Англии ВильгельмIII ввел налог надома сбазовой ставкой два шиллинга и дополнительным сбором в зависимости от количества окон: задом сболее чем десятью окнами платили еще четыре шиллинга, азадом сболее чем двадцатью окнами— восемь шиллингов. Король ввел налог наокна, потому что ихможно было без труда увидеть, измерить и соотнести со стоимостью дома. Еслибы король полагался наоценку стоимости домов, это привелобы к распространению фаворитизма и взяточничества. Налог наокна оказался настолько хорошей идеей, что на протяжении следующего столетия его ввели также воФранции, Испании и Шотландии, причем Франция отменила его (impôt sur les portes etfenêtres) только в1926году.

Как специалисты по модельному мышлению мыпонимаем, что целеустремленные илегко приспосабливающиеся люди должны были принять какие-то ответные меры наэтот налог. Иони действительно нашли массу способов его обойти. Некоторые заложили окна вуже построенных домах кирпичом. Архитекторы из-за налога изменили проекты домов. Вомногих построенныхвтот период домах представителей среднего класса спальни второго этажа вообще были без окон[10]. Объем налоговых поступлений сократился. Закон Кэмбелла снова вступил всилу: политики разработали меру воздействия, алюди нашли способ ееобойти. Более подробная модель системной динамики учитывалабы последствия уменьшения количества окон, включив стрелки отвеличины запаса (количества окон) ктаким характеристикам, как здоровье граждан, уровень которого снизилсябы из-за недостатка свежего воздуха исвета.

Большая ценность моделей системной динамики отчасти заключается в их способности помогать нам анализировать последствия наших действий. Вомногих случаях мыможем тщательно взвесить прямые следствия политических мер. Введение налога наокна приводит к увеличению доходов. Требование об установке антиблокировочных тормозных систем спасает жизнь людей. Хотя мы невсегда можем предвидеть каждое косвенное следствие (положительные и отрицательные обратные связи), модели помогают нам четче иглубже проанализировать последствия тех обратных связей, которые нам всеже удастся обнаружить.

Интеграция расовых, этнических идругих групп, представляющих значительные направления социального неравенства,— жизненно важный идеал для демократического общества.

Элизабет Андерсон

Вэтой главе мы рассмотрим модели порогового поведения. Оно возникает, когда люди меняют свои действия, если значение внешней переменной превышает или опускается ниже некоторого порогового уровня. В частности, пороговое поведение проявляется тогда, когда человек покупает пальто при падении его цены ниже 100долларов или присоединяется к общественному движению, когда число его членов достигает 1000 человек. Пороговое поведение интуитивно понятно илегко поддается анализу, нопри этом часто приводит к парадоксальным результатам— как вслучае, когда толерантность порождает сегрегацию. Пороговые модели нередко создают переломные моменты. Например, если решение человека присоединиться к общественному движению зависит от количества его членов, то помере присоединения кдвижению все большего числа людей общая численность его участников сбольшой вероятностью превысит порог присоединения других людей, что создаст переломный момент.

Представленные вглаве модели можно отнести к категории агентных моделей— компьютерных программ, моделирующих каждого агента в отдельности. Агентные модели допускают более высокий уровень детализации, чем модели системной динамики, вкоторых вся совокупность представлена ввиде одной переменной запаса. Агентные модели позиционируют агентов в пространстве имогут включать разнообразные модели поведения. Эта дополнительная степень свободы обеспечивает определенные преимущества, но мы недолжны забывать, что чрезмерная детализация может дискредитировать некоторые причины для построения моделей. Например, нецелесообразно моделировать каждый нейрон вголове человека при моделировании того, как люди решают, присоединитьсяли ккакому-то общественному движению. Оптимальный уровень детализации зависит отцелей модели.

Глава начинается санализа модели мятежа Грановеттера, азатем модели двойного мятежа, которая воспроизводит процесс развития стартапов. Затем следуют две модели сегрегации. Первая касается перемещений людей изкомнаты вкомнату вовремя вечеринки, а вовторой рассматривается сегрегация в масштабах крупных городов. Далее мы представим модель пинг-понга, которая включает отрицательную обратную связь иможет порождать цикл или равновесие, а вконце главы снова вернемся кигре «Жизнь» иувидим, как правило двойного порога образует сочетание положительной и отрицательной обратной связи. Положительная обратная связь порождает коррелированные линии поведения, а отрицательная их подавляет. Мытакже вернемся ктеме детализации модели.

МОДЕЛЬ МЯТЕЖА ГРАНОВЕТТЕРА

В пороговой модели человек совершает одно издвух действий в зависимости оттого, превышаетли агрегированная переменная пороговое значение или нет. Если да, человек совершает одно действие, если нет— другое. Наша первая модель описывает мятежи и общественные движения. В соответствии сней каждый человек решает, присоединиться кмятежу или воздержаться. Решение обычно зависит от количества протестующих. Пороговая модель незанимает стандартную позицию. Общественное движение или восстание может быть обоснованным протестом против тирана или футбольных фанатов, уничтожающих собственность. Модель применима вобоих случаях.

В модели мятежа каждому человеку присваивается определенный порог. Человек присоединяется кмятежу, когда количество его участников превышает этот порог[1]. Поначалу кмятежу присоединяются только люди снулевым порогом. Для целей нашего обсуждения мыбудем рассматривать скорее общественное движение, чем мятеж, поэтому вданном случае присоединение может означать сбор на центральной площади или шествие. Предположим, впервый день 200 человек снулевым порогом начинают движение. Навторой день эти 200 человек продолжают протестовать, и кним присоединяются те, чей порог участия ниже 200. Если количество таких людей достигает 500человек, то натретий день к протестам присоединяются люди спорогом выше 700— аэто может быть уже несколько тысяч человек.

Модель мятежа

Каждый изNчеловек под номером iимеет порог участия вмятеже T(i)∈{0, 1, …, N}. На первоначальном этапе кмятежу присоединяется любой человек снулевым порогом участия T(i)= 0. Значение R(t) равно количеству людей, присоединяющихся кмятежу вмомент времени t. Человек iучаствует вмятеже вмомент t, если T(i) < R(t− 1).

Анализ модели показывает, что разброс пороговых уровней имеет как минимум такоеже значение, что исредний порог. Мыпоймем, почему это так, сравнив три сценария формирования общественного движения сучастием 1000 человек. Согласно первому сценарию, все имеют порог 10, поэтому никакого общественного движения не возникает. Вовтором сценарии упяти человек порог 0, удесяти— порог 1, а увсех остальных— 20. Поэтому сценарию, вначале кдвижению присоединяются 5 человек, на следующий день— еще 10 человек. После этого не присоединяется никто. Втретьем сценарии каждый человек имеет уникальный порог в диапазоне от0 до999. Для удобства пронумеруем людей от0 до999 в соответствии с ихпорогами, тоесть учеловека сномером iпорог i. Запервый день присоединяется человек 0. Навторой день— человек 1. Натретий день— человек 2. Итак каждый последующий день дотех пор, пока количество участников движения не достигнет 1000 человек. Впервом сценарии самый низкий средний порог, но он неприводит к появлению общественного движения, поскольку ни укого нет нулевого порога. Согласно второму сценарию, у некоторых людей есть нулевой порог, но их количества недостаточно для формирования масштабного общественного движения. Итолько втретьем сценарии общественное движение получает широкое распространение.

Модель раскрывает важность распределения порогов, а нетолько среднего ихзначения и, соответственно, указывает на трудности прогнозирования того, какие общественные движения будут успешными. Она также может выступать вкачестве руководства кдействию, информируя революционеров, планирующих поднять восстание против тирана, отом, что для его начала им понадобится нетолько основная группа протестующих, но игруппа людей, которые их поддержат. Варианты модели мятежа можно применить ковациям стоя, изменению политических взглядов (признание прав гомосексуалистов), модным тенденциям (ношение галстуков-бабочек) ирыночной динамике (участие вфондовом рынке или впузыре нарынке недвижимости). Вкаждом изэтих случаев поведение людей можно примерно предугадать спомощью порогового правила, причем уразных людей разный порог. Вовсех этих ситуациях вероятность крупного события (будь томассовое движение или увлечение очками сболее толстой оправой) может втойже или вбольшей степени зависеть от распределения порогов, чем отсреднего значения порога.

СОЗДАНИЕ РЫНКА ИДВОЙНЫЕ МЯТЕЖИ

Модель мятежа можно расширить наинтернет-стартапы, создающие новые рынки покупателей и продавцов. Для создания нового рынка стартап должен сформировать совокупность покупателей и совокупность продавцов. Насайте, который помогает владельцам собак итем, кто занимается выгулом собак, должны зарегистрироваться как хозяева собак, так исобачьи няни. Аналогичные стимулы существуют идля сайтов, предлагающих такие услуги, как доставка посылок, транспортные перевозки иуборка домов иквартир. Успех каждого такого сайта зависит от формирования двух совокупностей, причем их численность должна расти примерно одинаковыми темпами— иначе либо продавцы, либо покупатели несмогут найти свою пару ииспытают разочарование. Другими словами, стартап должен организовать одновременный двойной мятеж.

Успешный стартап Airbnb— наглядный мини-пример двойного мятежа. Airbnb сводит людей, желающих сдать варенду дом, комнату или квартиру, слюдьми, которые ищут, где остановиться на непродолжительное время. Airbnb требовалось сформировать две группы: арендаторов и арендодателей. Люди, которые ищут сдаваемое варенду жилье, посетят сайт только при условии, что нанем есть широкий выбор объявлений осдаче жилья. Поэтому Airbnb было нужно, чтобы насайте зарегистрировались владельцы квартир, желающие сдать их варенду. Однако первые два запуска сайта Airbnb оказались неудачными. Размещение насайте объявлений осдаче жилья требовало определенных усилий— загрузки фотографий ипрочей информации. Но ни укого небыло особого стимула этим заниматься, пока насайте не сформировалась большая группа арендаторов.

Таким образом, Airbnb требовалось разместить достаточно объявлений осдаче жилья варенду, чтобы организовать мятеж среди арендаторов, тоесть привлечь их насайт. Кроме того, вAirbnb нуждались в достаточном количестве арендаторов, чтобы организовать мятеж среди арендодателей. Успех Airbnb зависел от пороговых значений этих двух групп. Сложнее всего было убедить людей размещать свои объявления насайте, поскольку это требовало дополнительных усилий. ВAirbnb решили эту задачу так: ходили подомам ипомогали людям это делать. Иоднажды все срослось: начался мятеж арендаторов, закоторым последовал мятеж арендодателей[2]. Компания добилась успеха, потому что ее основатели сумели привлечь оптимальное количество первых арендаторов, для того чтобы далее последовал двойной мятеж. Основатели Airbnb создали хвост, который начал вилять собакой.

ДВЕ МОДЕЛИ СЕГРЕГАЦИИ

Две следующие модели, разработанные Томасом Шеллингом, описывают сегрегацию. Разделение людей порасовому и этническому признаку происходит вразных масштабах. Мы разделены постранам ирегионам внутри стран. США— порайонам городов идаже постолам вшкольных столовых. Хотя эти факты можно истолковывать как свидетельство нетерпимости, такой вывод противоречит росту числа межрасовых и межэтнических браков. Как одни итеже люди, предпочитая нежить поблизости идаже необедать заодним столом с представителями других рас, могут при этом вступать сними вбрак?

Эти факты можно былобы объяснить, еслибы межрасовые браки заключались между представителями конкретных социальных классов. Ноэто нетак. Уровень дохода здесь нипри чем, а разделенные порасовому признаку столы можно встретить даже всамых элитных колледжах и университетах. Модели Шеллинга учитывают оба набора фактов, показывая, как толерантность людей может обусловить сегрегацию.

Первую издвух моделей, модель вечеринки Шеллинга, можно рассматривать как смешение модели случайного блуждания имодели мятежа. Модель описывает вечеринку, которая проходит вдоме сдвумя комнатами. Хозяева вечеринки пригласили гостей, которые зримо делятся надва типа. Это могут быть мужчины иженщины, чернокожие ибелые, испанцы и австралийцы, готы икачки. Ключевое предположение— каждый человек может определить тип любого другого человека.

Модель вечеринки Шеллинга

Каждый изNчеловек относится к различимому типу Aили B. Каждый человек в случайном порядке выбирает одну издвух комнат. Вкаждый момент времени человек переходит вдругую комнату с вероятностью p. Человек iимеет порог толерантности Ti ипокидает комнату, если вней процент людей его типа становится ниже этого порога.

Для того чтобы понять, как сегрегация возникает вопреки наличию толерантности, представьте себе вечеринку сучастием 20 австралийцев и20 бразильцев. Всем гостям свойственна толерантность икаждый будет оставаться вкомнате дотех пор, пока 25процентов присутствующих принадлежат ктойже этнической группе. Предположим, что сначала водной комнате находится 12 австралийцев и9 бразильцев, а вдругой 8 австралийцев и11 бразильцев. Никто несчитает нужным переходить вдругую комнату, однако между комнатами происходят случайные перемещения, меняющие процентное соотношение людей вкаждой комнате. В результате, как показано нарис.19.1, водной комнате оказываются 11 австралийцев итолько 4 бразильца. Эта конфигурация находится награни переломного момента: если кто-то из бразильцев выйдет изкомнаты, процент бразильцев упадет ниже 25, что заставит оставшихся бразильцев тоже покинуть комнату. Если это произойдет, бразильцы больше внее невойдут.

Рис.19.1. Конфигурация, близкая к возникновению сегрегации

Как отмечалось вописании модели случайных блужданий, одномерное случайное блуждание способно преодолеть любой порог. А количество австралийцев вкомнате иесть одномерным случайным блужданием. Поэтому, если вечеринка продлится достаточно долго, сегрегация неизбежна. Однако даже лучшие вечеринки столько недлятся, так что невсе заканчиваются сегрегацией. Мытакже знаем, что на вечеринках со множеством гостей вероятность сегрегации ниже, поскольку случайному блужданию требуется преодолеть гораздо более высокий порог. На вечеринке сучастием 1000 гостей, проходящей вдвух одинаковых комнатах, доля гостей любого типа врядли упадет ниже 25процентов. Это возможно на вечеринке сучастием 12 гостей. Стало быть, на небольших вечеринках следует ожидать более высокого уровня сегрегации.

Более высокого уровня сегрегации следует ожидать и вслучае, когда улюдей разные значения порога толерантности. Для того чтобы понять, почему, предположим, что на вечеринку приглашены 10 бразильцев и10 австралийцев, иприсвоим каждому изних порог толерантности в диапазоне от5 до43процентов таким образом, чтобы средний порог толерантности вкаждой группе составлял 25процентов, как показано нарис.19.2.

Рис.19.2. Перемещения, обусловленные неоднородностью порогов толерантности

Вкомнате слева находятся 5 бразильцев и4 австралийца, азначит, доля австралийцев ниже 45процентов, что заставляет наименее толерантного австралийца перейти вкомнату справа (обозначено стрелкой 1). Переходя вдругую комнату, он сокращает вней долю бразильцев, что вынуждает наименее толерантного бразильца перейти вдругую комнату (обозначено стрелкой2). Оба перемещения снижают долю австралийцев ниже 40% вкомнате слева, что вынуждает второго наименее толерантного австралийца следовать заним вкомнату справа (обозначено стрелкой 2). Далее следует каскад переходов. Тем неменее, как показано нарис.19.3, в результате невсегда наступает полная сегрегация, поскольку самые толерантные люди комфортно себя чувствуют влюбой комнате. Модель порождает два следствия разброса порогов: они делают перелом всторону сегрегации более вероятным, аполную сегрегацию менее вероятной, так как люди свысоким уровнем толерантности довольны пребыванием влюбой комнате.

Рис.19.3. Сегрегация, обусловленная неоднородностью порогов толерантности

Эта модель помогает объяснить различие в соотношении числа мужчин иженщин вразных профессиях— почему среди медсестер больше женщин, асреди менеджеров попродажам— мужчин. Такие различия могут быть обусловлены личными предпочтениями, номогут возникать ипотому, что некоторые люди предпочитают работать вместе с представителями тогоже пола. Эту ситуацию можно формально описать спомощью модели вращающейся двери, вкоторой делаются два основанных на эмпирических наблюдениях допущения: 1)женщины, которые уходят изодной профессии, выбирают новую профессию сбольшим количеством женщин; 2)женщины уходят из профессий чаще, чем мужчины[3]. Если женщины, занимающиеся науками ожизни, бросают медико-биологические исследования чаще, чем мужчины, и переходят наработу в те профессиональные области, где работает больше женщин, скажем всферу здравоохранения, то ихдействия усиливают гендерную сегрегацию вобеих профессиях.

МОДЕЛЬ СЕГРЕГАЦИИ ШЕЛЛИНГА

В модели сегрегации Шеллинга агенты размещены вразных точках географического пространства ввиде разделенной наклетки плоскости (шахматной доски). Вовсем остальном модель аналогична модели вечеринки. Вней выделено два типа людей иделается такоеже допущение в отношении поведения, как и вмодели вечеринки Шеллинга.

Рис.19.4. Исходная конфигурация вмодели сегрегации Шеллинга

Модель сегрегации Шеллинга

N человек, каждый изкоторых относится ктипу Aили B, в случайном порядке размещены на разделенной наквадраты плоскости размером M наM, где остается свободное пространство. Каждый человек iимеет порог толерантности Tiи перемещается на выбранное случайным образом новое место, если процент людей его типа навосьми соседних квадратах становится ниже его порога.

Если средний порог толерантности людей близок к50процентам, модель порождает сегрегацию, как показано нарис.19.5. Сегрегация возникает потому, что люди учитывают только окрестности, включающие максимум восемь соседей. Практически любая случайная исходная конфигурация содержит несколько человек, окруженных людьми другого типа. Если люди перемещаются вобласти сбольшим количеством людей тогоже типа, это может обусловить перемещение людей другого типа. Сегрегация наступает в результате накопления таких перемещений. Нет необходимости снова выстраивать цепочку логических рассуждений отом, почему разброс порогов усугубляет эти эффекты.

Рис.19.5. Конфигурация вмодели сегрегации Шеллинга, сформировавшаяся после перемещений

То, что толерантность людей может порождать сегрегированную структуру расселения, является базовой идеей основополагающего труда Томаса Шеллинга Micromotives and Macrobehavior40: то, что происходит на макроуровне, не обязательно напрямую связано с мотивацией индивидов на микроуровне.

ПОРОГОВЫЕ МОДЕЛИ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Наша следующая модель, модель пинг-понга, описывает пороговое поведение, порождающее отрицательные обратные связи. Вспомните отом, что отрицательная обратная связь может стабилизировать систему или, как мывидели вмодели «хищник— жертва», продуцировать циклы. Данная модель включает всебя конечное число объектов, которые могут быть людьми или механическими, биологическими и химическими устройствами. Втечение каждого периода каждый объект совершает либо положительное (+1), либо отрицательное (−1) действие. Впервом периоде каждый агент выбирает произвольное действие. Исходное состояние системы равно сумме этих действий. Все последующие состояния системы равны ее состоянию за предыдущий период плюс среднее всех действий и случайный член. Каждый объект имеет пороговое значение, взятое из распределения, ивыбирает действие, уменьшающее абсолютное значение состояния, если оно превышает его порог. Проще говоря, если значение состояния превышает порог объекта (на положительную или отрицательную величину), объект делает все возможное, чтобы уменьшить величину состояния.

Модель пинг-понга

Каждый объект в совокупности размером Nв случайном порядке совершает исходное положительное (+1) или отрицательное (−1) действие. Исходное состояние системы S0 устанавливается равным нулю. Все будущие состояния системы St равны среднему действию плюс случайная переменная:

Каждый объект iимеет порог отклика Ti > 0, выбранный равномерно из интервала [0, RANGE]. Объект выполняет тоже действие, что ираньше, если величина состояния|St| меньше его порога, и стремится к уменьшению величины состояния в противном случае.

Если|St|≤ Ti, Ai(t+ 1)= Ai(t).

В противном случае At(t+ 1)=−signSi(t), где εt выбрано случайным образом из множества {−1,+1}.

Существует множество сфер применения модели пинг-понга. Вот пример двух применений данной модели. Люди вкладывают время иресурсы в различные благотворительные проекты. Если какой-то благотворительный проект получает слишком много внимания или денег, люди могут переключиться надругие проекты, чтобы выровнять ихдоходы. Или, например, встране может находиться два объекта мирового наследия ЮНЕСКО, за состоянием которых следят волонтеры. Если наодном объекте слишком много волонтеров, некоторые могут перенаправить свою энергию надругой объект.

Как следует изсамого названия, модель пинг-понга может порождать циклическое поведение врамках равновесия. Водном периоде слишком много людей выбирают одно действие, а вдругом— другое действие. Когда все объекты имеют нулевой порог, они все выбирают действие «плюс один» (+1) впервый период идействие «минус один» (−1) в следующий период.

Для того чтобы проанализировать, почему отразброса порогов зависит, действуютли люди подобно шарикам для пинг-понга или находят равновесие, давайте рассмотрим три случая сучастием 100 человек. Впервом случае будем исходить изтого, что пороги равномерно распределены от0 до10. Если состояние впервом периоде равно−6, тоэто значение превышает порог примерно 60 человек. Около 30 изэтих 60 человек выполняют действие «плюс один» и переключаются надругие действия. Теперь сумма действий превышает 50, азначит, новое состояние системы (среднее состояний задва предыдущих периода) превышает 20. Это значение превышает все пороги, создавая эффект пинг-понга, показанный наверхнем графике нарис.19.6.

Рис.19.6. Временной ряд для модели пинг-понга втрех вариантах диапазона порогов

Если увеличить разброс порогов, сделав их равномерно распределенными в диапазоне от0 до100, эффект пинг-понга исчезнет. Чтобы понять, почему, предположим, что впервом периоде состояние равно−6, что всреднем отвечает порогу только шести человек. Если три человека изменят свои действия, состояние будет сходиться кнулю. Такое уменьшение отклонения отображено нанижнем графике нарис.19.6, который соответствует пороговым значениям в диапазоне от0 до100. Как и следовало ожидать, в промежуточном случае, когда пороги равномерно распределены в диапазоне от0 до60, имеет место более умеренный цикл, как видно насреднем графике. Таким образом, всистемах с отрицательной обратной связью разброс порогов обеспечивает стабильность, но оказывает противоположный эффект вмоделях с положительной обратной связью.

РЕЗЮМЕ: СТЕПЕНЬ ДЕТАЛИЗАЦИИ МОДЕЛИ

Базовая логика обратных связей довольно проста: положительная обратная связь активизирует действия, отрицательная— подавляет. Система столько положительными обратными связями либо взорвется, либо потерпит крах. Система столько отрицательными обратными связями либо стабилизируется, либо сформирует цикл. Система как с положительными, так и с отрицательными обратными связями может порождать сложность.

Вмоделях системной динамики обратные связи воздействуют на переменные величины запаса (количество зайцев) искорость (повышение частоты покупок вбулочной). Вагентных моделях (таких как пороговые модели) обратные связи являются следствием отдельных действий. Модели сболее высоким уровнем детализации могут включать диапазон порогов, что усиливает эффект позитивной обратной связи и ослабляет эффект негативной обратной связи. Разброс вхвосте кривой распределения делает мятежи более вероятными. Разброс порогов толерантности усиливает сегрегацию. Разброс ответных реакций всистемах с отрицательной обратной связью прекращает большие колебания, возникающие вслучае однородных обратных связей. Вмоделях экономической конкуренции между компаниями неоднородные издержки производства могут выполнять аналогичную функцию. Ответная реакция компаний на повышение или падение цен зависит отразличий в издержках[4].

Разница между двумя типами моделей поднимает вопрос остепени детализации. Следуетли вводить переменную (или прямоугольник) под названием «зайцы» и описывать, как популяция зайцев увеличивается или сокращается в зависимости отдругих переменных, или целесообразнее смоделировать каждого зайца в отдельности? Дезагрегирование переменных повышает точность описания, однако модели оценивают не поэтому критерию. Вспомните утверждение Бокса отом, что все модели неправильны, атакже карту Борхеса, составленную вреальном масштабе. Многие создатели моделей, включая Эйнштейна, придерживаются мнения, что следует искать оптимальный уровень детализации. Например, вописание модели, объясняющей, какой силой обладает рука человека, нет необходимости включать ДНК.

Для изучения социальных систем может не существовать идеального уровня. Возможно, такие системы понадобится исследовать на нескольких уровнях детализации. Построение ряда моделей сосвоим уровнем детализации позволяет организовать между ними диалог. Если мыпытаемся разобраться в структуре торговли между Швецией и Финляндией, можно начать с представления этих двух стран вкачестве переменных и определить широкие макроструктуры. Далее мымоглибы разделить импорт иэкспорт каждой страны поотраслям, азатем по компаниям внутри этих отраслей. Данные поотраслям позволят лучше объяснить структуру торговли за прошедший период исделать более точные прогнозы набудущее. Более глубокий анализ данных по компаниям, работающим в соответствующих отраслях (втом числе информация о структуре издержек и направлениях развития), позволилбы получить еще более весомые результаты, нодля этого понадобится большой объем информации для построения полезной модели стаким количеством динамичных элементов. Можно даже смоделировать структуру руководства вэтих компаниях. Скорее всего, это непринесет особой пользы, однако может выявить, что некоторые руководители придерживаются экспансионистской стратегии.

Вобщем случае более высокая степень детализации— это невсегда хорошо, поскольку модели могут включать слишком много деталей. Нодаже когда мыможем понять излишне подробные модели, мы выигрываем от построения более приближенных моделей как элемента сравнения. При сопоставлении различий в прогнозах, объяснениях и рекомендациях пополитике, составленных спомощью этих моделей, мыможет отследить, как исходные допущения влияют на результаты, что позволяет определить условия, при которых эти допущения выполняются. Следовательно, модели должны отличаться нетолько по переменным, которые они содержат, но и постепени дезагрегации этих переменных.

Алгоритмические мятежи

Модели мятежа ипинг-понга помогают лучше понять причины биржевого краха иотскока цен. Здесь мы рассмотрим два показательных случая. Первый произошел в понедельник, 19октября 1987года, когда индекс промышленных акций Доу-Джонса упал на22процента. На следующий день этот обвал вызвал резонанс вовсем мире. Причины краха анализируют досих пор. Втот период экономика США переживала четвертый год подъема. Запервых восемь месяцев года индекс промышленных акций Доу-Джонса вырос на40процентов. Несмотря на, аможет, и попричине столь стремительного роста многие считали курс акций завышенным. В воскресенье накануне биржевого краха министр финансов США Джеймс Бейкер пригрозил ослабить доллар, если Германия неснизит тарифы. Нотогда этот комментарий невызвал особого интереса. На следующий день рынок рухнул, ачерез четырнадцать месяцев вернулся впрежнее состояние.

Для того чтобы применить эти модели, представим весь рынок ввиде одного финансового актива. Допустим, каждый владеющий этим активом человек имеет определенный порог обвала. Если втечение дня цена актива падает ниже порога обвала, инвестор продает актив ивыводит свои деньги срынка. Это правило описывает поведение трендовых ишумовых трейдеров исоздает один из вариантов модели мятежа. Предположим, что утром 19октября определенный процент инвесторов решили продать значительный объем активов иэто вызвало падение рынка. Если оно превысило порог обвала других инвесторов, они тоже продадут свои активы, из-за чего образуется спираль снижения цен. В результате формируется классическая петля положительной обратной связи: продажа активов приводит кснижению цен, что обусловливает дальнейшую продажу активов.

Теперь проанализируем информацию, полученную спомощью модели пинг-понга. Если цены падают слишком низко, некоторые инвесторы применяют другое правило, правило порогового значения выгодной цены. Согласно ему человек покупает активы, если цена падает ниже этого значения. Вданном случае инвестор действует сучетом стоимости, а нетрендов. Когда цены резко падают, пороговое значение выгодной цены создает отрицательную обратную связь. Покупатели спешат купить активы повыгодной цене, что останавливает падение цен.

Реальные рынки гораздо сложнее, чем наша простая история о продавцах с пороговыми ценами и покупателях, ждущих своего часа. Нафондовом рынке работают разные трейдеры, втом числе крупные учреждения, пенсионные фонды, правительства зарубежных стран, страховщики портфелей, спекулянты имелкие инвесторы[5]. При таком разнообразии кто-то почти всегда готов покупать активы вслучае падения цен, что порождает отрицательную обратную связь, необходимую для стабилизации рынка.

Первоначальный анализ биржевого краха 1987года указывал наширокое распространение программного трейдинга. Речь идет о пороговых правилах, закодированных в компьютерных программах. Такие правила (например, «Продать все акции, если рыночный индекс упадет ниже установленной цены») выполнялись автоматически, без участия человека. Сегодня большинство аналитиков убеждены, что программный трейдинг способствовал наступлению биржевого краха 1987года, но небыл его основной причиной. Более детальный анализ краха 1987года показал, что большое количество страховщиков портфелей (трейдеров, которые гарантируют инвесторам определенную доходность инвестиционных портфелей) создали сильные положительные обратные связи, которые небыли смягчены отрицательными обратными связями. После падения рынка страховщики портфелей начали продавать акции, чтобы предотвратить убытки. И помере дальнейшего обвала продавали все больше акций. Посути, они действовали так, будто представляли группы людей сразными порогами. Один страховщик продал акций наболее чем миллиард долларов. Для того чтобы оценить происходящее вболее широком контексте, обратите внимание натот факт, что только заодин день было продано акций насумму 20миллиардов долларов.

Второе крушение фондового рынка, известное как «мгновенный обвал», произошло 6мая 2010года, когда индекс промышленных акций Доу-Джонса упал на5процентов затри минуты. Это событие стало результатом алгоритмического трейдинга. Учитывая сложность искорость современных финансовых рынков, никто точно незнает, что именно послужило причиной столь мгновенного обвала. Известно только, что один крупный взаимный фонд разместил огромный приказ напродажу, в результате чего фьючерсные сделки сакциями насумму 4миллиарда долларов наводнили рынок, накотором действовали алгоритмы высокочастотного трейдинга, пытающиеся использовать выгодные сделки. Эти алгоритмы обнаружили ценовой тренд иначали исполнять сделки с головокружительной скоростью. Это можно представить как скоростную модель мятежа. Витоге нарынке сложилась нездоровая ситуация: трейдеры заволновались, что крупные институциональные инвесторы знают то, чего незнают они, поэтому покинули рынок[6]. Многие алгоритмы прекратили трейдинг, учитывая аномальное поведение рынка, тогда как другие продолжали продажу, что привело кобвалу, наступившему буквально запару минут. Втечение двадцати минут начали действовать правила выгодной цены и, как и предсказывала модель пинг-понга, цены вернулись (почти) кпрежнему уровню.

Мысчитаем, что если вам нужно спрашивать своих пользователей, что выпродаете, значит, высами незнаете, что продаете, иэто врядли останется незамеченным.

Марисса Майер

Вэтой главе мы рассмотрим модели индивидуального выбора альтернатив, представленных их характеристиками (атрибутами). Эти модели разрабатывались для описания потребительского выбора. Человек при покупке дома учитывает его площадь, количество спален, ванных комнат икачество строительства. Такие модели также помогают деканам приемных комиссий колледжей делать выбор среди абитуриентов, менеджерам понайму персонала— среди претендентов на вакантные должности, а избирателям— среди кандидатов. Декан приемной комиссии анализирует результаты отборочных тестов будущих студентов, ихсредний академический балл и пройденные факультативы. Избиратель оценивает кандидатов на основании ихпозиции повопросам образования, инфраструктуры, преступности иналогов. Эти модели нетолько помогают понять суть индивидуального выбора, но ипоясняют, почему онименно такой— например, почему унас столь широкий ассортимент готовых зерновых завтраков.

В рассматриваемой нами модели мыбудем называть одни атрибуты пространственными, адругие гедоническими41. Пространственный атрибут, такой как цвет куртки или толщина куска хлеба, неимеет конкретного наибольшего значения. Каждый человек предпочитает определенную величину соответствующей характеристики: улюбителя свиных ребрышек есть предпочтительное сочетание специй, а у горнолыжника-любителя— предпочтительный угол спуска посклону. Модель основывается на допущении, что чем ближе свойства продукта к идеальной точке человека, тем больше человек ценит этот продукт. Но уразных людей разные идеальные точки: одному человеку нравятся более острые свиные ребрышки, адругой предпочитает более мягкий вкус.

Вслучае гедонических характеристик, чем больше (аиногда чем меньше) ихвеличина, тем лучше. Люди предпочитают смартфоны с аккумуляторами большей емкости, обувь сболее прочной подошвой и автомобили сменьшим расходом бензина. Цвет автомобиля— это пространственный атрибут, арасход бензина— гедонический.

Вэтой главе мыбудем исходить из предположения, что люди выбирают ту альтернативу, которая представляет для них наибольшую ценность. Исделаем это попричинам, упомянутым вглаве4, посвященной моделированию человеческого поведения: рациональное поведение выступает вкачестве эталона, аналитически разрешимо, дает уникальный прогноз и соответствует эмпирическим наблюдениям, когда ситуация повторяется, аставки высоки.

Модели пространственной и гедонической конкуренции широко используются в экономике и политологии— отчасти из-за возможности включить вних данные[1]. Вэтой главе выполучите представление об их применимости. Сначала мы рассмотрим пространственную модель продуктовой конкуренции. Затем применим ее кполитике ипокажем, как ееможно использовать для анализа эффекта статус-кво, силы повестки дня ивлияния вето-игроков42. Далее опишем модель гедонических атрибутов и гибридную модель для более глубокого понимания сути ценовой конкуренции и параллельно продемонстрируем, как ввести данные вмодели, чтобы определить позицию кандидатов исудей наоснове их голосования по законопроектам исудебным делам исделать выводы об имплицитной стоимости атрибутов, неимеющих рыночной цены, таких как более чистый воздух или более короткая дорога наработу[2].

МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ

Модель пространственной конкуренции описывает альтернативы, представленные совокупностью характеристик (атрибутов), и потребителей со свойственными им идеальными точками. Простейшая версия модели анализирует продукты содним атрибутом. В оригинальной пространственной модели Хотеллинга имявляется географическое местоположение[3].

Модель Хотеллинга включает совокупность расположившихся вдоль пляжа потребителей (представлены кружками нарис.20.1) идвух продавцов мороженого (обозначены символами A иB). Каждый клиент покупает одну пачку мороженого у ближайшего продавца. Точка раздела находится наравном расстоянии отдвух продавцов и определяет, кто укого покупает мороженое. Семь потребителей слева отточки раздела покупают упродавца A, ашесть потребителей справа отточки раздела покупают упродавца B.

Рис.20.1. Географическая модель Хотеллинга, описывающая продавцов мороженого напляже

Учитывая тот факт, что потребители предпочитают товары, которые продаются ближе, мыможем более абстрактно интерпретировать расстояние. Например, можем представить, что продавцы мороженого находятся водном месте, но предлагают мороженое сразным процентом жирности. Тотже рисунок может отражать информацию отом, что продавец Bпредлагает более сливочный продукт, чем продавец A. Вэтой интерпретации местоположение потребителей— это не их физическое место напляже, а предпочтительная жирность мороженого.

Вэтом случае также можно применить многомодельное мышление и использовать этуже модель для анализа политической конкуренции. Вмодели Даунса географическое пространство Хотеллинга представлено как идеологический континуум отлевых доправых сил. Мыможем видоизменить рис.20.1 так: продавцу Aсоответствует либеральный политический кандидат, продавцу B— более консервативный, акружки обозначают идеологические идеальные точки избирателей. Расширяя аналогию дальше, будем исходить из допущения, что избиратели предпочитают ближайших кандидатов.

Смещение акцента с географического местоположения компаний исвойств продуктов на политическую идеологию подразумевает переход от физических характеристик, таких как место ипроцент жирности, кболее абстрактной концепции идеологии. Существуют четкие критерии оценки физических характеристик, однако определение идеологических позиций требует конкретного способа преобразования действий кандидатов вцифры. Если есть документы с информацией о голосовании кандидатов, мыможем установить их идеологическую позицию, сначала собрав данные отом, зачто они отдавали свои голоса. При этом следует исключить все голосования повопросам, не содержащим идеологической составляющей, как вслучае единодушногоголосования завведение национального Дня молока или чего-то вэтом роде. В остальных случаях можно определить позицию кандидата как либеральную или консервативную, опираясь намнение экспертов. Пространственное расположение кандидата в интервале значений можно представить ввиде процента случаев, когда онголосует в соответствии с консервативной позицией[4]. Кандидата, который всегда занимает консервативную позицию, следует разместить украйнего правого края интервала. Кандидата, который голосует как консерватор икак либерал в соотношении 50 на50, необходимо расположить вцентре.

Эта модель позволяет оценить истинность утверждений отом, что идеологические различия между американскими политическими партиями становятся все более заметными, очем говорят эмпирические данные. Одно исследование, результаты которого представлены нарис.20.2, указывает на усиливающуюся поляризацию средних идеальных точек вкаждой партии. Это не доказывает, что поляризация усилилась, но свидетельствует отекущем процессе. Результаты исследования также показывают, что позиция республиканцев смещается вправо.

Рис.20.2. Усиление идеологической поляризации в Конгрессе США

УВЕЛИЧЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА АТРИБУТОВ

Общая модель пространственной конкуренции включает произвольное количество атрибутов. Диван может быть представлен физическими параметрами: длина, ширина, глубина, тип конструкции итип обивки. Ценность (полезность), которую потребитель получает отпродукта, зависит от расстояния этого продукта до идеальной точки потребителя покаждому параметру. Мыможем записать эту функцию ценности как постоянная минус расстояние между альтернативой и идеальной точкой[5].

Модель пространственной конкуренции

Альтернатива состоит изNпространственных атрибутов: .

Человек представлен идеальной точкой: .

Выигрыш (полезность) альтернативы для человека составляет:

где C— константа.

Пример:

Вобщей модели пространственной конкуренции два шоколадных батончика можно представить спомощью процентного содержания вних какао исахара (как показано нарис.20.3). Вкачестве линии раздела выступает серединный перпендикуляр клинии, соединяющей оба продукта. Потребители с идеальными точками слева отлинии раздела предпочитают батончик A, а потребители справа— B[6].

Рис.20.3. Продуктовые характеристики двух шоколадных батончиков илиния раздела

Эта модель может описывать любое количество продуктов. Чтобы включить внее третий шоколадный батончик, добавим еще одну точку в пространстве характеристик. Затем, чтобы определить, какой шоколадный батончик будут покупать потребители, начертим дополнительные линии раздела, как показано нарис.20.4. Полученная совокупность линий раздела делит пространство идеальных точек натри области (известные как окрестности Вороного), которые разбивают пространство идеальных точек на основании их расстояния до продуктов.

Рис.20.4. Пространственная модель, включающая всебя три продукта (окрестности Вороного)

ДАУНСОВСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ

Теперь используем модель пространственной конкуренции для описания позиционирования кандидатов. Для этого предположим, что кандидаты добиваются голосов избирателей идля них крайне важна победа навыборах. Начнем спримера, позволяющего получить представление омотивах кандидатов. Нарис.20.5 представлены два сценария сучастием тринадцати избирателей идвух кандидатов. Вспомним, что избиратели предпочитают ближайшего кандидата. Наверхнем рисунке либеральный кандидат, обозначенный символом L, получает пять голосов, а консервативный, обозначенный символом R,— восемь. Нанижнем рисунке либеральный кандидат перемещается вцентр, получает голоса семи избирателей и выигрывает выборы.

Рис.20.5. Перемещение партии вцентр ради победы ввыборах

У либерального кандидата есть стимул переместиться вцентр. Согласно тойже логике, и у консервативного кандидата тоже. Консервативный кандидат может двигаться влево, по-прежнему оставаясь справа отL, итоже победить. Если продолжить логические построения, то либеральный кандидат Lможет занять позицию еще ближе к идеальной точке медианного избирателя. Следуя далее этой логике, мыувидим, что кандидаты должны сойтись вэтой точке. Такой результат известен как теорема о медианном избирателе.

Утеоремы о медианном избирателе есть строгая именее строгая интерпретация. Строгая интерпретация подразумевает, что кандидаты занимают идентичные позиции в идеальной точке медианного избирателя, что явно не соответствует эмпирическим данным. Согласно менее строгой интерпретации, у кандидатов есть стимулы перемещаться всторону умеренных позиций. Эмпирические данные подтверждают, что в действительности именно так иесть. Вовремя выборов кандидаты смещаются кцентру, однако такое перемещение недолжно происходить поспешно. Кандидаты, имеющие идеологические убеждения или активную поддержку наиболее радикальных ключевых сторонников, весьма осмотрительно меняют свои позиции.

Модель сводит каждого кандидата икаждого избирателя кодной идеологической точке. Чешский писатель иполитик Вацлав Гавел возражает против одномерных идеологических прогнозов: «Неприкаянному человеку она[идеология] предлагает легкодоступное убежище: достаточно принять эту идеологию— ивсе опять становится ясным, жизнь наполняется смыслом, отступают неясные вопросы, беспокойство и одиночество. Однако заэто дешевое убежище человеку приходится дорого платить— отречением от собственного разума, совести и ответственности, а неизбежным следствием принятия этой идеологии будет делегирование разума исовести вышестоящим»[7]. Гавел прав. Мы недолжны отрекаться отразума ради идеологии. Модели предоставляют нам инструменты, позволяющие более эффективно мыслить, ипомогают понять, почему политики действуют именно так, а неиначе. Используя данные, мыможем определить достоверность расположения каждого политика в интервале «левые–правые». Политика, который всегда занимает умеренную позицию, можно поместить посредине этого интервала свысокой степенью достоверности.

Кстати, утверждение Гавела отом, что человека нельзя свести кодной точке, можно проверить наоснове данных. Если оно верно, тоесть определить идеологию политика по результатам его голосования невозможно, нам нет необходимости отбрасывать эту модель. Неопределенность в отношении идеологии Гавела можно представить, присвоив ему интервал, а неточку. Или сконструировать временной ряд его фактической идеологии, чтобы проверить, остаетсяли он последовательным. Анализ идеологических позиций членов Верховного суда США указывает нато, что чем больше времени некоторые судьи находятся насвоих должностях, тем либеральнее становятся ихвзгляды[8].

Инаконец, можно увеличить размерность модели. Двумерная модель позволяет провести различие между социальной и фискальной политикой. Она описывает действия политика, который занимает либеральную позицию повопросам социальной политики и консервативную— повопросам фискальной политики. В Конгрессе США одномерная модель объясняет примерно 83процента разброса голосов. Включение второго измерения добавляет всего 4процента[9].

Дополнительные измерения нетолько позволяют точнее моделировать предпочтения, но именяют наши теоретические выводы. Начнем с двумерной модели. Как показывает анализ одномерной модели, когда кандидат незанимает среднюю позицию ни поодному вопросу, другой кандидат может выиграть выборы, если займет туже позицию, что ипервый кандидат, поодному вопросу (там самым делая этот вопрос неактуальным), исреднюю позицию повторому вопросу. Аналогично, если один кандидат занимает среднюю позицию только поодному вопросу, товторой кандидат может занять среднюю позицию пообоим вопросам ивыиграть выборы. Следовательно, единственная позиция, вкоторой у кандидата есть шанс избежать поражения,— двумерная медиана. Нарис.20.6 показано, как победить двумерную медиану, представленную кружком. Если кандидат, обозначенный квадратом, занимает позицию слева попервому вопросу ипозицию справа повторому, возникает линия раздела, благодаря которой онвыиграет, набрав три голоса.

Рис.20.6. Двумерная медиана проигрывает сопернику

Этот пример позволяет интуитивно понять, что данная двумерная медиана будет непобедима только тогда, когда идеальные точки избирателей расположатся таким образом, что ихменьшая часть будет лежать вовсех направлениях отмедианы,— условие, которое называется радиальной симметрией. Условие радиальной симметрии будет удовлетворено, если идеальные точки избирателей равномерно распределятся повсему диску или квадрату, что маловероятно. Вывод отом, что любая позиция может быть побеждена, известен как вывод Плотта об отсутствии победителей. Онверен вслучае двух иболее измерений[10].

Разница в результатах, полученных спомощью этих моделей, очевидна. Одномерная модель подразумевает, что кандидаты должны располагаться в медианной точке. Многомерные модели говорят отом, что этого делать нестоит. Так какого типа моделям верить? Мы недолжны полностью верить ниодной модели, нопонять обязаны обе. Одномерная модель указывает нато, что у кандидатов, заинтересованных вголосах избирателей, есть серьезный стимул ксмещению всторону умеренной политики. Многомерные модели демонстрируют ограниченность таких стимулов. Ниодна позиция не гарантирует победы, поэтому ожидать равновесия нестоит. Вместо этого следует ожидать сложности— бесконечной борьбы заголоса избирателей посредством создания коалиций[11].

ЭФФЕКТ СТАТУС-КВО, КОНТРОЛЬ ПОВЕСТКИ ДНЯ ИВЕТО-ИГРОКИ

Даунсовскую модель можно также применять как инструмент интерпретации идеологических аспектов законопроектов, принятых комитетами, советами, законодательными органами и президентскими системами. Здесь опятьже важно отобразить законодательные акты втомже идеологическом измерении, что ичлены комитета. Мы проанализируем три стратегических эффекта: влияние проводимой политики (эффект статус-кво), сила контроля над повесткой дня иэффект включения игроков, обладающих правом вето.

Рассмотрим пример сучастием комитета изтрех человек с идеальными точками 40, 60 и80, вкотором члену комитета с идеальной точкой 40 предстоит предложить политический курс, требующий одобрения большинством голосов. Нарис.20.7 отображено влияние эффекта статус-кво на окончательный выбор курса. Если статус-кво находится вточке 80, автору предложения необходим закон, которому медианный участник голосования (член комитета с идеальной точкой 60) отдаст предпочтение перед статус-кво. Вданном случае медианный участник голосования примет предложение вточке 40 (идеальной точке члена комитета, выдвинувшего это предложение), поскольку оно ничем нехуже статус-кво[12]. Если сместить статус-кво вточку 70, медианный участник голосования отклонит предложение с идеальной точкой 40. Член комитета, который его внес, должен предложить курс с идеальной точкой 50. Инаконец, если статус-кво находится в идеальной точке медианного участника голосования 60, автор предложения неимеет никакой власти. Таким образом, можно сделать вывод, что автор предложения обладает наибольшим влиянием, когда статус-кво имеет предельное значение.

Рис.20.7. Влияние статус-кво на окончательный выбор курса

Этот вывод актуален влюбом контексте, где люди голосуют, а ихмнение можно отобразить водном измерении. Руководитель некоммерческой организации, предлагающий членам совета директоров увеличить расходы на программу строительства доступного жилья, почти неимеет силы повестки дня, если нынешний уровень расходов соответствует пожеланиям медианного члена совета директоров. Глава организации может обладать такой силой, если проводимая политика неотвечает идеалу этого члена совета директоров.

Для того чтобы продемонстрировать силу внесения предложений, давайте рассмотрим случай, когда статус-кво находится вточке 70, как показано нарис.20.8. Наверхнем рисунке отображен предыдущий случай, где автор предложения имеет идеальную точку 40 и предлагает курс вточке 50. Насреднем рисунке представлен случай, вкотором медианный участник голосования может предложить свою идеальную точку 60 иполучить голос члена комитета вточке 40. Нижний рисунок отражает случай, когда автор предложения имеет идеальную точку 80. Он неможет предложить курс, которому ион, и медианный участник голосования отдалибы предпочтение перед статус-кво, поэтому принимает статус-кво.

Рис.20.8. Влияние статус-кво на окончательный выбор курса

Этот пример раскрывает пределы влияния автора предложения. Законодательная инициатива может смещаться всторону идеальной точки человека, наделенного властью, но, как мыуже знаем, репрезентативность статус-кво снижает степень такого влияния[13].

Инаконец, этуже модель можно использовать для анализа множества уровней управления ибольшого количества вето-игроков. Здесь мы представим трех членов комитета вкачестве таких медианных участников голосования, как палата представителей, сенат и президент. Для принятия законопроекта каждый изтроих должен отдать ему предпочтение перед статус-кво. Втаком сценарии каждый игрок обладает правом вето. Давайте снова обратимся крис.20.8, где статус-кво находится вточке 70. Если все три участника голосования должны одобрить любое изменение, то ниодно предложение несможет преодолеть статус-кво. Любой политический курс слева отточки 70 будет ветирован участником голосования с идеальной точкой 80. Любой курс справа отточки 80 будет заблокирован обоими оставшимися участниками голосования[14]. Если все трое могут наложить вето на законопроект, то небудет принят ниодин новый закон, за исключением тех случаев, когда статус-кво попадает винтервал от40 до80— другими словами, если нынешний статус-кво находится слева или справа от идеальной точки любого участника голосования. Данная модель раскрывает тесную связь между количеством и идеологическим многообразием вето-игроков и безвыходностью положения. Этот важный вывод актуален и вболее общем случае. Организации со множеством разных вето-игроков несмогут действовать.

ГЕДОНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ

В гедонической модели конкуренции альтернативы (как правило, продукты) также представлены характеристиками, но вней они включают такие параметры, как качество, эффективность или цена, покоторым большая (вслучае цены меньшая) величина характеристики всегда предпочтительнее. Для того чтобы отобразить подобную неоднородность, модель позволяет присваивать этим параметрам разный вес.

Воспользовавшись линейной регрессией, можно оценить имплицитную величину характеристик товаров спомощью гедонической модели конкуренции (известной как модель Ланкастера). Применение модели невызывает затруднений. Модель исходит из предположения, что выигрыш должен представлять линейную функцию от характеристик продукта ивесовых коэффициентов, которые присваивает имчеловек. При наличии информации оценах тысяч домов и их соответствующих характеристиках (площадь, количество спален иванных комнат, качество местных школ, размер двора икачество строительства) регрессия позволит вычислить средний вес каждой характеристики (вдолларах) для людей, купивших эти дома. Это называется гедонической регрессией.

Гедоническая модель конкуренции

Альтернатива состоит изNвалентных характеристик (атрибутов): .

Индивидуальные предпочтения представлены весовыми коэффициентами: .

Выигрыш (полезность) альтернативы для человека составляет:

Пример:

Некоторые изэтих характеристик, такие как наличие бассейна или новой кухни, имеют рыночную цену. Для проверки модели можно сравнить расчетные цены срыночной стоимостью. Если регрессия показывает, что бассейн увеличивает цену дома на150000долларов, а стоимость бассейнов составляет 15000долларов, значит, вмодель невключены какие-то атрибуты. Если регрессия показывает, что добавленная стоимость составляет всего 8000долларов, скорее всего, это означает, что затраты на строительство бассейнов не возмещены вполном объеме.

Другие характеристики, такие как продолжительность поездки отдома доцентра города, неимеют рыночной цены. Вэтих случаях регрессия дает имплицитную цену соответствующей характеристики, иона может быть информативной. В представленной ниже таблице показаны гипотетические данные оценах шести домов.

Дом	Площадь (кв. футов)	Количество спален	Продолжительность поездки	Цена (долл.)
Пайн-стрит, 204	2000	3	30мин.	200000
Мейпл-стрит, 312	3000	5	60мин.	380000
Геддес-стрит, 211	2500	4	10мин.	310000
Мартин-стрит, 342	1500	2	20мин.	150000
Кларк-стрит, 125	2000	4	30мин.	220000
Браун-стрит, 918	4000	6	50мин.	360000

Предположив, что остальные характеристики этих домов идентичны, ивыполнив гедоническую регрессию, мыполучим следующее уравнение:

Цена (вдолларах)= 100*(кв. футов)+ 20000*(количество спален)– 2000* (продолжительность поездки)

Согласно этому уравнению регрессии, люди оценивают каждый дополнительный квадратный фут в100долларов, каждую спальню в20000долларов икаждую минуту, сэкономленную напоездках вцентр города, в2000 запериод владения домом. Человек, который живет вдоме двадцать лет, тратит напоездки от4000 до5000 дней. Если взять меньшее издвух чисел, каждая дополнительная минута продолжительности ежедневных поездок дает 4000минут, или 60часов, потраченных напоездки из пригорода вгород иобратно. Расчетный показатель 2000долларов эквивалентен примерно 30долларам вчас. Иначе говоря, люди оплачивают близость дома кцентру города так, «как будто» платят себе по30долларов вчас за проведение времени в транспортных заторах[15].

ГИБРИДНАЯ МОДЕЛЬ ПРОДУКТОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ

Пространственные и гедонические модели отличаются тем, как вних представлены предпочтения в отношении альтернатив. Впространственной модели конкуренции укаждого человека есть предпочтительный уровень всех атрибутов, аценность, которую имеет для него таили иная альтернатива, увеличивается помере приближения кего идеальной точке по соответствующим параметрам. В гедонической модели люди предпочитают либо большую, либо меньшую величину каждой характеристики.

Многие из моделируемых нами ситуаций— выбор потребительских товаров иуслуг, идеальных спутников жизни, государственной политики, религии и кандидатов на вакантные должности— содержат как пространственные, так и гедонические характеристики. Укаждого изнас может быть свой предпочтительный уровень хрусткости картофеля фри, новсе мы предпочитаем платить меньше заодну порцию. Хрусткость— это пространственная характеристика, цена— гедоническая. Безусловно, работодатели невсегда едины вомнении относительно личных качеств, которые они ищут в потенциальных сотрудниках. Одни компании предпочитают экстравертов, тогда как другие— интровертов. Однако все ценят честность и порядочность. Таким образом, тип личности— это пространственная характеристика, а честность— гедоническая.

Следовательно, мыможем построить гибридную модель, вкоторой альтернативы имеют и пространственные, и гедонические атрибуты. Ееможно будет использовать для анализа выхода нарынок, дифференциации продуктов иуровня ценовой конкуренции. Если вернуться кпримеру с шоколадными батончиками, топрежде чем выбирать характеристики нового продукта, компания может сначала разместить три существующих продукта в пространстве характеристик, апотом провести опрос потребителей, чтобы узнать распределение их идеальных точек. Это поможет компании оценить окрестности Вороного для будущего продукта. Если вэтих окрестностях мало потребителей, рассчитывать набольшой объем продаж нестоит. Этот подход может применить любой предприниматель, рассматривающий перспективу выхода нарынок. Дизайнер обуви может нанести насхему все модели утепленных ботинок и витоге обнаружить, что забыл оботинках из лакированной кожи. Разработчик мобильного приложения для составления списков дел может нанести насхему все существующие приложения, определить общий рыночный спрос и составить прогноз возможных продаж.

Мыможем представить снижение цены в пространственной модели конкуренции ввиде смещения линии раздела. Вернемся крис.20.3, накотором отображены два шоколадных батончика. Линия раздела соответствует идеальным точкам потребителей, для которых батончики A иBпредставляют одинаковую ценность. Если компания, выпускающая продукт B, снизит цену, а потребители предпочитают платить за шоколадные батончики меньше, это сместит линию раздела всторону батончика A иувеличит рыночную долю батончика B. Однако нам нужна модель недля того, чтобы понять, что снижение цены батончика Bдолжно увеличить его рыночную долю, адля того чтобы оценить величину этого эффекта. Основная задача будет состоять в проведении различия между переполненными рынками сбольшим количеством продуктов в низкоразмерном пространстве характеристик иразреженными рынками с небольшим количеством конкурентов. На переполненном рынке каждый продукт имеет малую окрестность Вороного. На разреженном— окрестность Вороного огромна.

У изменения цен разные последствия нарынках этих двух типов. Нарис.20.9 показан эффект гипотетического снижения цены шоколадного батончика B на10процентов (с2 до1,8доллара). Рисунок слева отображает разреженный рынок. Снижение цены набатончик Bсмещает линию раздела между продуктами A иBи увеличивает рыночную долю продукта Bс50 до54процентов, тоесть на8процентов. Падение цены на10процентов и увеличение объема продаж на8процентов сокращает объем доходов на3процента. Следовательно, вданном случае снижение цен нецелесообразно. Нарисунке справа показан переполненный рынок ссемью типами шоколадных батончиков. Здесь снижение цены меньше влияет на абсолютную рыночную долю шоколадного батончика B, увеличивая ее на5процентов (с15 до20процентов), ноэти 5процентов отражают большее пропорциональное увеличение рыночной доли батончика B(33процента). Суммарный эффект— рост доходов на20процентов[16]. Таким образом, модель прогнозирует более высокий уровень ценовой конкуренции на переполненных рынках по сравнению с разреженными рынками, атакже чрезвычайно высокий уровень конкуренции нарынке сырьевых товаров— продуктов, неотличимых друг отдруга (таких как нефть, свинина и краснозерная пшеница №2). Модель также прогнозирует более низкий уровень ценовой конкуренции нарынке модных высококачественных товаров, где дизайнеры могут сохранять существенные наценки, поскольку размерность продукта создает разреженный рынок.

Рис.20.9. Ценовая конкуренция на разреженном и переполненном рынке

Зависимость между количеством характеристик иуровнем ценовой конкуренции наводит намысль, что добавление новых характеристик былобы эффективной стратегией, поскольку она делает рынок более разреженным, снижает уровень ценовой конкуренции иприводит к увеличению прибыли. Однако, даже если этот вывод правильный, такую стратегию легче сформулировать, чем реализовать напрактике. Люди должны по достоинству оценить новую характеристику продукта. Накаждую удачную попытку (беспроводные акустические системы) приходится множество неудачных (как злополучное одноразовое нижнее белье Bic).

РЕЗЮМЕ

Пространственная модель конкуренции, гедоническая модель конкуренции игибрид этих двух моделей обеспечивают концептуальную схему, врамках которой мыможем представить различные продукты, политических кандидатов идаже претендентов на вакантные должности. Такие модели позволяют измерить идеологические позиции иатрибуты продуктов с имплицитной ценой, атакже оценить перспективы выхода нарынок. Эти модели помогают лучше понять, как рыночная конкуренция создает стимул для дифференциации, политическая борьба— для конвергенции ипочему ценовая конкуренция должна быть гораздо ожесточеннее для продуктов сменьшим количеством характеристик.

Вэтих моделях мыделаем довольно смелые, новесьма сомнительные с эмпирической точки зрения допущения. Например, мыисходим изтого, что люди неменяют предпочтений и не поддаются социальному давлению. Ноесли это так, тогда почему компании иполитики столько сил тратят напопытки изменить предпочтения? Хотя эту критику можно и отбросить, в очередной раз сославшись на утверждение Бокса отом, что все модели неправильны.

Вместе стем мыможем сформулировать более подробный ответ, который объясняет различие между фундаментальными предпочтениями (результатами, ккоторым стремится человек) иинструментальными предпочтениями (предпочтениями человека в отношении характеристик, обеспечивающих фундаментальные результаты). Фундаментальные предпочтения студента могут приводить к равновесию между его популярностью, здоровьем и академической успеваемостью. Онможет добиться этих фундаментальных целей спомощью инструментальных действий— раннего подъема, свежего сока поутрам и выполнения домашних заданий, чтобы оставалось время наобщение сдрузьями повечерам. Выбор фруктового коктейля поможет студенту реализовать свое фундаментальное предпочтение в отношении крепкого здоровья. Это иесть инструментальное предпочтение. Если студент прочитает научную статью, вкоторой говорится овысоком содержании сахара в фруктовых коктейлях, онможет начать пить вместо соков воду. Тогда его инструментальные предпочтения поменяются, но фундаментальные останутся прежними. Мывновь видим, что модель неявляется целью сама посебе, а обеспечивает архитектуру для структурирования мышления.

Множество моделей ценности

Врыночной экономике ценность, которую представляет для человека тот или иной товар, можно определить поцене, которую онготов занего заплатить. Человек может оценивать бутерброд с бастурмой в7долларов, картину Гойя в3миллиона долларов, а земельный участок площадью один акр вОкале (штат Флорида) в75 тысяч долларов. Многие экономические модели не учитывают причину этих оценок. Как известно, Джордж Стиглер процитировал слова сладострастника Мити изромана Достоевского «Братья Карамазовы», который сказал: «Degustibus non est disputandum» («Овкусах неспорят»). Представленные здесь модели описывают нестолько вкусы, сколько то, как вкусы преобразуются вденежную ценность, которую люди приписывают товарам.

Модель гедонических характеристик объясняет ценность товара наоснове присущих ему свойств. Различия воценках зависят от различных базовых предпочтений в отношении характеристик товара. Этими характеристиками могут быть физические составляющие товара. Бутерброд с бастурмой состоит изржаного хлеба, ста семидесяти граммов бастурмы, швейцарского сыра, горчицы, маринованных огурцов илука. Значит, его ценность можно записать ввиде взвешенной линейной комбинации этих ингредиентов. Более сложные гедонические модели могут включать параметры, характеризующие взаимодействие. Бастурма может быть еще более ценной, если подается на поджаренном нагриле ржаном хлебе.

Модель координации объясняет цены как социально сконструированный феномен. Ценность картины Гойи зависит оттого, какую ценность ей приписывают люди. Изначально улюдей есть определенные убеждения или мнения в отношении ценности картины. Затем они взаимодействуют сдругими людьми изсвоей сети социальных контактов и корректируют свои убеждения. Два человека могут приписывать товару ценность, эквивалентную среднему издвух значений ценности; один человек может изменить свою ценность так, чтобы она совпадала с ценностью другого, или каждый человек может смещать свою ценность всторону ценности других людей. Вслучае любого изэтих предположений оценки сходятся локально. Улюдей, связанных друг сдругом, будут аналогичные оценки. Максимальная ценность, присвоенная товару, будет зависеть от исходного распределения значений ценности, сети социальных контактов ипорядка образования пар.

Прогностические модели объясняют цены как прогноз будущей стоимости. Ценность земельного участка водин акр вОкале, биткоина или акций зависит оттого, сколько люди заплатят заних вбудущем. Эти оценки зависят от прогностических моделей, которые, всвою очередь, зависят от атрибутов и категорий. Окалу можно охарактеризовать как удаленный отморя город степлым климатом инизкими налогами. Разброс оценок людей возникает всвязи с использованием разных прогностических моделей. Инвесторы используют множество подобных моделей, которые могут основываться на характеристиках или, как при оценке биткоина, делать предположения о координации.

Эти три типа моделей дают три разных объяснения ценности товара. Ниодна модель небудет лучшей вовсех случаях, но укаждой есть случаи, когда она наиболее эффективна. Эти модели функционируют как стрелы внашем колчане. Ценность бутерброда с бастурмой проистекает, вероятнее всего, изего внутренних свойств. Ценность картины Гойи может быть в значительной мере социально сконструированной: картина имеет ценность, если люди вэто верят. Цена земельного участка воФлориде зависит отоценок, полученных на основании прогнозов будущей стоимости объектов недвижимости.

Дедуктивное умозаключение движется от абстрактного к конкретному. Оно начинается снабора аксиом и использует законы логики и математики, для того чтобы посредством манипуляций сними формировать прогнозы в отношении окружающего мира.

Рейчел Кросон

Теория игр моделирует стратегические взаимодействия. Многие из описанных ниже моделей, втом числе модели кооперации, сигнализирования, механизмов и коллективных действий, включают игры. Мы небудем особо углубляться ванализ игр, потому что этой теме посвящено множество отдельных книг, апросто дадим общее представление отеории игр. Для этого рассмотрим три основных класса игр: игры в нормальной форме, вкоторых игроки выбирают из дискретного набора действий (как правило, двух); последовательные игры, вкоторых игроки выбирают действия последовательно; иигры непрерывного действия, вкоторых игроки выбирают действия любого масштаба или сэффектом любой величины. Эти примеры вводят основные понятия, помогают осмыслить модели, представленные ниже, исами посебе добавляют ценность.

Глава состоит изчетырех частей. Впервой рассказывается обиграх снулевой суммой. Втакой игре каждый издвух игроков выбирает одно издвух действий. Какиебы действия нивыбрали игроки, выигрыш одного игрока эквивалентен проигрышу другого. Мы используем игры снулевой суммой, чтобы дать определение основных терминов теории игр, провести различие между стратегиями и действиями иввести понятие итеративного удаления доминируемых стратегий. Затем мы проанализируем последовательную игру «Выход нарынок», вкоторой потенциальный игрок рынка конкурирует с действующей компанией. Многократное повторение игры порождает так называемый парадокс сети магазинов. Втретьей части мы рассмотрим игру усилий, вкоторой игроки выбирают уровень усилий, которые они готовы приложить, чтобы выиграть фиксированную сумму. Активизация усилий повышает шансы игрока получить приз. Глава завершается кратким обсуждением ценности моделей теории игр вцелом.

ИГРЫ СНУЛЕВОЙ СУММОЙ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Вэтом разделе мы проанализируем две игры снулевой суммой в нормальной форме сучастием двух игроков. Вобеих играх каждый игрок выбирает действие иполучает выигрыш, который зависит отего собственных действий и отдействий другого игрока. Кроме того, сумма выигрышей игроков равна нулю. Впервой игре под названием «Орел— решка» (рис.21.1) каждый игрок выбирает одно издвух действий: орел или решка. Игроку, которому соответствует строка матрицы (назовем его игрок строки), выбирает тоже действие, что идругой игрок, аигрок, которому соответствует столбец матрицы (назовем его игрок столбца), выбирает другое действие.

Рис.21.1. Игра «Орел— решка»

Стратегия— это правило ведения игры. Это может быть выбор одного действия, случайный выбор между действиями или, как мыувидим в следующем разделе, последовательность действий. Равновесие Нэша вигре— это пара стратегий, подобранных таким образом, что стратегия каждого игрока оптимальна сучетом стратегии другого игрока. Вигре «Орел— решка» вслучае уникальной равновесной стратегии оба игрока вравной степени делают случайный выбор между двумя действиями. Для того чтобы доказать, что рандомизация обеспечивает равновесие, необходимо показать, что если один игрок делает случайный выбор, тодругому тоже лучше его сделать. Продемонстрировать это несоставит труда. Если игрок строки (действия ивыигрыши которого выделены жирным шрифтом) выбирает орла с вероятностью ирешку с вероятностью , товыигрыш игрока столбца будет равен нулю независимо отего действий. Следовательно, рандомизация— это оптимальная стратегия для игрока столбца. Всилу симметрии рандомизация будет оптимальной стратегией идля игрока строки.

Такая оптимальность рандомизации влияет на поведение в стратегических ситуациях. Спорт— это игра снулевой суммой: одна команда (или игрок) выигрывает, адругая проигрывает. Выполняя пенальти, нападающий пытается в случайном порядке выбирать, куда целиться— вправый или левый угол ворот. Втеннисе подающему игроку необходимо в случайном порядке подавать мяч впределах или запределы корта. В американском футболе вситуации «четвертый игол»43 команде нападения нужно случайным образом сделать выбор между пробежкой ипасом. Вкаждом изэтих случаев соперник также стремится рандомизировать запланированные ответные действия. Любое неслучайное действие может быть использовано. Это верно идля карточных игр, таких как покер. Хороший игрок впокер блефует в случайном порядке. Еслибы онблефовал всегда, соперники разгадалибы его стратегию иосталисьбы вигре. Тогда игрок проигрывалбы каждый раз, блефуя. Аналогично, еслибы игрок никогда неблефовал, его соперники научилисьбы сбрасывать карты. Оптимальный блеф заставляет противников колебаться, решая, оставаться им вигре или сбросить карты.

Нарис.21.2 показана вторая игра, игра с минимизацией риска. Вней каждый игрок может предпринять рискованное либо безопасное действие. Это асимметричная игра снулевой суммой. Выигрыши зависят нетолько отдействий, но и оттого, какой игрок совершает какое действие. Вэтой игре доминирующая стратегия игрока строки— не рисковать. Независимо оттого, какое действие выберет игрок столбца, игрок строки получает более высокий выигрыш, выбирая безопасное действие. Уигрока столбца нет доминирующей стратегии. Если игрок строки выбирает рискованное действие, игрок столбца тоже должен выбрать рискованное действие. Если игрок строки выбирает безопасное действие, то иигрок столбца должен его выбрать.

Рис.21.2. Игра с минимизацией риска

Проанализировав стимулы игрока строки, игрок столбца может сделать вывод, что игрок строки никогда невыберет рискованное действие, поскольку безопасное действие предпочтительнее рискованного. Следовательно, игрок столбца знает, что игрок строки выберет безопасное действие. Сучетом этого факта онтоже должен выбрать безопасное действие. Такой тип логических рассуждений, в соответствии скоторым один игрок исключает доминируемые (преобладающие) стратегии другого, известен как итеративное удаление доминируемых стратегий. Вэтой игре использование итеративного удаления доминируемых стратегий показывает, что выбор безопасного действия обоими игроками иесть уникальное равновесие Нэша.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ

В последовательной игре игроки выполняют действия в определенном порядке, как показано надереве игры, состоящем изузлов иветвей. Каждый узел соответствует тому моменту, когда игрок должен совершить действие. Каждая ветвь, исходящая изэтого узла, обозначает одно из возможных действий. Уконцевых ветвей дерева игры записывается выигрыш вслучае выбора соответствующей цепочки действий. Нарис.21.3 представлено дерево игры «Выход нарынок».

Рис.21.3. Игра «Выход нарынок»

В игре «Выход нарынок» два участника— потенциальный игрок рынкаи действующая компания. Если потенциальный игрок решает невыходить нарынок (левая ветвь дерева), он неполучает никакого выигрыша, а действующая компания получает выигрыш 5. Если потенциальный игрок выходит нарынок, действующая компания должна выбирать— принять его, что повлечет засобой снижение прибыли с5 до2, или конкурировать сним, сведя свою прибыль донуля, анового игрока рынка— до отрицательной. Мыбудем считать, что прибыль нового игрока рынка должна быть отрицательной, поскольку онвынужден оплатить стоимость выхода нарынок.

В последовательной игре стратегия соответствует выбору действия вкаждом узле. Предположим, действующая компания решает конкурировать, если потенциальный игрок выйдет нарынок. Зная обэтом, потенциальный игрок решает этого неделать, так как это приведет к отрицательной прибыли. Такая совокупность действий— потенциальный игрок решает невыходить нарынок, а действующая компания планирует вести конкурентную борьбу, если онвсеже передумает,— представляет собой равновесие Нэша, ноэто не единственное равновесие и ненаиболее вероятный исход игры. Существует еще одно равновесие, вкотором потенциальный игрок решает выйти нарынок, а действующая компания принимает этот ход и невступает в конкуренцию.

Для того чтобы выбрать одно издвух равновесий, требуется применить уточняющий критерий. В последовательных играх наиболее распространенный уточняющий критерий позволяет выбрать совершенное под-игровое равновесие. Его можно найти спомощью метода обратной индукции: начиная сконцевых узлов выбирать оптимальное действие вкаждом узле, азатем пройти дерево игры вобратном порядке, предполагая, что каждый игрок выбирает наилучшее действие сучетом действий другого игрока в последующих узлах. Вигре «Выход нарынок» следует начать с концевого узла действующей компании. Унее оптимальное действие— принять. Перемещаясь далее вверх подереву, мыувидим, что оптимальная стратегия потенциального игрока— выйти нарынок.

Игра становится еще интереснее вслучае повторения. Представьте, что компания присутствует намногих рынках. Это может быть торговая сеть с франшизными магазинами вдесятках городов. Допустим также, что существует ряд потенциальных игроков рынка. Тогда компания будет разыгрывать одну игру «Выход нарынок» задругой.

Применив метод обратной индукции иначав с последнего рынка, действующая компания примет нового игрока рынка, поскольку это действие максимизирует выигрыш. Следуя тойже логике, компания примет предпоследнего нового игрока рынка, также как ивсех остальных. Таким образом, вданной последовательности игр уникальное совершенное равновесие под-игры состоит втом, что все потенциальные игроки решают выйти нарынок, и действующая компания принимает ихвсех.

Хотя выход нарынок ипринятие нового игрока рынка— это уникальное совершенное под-игровое равновесие, в действительности так бывает невсегда. Представьте, что мы— члены совета директоров действующей компании и сталкиваемся спервым потенциальным игроком, который (изучив теорию игр) выходит нарынок. Унас может возникнуть желание вступить сним в конкурентную борьбу, чтобы предотвратить выход новых игроков надругие рынки. Конкуренцию можно считать разумной стратегией, если она достоверна, тоесть если мыможем создать репутацию компании, готовой конкурировать. Втаком случае исход игры, ккоторому мы стремимся, отличается от совершенного равновесия под-игры.

Разрыв между тем, что прогнозирует теория игр, итем, чего пытаются добиться реальные игроки, специалисты потеории игр называют парадоксом сети магазинов. Это один изпримеров, когда поведение, которое теория игр считает оптимальным, может не совпадать с поведением, выбираемым опытным игроком вслучае высоких ставок. Этот пример не опровергает теорию игр и не подрывает предположение о рациональном выборе, но показывает, почему мыдолжны всегда ставить предположения под сомнение.

ИГРЫ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ

Теперь давайте рассмотрим игру, участники которой выбирают из непрерывного множества возможных действий. Вней действия соответствуют уровням усилий. Выбирая более высокий уровень усилий, игрок повышает вероятность получить приз. Игра позволяет смоделировать любое количество игроков.

Выражение, описывающее равновесные усилия, раскрывает ряд важных моментов. Как и следовало ожидать, уровень индивидуальных усилий игрока повышается вместе с увеличением размера приза. Кроме того, при равновесии общий уровень усилий будет ниже стоимости приза. Это тоже вполне ожидаемо, учитывая, что игроки выбирают оптимальные действия. Игроки должны прилагать усилия, чтобы выиграть, но вразумных пределах.

Игра усилий

Каждый изNигроков выбирает уровень усилий (который можно представить вденежном выражении), чтобы выиграть приз стоимостью M. Вероятность того, что игрок выиграет приз, равна частному отуровня его усилий иобщего уровня усилий всех игроков. Если Ei— уровень усилий игрока i, его вероятность выиграть приз можно описать следующим уравнением[1]:

Равновесие:

Мыможем увидеть воздействие увеличения количества игроков науровень индивидуальных иобщих усилий. Здесь выводы менее интуитивно понятны. Согласно этой модели, уровень усилий отдельных игроков снижается, а суммарный уровень усилий всех игроков повышается. Следовательно, модель подразумевает, что попытки организаторов всевозможных конкурсов привлечь больше участников, как ни парадоксально, могут привести кснижению качества победителей, поскольку у участников более крупных конкурсов будет меньше стимулов прилагать дополнительные усилия.

РЕЗЮМЕ

Мыначали главу с рассмотрения игры снулевой суммой. Такие игры подразумевают полное отсутствие взаимовыгодных комбинаций действий. Любое действие, выигрышное для одного игрока, неизбежно будет проигрышным для другого. Врешении снулевой суммой любое действие наносит кому-то вред втакойже степени, вкакой приносит другому пользу. Многие личные действия ивыбор курса действий— это действия снулевой суммой как минимум поодному изаспектов. Укаждого изнас есть определенное количество часов всутках, денег нарасходы иресурсов, которые можно начто-то выделить. Вместе стем действие снулевой суммой поодному аспекту может небыть действием снулевой суммой подругому аспекту. Перераспределение бюджета может быть действием снулевой суммой с финансовой точки зрения, но с положительной или отрицательной суммой сточки зрения счастья или самореализации людей.

Вкаждом конкретном случае мывсегда должны анализировать, порождаетли предложенное изменение игру снулевой суммой. Например, многие люди выступают завыбор школы, вкоторую будет ходить ихребенок, поскольку это усиливает конкуренцию. Рыночная логика говорит отом, что когда школы вынуждены конкурировать, уних появляется стимул к повышению качества обучения.

Однако такой стимул имеет место только при наличии избыточного предложения образовательных услуг. В противном случае выбор школы может создать игру снулевой суммой среди учеников. Представьте себе город с10000учеников и10 школами, рассчитанными на1000 учеников каждая. Если ученики ранжируют эти школы водном итомже порядке, места влучших школах придется распределять спомощью лотереи. Тот, кто еевыиграет, будет ходить влучшую школу. Проигравшим достанутся худшие школы, которые будут продолжать работать ввиду отсутствия избыточного предложения. Ученики играют вигру снулевой суммой. Если откроется новая школа или имеющаяся повысит качество обучения, эта игра перестанет быть снулевой суммой. Втаком случае выиграть могут все.

Как рыночная модель, так имодель снулевой суммой позволяют глубже понять происходящее. Рыночная модель раскрывает стимулы к повышению качества обучения исозданию новых школ. Модель снулевой суммой показывает, что просто выбор школы означает, что одни ученики выиграют, адругие проиграют. Относительная значимость, которую нам следует присвоить каждой модели, зависит от контекста: существуетли избыток мощностей влучших школах, чтобы они могли принять дополнительных учеников? Естьли ушкол ресурсы изнания для повышения качества обучения? Построятли предприниматели новые школы? Позволяетли транспортная система без проблем добираться доразных школ, чтобы между ними могла возникнуть конкуренция?

Извсего этого можно сделать вывод, что ниодна издвух моделей недает правильного ответа, нокаждая позволяет получить полезную информацию. Выбор школы действительно создает конкуренцию. Перевесятли положительные аспекты конкуренции такой отрицательный аспект, как затраты на распределение учеников, зависит от контекста. Для того чтобы выбрать правильный курс действий, необходимо упорядочить совокупность моделей на множестве фактов.

Проблема идентификации

Данные о действиях людей часто указывают на кластерное поведение. Хорошие студенты сбольшей вероятностью дружат сдругими хорошими студентами, ане с отстающими. Люди, которые занимаются преступной деятельностью, чаще сотрудничают ссебе подобными преступниками, чем с добропорядочными гражданами. Многие положительные и отрицательные аспекты социальной жизни (такие как курение, физическое состояние, ожирение идаже счастье) образуют кластеры в социальных сетях. Кроме того, люди объединяются вкластеры по убеждениям— демократы, республиканцы или либертарианцы.

Унас есть два типа моделей, объясняющих кластеризацию: модели эффекта окружения имодели сортировки. Первые объясняют кластеризацию спомощью теории игр. Люди играют в координационную игру сосвоими друзьями. Вмоделях сортировки люди перемещаются ближе ксебе подобным. Кластер хороших студентов может сформироваться либо в результате координации ими своих действий наоснове общей модели поведения (эффект окружения), либо потому, что хорошие студенты предпочитают общаться друг сдругом (сортировка). На основании мгновенного снимка данных эти два исхода неотличимы.

Данные. Студенты получают либо высокие (H), либо средние (M) баллы, которые вравной степени вероятны. Студенты образуют дружеские группы численностью 4 человека со следующим распределением:

Модель эффекта окружения. Сначала студенты формируют произвольные группы изчетырех человек:

Тип студентов, принадлежащих кгруппам, состоящим только изодного типа людей, неменяется. Человек, тип которого отличается от остальных, меняет его, в результате чего группа {H, H, H, M} становится группой {H, H, H, H}. Вгруппах сравным количеством студентов каждого типа один член группы меняет свой тип. Группа {H, H, M, M} может сравной вероятностью стать игруппой {H, H, H, M}, игруппой {M, M, M, H}.

Модель сортировки. Сначала студенты образуют произвольные группы изчетырех человек. Влюбой группе сдвумя типами студент, тип которого противоположен типу как минимум двух других людей, меняется группами скем-то, имеющим другой тип. Изэтого следует, что группа {H, H, H, M} становится группой {H, H, H, H}, агруппа {M, M, M, H}— группой {M, M, M, M}, атакже что любая группа вида {H, H, M, M} может сравной вероятностью стать группой {H, H, H, M} или {M, M, M, H}.

Обе модели согласуются сданными, что создает проблему идентификации. На основании только снимка данных мы неможем определить, относитсяли курение, чтение манги (японских комиксов) или катание на лонгбордах кмодели эффекта окружения или кмодели сортировки. Иногда можно установить, какая модель применима. Склонность людей наСреднем Западе говорить «шипучка», а на побережьях— «содовая» позволяет смело предположить, что ими движет эффект окружения— мало кто переезжает вБостон, чтобы называть кока-колу «содовой». Более важные аспекты поведения, такие как академическая успеваемость, употребление наркотиков, ожирение исчастье, требуют временныхрядов данных, чтобы выяснить, какая измоделей применима. Анализ данных за определенный период помогает определить, меняютли люди свое поведение, чтобы соответствовать друзьям (эффект окружения), или меняют друзей и сохраняют поведение (сортировка). Вомногих значимых случаях, таких как успеваемость вшколе, могут наблюдаться оба эффекта[2].

Никто еще нестал бедным, отдавая.

Анна Франк

Когда экспертов просят перечислить самые важные научные вопросы, они обычно предлагают ограниченный набор вариантов: как возникла Вселенная? Как появилось сознание? Будетли найдено лекарство отрака? Один извопросов, который они упоминают, касается социальных и биологических наук: как возникает кооперация?[1] Кооперация подразумевает совершение действия, не отвечающего личным интересам, азначит, врядли стоит ожидать широкую кооперацию. Тем неменее мы наблюдаем кооперацию во множестве областей и всамых разных масштабах. Клетки кооперируют посредством адгезии, когда одна клетка вырабатывает внеклеточное вещество, ккоторому могут прикрепляться другие клетки. Кооперацию можно увидеть между муравьями, пчелами, людьми, организациями идаже странами, которые поддерживают ее врамках создания соглашений и международных законов.

Вэтой главе мы используем модели для поиска ответов навопросы отом, как возникает кооперация, как она поддерживается икак ее расширить. Эти модели недают исчерпывающего объяснения всего существующего вмире многообразия кооперации: почему вороны делятся найденной ими падалью; почему голые землекопы (heterocephalus glaber) совместно защищаются отхищников; почему вьющиеся растения пускают меньше корней, если ихвысадить рядом с родственными им растениями; почему термиты ипчелы строят сложные гнезда ипочему муравьи сплетают конечности иделают перемычки для переноски пищи. Тем неменее эти модели позволяют глубже понять суть происходящего[2].

Несмотря намассу примеров внутри- и межвидовой кооперации, есть ипримеры неудач. Степень кооперации зависит от обстоятельств. Федерации получают, азатем теряют новых членов; Великобритания участвовала всоздании Евросоюза, атеперь выходит изнего. Теже люди, которые собирают средства для школ вкачестве волонтеров, могут проталкиваться без очереди ккассе в супермаркете или мошенничать сналогами. Лев, который охотится на азиатского буйвола встае, может спрятать пойманного бородавочника. Кроме того, кооперация имеет место не увсех видов. Корни черного ореха выделяют впочву гербицид юглон для подавления роста расположенных рядом растений.

Разнообразие моделей поведения взаимодействующих субъектов (таких как клетки, корни, вороны, люди, компании истраны) требует применения многомодельного подхода. Клетки ирастения лучше всего моделировать наоснове установленных правил; вороны, муравьи ильвы используют больше правил, которые диктует среда обитания или результаты, полученные впрошлом; люди, компании истраны делают прогнозы набудущее и вычисляют соотношение затрат и результатов.

Один изсамых важных выводов этой главы состоит втом, что кооперация возникает и поддерживается спомощью различных механизмов. Мы остановимся начетырех: повторение, репутация, локальная кластеризация и групповой отбор. Все они делают кооперацию возможной без внешнего вмешательства или управления и применимы к взаимодействующим голым землекопам, пчелам илюдям. Улюдей, кроме того, есть более формальные способы стимулировать и поддерживать кооперацию. Вконце главы описываются такие институциональные решения, как, например, платить людям за сотрудничество, наказывать их, если они отказываются сотрудничать, исделать кооперативное поведение обязательным согласно закону.

Второй вывод состоит втом, что эффективность любого из механизмов зависит от поведенческого репертуара объектов кооперации. Некоторые механизмы (особенно повторение) работают практически для любого поведения. Репутация инормы требуют дальновидного поведения иобмена информацией. Эти механизмы наиболее эффективны для более развитых акторов.

Сдругой стороны, эффект кластеризации зависит отмодели. Кооперация между субъектами, отобранными или отброшенными факторами эволюции, чаще всего возникает в разреженных сетях. Кооперация посредством норм требует плотных сетей. Эффективность группового отбора зависит (вболее развернутом смысле) отстепени дальновидности акторов и их способности придерживаться своих темпов адаптации. Обеспечение их дальновидности усиливает потенциал группового отбора. Предоставление им возможности адаптироваться быстрее может создавать помехи. Чтобы проанализировать все эти вопросы и объяснить взаимосвязь между поведенческими предположениями и кооперацией, мы используем известную игру «Дилемма заключенного», атакже модель совместных действий. Вторая модель позволит нам охарактеризовать действия, которые приносят пользу многим игрокам, и смоделировать кооперацию всетях.

Оставшаяся часть главы выглядит так: сначала мыопишем дилемму заключенного ипокажем, как рациональные агенты могут поддерживать кооперацию. Затем продемонстрируем, как повторение может стимулировать кооперацию между субъектами, действующими наоснове правил, атакже почему сформировать кооперацию труднее, чем поддерживать. Далее мы рассмотрим менее развитые биологические объекты ипокажем, каким образом могут способствовать кооперации родственный отбор и локальная кластеризация. В последних двух разделах мыобсудим групповой отбор ивопрос отом, как использовать эти модели для расширения сотрудничества.

ДИЛЕММА ЗАКЛЮЧЕННОГО

Происхождение этого названия связывают систорией одвух людях, обвиняемых в совместном совершении преступления. Уполиции есть косвенные улики, поэтому каждому подозреваемому предлагают сознаться. Обвиняемые сталкиваются сдилеммой. Если ниодин изних непризнает своей вины, каждый получит мягкий обвинительный приговор на основании имеющихся доказательств. Если сознается кто-то один, онвообще небудет наказан, адругой получит строгое наказание. Если оба сознаются, оба получат достаточно суровое наказание, но не настолько, как вслучае признания вины только кем-то одним. Нарис.22.1 эта история представлена ввиде игры сучастием двух игроков. Каждый игрок может либо сотрудничать (С), либо отказаться от сотрудничества (D). Выделенные полужирным шрифтом числа— это выигрыши игрока строки, аобычным шрифтом показаны выигрыши игрока столбца. Укаждого игрока есть доминирующая стратегия отказа от сотрудничества: какоебы действие не предпринял другой игрок, отказ от сотрудничества обеспечивает более высокий выигрыш. Однако если оба игрока откажутся от сотрудничества, каждый получит более низкий выигрыш, чем еслибы оба предпочли сотрудничество. Таким образом, преследование личных интересов приводит к получению обоими игроками более низких результатов.

Рис.22.1. Пример игры «Дилемма заключенного»

Дилемма заключенного отражает основные стимулы, присутствующие вомногих реальных ситуациях. Она позволяет смоделировать гонку вооружений между США иСССР, где отказ от сотрудничества соответствует расходам на вооружение, а сотрудничество— экономическому развитию. Кроме того, эта игра может моделировать проведение политической кампании ивыбрать один из вариантов агитации— распространять порочащую информацию (отказ от сотрудничества) или размещать позитивную политическую рекламу (сотрудничество). Дилемма заключенного может даже объяснить, почему усамцов павлина такой длинный хвост: укаждого павлина есть причины казаться сильнее и выносливее других самцов.

Некоторые примеры дилеммы заключенного можно понять только постфактум. Первые пользователи многих технологий (например банки, которые первыми внедрили банкоматы) увидели рост прибыли. Однако когда заними последовали другие, прибыль упала всвязи с усилением конкуренции. Оказалось, что установка банкоматов аналогична отказу от сотрудничества[3].

Общий вид игры «Дилемма заключенного», представленный нарис.22.2, подразумевает нулевой базовый выигрыш, если оба игрока откажутся от сотрудничества. Таким образом, игру можно описать спомощью трех переменных: вознаграждение (R) вслучае сотрудничества, искушение (T) отказаться от сотрудничества ивыигрыш простака (S), которым воспользовались всвоих интересах (см. врезку). Приведенные нарисунке неравенства гарантируют, что выбор отказа от сотрудничества— это доминирующая стратегия, а сотрудничество обеспечивает эффективный исход.

Рис.22.2. Дилемма заключенного

КООПЕРАЦИЯ ПОСРЕДСТВОМ ПОВТОРЕНИЯ И РЕПУТАЦИИ

Сначала мы продемонстрируем, как повторение игры исоздание репутации может поддерживать кооперацию между рациональными агентами. Тот факт, что кооперацию можно поддерживать, не гарантирует, что она будет достигнута, алишь указывает нато, что, если она действительно возникнет, рациональные игроки могут недать ейугаснуть. Для того чтобы доказать, что повторение поддерживает кооперацию, построим модель повторяющейся игры, вкоторой после каждой итерации игры с вероятностью Pигра будет проведена снова. Теоретически процесс игры может продолжаться бесконечно.

Когда игроки применяют стратегии повторяющейся игры, ихдействия основываются наистории предыдущих итераций. Здесь мы рассмотрим стратегию повторяющейся игры, известную как «триггер вечной кары», в соответствии скоторой игрок сотрудничает впервой и последующих итерациях дотех пор, пока другой игрок не отказывается от сотрудничества. Если другой игрок отказывается сотрудничать, игрок, который следует стратегии «триггер вечной кары», отказывается от сотрудничества навсегда.

Для того чтобы доказать, что триггер вечной кары поддерживает сотрудничество в повторяющейся игре, необходимо продемонстрировать, что если один игрок выберет стратегию вечной кары, тодругой игрок максимизирует свой выигрыш, тоже выбрав эту стратегию. Учитывая, что отклонение второго игрока приводит к бесконечному отказу первого игрока от сотрудничества, второму игроку необходимо просто сопоставить ожидаемый выигрыш от постоянного сотрудничества с ожидаемым выигрышем от однократной выгоды отказа от сотрудничества, атакже с выигрышем втом случае, если после этого оба игрока предпочтут отказ[4]. Обеспечитли триггер вечной кары более высокий выигрыш, зависит отстепени искушения, вознаграждения от сотрудничества и вероятности повторения игры.

Повторение поддерживает кооперацию

В повторяющейся игре «Дилемма заключенного» триггер вечной кары поддерживает кооперацию, если вероятность продолжения игры Pпревышает отношение разности между выигрышем от искушения Tи выигрышем от вознаграждения R квыигрышу от искушения[5]:

Этот результат говорит отом, что, если выигрыш от искушения превышает тройной выигрыш от вознаграждения (T > 3R), игра должна повториться с вероятностью, превышающей . Неравенство также говорит отом, что поддерживать сотрудничество становится легче, если вознаграждение и вероятность продолжения игры повышаются или соблазн отказаться от сотрудничества уменьшается. Каждое изэтих следствий указывает интуитивный путь к расширению кооперации: увеличьте вознаграждение, повысьте вероятность продолжения взаимодействия и уменьшите искушение отказаться от сотрудничества. Хотя это довольно простые выводы, возможно, до построения модели они небыли столь очевидны.

Впоисках необходимого условия кооперации мыможем сделать и нестоль простые выводы. Представленное выше выражение подразумевает, что еслибы игроки исходили изтого, что вероятность продолжения игры окажется ниже порогового значения вбудущем, то рациональные игроки прекратилибы сотрудничество до, а непосле изменения вероятности[6].

Логика, согласно которой повторение поддерживает кооперацию между рациональными игроками, основана натаком частном свойстве модели, как вероятность продолжения игры. Еслибы вместо этого мыисходили из фиксированного количества повторений (скажем, игра должны повторяться три раза), рациональные игроки не сотрудничали бы, что можно доказать спомощью метода обратной индукции. Предположим, игра проводится только три раза ипервый игрок заявляет о применении триггера вечной кары. Допустим, T= 3, R= 2 иS= 1. Сучетом этих выигрышей, если второй игрок сотрудничает входе всех трех раундов, онполучает общий выигрыш 6. Нам необходимо убедиться, что больше ниодна стратегия не обеспечивает более высокий выигрыш. Отказ от сотрудничества впервом раунде дает выигрыш всего лишь 2, поскольку после этого первый игрок прибегнет котказу и в последних двух раундах. Отказ от сотрудничества вовтором раунде дает выигрыш 5. Ниодно изэтих действий неявляется рациональным. Тем неменее отказ от сотрудничества втретьем раунде дает выигрыш 7: выигрыш2 вкаждом издвух первых периодов ивыигрыш 3 в последнем периоде. Следовательно, рациональный игрок откажется от сотрудничества в последнем раунде.

Первый игрок, применивший триггер вечной кары, должен понимать, что отказ от сотрудничества произойдет втретьем раунде, итоже отказаться от сотрудничества. Тогда второй игрок поймет, что они оба намерены отказаться от сотрудничества втретьем раунде, поэтому сделает это вовтором раунде. Согласно тойже логике первый игрок также откажется от сотрудничества. Процесс будет продолжаться допервого раунда. Аналогичные рассуждения применимы при повторении игры любое конечное количество раз. В последнем сыгранном раунде рациональные игроки отказываются от сотрудничества. Следовательно, уобоих игроков есть стимул выбрать отказ от сотрудничества в предпоследнем раунде— итак далее. Единственная рациональная стратегия— всегда отказываться от сотрудничества.

Досих пор мы анализировали действия двух обособленных игроков, аэто не учитывало того, как отказ человека от сотрудничества может повлиять на отношение кнему окружающих икак они будут обращаться сним вовремя будущих взаимодействий. Посути, мыоградили двух играющих вэту игру человек. Однако модель можно расширить, включив внее сообщество людей, которые следят за поведением друг друга и наказывают тех, кто нехочет сотрудничать.

Для того чтобы сделать это в формальном виде, предположим, что люди каждый день в произвольном порядке образуют пары ииграют вигру «Дилемма заключенного». Члены сообщества убеждены, что эти игры будут продолжаться бесконечно, поэтому вероятность будущей игры равна 1. При таких предположениях человек, скорее всего, нестанет играть стемже человеком на следующий день, азначит, унего будет более высокий стимул отказаться от сотрудничества. Однако мы допускаем вероятность того, что сообщество это заметит, итогда человек заработает плохую репутацию и, согласно договоренности, ниодин член сообщества небудет сним сотрудничать вбудущем. Если мы обозначим символом PD вероятность того, что человека уличат вотказе от сотрудничества и онбудет наказан вовсех будущих играх, тоусловие, что сотрудничество будет поддерживаться посредством репутации, (), тождественно условию его поддержания при помощи повторения, за исключением того, что вероятность повторения игры Pзаменит PD— вероятность того, что человека уличат вотказе от сотрудничества.

Вмодели репутации сообщество усиливает кооперацию. Тот, кто отказался от сотрудничества ибыл вэтом уличен, столкнется с осуждением состороны всех будущих игроков. Вэтой ситуации люди снова вычисляют выгоды ипотери ототказа от сотрудничества. Кроме того, они должны быть убеждены, что остальные присоединятся к наказанию, что вданном случае подразумевает отказ от сотрудничества всеми членами сообщества. Нодля этого люди должны либо знать друг друга, либо располагать каким-то методом идентификации или маркировки тех, кто отказывался сотрудничать впрошлом. Изэтого следует, что при прочих равных условиях улюдей в небольших сообществах больше возможностей для усиления кооперации посредством повторения. В маленьких северных городках люди оставляют зимой автомобили на парковках у магазинов с включенным двигателем. Они небоятся, что автомобиль украдут (отказ от сотрудничества), поскольку знают всех жителей города. Любой, кто угонит автомобиль (даже вкачестве шалости), понесет репутационный ущерб.

Физические метки могут сделать информацию о репутации общедоступной, что способствует поддержанию кооперации. Вромане Натаниэля Готорна The Scarlet Letter44 Эстер Прин вынуждена носить наодежде вышитую алыми нитками букву «А» (отангл. «adultery»— «прелюбодеяние») за нарушение супружеской верности. В некоторых культурах осужденным ворам принято отрубать руки— надо сказать, довольно дорогая метка для осужденного. Маркировка отступников присутствует даже в некоторых видах. Рыба-чистильщик Labroides dimidiatus может очищать других рыб от паразитов (сотрудничество) или поедать более вкусную альтернативную пищу (отказ от сотрудничества). Если рыба поддерживает кооперацию, еесоседи будут избавлены от паразитов. Отсутствие паразитов видят другие рыбы. Чистота соседних рыб становится меткой, визуальной репутацией[7].

Связанность и репутация

Поддержание кооперации посредством механизма формирования репутации требует, чтобы соседи человека знали о допущенном им отклонении отнорм поведения. Для того чтобы оценить вероятность распространения онем такой информации, можно применить три вывода, которые мысделали при включении сетей вмодель заражения. Во-первых, чем выше степень сети, тем больше вероятность распространения слухов об отклонении. Во-вторых, вероятность усиливает вариация распределения степеней (особенно наличие чрезвычайно активных распространителей информации). В-третьих, если член совокупности отказывается от сотрудничества стем, кто несвязан сдругими его соседями, тососеди врядли узнают об отклонении. Следовательно, для распространения информации о репутации сеть должна иметь высокий коэффициент кластеризации. Коэффициент кластеризации— это косвенный показатель социального капитала.

КООПЕРАЦИЯ МЕЖДУ МОДЕЛЯМИ ПОВЕДЕНИЯ, ПОДРАЗУМЕВАЮЩИМИ ИГРУ ПОПРАВИЛАМ

Теперь смягчим предположение о рациональности идопустим, что игроки применяют стратегии, основанные направилах, такие как триггер вечной кары. Мы используем эту модель, чтобы понять, можетли (икак) возникнуть сотрудничество. Наша модель включает совокупность отдельных игроков, которые проводят многократные раунды игры «Дилемма заключенного», играя друг против друга. Мыбудем исходить изтого, что каждое взаимодействие продолжится с определенной вероятностью. Такая структура игры побуждает рациональных игроков к сотрудничеству, если вероятность продолжения игры достаточно высокая.

Вотличие от предыдущего случая, здесь мы предполагаем, что игроки применяют правила поведения. Одни могут использовать триггер вечной кары, другие— всегда сотрудничать, атретьи постоянно отказываться от сотрудничества. Различные варианты этих стратегий могут использовать другие виды. Самцы древесницы применяют стратегию «доброго врага», в соответствии скоторой не участвуют вгромком пении и невступают всхватки для расширения владений засчет соседей. Мыможем рассматривать это как совместное действие[8].

Для удобства изложения будем исходить изтого, что каждый член совокупности играет совсеми остальными еечленами. После того как каждый игрок сыграет все свои игры, все объявляют о полученном результате, равном среднему выигрышу заодну итерацию игры. Мыбудем использовать средний выигрыш заигру, а необщий выигрыш, поскольку одни игроки могут поволе случая сыграть гораздо больше игр, чем другие, при условии вероятностного продолжения игры. Согласно данной структуре модели, результативность стратегии зависит от распределения стратегий. Отсюда следует, что выигрышная стратегия может также зависеть от исходного распределения. Если кооперативные стратегии обеспечивают более высокий результат на начальном этапе, то сотрудничество вданной совокупности сбольшой вероятностью будет усиливаться.

Вцелях нашего анализа присвоим в случайном порядке каждому игроку одну изпяти поведенческих стратегий: всегда сотрудничать (All C), всегда отказываться от сотрудничества (All D), триггер вечной кары (GRIM), око заоко (TFT) итроллинг (TROLL). Стратегия GRIM сотрудничает на начальном этапе и продолжает сотрудничество дотех пор, пока соперник невыберет отказ от сотрудничества, после чего отказывается от сотрудничества навсегда. Стратегии All C иAll Dпоступают в соответствии сосвоими названиями: слепо сотрудничают или отказываются от сотрудничества независимо отдействий другого игрока. Стратегия TFT сотрудничает впервом периоде, а вовсех последующих периодах копирует действие другого игрока за предыдущий период. Два игрока, выбирающих стратегию TFT, всегда будут сотрудничать. Стратегия TROLL стремится использовать игроков, которые всегда выбирают сотрудничество. Она отказывается от сотрудничества вовремя первых двух периодов, иесли другой игрок не отказывается от сотрудничества влюбом изэтих периодов, TROLL отказывается от сотрудничества навсегда. Если другой игрок всеже откажется от сотрудничества, TROLL переключается на сотрудничество втечение двух периодов, азатем выбирает GRIM.

Сначала вычислим выигрыши для каждой поведенческой стратегии, играющей против всех остальных стратегий, воспользовавшись выигрышами издилеммы заключенного, представленной нарис.22.1. Начнем со стратегии All D. Если она играет против стратегии All C, тополучает выигрыш 4 вкаждой игре. All C, сосвоей стороны, входе таких взаимодействий получает средний выигрыш всего лишь 1. Если All Dиграет против TFT или GRIM, она получает выигрыш 4 вовремя первого раунда игры ивыигрыш 2 вовсех последующих раундах. Если мы предположим, что игра повторяется многократно, средний выигрыш составит немногим более 2, что мызапишем как 2⁺. Когда All Dиграет против TROLL, обе стратегии отказываются от сотрудничества впервые два периода; при этом TROLL сотрудничает втретьем и четвертом периоде, азатем отказывается от сотрудничества. Стратегия All Dснова получает средний выигрыш 2⁺. TROLL получает средний выигрыш немногим менее 2, что мызапишем как 2⁻.

Мыможем выполнить аналогичные операции и вычислить ожидаемые выигрыши покаждой паре стратегий[9]. Втабл.22.1 показан выигрыш каждой стратегии, играющей против всех остальных стратегий.

Таблица 22.1. Средние выигрыши стратегий строки, играющих против стратегий столбца

Втаблице представлено сочетание взаимного сотрудничества, взаимного отказа от сотрудничества, атакже стратегий, извлекающих пользу изошибок вдругих стратегиях. Внимательный анализ таблицы показывает, что четыре изпяти стратегий сотрудничают сами ссобой. Мыбудем называть их потенциально кооперативными стратегиями. Только TFT сотрудничает сними всеми. Следовательно, если любая комбинация этих четырех стратегий составляет большую часть данной совокупности, стратегия TFT обеспечит хорошие, если нелучшие результаты[10].

Тысячи экспериментов подилемме заключенного сучастием людей обнаруживают огромную неоднородность выбираемых ими стратегий. Поэтому мы используем приведенные втаблице выигрыши, чтобы проанализировать исходы вслучае разных распределений. Учитывая многообразие выигрышей для различных комбинаций стратегий, лучшая стратегия будет зависеть отсостава совокупности. В совокупности, состоящей восновном из стратегий AllC, стратегия All Dработает эффективнее всего. Если отдельные члены совокупности решают воспользоваться лучшей стратегией или если отбор работает быстро, тогда, возможно, члены данной совокупности никогда несмогут сотрудничать. Если процесс обучения или отбора идет умеренными темпами, игрокам следует воздерживаться от использования стратегии All C. Если совокупность содержит небольшое количество стратегий All C, стратегия All Dбудет обеспечивать менее высокие результаты, чем GRIM, TROLL иTFT. Одна изэтих стратегий должна возобладать. Такую закономерность, когда на начальном этапе отказ от сотрудничества обеспечивает хорошие результаты, азатем берет верх сотрудничество, можно обнаружить вомногих экспериментах сучастием людей, атакже в имитационных экспериментах сучастием компьютерных интеллектуальных агентов. То, что происходит вэтих случаях, можно описать как возникновение или эволюцию сотрудничества.

Можно представить любое распределение поэтим пяти стратегиям или полюбому другому ансамблю стратегий, вычислить средние выигрыши, азатем проанализировать, что произойдет в результате обучения или отбора. В следующей главе мыпостроим формальные модели обучения иотбора, апока будем использовать неформальные аргументы, поскольку просто хотим подчеркнуть, что возникновение кооперации зависит отисходных стратегий, входящих всостав совокупности, и оттого, как люди осваивают или развивают новые стратегии.

Необходимое условие возникновения или эволюции кооперации заключается втом, что выигрыш от сотрудничества должен превышать выигрыш вслучае отказа отнего взаданной совокупности. Иначе иотбор, иобучение приведут всю совокупность котказу от сотрудничества. Для упрощения анализа представим, что совокупность состоит из кооперативных стратегий, таких как GRIM, All C иTFT, атакже стратегий отказа от сотрудничества, таких как All D. Азатем вычислим, при каких условиях кооперативные стратегии гарантируют более высокий средний результат. Результаты вычислений показывают, что развивать кооперацию труднее, чем поддерживать, ичто она неспособна самообеспечиваться— небольшая совокупность кооператоров неможет стать источником возникновения кооперации[11].

Такое различие между поддержанием кооперации, ее возникновением или эволюцией и бутстрэппингом45 заслуживает повторного возвращения кэтому вопросу. Поддержание кооперации возможно вслучае, если при условии сотрудничества всех игроков она обеспечивает самые высокие результаты. Она имеет место тогда, когда стратегия GRIM является равновесием Нэша в повторяющейся игре. Кооперация может возникнуть или развиваться вслучае, если стратегии, сотрудничающие между собой врамках совокупности, всреднем демонстрируют более высокие результаты по сравнению со стратегиями, отказывающимися от сотрудничества. Как уже отмечалось, труднее удовлетворить условия для возникновения кооперации, чем условия для ее поддержания. Насамом деле математические расчеты показывают, что бутстрэппинг— почти невыполнимая задача. Если доля кооператоров близка кнулю, они получают более низкие выигрыши, чем те, кто отказывается от сотрудничества. Вывод заключается не втом, что бутстрэппинг кооперации вообщеневозможен, автом, что он невозможен именно вэтой модели. Для того чтобы добиться кооперации, изначально необходима определенная доля людей, готовых к сотрудничеству. Это может произойти слюдьми, которые анализируют игру, но маловероятно в отношении пчел икорней деревьев. Для того чтобы понять, как может произойти бутстрэппинг, нужны более сложные модели, учитывающие локальное обучение, эволюцию и групповой отбор. Давайте теперь их рассмотрим.

МОДЕЛЬ СОВМЕСТНЫХ ДЕЙСТВИЙ

Для того чтобы проанализировать, как возникает сотрудничество, введем модель совместных действий, вкоторой люди могут либо совершать совместное действие, либо воздерживаться отнего[12]. Совместное действие сопряжено с издержками для выполняющего его члена совокупности иприносит выгоду всем остальным. Отказ от совместных действий невлечет засобой никаких издержек и неприносит никакой выгоды.

Существует ряд различий между моделью совместных действий и повторяющейся дилеммой заключенного. Во-первых, вмодели совместных действий члены совокупности неиграют в повторяющуюся парную игру, вкоторой они применяют стратегии иполучают выигрыши. Вместо этого они являются либо кооператорами, либо некооператорами. Во-вторых, модель не рассчитана на рациональных акторов или членов совокупности, использующих более сложные правила. В-третьих, члены совокупности принадлежат ксети взаимодействия. Их совместные действия влияют только натех, скем они связаны, тоесть на ихсоседей. И последнее: поскольку члены совокупности принадлежат к определенному типу, они совершают одни итеже действия в отношении всех своих соседей. Кооператор спятью соседями несет впять раз большие издержки всвязи с кооперацией иприносит пользу пяти другим членам совокупности.

Модель совместных действий

Совокупность изNчленов состоит из кооператоров и отступников, связанных между собой врамках сети. Кооперация сопряжена с издержками C иприносит выгоду Bдругому игроку входе каждого взаимодействия. Отказ от сотрудничества невлечет засобой никаких издержек и неприносит никакой выгоды. Коэффициент кооперативного преимущества отражает потенциальную выгоду от сотрудничества.

Сеть играет ключевую роль всоздании условий для возникновения кооперации идаже для ее бутстрэппинга. Небольшой кластер или группа кооператоров, восновном взаимодействующих друг сдругом, получает хорошие результаты, азатем распространяется повсей совокупности. В экосистеме потомство часто обитает рядом с родителями. Если потомки кооператоров сбольшей вероятностью становятся кооператорами, то бутстрэппинг кооперации становится более легкой задачей.

Чтобы продемонстрировать, что кластеризация может обеспечить бутстрэппинг кооперации, начнем счастично заполненной сети. Каждый ееузел выступает вкачестве потенциального местоположения одного изчленов совокупности. В биологическом контексте такими местами является подходящая среда обитания. Затем наполним часть сети членами совокупности— либо кооператорами, либо отступниками. Например, мымоглибы сначала нарисовать произвольную сеть сосредней степенью 10, азатем бросить игральную кость вкаждом узле. Если выпадет шестерка, мы разместим члена совокупности вэтом узле. Если нет, оставим его пустым. При размещении члена совокупности вузле мыснова бросаем кость. Если выпадет пятерка, мыпоместим вэтот узел кооператора, в остальных случаях отступника. Эта процедура позволит заполнить шестую часть узлов внашей сети, причем вшестой части занятых узлов будут размещены кооператоры.

Всети стакой структурой отдельные члены совокупности будут отличаться по количеству соседей: у некоторых ихвообще небудет, тогда как удругих будет почетыре или пять. Для того чтобы обеспечить рост или распад кооперации, заполним оставшуюся часть сети, в итеративном режиме заполняя узлы, расположенные рядом сзанятыми узлами. Будем исходить изтого, что пустой узел принимает тотже тип (тоесть становится либо кооператором, либо отступником), что итип наиболее результативного узла среди его соседей. Нарис.22.3 показаны два сегмента линейных сетей. Кооператоры представлены темными линиями, отступники— серыми, апустые узлы— пунктирными линиями. Каждый сегмент содержит пустой узел вцентре сдвумя соседями— одним отступником иодним кооператором. Наэтом рисунке сотрудничество обеспечивает выгоду 2 ивлечет засобой издержки 1.

Рис.22.3. Выигрыши соседей пустого узла вдвух линейных моделях

Вверхнем сегменте рисунка 22.3 у отступника справа от свободного узла есть сосед-кооператор, поэтому онполучает выигрыш 1. Усоседа-кооператора слева от свободного узла есть сосед-отступник, поэтому онполучает выигрыш−1. Согласно нашим правилам заполнения узлов, поскольку сосед-отступник получает более высокий выигрыш, пустой узел станет отступником. Внижнем сегменте усоседа-отступника пустого узла есть сосед-отступник, тогда как сосед-кооператор пустой клетки связан сдругим кооператором. Следовательно, внижнем сегменте мыполучаем противоположный результат. Здесь сосед-кооператор получает более высокий выигрыш, поэтому пустой узел станет кооператором.

Вэтом примере одиночный кооператор неможет создать еще одного кооператора, адва соседних кооператора могут. Отсюда следует, что небольшой кластер кооперативных узлов, окруженных пустыми клетками, может расшириться на свободные узлы. Таким образом, небольшое количество кооператоров может обусловить формирование областей кооперации.

Мыможем сформулировать более общие условия того, станетли пустая клетка кооператором или отступником, на основании доли соседних кооператоров и отступников, атакже коэффициента кооперативного преимущества. Изэтого следует, что обеспечить бутстрэппинг кооперации проще всетях сболее низкой степенью. Этот вывод противоположен полученному входе анализа того, как репутация поддерживает кооперацию, когда более связанная сеть способствует ее поддержанию. Это еще один пример того, что многомодельное мышление способствует получению условных знаний. Навопрос отом, обеспечиваютли связанные сети более высокий или более низкий уровень кооперации, нет однозначного ответа. Если кооперацию поддерживают сложно организованные агенты спомощью репутации, вболее связанных сетях имеет место более широкая кооперация. Если кооперация зародилась или эволюционировала среди агентов спростой организацией, таких как деревья или муравьи, менее связанные сети должны способствовать расширению кооперации.

Кластеризация обеспечивает бутстрэппинг кооперации

Если соседи свободного узла— это кооператор состепенью D иKсоседями-кооператорами, авсе некооператоры пустого узла неимеют соседей-кооператоров, то свободный узел становится кооператором, тогда итолько тогда, когда коэффициент кооперативного преимущества превышает отношение степени к количеству кооператоров[13]:

ГРУППОВОЙ ОТБОР

Наш последний механизм бутстрэппинга, эволюции и поддержки кооперации, групповой отбор, основан на конкуренции или отборе среди групп[14]. Для построения модели группового отбора разделим совокупность на подгруппы. Врамках каждой подгруппы отдельные члены совокупности входят всостав одной изверсий модели совместных действий, вкоторой либо сотрудничают, либо отказываются от сотрудничества. Как ипрежде, мыможем определить результат каждого члена совокупности. Вкаждой группе мытакже можем вычислить результат, равный среднему результату членов группы. Модель описывает отбор среди групп, входе которого копии групп свысокими результатами занимают место групп снизкими результатами. Это создает преимущество для групп кооператоров, которые получают более высокие результаты.

В интуитивном выводе относительно того, что при наличии группового отбора кооперативные группы должны взять верх, есть один подвох: врамках любой группы отступники превосходят кооператоров. Рассмотрим две группы численностью десять человек. Впервую входят два кооператора ивосемь отступников. Вовторую— два отступника ивосемь кооператоров. Предположим, выгода равна 2, аиздержки 1, как и в предыдущем случае. Впервой группе результат каждого отступника равен 4, поскольку онполучает выгоду 2 откаждого кооператора. Каждый кооператор несет издержки 9 иполучает выгоду всего 2, азначит, его результат равен−7. Средний результат члена группы 1,8. Вовторой группе каждый отступник получает выгоду 2 откаждого извосьми кооператоров, азначит, его результат равен 16. Результат каждого кооператора равен 5: онполучает выгоду 14 от остальных семи кооператоров, нонесет издержки 9. Вовторой группе средний результат составляет 7,2.

Эти вычисления приводят к парадоксальному выводу: вкаждой группе отступники получают более высокий результат, чем кооператоры, но вболее результативной группе больше кооператоров. Противоречие должно быть очевидным— индивидуальный отбор поддерживает отказ от сотрудничества, тогда как групповой способствует кооперации— и проявляется в различных экологических, социальных, политических и экономических контекстах. Деревья, чьи корни сотрудничают сдругими деревьями, находятся вхудшем положении по отдельности, новносят свой вклад всоздание более сильных экосистем, способных захватывать свободные пространства. Кооператоры в сообществах могут получать меньше выгод, чем отступники, однако кооперативные сообщества растут быстрее. У политиков, поддерживающих свою партию, вероятность быть переизбранными ниже, чем у политиков, сфокусированных исключительно насебе, но у сплоченных партий больше шансов кразвитию. Человек, работающий накомпанию, может оказаться вхудшем положении, развивая способности, полезные только для нынешнего работодателя, ноесли онэто делает, его компания может превзойти конкурентов.

Модель совместных действий помогла нам выявить это противоречие ивыразить его в количественной форме. Для того чтобы понять, можетли групповой отбор обеспечить бутстрэппинг, эволюцию и поддержку кооперации, нам нужно добавить вмодель больше деталей. Траулсен иНовак предлагают изящную модель, вкоторой совокупности растут, ановые члены напоминают тех, кто получает высокие результаты. Воснове такой модели лежит как индивидуальный, так и групповой отбор. Отбор осуществляется науровне отдельных членов совокупности, но ееболее результативные члены, скорее всего, происходят изгрупп свысоким уровнем кооперации. Когда группа становится достаточно большой, она делится надве части, создавая новую группу. Для предотвращения чрезмерного разрастания совокупности формирование новой группы приводит кудалению случайно выбранной существующей группы. Такая особенность свойственна слабой форме группового отбора[15].

Эти модели показывают, что групповой отбор усиливает кооперацию при условии, что выгода от совместных действий сравнительно велика, а максимальный размер группы небольшой относительно количества групп. Вывод отом, что эффективность группового отбора отчасти зависит от отношения максимального размера группы к количеству групп, объясняет необходимость конкуренции. Наличие большего количества групп подразумевает более высокую вероятность формирования группы только из кооператоров, атакже косвенно указывает наболее высокую конкуренцию. Более неожиданный результат состоит втом, что меньший максимальный размер группы обеспечивает более широкую кооперацию. Меньший максимальный размер группы предотвращает доминирование отступников над группами кооператоров, ограничивая воздействие индивидуального отбора. Вспомните огруппе извосьми кооператоров идвух отступников, где отступники получают более высокий результат. Еслибы ее численность увеличилась до восьмидесяти членов, группа содержалабы гораздо большую долю отступников дотого, как произойдет раздел. Если группа делится надве части, как только ееразмер достигнет двенадцати членов, вхудшем случае после раздела вней будет две трети кооператоров.

Способность группового отбора усиливать кооперацию можно использовать в организациях. Как правило, большинство организаций назначают оплату в зависимости от результатов работы отдельных сотрудников. Разделение сотрудников на конкурирующие друг сдругом команды и распределение бонусов и возможностей на основании результатов работы команд позволяет стимулировать кооперативное поведение. Когда ресурсы предоставляются командам, у сотрудников появляется стимул хорошо вних работать, тоесть поддерживать кооперацию[16]. Такие стимулы должны способствовать расширению сотрудничества вкомандах, если выгода отнего достаточно высокая, аразмер команд относительно небольшой.

Оценивая потенциал группового отбора, необходимо тщательно взвешивать уровень организации отдельных членов совокупности. Деревья адаптируются медленно, поэтому процесс группового отбора небудет протекать быстро. Люди адаптируются быстро, поэтому, если индивидуальные стимулы отказа от сотрудничества достаточно высокие, групповой отбор должен происходить соответствующими быстрыми темпами. Однако люди могут осознавать последствия группового отбора. Они могут учесть конкуренцию между группами иувидеть, что формирование сильной группы отвечает их интересам. Это повышает вероятность кооперации. Все это говорит отом, что мы недолжны слишком доверять тому или иному ограничивающему условию, согласно которому в определенной модели кооперация будет усиливаться, а проанализировать вместо этого множество моделей ивыяснить, сохраняютли актуальность качественные выводы.

РЕЗЮМЕ

Загадку формирования, расширения и поддержания кооперации пытались разгадать тысячи ученых изразных областей науки. Эти исследования проводились спомощью моделей, среди которых самой известной была дилемма заключенного. Если исходить изучастия рациональных акторов в повторяющейся игре, загадка исчезает. Сотрудничество можно поддерживать посредством угрозы наказания. Наказание может осуществляться напрямую входе повторяющейся игры или косвенным образом, всилу репутации. Эти механизмы позволяют объяснить, как кооперация возникает вусловиях высоких ставок и с высокоразвитыми людьми, ноони немогут объяснить, почему склонность к сотрудничеству демонстрируют муравьи, пчелы, деревья иголые землекопы. Изучив кооперацию между игроками, придерживающимися правил, мы обнаружили, что ееразвитие— непростая задача. Рациональные акторы способны поддерживать кооперацию втакой среде, где играющие поправилам субъекты немогут ее развивать.

Кроме того, мы обнаружили, что, хотя примитивные стратегии (такие как «Око заоко») и не оптимальны, они всеже способны поддерживать сотрудничество и не становиться объектом эксплуатации. Последующие исследования показали, что стратегия «Око заоко» нестоль эффективна при наличии случайных ошибок вигре. Если возникает ошибка иигрок отказывается от сотрудничества, два игрока, использующих стратегию «Око заоко», образуют цикл действий, включающих отказ от сотрудничества и сотрудничество. Если постечению обстоятельств оба игрока откажутся от сотрудничества, стратегия «Око заоко» приведет к взаимному отказу от сотрудничества вплоть до возникновения очередной ошибки.

Вреальных играх сдилеммой заключенного ошибки действительно случаются. Самолет авиакомпании Korean Airlines, выполнявший рейс 007 изНью-Йорка с дозаправкой в Анкоридже (Аляска) вСеул, 1сентября 1983года вошел в воздушное пространство Советского Союза. Советский истребитель СУ-15 сбил самолет, в результате чего погибло 269 человек, находившихся наборту. США сочли это отказом Советского Союза от сотрудничества. СССР, полагая, что самолет выполнял секретную операцию, воспринял это как отказ США от сотрудничества.

Во избежание бесконечной серии наказаний заошибку используются другие, более гуманные стратегии, такие как стратегия «выигрываешь— остаешься, проигрываешь— переходишь» (win— stay, lose— shift strategy), тоесть повторение действия вслучае победы иего замена вслучае поражения. Втакой стратегии выигрыш от взаимного сотрудничества (R) ивыигрыш от искушения (T) условно обозначаются как победа, адва оставшихся выигрыша как поражение. Стратегия «выигрываешь— остаешься, проигрываешь— переходишь» начинается с сотрудничества, после чего вслучае победы выполняется тоже действие, что и в предыдущем периоде, а вслучае поражения происходит переход кдругому действию. Проанализировав ряд примеров, можно увидеть, как такая стратегия обеспечивает возврат к кооперативному поведению[17].

Вэтой главе мытакже описали два других механизма. Кластеризация создает условия для бутстрэппинга кооперации. Этот механизм основывается на кооператорах, которые играют друг сдругом и расширяют кооперацию посредством отбора. Групповой отбор действует в соответствии с аналогичной логикой. Группы кооператоров получают высокие результаты и вытесняют группы отступников. Впроцессе построения моделей мы обнаружили, что кооперация, возникающая в результате кластеризации и группового отбора, требует более строгих условий, чем кооперация через повторения или репутацию. Мытакже узнали, что успех различных механизмов зависит оттого, как мы моделируем отдельных членов совокупности. Неследует рассчитывать нато, что эти механизмы будут одинаково работать для людей, муравьев идеревьев. Агенты сболее высоким уровнем организации вбольшей степени способны поддерживать кооперацию, поскольку им свойственна дальновидность, ноони могут и сбольшей вероятностью распознавать выгоды отказа от сотрудничества, будучи в окружении кооператоров.

В большинстве случаев мыговорили о кооперации как отом, что приносит выгоду. Однако объекты могут сотрудничать иради эксплуатации других объектов. Компании образуют картели, чтобы искусственно поддерживать высокие цены, астраны создают коалиции, чтобы ограничить поставку ресурса (такого как нефть), ради собственной выгоды, анедля блага человечества. Опухолевые клетки кооперируются, чтобы противостоять воздействию иммунной системы[18]. Следовательно, при изучении кооперации следует помнить отом, что она невсегда нацелена принести благо. Азиатский буйвол неполучает никакой выгоды от совместных действий львов.

Устойчивое управление природными ресурсами всегда было трудной задачей, стех пор как примерно 50тысяч лет назад hom*o sapiens (человек разумный) развил всебе современную изобретательность, эффективность и охотничьи навыки.

Джаред Даймонд

Вэтой главе мы рассмотрим проблемы коллективных действий: ситуации, когда личные интересы не совпадают с коллективными. Подобные проблемы бывают глобальными и локальными. В аэропортах каждому отдельному путешественнику выгодно стоять как можно ближе к багажному конвейеру, нодля всех былобы лучше, еслибы люди отошли отнего накакое-то расстояние. В демократическом обществе улюдей мало стимулов становиться информированными избирателями, учитывая очень низкую вероятность того, что один голос изменит исход голосования, но демократическое государство функционирует гораздо эффективнее при наличии информированных граждан. Проблемы коллективных действий можно представить ввиде дилеммы заключенного сучастием множества игроков, где укаждого игрока есть стимул отказаться от сотрудничества, новместе они добиваются большего, сотрудничая друг сдругом.

Люди часто изучают модели коллективных действий в контексте исторических примеров, таких как использование шотландских общинных земель или сохранение среды обитания лобстеров на побережьях Ньюфаундленда иштата Мэн[1]. Вистории также есть примеры драматических неудач, среди которых самая известная— крах полинезийской культуры острова Пасхи, описанный вкниге Джареда Даймонда[2]. Остров Пасхи находится более чем в3500 километров отЧили вюжной части Тихого океана, где нет других обитаемых островов врадиусе 2000километров. Учитывая такое местоположение, островитянам всегда приходилось совсем справляться самостоятельно. На протяжении более чем тысячи лет они жили хорошо. По некоторым оценкам, вначале XVII столетия численность населения острова Пасхи превышала пятнадцать тысяч человек. ВXVIвеке островитяне накопили достаточно ресурсов, чтобы высвободить рабочую силу для создания огромных каменных голов под названием моаи весом до восьмидесяти тонн. Пока жители острова Пасхи занимались строительством моаи, они не сотрудничали вобласти рационального использования лесов. Поэтому к1722году, когда европейцы впервые высадились наострове, нанем уже ощущалась нехватка продуктов питания, а численность населения сократилась примерно додвух тысяч человек. Наострове осталось очень мало деревьев выше трех метров, амногие виды птиц иживотных вымерли. Иначе говоря, наступил коллапс цивилизации. Этот процесс завершился, когда вирусы, завезенные европейцами, уничтожили почти все оставшееся население острова.

Помнению Даймонда, гибель цивилизации наострове Пасхи, также как и цивилизаций майя в Центральной Америке, анасази наюго-западе США и винландцев в Гренландии,— следствие климатических изменений и чрезмерного использования природных ресурсов (вызванного организационными и культурными просчетами). Обитатели Винланда выпасали животных на малоплодородных землях исрывали хрупкий дерн для своих жилищ, из-за чего земля вскоре стала бесплодной, и винландцы начали голодать. Подобно обитателям острова Пасхи, они несмогли рационально распорядиться общими ресурсами. Неконтролируемая вырубка деревьев и использование слишком большого количества дерна привели кколлапсу.

Под влиянием этих ярких и убедительных примеров некоторые начали воспринимать проблемы коллективных действий как нечто относящееся исключительно кпрошлому. Ноэто однобокий взгляд напроблему. Поскольку мир становится все более взаимосвязанным исложным, проблемы коллективных действий сегодня еще более актуальны, чем в тевремена. Мы сталкиваемся сними практически навсех уровнях организации человеческого общества. Предоставление государственного образования, охрана физического и психического здоровья, инфраструктура, общественная безопасность, судебная система и национальная оборона— все это проблемы коллективных действий, также как и регулирование мирового рыбного промысла, борьба с изменением климата иособенно сокращение содержания углерода в атмосфере. Кроме того, поскольку работа все больше становится командным видом деятельности, это неизбежно порождает проблемы коллективных действий. Работники склонны присваивать себе результаты труда окружающих. Кроме того, уних есть стимул предъявлять завышенные требования кдоле общего рабочего пространства, чтобы обеспечить место для работы своих команд.

Глава организована следующим образом. Сначала мыдадим определение общей проблемы коллективных действий, азатем проанализируем три конкретных типа таких проблем. Начнем спроблем обеспечения общественных благ, когда люди выделяют деньги на финансирование дорог, школ и социальных служб или вкладывают время иусилия вуборку парков или водосборов. Затем мыизучим проблемы перегруженности, которые вынуждают людей ограничивать использование таких ресурсов, как дорожная система, пляж или парк. И в заключение рассмотрим проблемы добычи возобновляемых ресурсов, когда люди потребляют восстанавливаемый ресурс, такой как рыба, лобстеры или деревья. Проблемы перегруженности возвращаются висходное состояние каждый день. Если слишком много автомобилей заполняют улицы Лондона, затрудняя дорожное движение, можно повысить плату завъезд вгород ирешить проблему, азначит, чрезмерное использование впрошлом неимеет долгосрочных последствий. Авот на устранение последствий неконтролируемой вырубки леса или чрезмерного вылова рыбы могут понадобиться десятилетия. Мы расплачиваемся засвой отказ от сотрудничества впрошлом.

Вкаждой изтрех моделей характер несоответствия между индивидуальными стимулами и коллективными целями отличается, поэтому разнятся ирешения. Проблемы обеспечения общественных благ можно решить посредством налогов, аиногда ипутем сортировки. Проблемы перегруженности решаются спомощью денежных сборов или ограничений на использование. Решение проблем с возобновляемыми ресурсами требует более тщательного мониторинга исанкций, атакже механизмов урегулирования конфликтов.

Предлагаемые нами решения дают обобщенную базовую информацию, которую необходимо адаптировать к конкретному контексту. Любая реальная ситуация включает всебя уровни сложности, не учитываемые моделями. Балийские водные храмы решают проблему распределения воды (которая является проблемой непрерывной перегруженности), предоставляя обитателям верховья реки возможность использовать ресурс первыми. Международные права нарыбный промысел, ограничивающие доступ к рыболовным угодьям, решают проблему использования общих ресурсов в отношении движимого ресурса, подобно тому как решение проблемы прибрежного рыбного промысла вНорвегии может быть подорвано чрезмерным выловом рыбы в прибрежных водах Швеции, России иДании[3]. Реальные решения вкакой-то мере основаны на механизмах, окоторых шла речь вглаве22 в контексте формирования кооперации вдилемме заключенного, таких как повторение, репутация, сетевая структура и групповой отбор. Групповой отбор оказывает косвенное воздействие: города истраны, преуспевшие врешении этих проблем, будут процветать, адругие будут копировать ихуспехи.

ПРОБЛЕМЫ КОЛЛЕКТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ

Вслучае проблемы коллективных действий укаждого человека есть выбор— внести свой вклад или быть «безбилетником». Роль безбилетника отвечает интересам отдельного человека, обеспечивая ему более высокий выигрыш. Вместе стем, когда каждый вносит свой вклад, это приносит общую выгоду.

Проблема коллективных действий

Вслучае проблемы коллективных действий каждый изNчеловек решает либо быть безбилетником (f), либо внести свой вклад (c) в коллективное действие. Выигрыш каждого человека зависит отего собственных действий иобщего количества кооператоров. Отдельные люди получают более высокий выигрыш вроли безбилетника, Payoff(f, C) > Payoff(c, C+ 1), однако сумма выигрышей достигает максимального значения, когда все вносят свой вклад.

Проблему коллективных действий можно представить ввиде многопользовательской версии дилеммы заключенного. Следовательно, мыможем вернуться к предложенным вглаве22 решениям, чтобы почерпнуть идеи отом, как сформировать и поддерживать кооперацию. Однако такой подход будет неполным подвум причинам: проблемы коллективных действий охватывают группы и сообщества, а непросто пары игроков; кроме того, многие проблемы коллективных действий принимают определенные формы, которые делают одни решения более эффективными, чем другие.

ОБЩЕСТВЕННЫЕ БЛАГА

Первый тип проблем коллективных действий связан с обеспечением общественных благ. Общественные блага обладают такими свойствами, как неконкурентность (использование общественного блага одним человеком никоим образом немешает другому человеку тоже его использовать) инеисключаемость (невозможно помешать людям использовать общественное благо). К общественным благам относится чистый воздух, национальная оборона, раннее предупреждение о приближении торнадо и накопление знаний. Конституция США включает вкруг обязанностей правительства обеспечение правосудия, поддержание общественного порядка исоздание общей системы обороны. Эти задачи тоже относятся кчислу общественных благ.

Личным благам (таким как велосипеды, овсяное печенье ит.д.) неприсущи свойства неконкурентности и неисключаемости. Знания, напротив, обладают обоими свойствами. Сопоставление овсяного печенья сознанием тригонометрии подчеркивает эту разницу. Учитель может сказать: «Карла съела последнее овсяное печенье, поэтому больше никто неможет его съесть». Но он неможет сказать: «Мелисса, извини, ноКарла только что использовала теорему Пифагора, поэтому больше никто несможет ее использовать».

Неисключаемость и неконкурентность общественных благ порождают проблему коллективных действий непотому, что люди нехотят вносить свой вклад. Они хотят. Проблема возникает потой причине, что люди недооценивают свой вклад. Каждый доллар, который вносит человек, увеличивает полезность для всех. В формальной модели, которую мыздесь описываем, каждый человек распределяет свой доход между общественным благом и репрезентативным личным благом, коим могут выступать деньги, которые можно потратить начто-то другое. Расширение модели для включения множества общественных иличных благ только усложнит анализ.

Проблема обеспечения общественных благ

Каждый изNчеловек распределяет свой доход I > N между общественным (PUBLIC) иличным (PRIVATE) благом, стоимость единицы которого составляет 1доллар. Каждый человек имеет следующую функцию полезности:

Социально оптимальное распределение: PUBLIC= N (если N= 100, каждый человек вносит 100долларов).

Равновесное распределение: (если N= 100, каждый человек вносит 0,01доллара)[4].

Вэтой модели мыисходим изтого, что функция полезности является вогнутой для общественного блага, адля личного блага— линейной. Эти два допущения подразумевают наличие мотивации. Вспомните отом, что вогнутость соответствует убывающей отдаче: чем больше блага потребляет человек, тем меньше его ценит. Вогнутость вслучае количества общественного блага свидетельствует об убывающей предельной отдаче отэтого блага. Это стандартное предположение. Строительство третьей полосы автомагистрали приносит людям большую выгоду, чем строительство четвертой. Люди получают больше пользы оточистки воздуха свысоким уровнем загрязнения, чем отудаления последних нескольких частиц намиллион. Вслучае личного блага мыисходим из линейности функции полезности, потому что она представляет всю совокупность личных благ. Хотя функция полезности может быть вогнутой для любого отдельного блага, будь тошоколад, телевизоры или джинсовые куртки, для всех товаров она скорее всего более близка клинейной функции. Дополнительное преимущество этого предположения состоит втом, что оно упрощает анализ модели.

Сначала давайте найдем социально оптимальное распределение, которое определим как распределение, максимизирующее сумму значений полезности всей совокупности: наибольшее счастье наибольшего количества людей[5]. Социально оптимальное распределение требует, чтобы каждый человек выделял 1доллар на общественное благо для каждого члена совокупности. Обратите внимание, что сумма, которую вносит каждый человек в общественное благо, увеличивается помере роста размера совокупности. Этот результат независит от конкретной функции, авытекает изтого факта, что вболее крупной совокупности неконкурентное общественное благо может приносить пользу большему количеству людей. Чем больше людей пользуются преимуществами чистого воздуха или национальной обороны, тем больше этих общественных благ следует предоставлять.

Равновесные взносы равны 1, деленной наразмер совокупности. При увеличении ее численности улюдей появляется больше стимулов извлекать выгоду извклада других людей в общественное благо, неприлагая кего созданию никаких усилий. Для того чтобы понять, почему это происходит, можно увеличить размер совокупности наединицу. Новый человек получает такуюже полезность от общественного блага, как ивсе остальные ранее. Если вклад остальных будет прежним, унового человека будут более слабые стимулы вносить свой вклад в общественное благо, чем стимулы, которые были у остальных впрошлом. Поэтому онвнесет меньше, чем другие. Кроме того, какуюбы сумму нивнес новый человек, это увеличивает общий объем общественного блага исоздает стимулы для остальных вносить меньше, чем раньше.

Таким образом, модель показывает, что помере увеличения размера совокупности проблемы обеспечения общественных благ усугубляются. Оптимальный уровень блага повышается, тогда как стимулы вносить свой вклад ослабевают. Формулы, выведенные внашей модели (для N и), действительно зависят отисходных функций, однако феномен недостаточного обеспечения общественных благ вобщем случае сохраняется.

Воснове этого анализа лежит предположение отом, что люди руководствуются собственными интересами— предположение, которое широко применяется в экономических моделях. Однако результаты опросов, экспериментов и случайных наблюдений свидетельствуют отом, что людям всеже свойственна склонность учитывать интересы окружающих. Люди хотят хороших школ идорог для других втойже мере, что идля себя. Мыможем принять вовнимание склонность учитывать интересы других, включив вмодель показатель альтруизма. Нулевое значение этого показателя соответствует движимому личными интересами рациональному экономическому агенту, азначение 1 соответствует тому, кто заботится одругих также, как осебе. Как показано воврезке, чистые альтруисты (люди, которые заботятся обо всех одинаково) вносят свой вклад в социально оптимальный уровень общественных благ. Все, что не достигает уровня чистого альтруизма, приводит кнехватке общественных благ.

Обеспечение общественных благ среди альтруистов

N человек имеют альтруистические предпочтения свесовым коэффициентом совокупной полезности, равным α:

Равновесный вклад чистых альтруистов (α= 1) (PUBLIC= N).

Равновесное общее решение[6]: .

Пример: :

Согласно расчетам, вбольших совокупностях люди вкладывают в общественное благо долю оптимального уровня, примерно равную квадрату показателя альтруизма. Хотя степень нехватки общественных благ зависит отфункции полезности, этот пример демонстрирует пределы альтруизма. Люди, которые заботятся одругих вдвое меньше, чем осебе, вносят вобщее благо четверть оптимального уровня. Люди, забота которых одругих составляет треть ихзаботы осебе, вносят вобщее благо всего одну девятую от оптимального уровня.

Учитывая, что мыживем не вмире чистых альтруистов, нам нужно искать другие механизмы, такие как налогообложение. Правительства вводят налоги для финансирования дорог, обороны страны, образования, системы правосудия идругих общественных благ. Для определения размера налогов требуется более сложная модель, учитывающая неоднородность дохода и предпочтений. Люди моглибы проголосовать засумму иставку единого налога. Согласно прогнозу модели пространственного голосования, ставка налога должна быть равной предпочтительному уровню общественного блага для медианного участника голосования. Этот уровень может небыть социально оптимальным вслучае неоднородности дохода и предпочтений людей.

Многие общественные блага, такие как школы, дороги и программы переработки отходов, можно отнести к категории локальных общественных благ. Местное сообщество может не допускать ктакому благу других, но врамках самого сообщества общественное благо является неконкурентным и неисключаемым. Вслучае локальных общественных благ возможность формировать сообщества наоснове своих предпочтений (так называемая сортировка Тибу) представляет собой вероятное решение проблемы обеспечения общественных благ. Люди, которым нужны лучшие школы, общественные парки, бассейны изащита полиции, могут проголосовать завведение более высоких налогов для финансирования этих общественных благ. Люди, которым это ненужно, могут жить в отдельном сообществе иплатить более низкие налоги. Сортировка Тибу непанацея. Она предполагает сопутствующие издержки, втом числе снижение уровня социальной сплоченности. Более того, когда люди свысоким уровнем доходов отгораживаются от остальных, они сокращают объем общественных благ вболее бедных общинах и ограничивают межсетевое взаимодействие, которое обеспечивает передачу информации изнаний[7].

МОДЕЛЬ ЗАТОРОВ

Вмодели коллективных действий второго типа, касающейся таких ресурсов, как дороги, пляжи исистемы водоснабжения, ценность ресурса для отдельного человека снижается помере увеличения количества пользователей. Каждый, кто когда-либо попадал вдорожные заторы, сталкивался с проблемой перегруженности на собственном опыте. Свободная дорога приносит больше удовольствия ипользы, чем дорога, забитая автомобилями. По некоторым оценкам, издержки всвязи с замедленным движением транспорта надорогах составляют вСША около 100миллиардов долларов вгод. В некоторых городах (особенно вЛос-Анджелесе и Вашингтоне) люди всреднем простаивают впробках более шестидесяти часов вгод.

Наша модель заторов описывает ресурс с фиксированным объемом. Выгода, которую получает человек отего использования, находится влинейной зависимости от количества других пользователей[8]. Наклон этой линии, показатель перегруженности, отражает величину эффекта перегруженности.

Модель заторов

M изNчеловек решают воспользоваться ресурсом. Их полезность можно записать так:

Utility(M)= B− Θ· M,

где B— это максимальная выгода, аΘ— показатель перегруженности. Оставшиеся (N− M) людей воздерживаются от использования данного ресурса иполучают нулевую полезность[9].

Социально оптимальное решение:

Равновесие Нэша:

Вслучае социально оптимального решения количество людей, использующих данный ресурс, равно максимально возможной выгоде, деленной на удвоенный показатель перегруженности. Этот результат совпадает с интуитивными выводами. Количество людей, использующих ресурс, должно расти вместе с максимальной выгодой и сокращаться помере увеличения эффекта перегруженности. Врешении, которое обеспечивает равновесие Нэша, количество людей, использующих данный ресурс, ровно вдвое больше социально оптимального количества. Уровень перегруженности повышается настолько, что никто неполучает никакой выгоды. Этот результат вытекает из предположения, что использование ресурса дает нулевую полезность. Парадоксальное следствие изэтого вывода состоит втом, что город, который строит красивый парк, может не создавать большую полезность для горожан, поскольку при равновесии парк будет достаточно переполнен, из-за чего пребывание внем будет менее комфортным, чем отдых дома.

Когда модель дает результат, противоречащий здравому смыслу, его нужно проанализировать. Наличие парка должноделать людей счастливее, азначит, модель будет неправильной. Она действительно неправильна, поскольку мыисходили из предположения, что все люди получают одинаковое удовольствие отпарка. Ноесли это нетак, тоодни могут получить положительную полезность от посещения парка, тогда как другие неизвлекут никакой выгоды. Во-вторых, модель предполагает, что впарке всегда многолюдно, хотя насамом деле это нетак. В-третьих, альтернативным вариантом домашнему отдыху может быть поход напляж. Следовательно, новый парк может разгрузить пляж. Инаконец, людям нравятся разнообразные впечатления. Если вгороде есть отдельные парки для катания на скейтбордах, для выгула собак иаквапарк, люди могут извлечь выгоду из разнообразия впечатлений, полученных на протяжении нескольких недель.

Несмотря навсе эти недостатки, главный результат всеже сохраняет свою силу. Всамое горячее время перегруженность достигнет такого уровня, что парк обеспечит выгоду небольше, чем любой другой вид деятельности. Переполненность по-прежнему будет иметь место, но не втакой степени, как при наличии одного парка. Кроме того, как показано воврезке ниже, строительство нескольких парков не гарантирует оптимального распределения людей между ними. Впримере, показанном воврезке, вслучае равновесия слишком много людей идут вболее крупный парк.

Множество перегружаемых общественных благ

M человек посещают парк 1, а(N− M)— парк 2. Сучетом того, что парк 2 больше парка 1, полезность этих парков можно описать так[10]:

Парк 1: Utility(M)= N− M.

Парк 2: Utility(N− M)= 3N− 3· (N− M).

Социально оптимальное решение: обеспечивает общую полезность N².

Равновесие Нэша: обеспечивает общую полезность , создавая общую полезность .

В дополнение к строительству большего количества парков город может внедрить другие решения, такие как нормированное распределение, поочередный доступ, проведение лотереи, денежные сборы и увеличение объема ресурса. При нормированном распределении каждый человек или семья получает определенный объем ресурса. Это решение уместно для делимых ресурсов, таких как вода, номенее приемлемо вслучае дорог. Схемы ротации делят использование ресурса повремени. Впериод высокого загрязнения воздуха городские власти могут запретить въезд автомобилям счетными (или нечетными) номерами в определенные дни. Для других ресурсов, таких как места в популярных государственных школах, невозможно применить нормированное распределение или ротацию доступа. Тогда можно провести лотерею.

Что касается доступа кдорогам, тоздесь весьма популярно такое решение, как денежные сборы. Оно применяется наплатных дорогах с ограниченным доступом вовсем мире. Плата за использование обеспечивает предоставление ресурса тем, кто готов заплатить наибольшую сумму. Иэто невсегда телюди, которые получилибы максимальную полезность. Сингапур использует комбинацию денежных сборов и ограниченного доступа. Для этого там ежегодно проводятся аукционы попродаже определенного количества разрешений навъезд транспортных средств. Эти разрешения, действующие на протяжении десяти лет, часто продаются поцене, превышающей стоимость обычного автомобиля. Чтобы уменьшить заторы вчасы пик, в Сингапуре (как и вЛондоне) взимается плата завъезд в центральный деловой квартал. Дорожное движение Сингапура вполне благополучно как для города такого размера, а правительство собирает значительные суммы, которые затем можно направить наразвитие общественного транспорта.

Увеличение пропускной способности дорог приводит к неоднозначным результатам. Когда город прибавляет к автомагистралям новые полосы, чтобы увеличить транспортный поток, это делает жилье вдоль таких магистралей более привлекательным, что создает положительную обратную связь. Обусловленная этим активизация жилищного строительства увеличивает количество транспорта, что требует еще более широких дорог. Это создает петлю положительной обратной связи, подобную той, которая описана вмоделях системной динамики вглаве18.

ДОБЫЧА ВОЗОБНОВЛЯЕМЫХ РЕСУРСОВ

В заключение рассмотрим добычу возобновляемых ресурсов, когда люди совместно пользуются самовосстанавливающимся ресурсом. Эта модель применима клесам, бассейнам рек, пастбищам ирайонам рыболовного промысла. Вкаждом изэтих случаев объем ресурса, доступный вбудущем, зависит от количества использования этого ресурса в настоящем. Если потребляется слишком много, то онможет не восстановиться достаточно быстро. Необходимость восстановления ресурса делает эти проблемы более значимыми, чем проблемы обеспечения общественных благ изаторов. Город, который недофинансировал уличное освещение водин год, может увеличить расходы в следующем году, не сталкиваясь с долгосрочными последствиями этой ошибки. Чрезмерный вылов рыбы или вырубка леса приводят к долгосрочным издержкам, поскольку для разведения рыбы нужна рыба. Вам ненужны уличные фонари, чтобы установить уличные фонари. Кроме того, возобновляемый ресурс может относиться кчислу базовых потребностей человека, таких как пища, вода итопливо. Такие ресурсы нужны людям для выживания.

Модель добычи возобновляемых ресурсов

Пусть R(t) обозначает объем возобновляемого ресурса вначале периода t. Пусть C(t) равно общему объему использованного ресурса запериод t, аgобозначает темп роста ресурса. Объем ресурса запериод t+ 1 задается следующим разностным уравнением[11]:

R(t+ 1)= (1+ g)[R(t)− C(t)].

Равновесный уровень потребления ресурса:

Проблемы добычи возобновляемых ресурсов указывают на переломный момент вуровне потребления ресурса. Любая норма потребления, превышающая равновесную норму добычи, приводит кколлапсу, что можно доказать спомощью формальной модели. Объем ресурса можно представить ввиде кругового поля (пирога). Потребление откусывает отнего куски. Рост обеспечивает возобновление ресурса вразмере, пропорциональном оставшемуся объему. При низком уровне потребления ресурс будет увеличиваться вобъеме. Однако восстановление ресурса несможет компенсировать высокий уровень потребления. В промежутке между этими двумя вариантами находится равновесный уровень потребления, который полностью компенсируется засчет восстановления ресурса.

Если потребление ресурса превышает равновесный уровень, модель прогнозирует ускоряющееся снижение, которое перерастает врезкий спад. Медленное снижение, закоторым следует резкий спад, служит предупреждением тем, кто занимается вопросами использования ресурсов, трудно поддающихся количественной оценке, таких как рыбные запасы. Данные огодовом улове дают определенное представление о происходящем, новесьма приблизительное. Нас недолжно удивлять, что вылов трески в Североатлантическом регионе обусловил современный коллапс, сопоставимый по масштабам с трагедией винландцев, окоторых рассказывает Джаред Даймонд всвоей книге огибели обществ. Треску ловят вСеверной Атлантике более пятисот лет. Британские мореплаватели, которые впервые побывали на канадском побережье, рассказывали истории отом, что ловили треску корзинами ичто имбыло трудно грести на мелководьях из-за ееогромных косяков. В1992году Канада ввела мораторий навылов трески[12].

Наша модель добычи ресурсов предполагает постоянный темп роста, что позволяет вычислить равновесный уровень потребления. Однако вреальной жизни темпы роста варьируются изгода вгод. Вслучае пастбищ рост зависит от температуры и количества осадков. Темп роста популяции рыбы зависит от количества доступной пищи, которое, всвою очередь, зависит от колебаний метеоусловий и климатических изменений.

Вдвух других моделях вариация неимеет долгосрочных последствий. В некоторые годы образуется слишком большой объем общественных благ или чуть меньше заторов. Это сказывается на полезности, но, пожалуй, не вбольшей степени, чем неизбежные колебания погодных условий. Однако вслучае проблем добычи возобновляемых ресурсов вариация приводит либо крезкому сокращению объема ресурсов, либо к ихизобилию, при условии, что поведение неменяется. Нарис.23.1 показана средняя скорость восстановления вразмере 25процентов и100 единиц ресурса. Сучетом этих допущений равновесный уровень потребления равен 20единицам вгод. Нарисунке отображена переменная скорость роста, выбранная случайным образом в диапазоне от20 до30процентов. Вмодели также используется максимальный объем ресурса, установленный науровне 150.

Рис.23.1. Варианты развития событий вслучае изменения скорости роста ресурса

Примерно вполовине случаев объем ресурса резко сокращается, а вдругой половине случаев увеличивается до максимально возможного уровня. Эти колебания не нейтрализуют друг друга. Напротив, эффект сокращения или роста современем накапливается[13]. Наоснове этой имитационной модели мывидим, что оптимальная политика потребления ресурса должна сводиться кснижению уровня потребления после неблагоприятных лет, чтобы предотвратить коллапс.

Учитывая, что вариация темпов роста возобновляемых ресурсов требует, чтобы уровень потребления менялся вместе собъемом ресурса, сообщества, обеспечивающие управление возобновляемым ресурсом, должны уметь корректировать объемы добычи. Метод или механизм, используемый для внесения таких коррективов, зависит от особенностей ресурса. Здесь можно позаимствовать фразу «Панацеи не существует»[14]. Ниодно решение неможет быть эффективным вовсех случаях. Как местное население решает подобные проблемы, зависит от характеристик ресурса иобщины.

Рыба отличается открупного рогатого скота. Община, которая содержит несколько стад крупного рогатого скота наобщинных землях, может контролировать поведение людей иобъем ресурса (количество травы). Проблему пастбищ можно решить посредством схем ротации, в соответствии скоторыми каждый животновод получает выделенное время или зоны для выпаса. Такая ротация позволяет корректировать выпас в зависимости отвысоты травы. Однако вобщинах, занимающихся рыбным промыслом, управление рыбными ресурсами требует более тщательно продуманных институтов, способных контролировать поведение отдельных людей. Количество рыбы вморе подсчитать невозможно— его можно только приблизительно оценить на основании данных овылове. Поэтому здесь проблеме добычи ресурсов свойственна более высокая неопределенность по сравнению с разведением крупного рогатого скота. Управление общим водным ресурсом требует консервативного подхода иболее тщательного мониторинга.

РЕШЕННЫЕ И НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОЛЛЕКТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ

В проблемах коллективных действий результаты, проистекающие из корыстного поведения, неотвечают целям людей. Как уже отмечалось, такие проблемы имеют место всамых разных ситуациях. Они возникают при оплате неконкурентных и неисключаемых благ, при принятии решений овремени проезда по автомагистрали идаже входе самой поездки. Водители, которые едут по оживленной трассе, несоблюдая дистанцию и разговаривая посотовому, могут не учитывать последствий этих действий для едущих позади автомобилей вслучае аварии.

Подобные проблемы существуют наразных уровнях. Они возникают врамках семейных отношений: уборка дома, приготовление ужина, походы вмагазин и откладывание денег наотпуск могут создать несоответствие между индивидуальными стимулами иобщим благополучием. Такие проблемы возникают вгородах, регионах истранах всвязи с обеспечением общественных благ и использованием и управлением ограниченными ресурсами. Они также существуют в глобальном масштабе вслучае выбросов углерода. Большинство стран предпочлибы самостоятельно производить больше энергии (что означает больше выбросов углерода), ноиметь при этом более низкий глобальный уровень выбросов: индивидуальные рациональные действия не согласуются собщим благом.

Проблемы коллективных действий возникают и вмире природы. Деревья влесу конкурируют засвет иводу. Если удеревьев определенного вида развивается более высокая крона или более глубокие корни, это повышает ихшансы на выживание, но негативно сказывается надругих видах деревьев. Деревья немогут принимать законы, запрещающие имрасти слишком высокими или добираться корнями доболее глубоких вод, поэтому социально оптимальное решение для них недоступно[15].

Проблемы коллективных действий, как правило, легче решать вслучае более мелких и однородных групп людей или субъектов, имеющих кним отношение, атакже при наличии более качественной информации (тоесть когда действия проще, а состояние системы контролируемо). Тогда как семьи обычно справляются с проблемами коллективных действий, международным организациям сотрудничество дается гораздо труднее. Мероприятия по сокращению выбросов углерода требуют координации действий врамках большой группы разнообразных акторов, использующих методы мониторинга, которые не обеспечивают точных результатов. Решение таких проблем требует координации и механизма принуждения. История учит нас тому, что чрезмерный вылов рыбы или выпас скота создает риск коллапса. Тоже самое можно сказать иотех проблемах коллективных действий, скоторыми мы сталкиваемся в настоящее время. Элинор Остром, которая на протяжении десятилетий изучала предпринимаемые реальные усилия порешению проблем коллективных действий, пришла квыводу, что помимо мониторинга нарушений те сообщества, которые занимаются решением проблем коллективных действий, договариваются очетких границах, введении твердых правил, предоставлении полномочий на применение дифференцированных санкций исоздании механизмов разрешения споров[16].

Институты создаются для изменения человеческого поведения. Для того чтобы они сохраняли эффективность стечением времени, их необходимо адаптировать к изменениям в окружающей среде или обществе, которое они призваны регулировать.

Дженна Беднар

Вэтой главе мыпокажем, как использовать модели для разработки политических и экономических институтов. Институт включает инструменты для обмена информацией, атакже процедуры принятия решений, перераспределения ресурсов или получения требуемых результатов наоснове имеющейся информации. Нарынках люди обмениваются информацией посредством цен для заключения торговых сделок ипринятия производственных решений. В иерархических системах они взаимодействуют спомощью письменного языка сцелью организации выполнения рабочих планов, а в демократических странах сообщают освоих предпочтениях путем голосования. При этом правила голосования определяют политику. Тщательно разработанные институты стимулируют коммуникации идействия, которые обеспечивают требуемый результат. Неэффективные институты этого неделают.

Вглаве представлена концептуальная схема моделирования институтов, известная как дизайн механизмов. Вней выделяется четырем аспекта реальных институтов: информация (то, что участники знают идолжны сообщить); стимулы (выгоды ииздержки совершения определенных действий); агрегирование (то, как индивидуальные действия трансформируются в коллективный результат); вычислительная сложность (когнитивные требования, предъявляемые к участникам).

Истоки дизайна механизмов восходят канализу общих вопросов, связанных с распределением благ, в частности вопроса отом, обеспечиваютли рыночные механизмы или централизованное планирование их оптимальное распределение. Первые модели исходили из поведенческих правил, таких как принятие установившихся нарынке цен или правдивое голосование. Затем автор модели анализировал последствия таких линий поведения, например, как они агрегируются. Современем оттакого подхода отказались впользу подхода, учитывающего оптимизирующее поведение, что сделало эти конструкции поддающимися объяснению сточки зрения теории игр. Далее специалисты подизайну механизмов находят равновесия Нэша и сравнивают институты сучетом рационального поведения.

Данная концептуальная схема доказала свою полезность. Ееможно использовать для поиска недостатков в действующих правилах и процедурах, чтобы объяснить, почему теили иные институты преуспевают или терпят неудачу, атакже для прогнозирования результатов. С еепомощью разработано множество институтов, втом числе аукционы частот, окоторых шла речь вглаве2, атакже много других торговых интернет-площадок, государственных систем голосования идаже процедур выделения пространства для проектов на космических кораблях многоразового использования[1].

В представленном вглаве анализе шесть частей. Сначала мыопишем концептуальную схему дизайна механизмов спомощью диаграммы Маунта-Рейтера. Затем рассмотрим задачу сучастием трех человек, выбирающих издвух альтернатив. Втретьей части проанализируем три механизма проведения аукционов и обнаружим, что все они дают одинаковые результаты. В четвертой покажем, что это не случайное совпадение, иопишем фундаментальный результат— теорему об эквивалентности доходов, которая доказывает, что любой механизм проведения аукциона, удовлетворяющий определенным исходным предположениям, обеспечивает один итотже исход. Впятой части мысравним механизм голосования поправилу большинства голосов с механизмом опорных точек как способами принятия решений оцелесообразности реализации того или иного общественного проекта. И в заключение расширим обсуждение механизмов сучетом критики равновесий Нэша.

ДИАГРАММА МАУНТА-РАЙТЕРА

Механизм состоит изшести частей: среда (соответствующие свойства мира); набор исходов; набор действий (называемый пространством сообщений); правило поведения, которого придерживаются люди, чтобы произвести действие; функция исхода, которая устанавливает соответствие между действиями иисходами, атакже соответствие общественного выбора, ставящее среду в соответствие со множеством желаемых исходов. Соответствие общественного выбора обычно включает либо исход, максимизирующий сумму значений полезности участников, либо множество Парето-эффективных распределений. Исход эффективен поПарето тогда итолько тогда, когда не существует другого результата, которомубы все отдавали предпочтение. Эффективность поПарето— это нижний предел.

Эффективность поПарето

Впределах множества исходов тот или иной исход является доминируемым поПарето при наличии альтернативы, которой все отдают предпочтение. Все остальные исходы эффективны поПарето[2].

Диаграмма Маунта-Райтера отображает все эти важные элементы механизма графически (рис.24.1), сопоставляя то, что нам нужно, стем, что унас есть. В ееверхней части соответствие общественного выбора описывает исходы, ккоторым мыобычно стремимся. Внижней части отображен адаптированный вариант реальности. Люди применяют правила поведения для передачи сообщений или выполнения действий. Функция исхода устанавливает соответствие между этими действиями и результатами. Видеале нижний, более сложный путь, обеспечивает тотже результат, что иверхний путь, тоесть желаемый исход.

Рис.24.1. Диаграмма Маунта-Райтера

Однако невсе механизмы эффективны. Например, если среда включает людей с определенными предпочтениями в отношении какого-то общественного блага, соответствие общественного выбора сопоставляет их предпочтения с оптимальным уровнем этого блага. Но, как мывидели вглаве23, механизм добровольных взносов, согласно которому люди платят за определенную долю общественного блага столько, сколько пожелают, приводит ктому, что каждый человек обеспечивает единиц общественного блага, а не оптимальное количество— Nединиц. Когда исход, порождаемый определенным механизмом, не согласуется снашими целями, мыговорим, что этот механизм не обеспечивает соответствия общественного выбора.

Список свойств, которым должен удовлетворять механизм, зависит от контекста. Мыопишем пять таких свойств. Во-первых, равновесный исход, полученный спомощью механизма, должен согласовываться с принципом соответствия общественного выбора (эффективность поПарето). Во-вторых, видеале участники должны применять доминирующие стратегии, тоесть ихдействия недолжны зависеть отдействий остальных. Если это так, мыговорим, что эффективный исход достижим спомощью доминирующей стратегии. В-третьих, механизм должен быть таким, чтобы ненужно было принуждать людей внем участвовать (добровольное участие). В-четвертых, если механизм подразумевает передачу или оплату ресурсов, необходимо, чтобы не приходилось вкладывать дополнительные средства или истощать ресурсы (сбалансированность бюджета). Далее входе анализа механизмов принятия решений по общественно значимым проектам мыувидим, что удовлетворить эти условия непросто. Инаконец, в-пятых, вомногих случаях требуется раскрытие истины. Сообщения, которые отправляют люди, должны раскрывать ихистинную информацию или истинный тип. Специалисты потеории игр называют это совместимостью постимулам. В большинстве значимых случаев ниодин механизм неможет удовлетворять всем условиям. Таким образом, одно изважных достижений дизайна механизмов— демонстрация пределов возможного.

ПРИНЦИП БОЛЬШИНСТВА ИМЕХАНИЗМ «СОЗДАТЕЛЬ КОРОЛЕЙ»

Первый тип рассматриваемой нами среды включает людей, голосующих за совершение совместного действия или принятие законопроекта. Мывозьмем трех человек (назовем ихУма, Вера иУилл), которые хотят вместе посмотреть фильм идолжны решить, что это будет— боевик, драма или комедия. Этаже среда применима ктрем военным, решающим, атаковатьли противника, оборонять свои позиции или отступать. Влюбой интерпретации среда состоит изтрех человек с предпочтениями потрем альтернативам. Запишем эти предпочтения ввиде упорядоченного списка. Порядок предпочтений «боевик > комедия > драма» говорит отом, что наибольшее предпочтение отдается боевику, далее следует комедия, азатем драма. Мыбудем исходить из следующих порядков предпочтений:

Ума: боевик > комедия > драма

Вера: комедия > драма > боевик

Уилл: комедия > драма > боевик

Вэтом примере мы представим соответствие общественного выбора как множество Парето-эффективных вариантов выбора. Сучетом предполагаемых предпочтений комедия ибоевик являются эффективными поПарето, адрама— доминируемой поПарето по отношению ккомедии.

Сначала оценим вкачестве механизма принцип большинства. Вслучае равного разделения голосов будем исходить изтого, что выбор делается в случайном порядке. Если люди голосуют честно, токомедия получает два голоса. Однако допустим, что иВера, иУилл думают, что голоса двоих оставшихся распределятся между драмой ибоевиком ичто каждый проголосует задраму. Предположим также, что голосование проходит поочереди. Вера голосует первой ивыбирает драму. Уилл голосует вторым иделает тоже самое. Голос Умы уже неважен, нодопустим, что во избежание конфликта она тоже голосует задраму. Эти три голоса образуют равновесие Нэша. Ни укого нет стимула менять свой голос. Вданном случае принцип большинства невсегда приводит кПарето-эффективному исходу.

Теперь рассмотрим механизм «Создатель королей»[3]. В соответствии сним одного человека в случайном порядке выбирают «создателем королей». Затем он назначает «короля», который и определяет выбор группы. Если создателем короля будет Уилл, то ондолжен выбрать между Умой иВерой. Когобы он нивыбрал, этот человек становится королем ивыбирает фильм.

Если выбранный вкачестве короля человек действует рационально, то онвыберет свой любимый фильм. Следовательно, такой исход будет эффективным поПарето. Всилу этого механизм создателя королей обеспечивает получение Парето-эффективных исходов. Дополнительное преимущество этого механизма состоит втом, что если улюбых двух человек один итотже любимый фильм, то онбудет выбран независимо оттого, кого Уилл назначит королем. Так произойдет, если Ума иВера предпочитают один итотже фильм. Однако если Уиллу иУме нравится один итотже фильм, тоУиллу нужно выбрать Уму.

ТРИ ТИПА АУКЦИОНОВ

Теперь, получив базовое представление о механизмах, приступим кизучению аукционов. Большинство изнас немного знакомы с аукционами ввиду широкого распространения таких интернет-площадок, как eBay. Аукционы используются и вдругих ситуациях, втом числе при заключении государственных контрактов, нарынках подержанных автомобилей и в большинстве случаев размещения интернет-рекламы. Мы сосредоточимся на аукционах сучастием одного продавца и множества участников торгов. Вкачестве предмета торгов может выступать дом, автомобиль, билеты на футбольный матч или произведения искусства. Предположим также, что каждый участник торгов устанавливает предмету торгов уникальную оценочную стоимость, чтобы исключить равенство результатов. Тогда Парето-эффективным исходом будет такой исход, при котором предмет торгов достается участнику ссамой высокой оценочной стоимостью. Любой другой исход будет Парето-доминируемым по отношению кэтому исходу. Теперь сравним три типа аукционов: аукцион с повышением цены, аукцион первой цены иаукцион второй цены.

АУКЦИОНЫ С ПОВЫШЕНИЕМ ЦЕНЫ

Входе аукциона с повышением цены аукционист называет цену. Любой участник торгов, готовый ее заплатить, поднимает руку. Аукционист повышает цену дотех пор, пока не останется один участник; онзатем платит цену, накоторой предпоследний участник опустил руку. Вслучае аукциона с повышением цены рациональный участник торгов участвует ваукционе дотех пор, пока цена не достигнет его оценочной стоимости. Если онвыйдет раньше, томожет неполучить предмета торгов похорошей цене. Еслиже он продолжит участие ваукционе после того, как цена превысит его оценочную стоимость, томожет получить предмет торгов, нозаплатит занего больше оценочной стоимости, что витоге даст чистый убыток.

Когда все участники торгов действуют рационально, участник ссамой высокой оценочной стоимостью получает предмет торгов иплатит занего цену, равную оценочной стоимости участника, предложившего вторую повеличине цену. Вкачестве примера предположим, что есть три участника торгов с оценочной стоимостью 30, 60 и80долларов. Когда цена, названная аукционистом, превышает 30долларов, первый участник торгов выходит изаукциона. Когда цена достигает 60долларов, аукцион покидает второй участник. В результате третий участник выигрывает аукцион иплатит 60долларов[4].

Вслучае аукциона второй цены участник торгов подает заявку в запечатанном конверте. Остальные участники торгов невидят предложенной имцены. Предмет торгов достается участнику, предложившему максимальную цену, но онзаплатит сумму, равную второй повеличине предложенной цене. Схема проведения аукциона второй цены делает предоставление правдивой информации оптимальным. Представьте, что участник, оценивший предмет торгов в80долларов, решает, как предложить цену нааукционе второй цены. Предположим, что другие участники торгов уже подали свои заявки. Наш участник торгов должен проанализировать три возможных случая: самая высокая цена остальных участников может быть меньше 80долларов, равна 80долларам или больше 80долларов. Вкаждом изэтих случаев участник торгов получит лучший результат, сообщив свою истинную оценочную стоимость предмета торгов.

Логика становится понятнее, если рассмотреть ее напримере. Будем исходить изтого, что установленная участником торгов оценочная стоимость предмета составляет 80долларов. Рассмотрим четыре варианта самых высоких цен, предложенных другими участниками: 70долларов (ниже), 80долларов (столько же), 82доллара (немного выше) или 90долларов (выше). Втабл.24.1 показаны выигрыши для различных предложений цены в диапазоне от65долларов до95долларов.

Таблица 24.1. Чистый выигрыш в зависимости от различных предложений цены при оценочной стоимости 80долларов

Самая высокая цена	Участник соценочной стоимостью 80
65	80	85	95
70 (низкая)		+10	+10	+10
80 (равная)
82 (немного выше)			−2	−2
90 (высокая)				−10

Как следует изтаблицы, предложение цены 80 всегда обеспечивает как минимум такойже высокий выигрыш, как илюбое другое предложение. Подача заявки с указанием истинной оценочной стоимости— всегда наилучшее действие (доминирующая стратегия). Аналогичная логика применима ковсем участникам торгов, поэтому все должны предлагать цену, соответствующую истинной оценочной стоимости (данный механизм совместим постимулам). Изэтого следует, что вслучае аукциона второй цены участник торгов ссамой высокой оценочной стоимостью выигрывает аукцион иплатит сумму, равную оценочной стоимости участника торгов, предложившего вторую повеличине цену.

На аукционе первой цены каждый участник торгов предлагают свою цену, предложение ссамой высокой ценой побеждает, аучастник торгов, сделавший его, платит сумму, равную этой цене. Как и нааукционе второй цены, заявки подаются одновременно, поэтому никто незнает цен других участников торгов. Оптимальная стратегия предложения цены входе аукциона первой цены зависит отмнения участника торгов относительно оценочной стоимости (азначит, и вероятных предложений цены) других участников. Мыбудем считать, что участники торгов незнают оценочной стоимости других участников, ноимеют правильное представление о распределении оценок. Точнее говоря, будем исходить изтого, что оценки участников торгов равномерно распределены в диапазоне отнуля до100долларов ичто всем участникам торгов известно обэтом распределении. Кроме того, каждый участник торгов знает, что эта информация известна всем остальным участникам.

Спомощью математики мыможем продемонстрировать, что если оценки равномерно распределены ивсе участники торгов придерживаются оптимальной стратегии предложения цены, топри наличии двух участников торгов каждый должен предложить цену, равную половине его истинной оценочной стоимости, апри наличии Nучастников каждый должен предложить цену, равную отего истинной оценочной стоимости. Следовательно, участник аукциона сеще девятнадцатью участниками должен предложить цену, составляющую 95процентов отего истинной оценочной стоимости. При использовании этого правила торгов предмет торга всегда выигрывает участник ссамой высокой оценочной стоимостью. Мыможем также показать, что сумма, которую онзаплатит, эквивалентна ожидаемой стоимости участника, предложившего вторую повеличине цену. Таким образом, аукцион с повышением цены также обеспечивает эффективный исход, ацена соответствует ожидаемой стоимости участника торгов, предложившего вторую повеличине цену[5].

Доописания данной модели многие изнас пришлибы квыводу, что чем больше участников ваукционе, тем выше цену должен предлагать каждый изних. Нобез математических расчетов мы незналибы равновесного правила предложения цены. Модель предоставляет нам точное выражение для определения цены, которую должен предлагать покупатель. Эта сумма увеличивается в соответствии с оценочной стоимостью участника торгов, аэто подразумевает, что участник ссамой высокой оценочной стоимостью выиграет аукцион, точно также как и вслучае аукционов двух других типов.

ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДОХОДОВ

Вкаждом изтрех форматов аукционов выигрывает участник ссамой высокой оценочной стоимостью. Следовательно, все три механизма гарантируют эффективный исход. Кроме того, ожидаемая сумма, уплаченная победителем аукциона, равна оценочной стоимости участника торгов, предложившего вторую повеличине цену. Иначе говоря, все три аукциона обеспечивают одинаковый ожидаемый доход, апредмет торгов достается одному итомуже покупателю. Это просто удивительно. Ноеще удивительнее возможность доказать тот факт, что победитель и ожидаемая оценочная стоимость остаются одними итемиже для любого аукциона, где участники придерживаются оптимальной стратегии предложения цены, предмет торгов при этом достается участнику, предложившему самую высокую цену, аучастник снулевой оценочной стоимостью неполучает выигрыша. Другими словами, аукционы, удовлетворяющие этим условиям, обеспечивают один итотже ожидаемый результат, известный как теорема об эквивалентности доходов[6].

Теорема об эквивалентности доходов

Любой аукцион, участники которого выбирают независимые частные оценки стоимости из известного общего распределения, обеспечивает один итотже доход продавцу и одинаковые ожидаемые выигрыши покупателям, если каждый участник торгов делает предложение опокупке, максимизирующее его ожидаемый выигрыш; при этом участник торгов, предлагающий самую высокую цену, всегда получает предмет торгов, аучастник торгов снулевой оценкой стоимости имеет нулевой выигрыш.

Теорема об эквивалентности доходов подразумевает, что аукцион «платят все» (входе которого каждый участник, даже проигравший, платит сумму своего предложения) обеспечивает тотже исход, что иаукцион второй цены[7]. Даже такой необычный формат, как аукцион третьей цены (входе которого выигрывает участник, предложивший самую высокую цену, иплатит сумму, равную третьей повеличине цене), дает тогоже победителя итотже доход. Теорема об эквивалентности доходов неозначает, что правила проведения аукционов неважны. Вовремя реальных торгов участники могут не применять оптимальных стратегий или, как вслучае аукциона первой цены, по-разному представлять себе распределение оценок других участников. При выполнении любого изэтих условий (участники торгов не придерживаются оптимальной стратегии или имеют разные представления о распределении оценок) доход может варьироваться в зависимости оттипа аукциона. Эмпирические и экспериментальные испытания действительно выявляют определенные различия втом, какие результаты обеспечивают аукционы.

Итак, чем больше ставки и искушеннее участники торгов, тем выше вероятность, что люди будут действовать рационально. Входе интернет-аукционов попродаже потребительских товаров некоторые люди могут придерживаться эмпирических правил или исходить из предубеждений (например, предлагать цену сшагом 10долларов). Но на многомиллионном аукционе поаренде нефтеносных участков участники торгов, скорее всего, имеют доступ ковсей необходимой информации и соответствующий опыт.

Кроме того, тип аукциона может влиять на количество участников торгов. Например, аукционы первой цены попродаже древесины привлекают больше мелких участников торгов, чем аукционы с повышением цены, поскольку умелких участников есть хотябы какой-то шанс выиграть, если более крупные участники предлагают низкие цены. Вслучае аукциона с повышением цены умелких участников торгов нет никаких шансов, так как более крупные компании видят их предложения иназывают более высокую цену[8].

Аукционы также отличаются когнитивными требованиями, предъявляемыми к участникам. Вслучае некоторых аукционов научиться оптимальному поведению несложно. Входе аукциона с повышением цены участник торгов должен участвовать ваукционе, пока цена не достигнет его оценочной стоимости. Действия других участников, не придерживающихся оптимальной стратегии, могут привести к повышению или снижению ожидаемого выигрыша участника торгов, ноони неменяют оптимальной стратегии: участник торгов должен участвовать ваукционе дотех пор, пока цена меньше его оценочной стоимости. Аналогично, входе аукциона второй цены участник торгов должен всегда придерживаться одной итойже стратегии— предлагать цену, соответствующую его истинной оценочной стоимости. Тем неменее для того, чтобы прийти квыводу об оптимальности правдивого предложения цены, понадобится выполнить несколько шагов логических рассуждений.

Напомним, что доминирующие стратегии являются оптимальными независимо от стратегий других участников аукциона. Иаукционы с повышением цены, иаукционы второй цены имеют доминирующие стратегии. Уаукциона первой цены такой стратегии нет. Ваукционе первой цены изменения в стратегии предложения цены одного участника торгов могут изменить оптимальную стратегию другого участника. Если один участник торгов всегда предлагает либо ноль, либо 50, тодругой участник должен всегда предлагать либо 1, либо 51. Нет никаких причин предлагать 60 или 70, поскольку тогда победителю придется переплатить запредмет торгов. Учитывая поведение другого участника, если предложение 60 может выиграть аукцион, тоже может сделать и предложение 51.

Даже если уаукциона есть доминирующая стратегия, невсе доминирующие стратегии одинаково легко вычислить. Для аукциона с повышением цены стратегия (участие ваукционе дотех пор, пока цена меньше оценочной стоимости участника торгов) требует одного шага логических рассуждений: если цена меньше оценки, покупать поэтой цене. Вслучае аукциона второй цены участник торгов должен проанализировать несколько вариантов развития событий, чтобы понять, что раскрытие правдивой информации— оптимальная стратегия. Безусловно, после участия в нескольких аукционах второй цены онбудет знать это точно.

И последняя особенность аукционов, требующая рассмотрения,— поощряетли аукцион неоптимальное поведение. Нааукционы первой ивторой цены участники торгов подают заявки, незная, какую цену предлагают другие участники. Нааукционе с повышением цены участники торгов видят, как повышается цена, изнают, кто продолжает участвовать вторгах. Иногда это приводит ктому, что участник торгов переоценивает значимость победы ваукционе иповышает цену. Аукционисты на благотворительных аукционах пытаются поднять ставки путем эмоциональных призывов— например, показывая видео сдетьми, резвящимися нановой детской площадке, которая будет построена засчет предложенных ставок.

Успех стратегий зависит отэмоций участников торгов. Трудно представить, чтобы на аукционах попродаже древесины убеждали участников торгов предлагать больше их прогнозных оценок. Ногораздо легче представить участника благотворительного аукциона, который предлагает более высокую цену, поскольку эти деньги пойдут наблагое дело. Изменятли участники торгов свои оценки впроцессе проведения торгов, можно только догадываться. Нам просто нужно признать, что это может произойти. Входе аукционов первой ивторой цены участники торгов делают одно предложение, что не оставляет шансов для эмоциональных призывов вовремя аукциона.

Инаконец, нааукционе первой ценыиаукционе с повышением цены цена равна самому высокому предложению, а вслучае аукциона второй цены— второй повеличине цене. Это создает впечатление, что продавец могбы получить более высокую цену, атакже отчасти объясняет, почему правительства не используют аукционы второй цены. Только представьте заголовки газет вслучае, еслибы правительство получило три заявки на получение прав надобычу нефти— на6, 8 и12миллионов долларов: «Правительство получает заявку на12миллионов долларов, нопродает землю за8миллионов долларов». Любой, кто знает теорию аукционов, понял бы, что еслибы правительство провело аукцион первой цены или аукцион с повышением цен, максимальная предложенная цена составлялабы не12, а8миллионов долларов.

Как уже неоднократно подчеркивалось вкниге, формальные модели раскрывают условия, необходимые для обеспечения требуемого результата. Теорема об эквивалентности доходов неговорит отом, что все механизмы проведения аукционов обеспечивают один итотже исход. Она гласит, что все аукционы, вкоторых участники придерживаются оптимальной стратегии, предмет торгов достается участнику, предложившему самую высокую цену, аучастник торгов снулевой оценкой стоимости получает нулевой выигрыш, эквивалентны. Продавец может собрать больше денег, ослабив одно изэтих трех предположений. Однако продавцу будет трудно заставить людей действовать вопреки собственным интересам иужтем более врядли удастся получить деньги отчеловека, для которого данный товар не представляет ценности. Остается только один вариант— не продавать предмет торгов покупателю, предложившему самую высокую цену. Один изспособов сделать это— вообще не продавать товар. Если продавцу известно распределение оценок, онможет установить низшую отправную цену, минимальную ставку. При определенных условиях это может повысить его ожидаемый доход. Предположим, продавец уверен, что три участника оценивают предмет торгов в5, 10 и60. Воспользовавшись любым из описанных выше аукционов, победитель предложит цену 60долларов, азаплатит 10долларов. Продавец может получить более высокий доход, установив низшую отправную цену 60долларов ипроведя аукцион первой цены.

МЕХАНИЗМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПО ОБЩЕСТВЕННЫМ ПРОЕКТАМ

Далее мысравним два механизма принятия решений о целесообразности реализации таких общественных проектов, как строительство школы, новой автомагистрали или спортивной арены. Ипри этом будем исходить изтого, что проект имеет для каждого человека индивидуальную ценность ичто его реализация влечет засобой коллективные затраты.

Задача принятия решения по общественному проекту

Пусть (V1, V2, …, VN) обозначает денежную оценку полезности, которую Nчеловек приписывают общественному проекту стоимостью C. Проект целесообразно осуществлять тогда итолько тогда, когда C < V1+ V2+ …+ VN.

Сначала рассмотрим механизм равного участия врасходах при принятии решения о реализации проекта большинством голосов. В соответствии сэтим механизмом люди голосуют за целесообразность реализации проекта. Если большинство голосует «за», расходы на реализацию проекта делятся поровну между участниками голосования.

Механизм равного участия при принятии решения большинством голосов

Люди голосуют заили против реализации проекта. Если большинство голосует запроект, он реализуется, икаждый участник голосования платит сумму . Как следует из представленного ниже примера, этот механизм может нарушать условие эффективности и добровольного участия.

Из пространственной модели голосования мызнаем, что реализация проекта зависит от предпочтений медианного избирателя. Вданном случае это будет человек с медианным значением ценности, которую представляет для него общественный проект. Всилу своей структуры этот механизм удовлетворяет условию сбалансированности бюджета иусловию совместимости постимулам, новместе стем он невсегда удовлетворяет условиям эффективности или добровольного участия, как видно из следующего примера. Предположим, три человека оценивают общественный проект стоимостью 300долларов в0, 120 и150долларов. Эффективный исход состоит втом, что проект неследует реализовывать, поскольку его общая стоимость 300долларов превышает сумму индивидуальных оценок. Тем неменее, ввиду того что затраты напроект будут разделены поровну, каждый решает, стоитли осуществлять проект при затратах 100долларов начеловека. Изэтого следует, что запроект проголосуют два изтрех человек, и онбудет реализован, ноэто неэффективный исход. Более того, выигрыш человека, оценившего проект в0долларов, составляет−100долларов, азначит, пример также демонстрирует нарушение условия о добровольном участии.

В соответствии совторым механизмом под названием «механизм поворота» каждый человек сообщает свою оценку проекта. Если сумма оценок превышает стоимость проекта, принимается решение оего реализации. В противном случае проект не поддерживается. Сумма, которую должен внести человек на реализацию проекта, равна разности между стоимостью проекта исуммой оценок всех остальных участников голосования. Если ихоценки превышают стоимость проекта, этот человек ничего неплатит.

Механизм поворота

Человек iсообщает оценку проекта стоимостью C. Если сумма индивидуальных оценок превышает эту стоимость, топроект реализуется.

Человек iнеделает взноса, если , иделает взнос в противном случае. Этот механизм совместим постимулам , эффективен ииндивидуально рационален. Как показывает представленный ниже пример, онможет нарушать условие сбалансированности бюджета.

Пример: (V1, V2, V3)= (60, 120, 150) иC= 300

Проект целесообразно реализовать ввиду того, что 300 < 60+ 120+ 150.

Человек 1 делает взнос 30долларов, что равно разности между стоимостью проекта исуммой других оценок (300– 270); человек 2 вносит 90долларов; ачеловек 3— 120долларов. Общая сумма взносов составляет 240, что меньше стоимости проекта.

Согласно логике, аналогичной логике аукциона второй цены, этот механизм удовлетворяет условию совместимости постимулам. Предположим, стоимость проекта составляет 300долларов, ачеловек оценивает его в80долларов. Существует три варианта развития событий. Если другие оценки дают всумме меньше 220долларов, учеловека нет стимула сообщать оценку выше 80долларов, поскольку ему придется заплатить эту сумму. Однако если сумма оценок других людей превышает 300долларов, то онничего неплатит иможет вообще не предоставлять свою оценку. Ноесли сумма оценок других людей составляет от220долларов до300долларов, то, сообщив оценку 80, человек заплатит разность между 300долларами иэтой суммой, ипроект будет реализован (эффективный исход). Этому человеку нехотелосьбы сообщать оценку, скажем, 70долларов, поскольку сумма других оценок моглабы быть меньше 225долларов, иего низкая оценка помешалабы реализовать проект. Еслибы он предложил оценку 80долларов, проект былбы реализован иобошелсябы ему всего в75долларов.

Так как механизм поворота удовлетворяет условию совместимости постимулам, онтакже удовлетворяет иусловию эффективности. Проект реализуется только вслучае, если сумма оценок превышает его стоимость. Обратите внимание, что поскольку сообщение истинной оценки— это доминирующая стратегия, эффективный исход осуществим тоже спомощью доминирующей стратегии. Кроме того, учитывая, что каждый человек делает взнос, не превышающий его оценку проекта, механизм удовлетворяет условию добровольного участия.

Взадаче принятия решений по общественным проектам ниодин механизм не удовлетворяет всем необходимым критериям. Тот факт, что мыможем использовать модели для доказательства этого вывода, способен сэкономить нам массу времени, которое мыбы потратили напопытки реализовать невозможное. Подобно тому как инженеры нетратят время зря напопытки изобрести вечный двигатель, специалисты подизайну механизмов не стремятся ксозданию совместимых постимулам, индивидуально рациональных, эффективных, обеспечивающих сбалансированность бюджета механизмов для решения проблем по общественным проектам. Таких механизмов не существует.

Механизм поворота удовлетворяет почти всем условиям, кроме сбалансированности бюджета. Эта проблема нерешается путем повышения суммы взносов людей на реализацию проекта, поскольку это сделалобы механизм несовместимым постимулам и не индивидуально рациональным. Улюдей появилсябы стимул лгать, а некоторым предложилибы внести больше, чем ихоценка полезности проекта. Один из возможных вариантов выхода изситуации— собрать деньги каким-то иным способом и сформировать резерв денежных средств, доступных для реализации проектов. Это само посебе создаст проблемы стимулирования, хотя и ненапрямую. Более эффективное решение— найти другой источник финансирования. Например, университет, имеющий как крупный центральный фонд пожертвований, так и отдельные фонды колледжей, могбы использовать этот механизм, чтобы решить, стоитли строить новый студенческий клуб. Удекана каждого колледжа былбы стимул сообщить свою истинную оценку полезности такого клуба, аректор университета могбы восполнить недостающую сумму. Компания, состоящая из отдельных подразделений с бюджетными полномочиями, моглабы сделать тоже самое. Решение относительно проекта перехода наоблачную систему тоже можно былобы принять спомощью механизма поворота, алюбую нехватку средств покрылобы высшее руководство.

РЕЗЮМЕ

Концептуальная схема дизайна механизмов позволяет сравнивать механизмы поряду критериев. Обеспечиваетли механизм эффективные результаты? Говорятли люди правду? Станутли они добровольно участвовать? Порождаетли механизм бюджетный излишек или убыток? Концептуальная схема дизайна механизмов позволяет определить, каких результатов можно достичь. Порой удовлетворить все необходимые критерии врамках одного механизма неудается. Втаких случаях создатели моделей становятся инженерами. Мы используем модели, чтобы попытаться сконструировать действенные решения.

Помере изменения технологий могут меняться и механизмы. Возьмем, кпримеру, аукционы, используемые такими поисковиками, как Google. Первоначально вGoogle взимали фиксированную плату затысячу кликов. Этот механизм оказался неоптимальным ввиду изменений вобласти информационных технологий, которые позволили Google одновременно проводить миллионы аукционов. Благодаря аукционам компания Google увеличила доход истала более эффективно распределять места для рекламы. В настоящее время Google использует обобщенный аукцион второй цены. Каждый участник торгов предлагает плату запереход поссылке для рекламы ключевого слова, скажем «мезотелиома» (онкологическое заболевание, вызванное воздействием асбеста). Участник торгов, предложивший самую высокую цену, получает первый рекламный блок; участник, предложивший вторую повеличине цену,— второй рекламный блок, аучастник, предложивший третью повеличине цену,— третий рекламный блок. Цены, которые они заплатят, определяются также, как и вслучае аукциона второй цены.

Предположим, четыре предложения с максимальными ценами составляют 10, 7, 6 и3доллара заклик. Участник торгов, предложивший третью повеличине цену, заплатит сумму, равную четвертому повеличине предложению, 3доллара. Участник торгов, предложивший вторую повеличине цену, заплатит сумму, равную третьему повеличине предложению, 6долларов. Аучастник торгов, предложивший самую высокую цену, заплатит 7долларов[9]. Выяснив оценки рекламодателей, вGoogle моглибы установить низшую отправную цену иполучить еще больше денег. Однако такой исход врядли наступил бы, еслибы участники торгов знали оплане Google. Участник торгов, полагающий, что именно он предложит самую высокую цену, нехотел бы, чтобы вGoogle знали его оценку. Кроме того, установление низшей отправной цены навредилобы репутации Google, поскольку былобы воспринято как отказ Google от сотрудничества: Google неможет претендовать на туили иную низшую отправную ценность для мест навеб-странице. Верхний рекламный блок настранице поиска поключевым словам практически неимеет для Google ценности дотех пор, пока небудет продан. Однако это не относится кпродажам винтажных альбомов или подержанных автомобилей, так как эти товары имеют ценность сами посебе, поэтому здесь низшая отправная цена оправданна. Заботясь освоей репутации, вGoogle несклонны устанавливать минимальную отправную цену впогоне за максимальной прибылью, ведь это наверняка разгневает рекламодателей.

Таким образом, модели дизайна механизмов помогают разрабатывать ивыбирать институты, атакже позволяют определить, что можно инельзя реализовать напрактике. В частности, невозможно разработать механизм, который обеспечивает эффективный исход, стимулирует людей говорить правду и позволяет сбалансировать бюджет. Поэтому нестоит тратить время иусилия напопытки достичь невозможного. Лучше направить энергию напоиск компромисса между эффективностью, раскрытием истины и сбалансированным бюджетом.

Дизайн механизмов можно также использовать для изучения более масштабных вопросов, например, когда следует использовать рынок, когда нужно голосовать, когда целесообразнее положиться на иерархический механизм икогда лучше прибегнуть кпомощи добровольного коллектива, чтобы распределить ресурс или принять решение относительно тех или иных действий[10]. Каждый изэтих четырех институтов (рынки, демократии, иерархии и коллективы) эффективно функционирует водних условиях именее эффективно вдругих. Например, ненужно голосовать зато, какие товары должны покупать люди, и неследует использовать рынки для выбора политических лидеров.

Врамках организации иобщества вцелом можно увидеть каждую изэтих институциональных форм. Университет имеет дело срынком профессоров, опирается на демократию при найме преподавателей, зачисляет накурсы обучения посредством иерархии и разрабатывает стратегические планы спомощью коллективов. Некоммерческие, коммерческие и правительственные организации также представляют собой сочетание этих институциональных форм. Инструменты дизайна механизмов позволяют формально сравнить, как функционируют эти институты, и оптимально распределить между ними задачи.

Честные люди нескрывают своих дел.

Эмили Бронте

Вэтой главе рассматриваются модели сигнализирования. Эти модели определяют условия, при которых люди передают дорогостоящие сигналы для раскрытия информации или своего типа. Человек может сигнализировать о богатстве, покупая дорогие произведения искусства, о физической выносливости, совершив восхождение нагору, или о способности к сопереживанию, размещая информацию о поддержке благотворительного проекта в социальных медиа. Сигнализирование для раскрытия статуса всегда было частью человеческой природы. ВXIX столетии Торстейн Веблен углубил наше понимание сигнализирования, разработав концепцию демонстративного потребления: онобратил внимание, что вместо покупки товаров, приносящих непосредственное удовлетворение иимеющих практическую полезность, люди часто выбирают товары, позволяющие подчеркнуть их социальный статус. Веблен получилбы необыкновенное удовольствие от современных атрибутов демонстративного потребления, таких как автомобиль Maybach Landaulet с розничной ценой 1,5миллиона долларов, шампанское Cristal десятилетней выдержки поцене более 1500долларов забутылку икамеры Leica, цена которых составляет десятки тысяч долларов.

Демонстративное потребление сохраняет свою силу, поскольку нас волнует то, что думают онас другие, ато, что мы потребляем, сигнализирует им онашем статусе[1]. Поскольку мы невидим других людей вовсей ихполноте, мы полагаемся нато, как они одеваются, начем ездят ичто потребляют, чтобы сделать выводы об ихскрытых качествах. Если мывидим кого-то зарулем дорогого автомобиля, это дает нам основания полагать, что этот человек богат. Человек, делающий пожертвования в благотворительной фонд, демонстрирует свою щедрость— врядли эгоистичный человек способен натакой поступок. Тот, кто объявляет в социальных сетях о получении докторской степени вобласти теоретической биологии, подает сигнал освоем интеллекте итрудовой этике. Почти все действия содержат определенный элемент сигнализирования. Когда политики голосуют заначало военных действий или ввод санкций против другой страны, они демонстрируют идеологию. Политики сболее долгосрочными целями (такими как участие в президентской гонке) могут голосовать так, чтобы это обеспечивало лучшие сигналы, а неболее достойный политический курс.

Вэтой главе мысначала проанализируем модель дискретного сигнализирования, вкоторой человек может либо передавать сигнал, либо нет. Люди отличаются позатратам насоздание сигнала. Для того чтобы сигналы выполняли свою функцию, они должны быть дорогостоящими или поддающимися проверке. Вэтом ибудет состоять основной вывод изэтой главы. Например, у работодателя есть интересное задание налето в Барселоне иему предстоит выбрать одного изновых сотрудников, указавших врезюме, что они владеют испанским языком. Заявление обумении говорить на испанском— это ничего нестоящий сигнал. Вместо этого работодатель может создать программу предоставления карточек знатока языка, подразумевающую проведение часовой презентации на испанском для получения такой карточки. Для сотрудников, свободно владеющих испанским, этот сигнал (презентация) не потребует больших затрат. Для техже сотрудников, которые плохо знают язык, затраты на подготовку часовой презентации будут непомерно высокими. На формальном языке моделей сигнализирования это означает, что такая карточка отделяет испаноговорящих сотрудников оттех, кто невладеет этим языком.

Далее мы рассмотрим модель непрерывного сигнализирования, вкоторой сигналы могут варьироваться повеличине. Влетнем лагере может быть только одна должность ведущего каякера, накоторую необходимо назначить чрезвычайно выносливого человека. Тогда директор лагеря может предложить двум кандидатам наэту должность проплыть накаяке как можно дальше задесять часов. Более сильный каякер может выбрать дистанцию, которая непреодолима для слабого каякера, аэто гарантирует, что испытание разделит каякеров надва типа. Обе модели описывают условия, когда сигналы обеспечивают такое разделение, акогда нет. Следовательно, они позволяют глубже понять происходящее, чем отдельные истории осигналах людей, животных, политиков и правительств, предоставляя точные описания, когда они подают сигналы и насколько они дороги. Например, модели помогут объяснить, почему студенты так усердно работают, для того чтобы продемонстрировать свою пригодность для учебы вколледже и медицинской школе. В заключительной части главы мыобсудим роль моделей сигнализирования, атакже некоторые другие следствия. Аеще поговорим отом, как происходит сигнализирование вобласти экологии, антропологии ибизнеса.

ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ

Начнем смодели дискретного сигнализирования, вкоторой человек решает, предпринимать соответствующее действие или нет. Выможете купить дорогие часы, чтобы продемонстрировать богатство. Или выбрать вкачестве специализации физику, чтобы доказать свой интеллект. Или переплыть Ла-Манш, чтобы похвастаться физическим здоровьем. Невозможно пройти только половину пути: вылибо подаете сигнал, либо нет. Эта модель описывает два типа людей, обозначенных как сильный ислабый тип. Эти типы могут соответствовать новобранцам морской пехоты вхорошей или плохой физической форме, или сотрудникам, владеющим одним или двумя языками.

Затраты напередачу сигнала, которые могут быть сопряжены с прохождением месячной программы тренировок будущим морским пехотинцем или с подготовкой вышеупомянутой презентации на испанском языке кандидатом на вакантную должность, зависят оттипа человека. Для сильных будущих морпехов прохождение программы физической подготовки менее затратно. Внашей модели будем считать, что каждый, кто подает сигнал, получает равную долю общей выгоды. Это предположение можно интерпретировать одним издвух способов. Иногда ресурс можно разделить между теми, кто транслирует сигнал. Например, каждый, кто пожертвует 1000долларов наразвитие школы (сигнал ощедрости), может рассчитывать увидеть свое имя натабличке на еестене. Вдругих случаях победителя (победителей) можно выбрать случайным образом из множества людей, посылающих соответствующий сигнал.

Модель поддерживает три типа исходов: объединение (когда все подают один итотже сигнал), разделение (когда каждый тип посылает уникальный сигнал) ичастичное объединение (когда одни типы подлежат разделению, адругие нет).

Модель дискретного сигнализирования

Совокупность размером Nсостоит изSсильных иWслабых типов, затраты которых напередачу сигнала составляют c иCсоответственно, причем c < C. Члены совокупности, подающие сигнал, делят поровну выгоду B > 0. Модель обеспечивает три возможных исхода:

Объединение : оба типа подают сигнал.

Разделение : представители сильного типа подают сигнал.

Частичное объединение : сигнал подают представители сильного типа ичасть представителей слабого типа.

Вданной модели мыисходим изтого, что люди делают оптимальный выбор сучетом действий других, тоесть рассматриваем ситуацию как игру и вычисляем равновесие. Вслучае объединяющего равновесия все подают сигнал. Равновесие имеет место, когда выгода высокая, азатраты слабого типа напередачу сигнала низкие. Точное условие выглядит так: выгода, деленная на количество людей, должна превышать затраты слабого типа. Предположим, благотворитель жертвует 1миллион долларов на студенческие стипендии, причем эта сумма должна быть разделена между всеми 100 выпускниками средней школы. Допустим, 50 изних слабые и50 сильные, атакже что сильный ученик может окончить среднюю школу, выделяя научебу два часа внеделю, аслабому приходится заниматься подесять часов. Мыможем приблизительно оценить затраты наобучение вразмере 2000долларов для сильных учеников и5000долларов для слабых учеников. Если все 100 учеников окончат школу, каждый получит стипендию вразмере 10000долларов. Исходя изэтих допущений ученикам обоих типов имеет смысл учиться.

Однако предположим, что размер стипендиального фонда сократился до200000долларов. Тогда, если все ученики окончат школу, каждый получит только по2000долларов. Учеба больше не в интересах слабых учеников. Для сильных учеников, которые теперь получат по4000долларов, учеба по-прежнему имеет смысл. Этой суммы все еще недостаточно, чтобы побудить хотябы одного слабого ученика окончить школу (второе условие в представленной выше врезке). Вэтом случае предложение стипендии порождает разделение.

Инаконец, предположим, что стипендиальный фонд насчитывает 400000долларов. Если школу окончат все, тослабые ученики получат сумму меньше ихзатрат наобучение вразмере 5000долларов. Следовательно, невсе слабые ученики предпочтут учебу. Однако еслибы никто изслабых учеников незахотел учиться, сильные ученики получилибы по10000долларов каждый. Эта сумма былабы заманчивой для слабых учеников. Вслучае равновесия ровно 30 слабых учеников оканчивают школу вместе с50 сильными учениками. Вобщей сложности унас будет 80 выпускников, каждый изкоторых получит 5000долларов, что равно сумме затрат слабого ученика научебу. Мыназываем такой исход частичным объединением, поскольку только часть слабых учеников объединяются ссильными.

Равновесие частичного объединения сложнее других равновесий, поскольку требует координации между слабыми учениками. Можно былобы предположить, что существует некий процесс, посредством которого слабые ученики сообщают остальным, что они планируют предпринять действия, позволяющие имокончить школу. Или можно предположить, что более слабые ученики прикладывают такое количество усилий, чтобы окончание школы стало случайным событием, в результате которого 30 слабых учеников ееокончат. Второй сценарий менее правдоподобен. Вцелом мыдолжны интерпретировать равновесие частичного объединения как эталон— как то, что произойдет, если люди будут придерживаться оптимальной стратегии. Достижимоли оно, зависит отситуации, в частности оттого, могутли люди сообщать о запланированных действиях.

НЕПРЕРЫВНЫЕ СИГНАЛЫ

При равновесии частичного объединения модели дискретного сигнализирования представители сильного типа могут испытать разочарование. Еслибы имудалось подать сильный сигнал, они моглибы полностью отделиться отслабого типа иполучить более высокий выигрыш. Для того чтобы включить эту возможность вмодель, мыможем изменить исходные допущения и разрешить представителям сильного типа выбирать величину подаваемого сигнала. Для этого нужно всего лишь внести небольшие изменения вмодель. Давайте теперь интерпретируем затраты напередачу дискретного сигнала как затраты наединицу непрерывного сигнала. Будем считать, что вслучае любой фиксированной величины сигнала у представителей сильного типа более низкие затраты на сигнализирование врасчета наединицу сигнала.

Для того чтобы обеспечить разделение вновой модели, представители сильного типа должны быть готовы выбрать сигнал такой величины, который былбы непомерно высоким для представителей слабого типа, новсеже заслуживалбы передачи сучетом выгод изатрат. Анализ модели позволяет сделать вывод, что как минимум некоторые представители сильного типа (хотя и не обязательно все) могут отделиться отслабого типа сами.

Как нистранно, величина сигнала, который должны подавать представители сильного типа, уменьшается помере увеличения размера сильной группы. Так происходит потому, что выгода отподачи сигнала для представителей слабого типа снижается в зависимости отразмера сильной группы. Принадлежность кбольшой группе обеспечивает меньше выгод. Условие полного разделения подразумевает, что оно будет более вероятным при малом количестве представителей сильного типа или когда у представителей сильного типа гораздо более низкие затраты напередачу сигнала.

Разделение спомощью непрерывных сигналов

Совокупность размером Nсостоит изSсильных иWслабых типов, затраты которых напередачу сигнала врасчете наединицу сигнала составляют c иc > C соответственно. Люди, подающие самый большой сигнал, делят между собой выгоду B. Любой сигнал величиной отделяет представителей сильного типа. Если CW≥ cN, товсе представители сильного типа будут отделены. Если нет, имеет место равновесие частичного объединения, при котором часть представителей сильного типа подают сигнал[2].

Эта модель позволяет объяснить, почему дорогие часы и ювелирные украшения выступают вкачестве сигналов о богатстве. Дом или автомобиль тоже демонстрируют богатство человека, но их невозможно постоянно «носить» ссобой. Одежда тоже может служить сигналом о богатстве, но невсегда обеспечивает разделение, поскольку за несколько сотен долларов человек может одеться также, как представитель богатого круга. Часы и ювелирные украшения, ввиду ихвысокой стоимости, более эффективны вкачестве сигналов. Бедный человек или представитель среднего класса неможет себе позволить часы за10000долларов. Человек, который носит такие часы, доказывает, что унего есть богатство. Выгода, которую он извлекает, может заключаться вболее уважительном кнему отношении при условии, что люди так или иначе видят связь между богатством и значимостью (вывод, который можно поставить под сомнение).

ПРИМЕНЕНИЕ ИЦЕННОСТЬ СИГНАЛОВ

Мыподаем сигналы впопытке продемонстрировать свои скрытые качества окружающим. Мы предпринимаем действия, чтобы сигнализировать освоей физической форме, богатстве, интеллекте ищедрости. Порой наши действия порождают сигналы как побочный продукт. Человек, бегущий марафон исключительно ради удовольствия, подает сигнал охорошей физической форме и целеустремленности, даже если это невходило вего планы. Модель сигнализирования обеспечивает альтернативный инструмент для интерпретации большого количества действий. Человек решил посетить мероприятие, освоить навык или купить какую-то вещь, руководствуясь личными интересами или чтобы обозначить свой тип? Возможно, нам так и неудастся разграничить эти два случая.

Кроме того, модели сигнализирования дают альтернативное объяснение эмпирических закономерностей даже касательно ценности диплома об окончании колледжа. Данные одоходах показывают, что выпускники колледжей получают гораздо более высокую заработную плату. Вполне логично былобы решить, что это обусловлено навыками изнаниями, полученными вколледже. Ктомуже эти данные указывают и нато, что зарплата сотрудников, изучавших вколледже математику и естественные науки, еще выше, что дает основания полагать, что навыки, полученные впроцессе изучения этих дисциплин, имеют более высокую экономическую ценность. Тем неменее, если взглянуть назадачи, выполняемые сотрудниками с математическим образованием, становится ясно, что мало кто изних использует вработе математику. Более того, практически никому из претендентов на вакантные должности не предлагают взять производную функции косинуса или объяснить закон Бойля-Мариотта. Всвязи сэтим мыможем сделать вывод, что дипломы об окончании колледжа вцелом идипломы вобласти естественных наук и математики в частности— всего лишь сигнал о способности человека усваивать знания. Высокая оплата, которую получает выпускник колледжа, целиком и полностью обусловлена сигнальной ценностью дипломов, а не конкретной специализацией выпускника[3].

Рассмотрим сигнализирование, необходимое для того, чтобы стать врачом. Студенты должны пройти курс физики, органической химии и математики. Норазве врачи используют математику? Выкогда-либо видели, чтобы ваш врач заглянул вам вуши или внос, азатем нацарапал всвоем блокноте дифференциальное уравнение? Разумеется, нет. Знание дифференциального исчисления побольшей части неимеет никакого отношения к профессии врача, номожет быть хорошим сигналом о способности человека усвоить требуемый объем знаний. Если это так, изучение математики становится полезным сигналом, хотя сам предмет в контексте профессии врача практически бесполезен.

Разрабатывая институты или правила, в соответствии скоторыми люди подают сигналы, мыможем предпочесть действия, порождающие сигналы о формировании полезных навыков. Чтобы стать успешным врачом, человек должен уметь запоминать факты. Для определения такой способности можно потребовать, чтобы кандидаты запомнили столицы иденежные единицы всех стран. Успешное выполнение этого задания сигнализировалобы о прекрасной памяти кандидата, но неимелобы никакой практической ценности. Когда вы обращаетесь в отделение скорой помощи состранным ощущением вживоте, вам совершенно все равно, знаетли врач, что Братислава— столица Словакии, но выбы хотели, чтобы врач прекрасно разбирался вработе органов пищеварения. Именно поэтому медицинские комиссии требуют, чтобы врачи сдавали экзамены поанатомии. Сдача такого экзамена сигнализирует о способности запоминать. Что еще важнее, знание частей тела полезно для экзаменуемых. Таким образом, сдача экзамена поанатомии обеспечивает функциональный сигнал.

РЕЗЮМЕ

Модель сигнализирования можно применять всамых разных ситуациях. Как уже отмечалось, оперение павлина сигнализирует оего крепком здоровье. В остальном красочный веер изперьев практически неимеет функциональной ценности. Куда лучше, еслибы упавлина росли более сильные когти. Носамкам павлина былобы трудно заметить ихиздалека, поэтому впроцессе эволюции хвост одержал верх[4]. Яркие задние конечности самцов плодовой мушки выполняют туже функцию, что ихвост павлина, также как и стрекотание кузнечика и щебетание птиц. Стрекотание требует энергии. Поэтому только сытый кузнечик может безмятежно стрекотать, вместо того чтобы добывать пищу. Следовательно, стрекотание выступает вкачестве сигнала.

Человеческие общества совершают разнообразные действия, чтобы демонстрировать свою хорошую форму. Антропологи выделяют три типа дорогостоящих сигналов: безусловная щедрость, расточительное поведение в отношении средств к существованию иремесленные традиции[5]. Потлач— ритуал индейцев Тихоокеанского северо-запада— пожалуй, самый яркий пример демонстрации щедрости. Для того чтобы отметить тоили иное событие (например, рождение или смерть), вождь раздавал (или уничтожал) большую часть богатства ипризывал других вождей сделать тоже самое ивтомже объеме. Неспособность сравняться свождем означала потерю престижа. Раздачу богатства можно рассматривать как социально полезное явление, носжигать богатство— это расточительство.

Расточительное поведение в отношении средств к существованию имеет место вслучаях, когда люди (как правило, мужчины) предпочитают охоту, которая приносит более низкий ожидаемый выигрыш, сбору семян иягод. Мужчины делают это сцелью заслужить особое уважение. Успешный охотник демонстрирует силу и храбрость, что может пригодиться ему вдругих ситуациях. Успешный собиратель ягод сигнализирует охорошем зрении итерпении— безусловно, полезных качествах, ноони не позволяют предсказать определенные аспекты хорошей физической формы так хорошо, как охота начерепах. Входе изучения народа мериам, живущего нагруппе островов ксеверу от Австралии, было установлено, что у пятидесятилетних мужчин, охотящихся начерепах, более чем вдва раза больше выживших потомков, чем умужчин, которые начерепах неохотятся[6].

Вместе стем многие ремесленные традиции связаны с обязательствами, выполнение которых требует достаточного количества времени иресурсов. Такие виды деятельности могут привести ксозданию полезных предметов, например покрывал. Кроме того, ремесленные традиции предусматривают изготовление ритуальных предметов, неимеющих большой практической ценности. Некоторые антропологи рассматривают ихсоздание как сигнализирование. Смысл, вкладываемый втакие предметы (они могут быть наделены большой культурной значимостью), невсегда зависит от их функционального назначения.

Некоторые виды рекламы также можно интерпретировать как дорогостоящее сигнализирование. Размещая дорогой рекламный ролик вовремя матчей Суперкубка, компания демонстрирует свою состоятельность. Это сигнал отом, что вкомпании убеждены: еепродукт понравится потребителям в достаточной степени, чтобы прибыль возместила расходы нарекламу. Например, представьте, что два производителя выводят нарынок новую кофемашину. Один уверен вкачестве своего продукта, адругой знает, что, несмотря навсе усилия инженеров, его продукт наверняка сломается, что вызовет у покупателей недовольство. Пооценкам второго производителя, 20процентов его продукции будет возвращено.

На протяжении года кофемашину могут купить миллионы людей. Без рекламы эти две компании вполне моглибы разделить рынок поровну. Допустим, производитель лучшего продукта тратит 2миллиона долларов нарекламу, чтобы подать сигнал окачестве своего продукта, рассчитывая нато, что первые клиенты купят его продукт и в долгосрочной перспективе это приведет к увеличению объема продаж. Вполне возможно, производитель руководствуется одной изверсий процесса Пойа. Напротив, производитель некачественного продукта нестанет размещать такую рекламу, поскольку уего продукта мало шансов набольшие продажи. Затраты напередачу сигнала окачестве продукта иногда называют сжиганием денег. Такое сжигание денег привлекает покупателей также, как хвост павлина— самок.

Вовсех этих случаях сигнализирование сопряжено с затратами. Человек, посылающий сигнал, обнаруживает, что выгода от определения его большего богатства, способностей или даже щедрости сокращается наобъем затрат насоздание сигнала. Кроме того, время иусилия, потраченные на сигнализирование, можно рассматривать как альтернативные издержки: эти ресурсы можно былобы использовать иначе, создавая более значительный социальный излишек. Например, подросток может часами решать, что надеть, чтобы продемонстрировать свою социальную осведомленность, или посвятить время непродуктивным занятиям, которые, наего взгляд, повысят шансы на зачисление вэлитный колледж.

Чтобы сигнализирование было менее дорогостоящим, мыпытаемся делать сигналы как можно более функциональными. Лучше, чтобы молодые люди подавали сигналы освоей хорошей физической форме и храбрости, занимаясь командными видами спорта, где они освоят правила спортивного поведения и соблюдения коллективных интересов, чем рисковали жизнью, совершая прыжки на мотоциклах. Как говорилось выше, лучше требовать отврачей, чтобы они запоминали анатомию человека, чем случайные наборы слов изязыка эльфов вроманах Дж. Р. Р. Толкина. Тем неменее, какбы мы ни старались, нерациональное сигнализирование продолжит существовать. Поэтому наша задача— использовать модели (в частности, инструменты дизайна механизмов) для создания таких институтов и протоколов, которые сделают сигналы, передаваемые людьми, максимально функциональными.

Самая важная установка, которую можно сформировать,— это стремление продолжать учиться.

Джон Дьюи

Вэтой главе мы остановимся намоделях индивидуального и социального обучения и проанализируем их применение вдвух контекстах. Первый подразумевает выбор наилучшего варианта из множества альтернатив. Вэтом случае оба типа обучения, индивидуальное и социальное, сходятся к оптимальному выбору. Отвыбора правила обучения зависит только степень сходимости. Затем мы рассмотрим применение правил обучения к действиям виграх. Вигре выигрыш от определенного действия зависит отдействий другого игрока или игроков. Вэтом случае оба правила обучения ставят равновесные исходы с избеганием риска выше эффективных исходов. Кроме того, мытакже обнаружим, что индивидуальное и социальное обучение невсегда обеспечивает одинаковые результаты ичто ниодин изтипов обучения не действует более эффективно вовсех средах.

Все эти выводы поддерживают наш многомодельный подход к представлению поведения. Модели обучения находятся в промежутке между моделями рационального выбора, которые предполагают,что люди анализируют логику ситуаций иигр и предпринимают оптимальные действия, имоделями, основанными направилах, которые предписывают определенные линии поведения. Модели обучения действительно исходят изтого, что люди придерживаются правил, однако эти правила позволяют менять поведение. Порой поведение приближается к оптимальному— втаких случаях модели обучения можно использовать для обоснования предположения, что люди могут вести себя оптимально. Тем неменее модели обучения невсегда сходятся к равновесию: они могут формировать циклы или сложные динамические процессы. Если модели всеже сходятся к равновесию, они могут выбирать одни равновесия чаще, чем другие.

Глава начинается сописания модели обучения с подкреплением и ее применения крешению задачи выбора наилучшей альтернативы. Модель усиливает действия посредством более высокого вознаграждения. Современем учащийся предпринимает только наилучшее действие. Это базовая модель, которая идеально подходит для обучения обучению. Кроме того, она хорошо согласуется с экспериментальными данными, причем нетолько в отношении людей. Морские слизни, голуби имыши также подкрепляют успешные действия. Эта модель может быть более подходящей для морских слизней с20000нейронами, чем для людей, укоторых ихболее 85миллиардов. Такие расширенные возможности позволяют людям анализировать гипотетические построения впроцессе обучения— феномен, который остается зарамками модели обучения с подкреплением.

Далее мыопишем модели социального обучения, в соответствии скоторыми люди обучаются наоснове собственного выбора ивыбора других людей. Люди копируют только тедействия или стратегии, которые наиболее распространены или дают результаты выше среднего. Социальное обучение требует наблюдений или коммуникации. Некоторые виды обеспечивают социальное обучение через стигмергию— процесс, врамках которого успешные действия оставляют след или отпечаток, чтобы понему могли последовать другие (как, например, козы, которые бродят погорному пастбищу, оставляя после себя вытоптанную траву, обозначающую маршрут кводе или пище).

Втретьем разделе мыприменим оба типа моделей обучения киграм. Как уже отмечалось, игры— более сложная среда обучения. Одно итоже действие может обеспечивать высокий выигрыш водном периоде инизкий— в следующем периоде. Вполне ожидаемо мы обнаружим, что модели как социального, так и индивидуального обучения несходятся к эффективному равновесию. Кроме того, они могут приводить кразным исходам. Заканчивается глава обсуждением более сложных правил обучения[1].

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ: ПОДКРЕПЛЕНИЕ

Вслучае обучения с подкреплением человек выбирает действия сучетом ихвеса. Действия сбольшим весом выбираются чаще, чем смалым. Вес, присвоенный действию, зависит от вознаграждения (выигрыша), которое человек получил при его совершении впрошлом. Такое подкрепление ввиде выигрышей свысоким вознаграждением приводит к выполнению более эффективных действий. Вопрос, который мы исследуем, состоит втом, сходитсяли обучение с подкреплением исключительно квыбору альтернативы свысоким вознаграждением.

Напервый взгляд может показаться, что выбрать наиболее выгодную альтернативу,— проще простого. Если вознаграждение представлено вчисловой форме, такой как деньги или время, можно ожидать, что люди выберут лучшую альтернативу. Вглаве4 мы применили эту логику, чтобы доказать, что человек, выбирающий маршрут наработу вЛос-Анджелесе, предпочтет самый короткий путь.

Если вознаграждение не представлено вчисловой форме (что обычно ибывает), людям приходится полагаться напамять. Например, вовремя обеда в корейском ресторане нам очень понравилось блюдо кимчи, поэтому велика вероятность, что мы отправимся туда обедать снова. В понедельник мысъедаем овсяное печенье зачас допробежки и обнаруживаем, что можем поддерживать высокий темп бега десять километров. Если всреду перед пробежкой мыснова перекусим овсяным печеньем ипокажем тотже результат, это даст нам основания увеличить вес этого действия. Мыузнаем, что печенье повышает нашу результативность.

Другие виды делают тоже самое. Эдвард Торндайк (один изпервых психологов, изучавших обучение) провел эксперимент, входе которого кошки, тянувшие рычаг, чтобы выбраться изкоробки, вознаграждались рыбой. Когда кошку снова помещали вкоробку, она втечение нескольких секунд опять тянула рычаг. Данные Торндайка позволили установить процесс непрерывного экспериментирования. Торндайк обнаружил, что кошки (илюди) учатся быстрее вслучае повышения вознаграждения. Онназвал это законом эффекта[2]. Этот вывод имеет и неврологическое объяснение. Повторение того или иного действия приводит к формированию неврологических путей, порождающих аналогичное поведение вбудущем. Кроме того, Торндайк обнаружил, что более неожиданное вознаграждение (которое существенно превышает прошлый или ожидаемый результат) обеспечивает более быстрое обучение улюдей— феномен, известный как принцип неожиданности[3].

Внашей модели обучения с подкреплением вес, присвоенный выбранной альтернативе, корректируется сучетом того, насколько вознаграждение отэтой альтернативы превышает наши ожидания (наш уровень стремлений). Эта схема включает как закон эффекта (мычаще предпринимаем действия, обеспечивающие более высокое вознаграждение), так ипринцип неожиданности (вес, присваиваемый выбранной альтернативе, зависит оттого, вкакой степени вознаграждение отнее превосходит уровень стремлений)[4].

Модель обучения с подкреплением

Совокупность альтернатив {A, B, C, D, …, N} имеет связанные сними вознаграждения {π(A), π(B), π(C), π(D), …, π(N)} и множество строго положительных весовых коэффициентов {w(A), w(B), w(C), w(D), …, w(N)}. Вероятность выбора альтернативы Kравна:

После выбора альтернативы Kзначение w(K) возрастает на γ· P(K)· (π(K)− A), где γ > 0— это скорость корректировки, аA < maxKπ(K)— уровень стремления[5].

Обратите внимание, что уровень стремления должен быть ниже вознаграждения как минимум поодной альтернативе, иначе вероятность последующего выбора любой выбранной альтернативы будет уменьшаться, ивсе весовые коэффициенты сойдутся кнулю. Можно доказать, что, если уровень стремлений ниже вознаграждения минимум поодной альтернативе, вконечном счете почти весь вес будет присвоен лучшей альтернативе. Это происходит потому, что каждый раз, когда выбор падает насамую лучшую альтернативу, еевес возрастает на максимальную величину, что создает более сильное подкрепление данной альтернативы. Это имеет место, даже если установить уровень стремления ниже вознаграждения покаждой альтернативе. Втаком случае вес каждой альтернативы увеличивается после еевыбора. Следовательно, модель может отражать привыкание, когда мыделаем что-то вбольшем объеме только потому, что делали это впрошлом. Даже при низком уровне стремления быстрее всего возрастает вес альтернатив ссамым высоким вознаграждением, азначит, лучшая альтернатива побеждает в долгосрочной перспективе. Однако период для схождения к наилучшей альтернативе может быть длительным. Ктомуже скаждым включением в рассмотрение дополнительных альтернатив растет ипериод схождения.

Во избежание таких сложностей включим вмодель эндогенные стремления иизменим модель так, чтобы уровень стремлений корректировался стечением времени, установив его равным среднему вознаграждению. Представьте, что один из родителей выясняет, что больше любит ребенок— блины сяблоками или сбананами. Присвоим вознаграждение 20 блинам сяблоками и вознаграждение 10 блинам сбананами. Установим исходный вес 50 обеим альтернативам, скорость корректировки— 1, ауровень стремления— 5. Допустим, родитель печет впервый день блины сбананами; ихвес увеличится до55. Предположим, на следующий день родитель снова печет блины сбананами. Вознаграждение 10 соответствует новому уровню стремления, поэтому вес блинов сбананами неменяется.

Теперь представим, что натретий день родитель готовит блины сяблоками, что обеспечивает вознаграждение 20, превышающее уровень стремлений. Это увеличивает вес блинов сяблоками до60, повышая вероятность ихвыбора. Высокое вознаграждение поднимает также средний выигрыш, азначит, иуровень стремлений, выше 10. Таким образом, если родитель снова приготовит блины сбананами, ихвес уменьшится, поскольку вознаграждение отних ниже нового уровня стремлений. Следовательно, обучение с подкреплением сходится исключительно квыбору блинов сяблоками.

Можно доказать, что обучение с подкреплением сходится квыбору наилучшей альтернативы с вероятностью 1. Это означает, что вес наилучшей альтернативы станет сколь угодно большим по сравнению свесом других альтернатив.

Действенность обучения с подкреплением

Согласно концептуальной схеме обучения посредством поиска наилучшей альтернативы, обучение с подкреплением вконечном счете почти всегда обеспечивает выбор наилучшей альтернативы.

СОЦИАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ: РЕПЛИКАТИВНАЯ ДИНАМИКА

Обучение с подкреплением подразумевает, что человек действует водиночку. Однако люди могут учиться, наблюдая задругими людьми. Модели социального обучения исходят изтого, что люди видят действия и вознаграждения окружающих. Это может ускорить темпы обучения. Наиболее изученная модель социального обучения, репликативная динамика, подразумевает, что вероятность совершения действия зависит от произведения отего вознаграждения иего популярности. Первое можно обозначить как эффект вознаграждения, авторое как эффект конформности[6]. Чаще всего модель репликативной динамики включает всебя бесконечную совокупность, что позволяет описать предпринятые действия как распределение вероятностей поразным альтернативам. При стандартном построении модели время идет дискретными шагами, азначит, мыможем оценить процесс обучения по изменениям в распределении вероятностей.

Репликативная динамика

Совокупность альтернатив {A, B, C, D, …, N} имеет связанные сними вознаграждения {π(A), π(B), π(C), π(D), …, π(N)}. Действия совокупности вмомент tможно записать как распределение вероятностей поNальтернативам: (Pt(A), Pt(B), …, Pt(N)). Распределение вероятностей меняется в соответствии со следующим уравнением репликативной динамики:

где — это среднее вознаграждение запериод t.

Рассмотрим сообщество, вкотором родители выбирают между блинами сяблоками, сбананами и с шоколадной крошкой. Предположим, что увсех детей одинаковые предпочтения итри вида блинов обеспечивают вознаграждение 20, 10 и5. Если изначально 10процентов родителей пекут блины сяблоками, 70процентов— сбананами и20процентов— с шоколадной крошкой, среднее вознаграждение составит 10. Применив уравнение репликативной динамики, получим следующие значения вероятности выбора каждой изтрех альтернатив вовтором периоде:

УРАВНЕНИЕ РЕПЛИКАТИВНОЙ ДИНАМИКИ

Альтернатива	π	P1	P2
Яблоки	20	0,1	0,2
Бананы	10	0,7	0,7
Шок. крошка	5	0,2	0,1

Согласно уравнению репликативной динамики, в следующем периоде блины сяблоками испекут вдва раза больше родителей. Это объясняется тем, что вознаграждение заних вдвое больше среднего вознаграждения. Вдва раза меньше родителей приготовят блины с шоколадной крошкой, поскольку вознаграждение составляет половину среднего вознаграждения. Инаконец, доля родителей, выбравших блины сбананами, обеспечивающие эквивалент среднему вознаграждению, не изменится. Объединив все эти изменения, можно показать, что среднее вознаграждение возрастает до11,5.

Как отмечалось выше, репликативная динамика включает эффект конформности (более популярные альтернативы, скорее всего, будут скопированы) иэффект вознаграждения. В долгосрочной перспективе эффект вознаграждения преобладает, поскольку количество альтернатив свысоким вознаграждением всегда растет пропорционально количеству альтернатив сболее низким вознаграждением. Вмодели репликативной динамики среднее вознаграждение выполняет туже функцию, что иуровень стремлений вмодели обучения с подкреплением, где уровень стремлений настраивается на соответствие среднему вознаграждению. Единственное различие— вмодели репликативной динамики мы вычисляем среднее вознаграждение повсей совокупности. Вмодели обучения с подкреплением уровень стремления эквивалентен среднему вознаграждению отдельного человека. Это различие важно втом смысле, что совокупность представляет собой более широкую выборку. Таким образом, репликативная динамика порождает меньшую зависимость от первоначально выбранного пути, чем обучение с подкреплением.

Наша модель репликативной динамики исходит изтого, что каждая альтернатива существует висходной совокупности. Учитывая, что альтернатива ссамым высоким вознаграждением всегда обеспечивает вознаграждение выше среднего, а еедоля возрастает вкаждом периоде, вконечном счете репликативная динамика сходится квыбору лучшей альтернативы всей совокупностью[7]. Следовательно, в контексте поиска лучшей альтернативы как индивидуальное, так и социальное обучение сходится к альтернативе ссамым высоким вознаграждением. Однако это не относится киграм.

Репликативная динамика обеспечивает наиболее эффективное обучение

Впроцессе поиска лучшей альтернативы из конечного множества альтернатив репликативная динамика врамках бесконечной совокупности сходится ктому, что вся совокупность выбирает наилучшую альтернативу.

ОБУЧЕНИЕ ВИГРАХ

Теперь применим наши две модели обучения киграм[8]. Вспомним, что вигре выигрыш игрока зависит как отего собственных действий, так и отдействий других игроков. Выигрыш от определенного действия, такого как сотрудничество вдилемме заключенного, может быть высоким водин период инизким в следующий период, в зависимости отдействий другого игрока. Начнем с«Пожирателя топлива»— игры сдвумя участниками, вкоторой каждый игрок должен выбрать, накаком автомобиле ездить— экономичном или потребляющем много топлива. Выбор пожирателя топлива всегда дает выигрыш2. Выбор экономичного автомобиля, если другой игрок тоже выберет экономичный автомобиль, обеспечивает выигрыш 3,— уобоих водителей хорошая линия обзора, им требуется меньше топлива иони небоятся быть раздавленными громадным пожирателем топлива. Если другой игрок выбирает «пожирателя», водитель экономичного автомобиля должен быть осведомлен одругом водителе. Для того чтобы отобразить этот эффект, будем исходить изтого, что выигрыш этого водителя падает донуля. Выигрыши вигре представлены нарис.26.1.

Рис.26.1. Игра «Пожиратель топлива»

Вигре «Пожиратель топлива» есть два равновесия вчистых стратегиях: оба игрока могут выбрать экономичные автомобили или оба игрока могут выбрать автомобили сбольшим потреблением топлива[9]. Равновесие, вкотором оба выбирают экономичные автомобили, обеспечивают более высокий выигрыш. Это иесть эффективное равновесие.

Сначала предположим, что оба игрока используют модель обучения с подкреплением. Нарис.26.2 показаны результаты четырех численных экспериментов, где первоначальный вес каждого действия равен 5, уровень стремлений равен нулю, аскорость обучения (γ) составляет . Входе всех четырех экспериментов оба игрока учатся выбирать пожирателя топлива, что является неэффективным равновесием вчистых стратегиях. Для того чтобы понять, почему это происходит, достаточно проанализировать выигрыши. Пожиратель топлива всегда обеспечивает выигрыш 2. Экономичный автомобиль иногда дает выигрыш 3, аиногда— 0. Согласно предположению, оба действия будут вравной степени представлены висходной совокупности. Следовательно, экономичный автомобиль обеспечивает средний выигрыш всего 1,5 по сравнению с выигрышем пожирателя топлива 2. Чем больше игроки выбирают пожирателя топлива, тем ниже выигрыш отвыбора экономичного автомобиля.

Рис.26.2. Вероятность выбора пожирателя топлива вслучае обучения с подкреплением

Теперь применим кэтой игре модель репликативной динамики. Вновь предположим, что исходная совокупность состоит изравных частей людей, выбравших автомобили сбольшим расходом топлива и экономичные автомобили. Кроме того, будем исходить изтого, что каждый член совокупности играет против всех остальных еечленов. Игроки, выбирающие пожирателей топлива, получают более высокие выигрыши, а поскольку на начальном этапе каждое действие выбирается одинаковым количеством игроков, вовтором периоде больше людей предпочтут пожирателей топлива[10]. Повторное применение уравнения репликативной динамики показывает, что количество игроков, выбирающих автомобили сбольшим расходом топлива, продолжает увеличиваться. Дальнейшее применение уравнения приводит ктому, что все члены совокупности выбирают пожирателей топлива. Нарис.26.3 представлены результаты четырех случаев применения модели дискретной репликативной динамики к совокупности из100 игроков. Предположив наличие конечной совокупности, мывводим небольшой элемент случайности. Количество людей, совершающих каждое действие, может не вточности совпадать с количеством, указанным в уравнении репликативной динамики. Вкаждом изчетырех случаев все игроки выбирают пожирателя топлива всего лишь после семи периодов. Сходимость столь быстрая, потому что иэффект конформности, иэффект вознаграждения уже после первого периода подталкивают людей ктакому выбору. Например, когда 90процентов членов совокупности выбирают автомобили сбольшим расходом топлива, выигрыш отвыбора экономичного автомобиля составит менее одной шестой выигрыша отвыбора пожирателя топлива. Эффект конформности усиливает эффект вознаграждения, делая социальное обучение гораздо более быстрым по сравнению с индивидуальным обучением, которое потребовалобы всреднем 100 периодов для выбора 99процентов автомобилей сбольшим расходом топлива.

Рис.26.3. Репликативная динамика (100 игроков): вероятность выбора пожирателя топлива

Вэтой игре оба правила обучения сходятся квыбору пожирателя топлива, поскольку это действие обеспечивает более высокий выигрыш, если оба действия вравной степени вероятны. Такие действия называются доминирующими пориску. Оба правила обучения предпочли доминирующее пориску равновесие эффективному равновесию. Далее рассмотрим игру, вкоторой оба правила обучения сходятся кразным равновесиям.

ИГРА «ВЕЛИКОДУШНЫЙ— ЗЛОБНЫЙ»

Наша следующая игра, «Великодушный— злобный», основывается нашироко изучаемом вопросе, касающемся поведения: какой выигрыш волнует нас больше— абсолютный или относительный? Человека, который предпочелбы бонус вразмере 10000долларов, притом что все его коллеги получат по15000долларов, бонусу вразмере 8000долларов, тогда как его коллеги получат всего по5000долларов, больше заботит его абсолютный выигрыш. Человек, который принялбы меньшее количество денег, чтобы получить самый большой бонус, больше заботится освоем относительном выигрыше. Крайний случай предпочтения впользу относительного выигрыша отражен вистории озлобном человеке и волшебной лампе.

Злобный человек и волшебная лампа

Злобный человек вовремя археологической экспедиции нашел бронзовую лампу. Когда он еепотер, изнее появился джинн и провозгласил: «Яисполню одно любое твое желание, но, будучи великодушным джинном, дам каждому, кого тызнаешь, вдвое больше, чем тебе». Поразмыслив немного над этим предложением, человек протянул ему палку ипопросил: «Выколи мне один глаз».

Злобный человек совершает действие, которое дает ему низкий абсолютный ивысокий относительный выигрыш[11]. Аналогичное противоречие существует и в международных отношениях. Неолибералы считают, что страны стремятся максимизировать абсолютный выигрыш, выраженный ввиде военной мощи, экономического процветания и внутренней стабильности. Представители другого лагеря, известные как неореалисты, убеждены, что странам важен относительный выигрыш. Страна предпочлабы иметь более низкий абсолютный выигрыш, нобыть сильнее своих врагов. Неореалист Кеннет Уолц вразгар холодной войны писал: «Главная задача государств не втом, чтобы максимально увеличить влияние, автом, чтобы сохранить свои позиции всистеме»[12]. Неореалисты утверждают, что еслибы вразгар холодной войны либо СССР, либо США потерли волшебную лампу, токаждая изэтих стран протянулабы джинну палку.

Мыможем представить конфликт между абсолютными и относительными выигрышами вигре «Великодушный— злобный» ввиде великодушного действия, увеличивающего выигрыши всех игроков, излобного действия, повышающего выигрыш только одного игрока. Эта игра отличается отигры с коллективными действиями, где щедрость имеет свою цену[13]. Формальное описание игры с выигрышами представлено воврезке. Великодушное действие— это доминирующая стратегия. Какимибы нибыли действия других игроков, игрок, выбравший его, получает более высокий выигрыш. Вместе стем игроки, выбравшие злобное действие, всреднем получают более высокий выигрыш.

Игра «Великодушный— злобный»

Каждый изNигроков предпочитает быть великодушным Gили злобным S.

Payoff(G, NG)= 1+ 2· NG.

Payoff(S, NG)= 2+ 2· NG.

Напервый взгляд эти утверждения кажутся противоречивыми, ноэто нетак. Проявляя великодушие, игрок повышает свой абсолютный выигрыш на3, повышая при этом ивыигрыши других игроков на2. Злобный игрок увеличивает свой выигрыш только на2, не увеличивая при этом выигрышей остальных игроков. Каждый игрок улучшает свой выигрыш, выбирая великодушие. Когда игрок решает быть злобным, он уменьшает свой выигрыш, ноеще больше (вэтом исостоит ключевое предположение) уменьшает выигрыши остальных.

Если применить обучение с подкреплением кигре «Великодушный— злобный», тоигроки научатся быть великодушными. Чтобы понять почему, предположим, что игроки почти пришли к равновесию, причем NG игроков делают выбор впользу великодушия. Злобный игрок получает выигрыш 2+ 2· NG— это иесть его уровень стремлений. Выбрав G(что происходит смалой вероятностью), онполучит выигрыш 1+ 2· (NG+ 1)= 3+ 2· NG, что превышает его уровень стремлений. Витоге он сбольшей вероятностью проявит великодушие. Продолжая использовать эту логику, мыувидим, что все игроки научатся быть великодушными.

Вслучае применения репликативной динамики члены совокупности учатся быть злобными. Это можно увидеть, обратившись к уравнению репликативной динамики. Вкаждом периоде игроки, решившие вести себя злобно, получают более высокий выигрыш, чем игроки, выбравшие великодушие. Следовательно, доля злобных игроков увеличивается на протяжении каждого периода.

Эти выводы подчеркивают ключевое различие между индивидуальным и социальным обучением. Индивидуальное обучение заставляет людей выбирать лучшее действие, поэтому они обнаруживают доминирующее действие, если оно существует. Социальное обучение заставляет людей выбирать более эффективные действия по сравнению сдругими действиями. В большинстве случаев такие действия обеспечивают иболее высокий выигрыш. Этого не относится кигре «Великодушный— злобный», где злобное действие обеспечивает более высокий средний выигрыш, а великодушное является доминирующим. Обратите внимание, что наш анализ приводит кдовольно парадоксальному выводу: вслучае индивидуального обучения люди учатся поступать более великодушно, чем вслучае социального. Это объясняется тем, что входе социального обучения игроки копируют действия тех игроков, которые добиваются относительно высоких результатов.

Теперь мыможем проанализировать сделанный ранее комментарий относительно того, что репликативную динамику можно рассматривать либо как адаптивное правило, либо как выбор из фиксированных правил. Если допустить второе, тонаша модель говорит отом, что отбор может отдавать предпочтение злобному типу. Отбор невсегда порождает кооперацию. Этот результат противоречит тому, что мыузнали при изучении дилеммы заключенного, где повторение приводило к сотрудничеству. Тогда мы анализировали повторяющиеся игры и допускали вероятность использования более сложных стратегий.

СОЧЕТАНИЕ МОДЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ

Мыувидели, что индивидуальное и социальное обучение позволяют найти лучшее решение среди фиксированного множества альтернатив, нопри применении киграм могут приводить кразным исходам. Такое отсутствие согласованности является преимуществом. Представьте огромное множество, состоящее извсех возможных игр. Представьте также еще одно множество, состоящее извсех моделей обучения. Мымоглибы применить каждую модель извторого множества ккаждой игре изпервого множества иоценить полученные результаты, азатем разделить множество всех игр надва подмножества: игры, вкоторых правило обучения обеспечивает эффективный исход, иигры, вкоторых этого не происходит. Кроме того, можно былобы проанализировать экспериментальные данные иоценить каждое правило обучения вкачестве предиктора фактического поведения. Выполнение этих действий несомненно выявилобы дополнительные обстоятельства. Каждое правило обучения обеспечивает эффективный исход водних играх, но не вдругих. Кроме того, все правила обучения отличаются друг отдруга контекстом, вкотором они точно описывают поведение. Поэтому мы отстаиваем целесообразность многомодельного подхода.

Вэтой главе описаны две канонические модели, содержащие всего по несколько меняющихся элементов. Мыставили перед собой цель дать общее представление о содержании множества захватывающих книг. Включение дополнительных деталей влюбую модель обучения обеспечивает более полное соответствие экспериментальным и эмпирическим данным. Вспомните, что вмодели обучения с подкреплением люди увеличивают или уменьшают вес альтернативы или действия в зависимости оттого, превышаетли вознаграждение (выигрыш) ихуровень стремлений. Люди не присваивают веса действиям, которых не совершают: мы не увеличиваем вероятность выполнения какого-то действия, которое обеспечилобы более высокий выигрыш, еслибы мыего предприняли.

Это предположение имеет смысл не вовсех случаях. Рассмотрим случай, когда сотрудник, уезжая вотпуск, решает небрать ссобой мобильный телефон. Пока сотрудник находится вотъезде, ему звонит руководитель поважному вопросу. Сотрудник, разумеется, пропускает звонок, иему отказывают в повышении. Вмодели обучения с подкреплением этот сотрудник не присваивает более значительный вес решению взять телефон ссобой вбудущем. Модель обучения по алгоритму Эрева–Рота вносит в стандартную модель поправки, чтобы невыбранные альтернативы тоже получали определенный вес в зависимости от их гипотетических выигрышей. Вданном примере сотрудник присвоилбы более значительный вес решению взять телефон ссобой.

Такое изменение модели создает правило обучения наоснове убеждений. Величина увеличения веса невыбранных альтернатив зависит от экспериментального показателя. Чем онвыше, тем больше люди учитывают последствия действий других итем больше увеличивают вес этих действий. Рот иЭрев также исключают из рассмотрения предысторию, чтобы можно было учитывать тот факт, что другие игроки тоже обучаются, а стратегии могут меняться[14].

Такие дополнительные предположения имеют интуитивный смысл и эмпирическое обоснование, ноподходят не вовсех случаях. Если вернуться кпримеру с родителями, которые пекут блины, первое предположение подразумевает, что после приготовления блинов сбананами дополнительный вес присваивается альтернативе ввиде приготовления блинов сяблоками, причем он пропорционален выигрышу отэтих блинов. Данное предположение имеет смысл тогда, когда родителям известен выигрыш отблинов сяблоками. Это возможно, только если родители видят или могут интуитивно оценить выигрыш от невыбранных действий.

Модель Кэмерера иХообразует функциональную форму, которая допускает обучение с подкреплением иобучение наоснове убеждений вкачестве особых случаев. Параметр, который можно привести в соответствие сданными, позволяет определить относительную силу каждого типа правил обучения[15]. Способность комбинировать модели была одним из побудительных мотивов для освоения многомодельного подхода. При этом комбинирование моделей неизбежно обеспечивает лучшее соответствие данным всвязи с увеличением количества параметров. Нодаже сучетом роста числа параметров модель Кэмерера иХодает более точные прогнозы иболее глубокое объяснение.

Моделирование обучения сопряжено срядом проблем. Правила обучения, хорошо работающие водной среде, могут не охватывать другие ситуации. Кроме того, то, что люди учатся делать, может зависеть от ихисходных убеждений, поэтому два человека могут по-разному учиться водной итойже среде, аодин человек может по-разному учиться вразных ситуациях. Нодаже сконструировав точную модель обучения, мы непременно столкнемся спринципом эксплуатируемости: если модель объясняет, как люди учатся, тодругие могут применить еедля прогнозирования (аиногда и эксплуатации) этих знаний. Тогда люди, повсей вероятности, научатся избегать эксплуатации, инаша исходная модель обучения перестанет быть достоверной. Мыуже сталкивались сэтим феноменом при обсуждении критики Лукаса впроцессе анализа гипотезы об эффективности рынка. Мы неможем сделать однозначный вывод отом, что, поскольку люди учатся, они придерживаются оптимальной стратегии. Можно только предположить, что обучение позволит отказаться от неэффективных действий впользу лучших.

Действительноли культура важнее стратегии?

Давайте применим модели заражения имодели обучения для анализа известного постулата организационной теории отом, что культура важнее стратегии[16]. Если коротко, тоэто утверждение гласит, что стратегические стимулы к изменению поведения недают результата. Притягательность культуры, существующий набор знаний и убеждений слишком сильны. Экономисты утверждают обратное: стимулы определяют поведение.

Для того чтобы описать эти два противоположных утверждения спомощью условной логики, сначала используем один из вариантов модели сетевого распространения. Вэтой модели менеджер или директор объявляет оновой стратегии иприводит доказательства преимуществ планируемых перемен. СЕО может даже пересмотреть ключевые принципы организации, чтобы они отражали новую модель поведения. Затем сотрудники организации решают, приниматьли эту модель поведения, в зависимости от убедительности аргументов менеджера. Какое-то начальное количество сотрудников проявляют интерес кданной инициативе и, вступая вконтакт сдругими представителями своей рабочей сети, распространяют свой энтузиазм. Однако параллельно существует определенное сопротивление новой стратегии, когда некоторые люди не принимают ее. Три свойства, откоторых зависит распространение новой стратегии (численность контактов, скорость распространения и количество отказов), естественным образом соответствуют параметрам вформуле базового репродуктивного числа R0:

Сучетом вероятности появления суперраспространителей мыможем сделать вывод, что культура превосходит стратегию вслучае выполнения любого из следующих трех условий: если сотрудники неверят вновую стратегию, если они поспешно отбрасывают ееили если ее сторонники недостаточно взаимосвязаны. В противном случае стратегия вполне может превзойти культуру.

Наша вторая модель применяет репликативную динамику кигре «Культура— стратегия», которая моделирует взаимодействие между парами сотрудников. Мыможем представить эти варианты выбора вформе игры как культурное действие (то, что они делают сейчас) иинновационное стратегическое действие. Предположим, менеджер разрабатывает систему выигрышей таким образом, чтобы игроки получали более высокий выигрыш, если оба выберут инновационное поведение. При этом уодного игрока инновационный выигрыш будет ниже.

Вигре два строгих стратегических равновесия Нэша: водном оба игрока принимают инновации (стратегия превосходит культуру), а вовтором оба не принимают (культура превосходит стратегию). Очевидно, что менеджер разработал систему стимулов таким образом, чтобы сотрудники выбрали инновационное стратегическое действие, обеспечивающее более высокий выигрыш. Построив модель обучения, мыувидим, что менеджеру необходим достаточный уровень первоначальной заинтересованности сотрудников для того, чтобы новая стратегия прижилась. В представленной выше игре можно доказать, что если при наличии первоначальной заинтересованности доля сотрудников, принимающих инновации, не превышает 20процентов, токультура превзойдет стратегию[17]. Еслибы мы увеличили выигрыш от инновационного стратегического действия, тоуровень первоначальной заинтересованности могбы быть даже ниже, новсеже обеспечивалбы эффективный исход.

Обе модели показывают, что два противоположных тезиса «Культура важнее стратегии» и«Люди реагируют настимулы» могут быть правильными при определенных условиях. Согласно первой модели, харизматичные руководители, способные убедить хорошо взаимосвязанных сотрудников, могут внедрить новые стратегии, которые одержат верх над культурой. Согласно второй модели, культура превосходит слабые стимулы, ноуступает сильным.

Есть одна вещь, которая уменя действительно хорошо получается— бросать мяч через сетку. Яделаю это превосходно.

Серена Уильямс

Вэтой главе мы привнесем неопределенность впроблему поиска лучшей альтернативы для создания класса моделей, известных как задачи о многоруком бандите. Втаких задачах вознаграждения от альтернатив представляют собой распределение, а не фиксированную величину. Задачи о многоруком бандите применимы кширокому спектру реальных ситуаций. Любой выбор из совокупности действий, обеспечивающий неопределенный выигрыш (испытания лекарственных препаратов, выбор площадки для размещения рекламы, выбор технологий, решение об использовании ноутбуков назанятиях), можно смоделировать ввиде задачи о многоруком бандите; тоже самое касается выбора профессии, вкоторой мыможем преуспеть[1].

Человек, которому нужно решить задачу о многоруком бандите, должен поэкспериментировать с альтернативами, чтобы определить распределение выигрышей. Эта особенность задач о многоруком бандите создает компромисс между использованием (поиском наилучшей альтернативы) и исследованием (выбором альтернативы, которая наданный момент показала лучшие результаты). Поиск оптимального баланса в компромиссе между исследованием и использованием требует сложных правил имоделей поведения[2].

Глава состоит издвух частей, завершающихся обсуждением важности применения моделей. Впервой части описывается особый класс задач о многоруком бандите поБернулли, вкоторых каждая альтернатива представляет собой урну Бернулли с неизвестной пропорцией серых ибелых шаров. Мыопишем и сопоставим эвристические решения, азатем продемонстрируем, как они могут улучшить сравнительные тесты, касающиеся вариантов медикаментозного лечения, планов рекламных кампаний иметодик преподавания. Вовторой части представлена более общая модель, вкоторой распределение вознаграждений может принимать любую форму, ачеловек, принимающий решение, владеет информацией об априорном распределении по ихтипам. Вэтой части главы мытакже покажем, как вычислить индекс Гиттинса, который определяет оптимальный выбор.

ЗАДАЧИ О МНОГОРУКОМ БАНДИТЕ ПОБЕРНУЛЛИ

Начнем с подкласса задач о многоруком бандите, вкоторых каждая альтернатива имеет фиксированную вероятность обеспечения успешного исхода. Этот подкласс эквивалентен выбору одной из множества урн Бернулли, содержащих разное количество серых ибелых шаров. Именно поэтому мыназываем данный класс задач задачами о многоруком бандите поБернулли. Еще ихназывают частотными задачами, поскольку ответственный запринятие решений ничего незнает о распределениях иполучает информацию оних помере исследования альтернатив.

Задачи о многоруком бандите поБернулли

Каждая из совокупностей альтернатив {A, B, C, D, …, N} имеет неизвестную вероятность обеспечения успешного исхода {pA, pB, pC, pD, …, pN}. Вкаждом периоде человек, принимающий решение, выбирает альтернативу K иполучает успешный исход с вероятностью pK.

Рассмотрим следующий пример. Предположим, укомпании почистке дымоходов есть список телефонных номеров недавних покупателей домов. Компания тестирует три способа сделать коммерческое предложение: запланированная встреча («Здравствуйте! Язвоню, чтобы договориться овремени ежегодной чистки вашего дымохода»), выражение обеспокоенности («Здравствуйте! Знаетели вы, что грязный дымоход может стать причиной пожара?») и индивидуальный подход («Здравствуйте! Меня зовут Хилди. Мы сотцом основали компанию почистке дымоходов четырнадцать лет назад»).

Каждое коммерческое предложение имеет неизвестную вероятность успеха. Предположим, компания сначала пробует подход «запланированная встреча» итерпит неудачу. Тогда она переходит ковторому подходу— выражению обеспокоенности— и заполучает клиента. Подход срабатывает и вовремя следующего звонка, ноеще после трех звонков тоже терпитнеудачу. Компания применяет третий подход, который срабатывает вовремя первого звонка итерпит неудачу входе следующих четырех. После десяти звонков второй подход обеспечивает самый высокий процент успеха, однако первый подход применялся только один раз. Человек, принимающий решение, становится перед выбором между использованием (выбором наиболее подходящей альтернативы) и исследованием (возвратом кдвум другим альтернативам для получения дополнительной информации). Аналогичную задачу решает больница при выборе одной из хирургических процедур и фармацевтическая компания, тестирующая различные протоколы применения лекарственных препаратов. Каждый протокол имеет неизвестную вероятность успеха.

Для более глубокого понимания компромисса между исследованием и использованием сравним два эвристических алгоритма. Первый— «выборочное исследование, затем жадный выбор»— подразумевает проверку альтернатив фиксированное количество раз M, после чего следует выбор альтернативы с максимальным средним выигрышем. Для того чтобы определить величину M, можно воспользоваться урной Бернулли и правилами квадратного корня. Стандартное отклонение среднего соотношения ограничено сверху величиной . Если каждая альтернатива тестируется 100 раз, стандартное отклонение среднего соотношения будет равно 5процентам. Если применить правило двух стандартных отклонений для выявления значимого различия, можно уверенно провести разграничение между соотношениями, отличающимися на10процентов. Если одна альтернатива обеспечивает успешный исход в70процентах случаев, адругая— в55процентах случаев, мыможем с95-процентной уверенностью утверждать, что первый вариант лучше.

Вторая эвристика— «эвристический алгоритм адаптивного уровня исследования»— выделяет подесять исходных испытаний накаждую альтернативу. Следующие двадцать испытаний распределяются пропорционально доле успешных попыток. Если вовремя первых десяти испытаний одна альтернатива обеспечивает шесть успешных попыток, адругая только две, топервая альтернатива получит три четверти от следующих двадцати испытаний. Вторая группа издвадцати испытаний тоже может быть распределена в соответствии с отношением квадратов вероятностей успеха. Если успешные попытки продолжатся втехже пропорциях, лучшая альтернатива получит , или 90процентов третьей группы издвадцати испытаний. Вкаждой последующей группе издвадцати испытаний можно с определенной скоростью увеличивать показатели степени вероятностей. Увеличивая стечением времени темпы использования, второй алгоритм улучшает первый. Если уодной альтернативы намного выше вероятность успеха по сравнению сдругой альтернативой, скажем 80процентов против 10процентов, алгоритм нестанет тратить сотню испытаний навторую альтернативу. Однако если обе вероятности имеют близкие значения, алгоритм продолжит экспериментировать[3].

Следование эвристическому алгоритму «выборочное исследование, азатем жадный выбор» нетолько неэффективно, нопорой даже неэтично. Когда Роберт Бартлетт испытывал искусственное легкое, процент его успеха существенно превышал показатель других альтернатив. Продолжение их тестирования, тогда как искусственное легкое демонстрировало наилучшие результаты, привелобы к бессмысленным смертельным исходам. Бартлетт прекратил эксперименты сдругими альтернативами. Все пациенты получили искусственное легкое. В действительности это доказывает наличие оптимального правила: если альтернатива неизменно гарантирует требуемый результат, нужно продолжать еевыбирать. Дальнейшие эксперименты могут неиметь никакой ценности, поскольку никакая другая альтернатива небудет эффективнее.

БАЙЕСОВСКИЕ ЗАДАЧИ О МНОГОРУКОМ БАНДИТЕ

В байесовской задаче о многоруком бандите учеловека, принимающего решение, есть априорные убеждения в отношении распределения вознаграждений от альтернатив. С ихучетом онможет количественно оценить компромисс между исследованием и использованием, атакже (теоретически) принимать оптимальные решения вкаждом периоде. Однако за исключением самых простых задач о многоруком бандите определение оптимального действия требует довольно сложных вычислений. Для решения реальных задач такие точные вычисления могут быть неосуществимы, что вынуждает ответственных запринятие решений лиц полагаться на приближенные оценки.

Байесовские задачи о многоруком бандите

Совокупность альтернатив {A, B, C, D, …, N} имеет соответствующие распределения вознаграждений {f(A), f(B), f(C), f(D), …, f(N)}. Учеловека, принимающего решение, есть априорные убеждения покаждому распределению. Вкаждом периоде человек, принимающий решение, выбирает альтернативу, получает вознаграждение и рассчитывает новые убеждения наего основании.

Определение оптимального действия происходит вчетыре этапа. Во-первых, мы вычисляем ожидаемое немедленное вознаграждение откаждой альтернативы. Во-вторых, обновляем покаждой альтернативе убеждения в отношении распределения вознаграждений. В-третьих, на основании новых убеждений определяем наилучшие возможные действия вовсех последующих периодах сучетом известной информации. Инаконец, прибавляем ожидаемое вознаграждение отдействия в следующем периоде к ожидаемым вознаграждениям от оптимальных будущих действий. Эта сумма известна как индекс Гиттинса. Вкаждом периоде оптимальное действие имеет максимальный индекс Гиттинса.

Обратите внимание, что вычисление индекса дает количественную оценку значимости исследования. При испытании той или иной альтернативы индекс Гиттинса неравен ожидаемому вознаграждению. Онравен сумме всех будущих вознаграждений при условии совершения нами оптимальных действий сучетом полученной информации. Вычислить индекс Гиттинса довольно сложно. Вкачестве относительно простого примера предположим, что существует надежная альтернатива, которая гарантированно обеспечит прибыль в500долларов, и рискованная альтернатива, которая с вероятностью 10процентов всегда приносит 1000долларов, а в оставшихся 90процентах случаев недает никакой прибыли.

Для того чтобы вычислить индекс Гиттинса для рискованной альтернативы, сперва зададимся вопросом, что может происходить: либо она всегда дает прибыль 1000долларов, либо недает никакой прибыли. Азатем проанализируем, как каждый исход влияет нанаши убеждения. Еслибы мыузнали, что рискованная альтернатива принесет 1000долларов, мыбы всегда выбирали ее. Еслибы нам стало известно, что она непринесет никакой прибыли, вбудущем мывсегда выбиралибы надежную альтернативу.

Таким образом, индекс Гиттинса по рискованной альтернативе соответствует 10процентам вероятности вознаграждения вразмере 1000долларов вкаждом периоде и90процентам вероятности вознаграждения вразмере 500долларов вкаждом периоде, за исключением первого. Вситуации многократного выбора альтернативы это дает всреднем около 550долларов закаждый период. Отсюда следует, что рискованная альтернатива— лучший выбор[4].

Индекс Гиттинса: пример

Чтобы продемонстрировать, как вычислить индекс Гиттинса, рассмотрим пример сдвумя альтернативами. Альтернатива Aобеспечивает определенное вознаграждение из множества {0, 80} сравной вероятностью значений 0 и80. Альтернатива Bобеспечивает определенное вознаграждение из множества сравной вероятностью {0, 60, 120} каждого изэтих значений. Предположим, человек, принимающий решение, хочет максимизировать вознаграждение задесять периодов.

Альтернатива A. С вероятностью вознаграждение равно 0, поэтому альтернатива B, имеющая ожидаемое вознаграждение 60, будет выбрана вовсех последующих периодах. Это дает ожидаемое вознаграждение 540 (9× 60). С вероятностью вознаграждение равно 80. Оптимальный выбор вовтором периоде даже при таком исходе состоит ввыборе альтернативы B. С вероятностью альтернатива Bобеспечивает вознаграждение 120, азначит, общий выигрыш составляет 1160 (80+ 9× 120). С вероятностью альтернатива Bдает вознаграждение 60. Вэтом случае альтернатива Aявляется оптимальным выбором вовсех последующих периодах, обеспечивая общее вознаграждение 780 (60+ 9× 80). Инаконец, с вероятностью альтернатива Bдает вознаграждение 0. Вэтом случае альтернатива Aтакже является оптимальным выбором вовсех последующих периодах. Общий выигрыш равен 720 (9× 80).

Объединение всех трех возможностей позволяет сделать вывод, что индекс Гиттинса запервый период по альтернативе Aсоставляет:

Альтернатива B. С вероятностью вознаграждение равно 120. Если это происходит, оптимальным выбором вовсех будущих периодах тоже будет альтернатива B. Задесять периодов общее вознаграждение составит 1200. Если вознаграждение равно 0, то оптимальным выбором вовсех будущих периодах станет альтернатива Aс ожидаемым вознаграждением 40. Ожидаемое общее вознаграждение составит 360 (9× 40). Если вознаграждение равно 60, точеловек, принимающий решение, может выбрать альтернативу Bвовсех последующих периодах, получив суммарный доход 600. Однако если онвыберет альтернативу Aвовтором периоде, вполовине случаев она всегда будет давать вознаграждение 80, благодаря чему суммарный доход составит 780 (60+ 9× 80). Вдругой половине случаев эта альтернатива обеспечивает нулевое вознаграждение, поэтому оптимальным выбором вовсех последующих периодах будет альтернатива B, обеспечивающая вознаграждение 60, что дает общее вознаграждение 540 (9× 60). Отсюда следует, что ожидаемое вознаграждение от оптимального выбора после выбора альтернативы Aвовтором периоде составляет . Объединение всех трех возможностей позволяет сделать вывод, что индекс Гиттинса запервый период по альтернативе Bсоставляет:

Сучетом этих вычислений альтернатива Bявляется оптимальным выбором первого периода. Оптимальный долгосрочный выбор зависит от информации, полученной запервый период. Если альтернатива Bобеспечивает исход 120, мывыбираем еенавсегда.

Этот анализ показывает, что при совершении определенного действия нас должна больше интересовать вероятность того, что альтернатива будет лучшей, чем ожидаемое вознаграждение. Кроме того, если альтернатива обеспечивает очень высокое вознаграждение, мыдолжны сбольшей вероятностью выбирать ее вбудущем. Инаоборот, если альтернатива обеспечивает среднее вознаграждение (даже если оно превышает ожидаемое вознаграждение отдругой альтернативы), мыможем выбирать ее сменьшей вероятностью. Это особенно актуально в начальных периодах, когда мыищем альтернативы свысоким вознаграждением. Все эти выводы относятся комногим областям применения. При условии, что действия не сопряжены сриском или высокими издержками, модель говорит о целесообразности исследования действий с потенциально высоким вознаграждением, даже если они имеют низкую вероятность.

РЕЗЮМЕ

Главный вывод изэтой книги состоит втом, что модели помогают человеку принимать более взвешенные решения. Мыможем вэтом убедиться, сравнив то, что людям следует делать для решения задачи о многоруком бандите, стем, что они делают насамом деле. Сталкиваясь сзадачей о многоруком бандите, большинство людей даже непытаются оценить индекс Гиттинса. Отчасти так происходит потому, что они нехранят данные. Например, только недавно врачи начали вести учет эффективности многих процедур, в частности эффективности разных типов искусственных суставов или, скажем, преимуществ стентирования. Без таких данных врач не в состоянии определить, какое действие обеспечивает максимальный ожидаемый выигрыш.

Для практического применения уроков, извлеченных измодели, врачам, также как и остальным людям, необходимы данные. Следовательно, если выхотите узнать, улучшаютли сон прогулки доили после ужина, вам нужно отслеживать, как хорошо выспали. Затем спомощью сложного эвристического алгоритма вымоглибы определить, какие именно прогулки дают наилучший результат. Напервый взгляд может показаться, что это потребует много усилий. Действительно, так иесть, носегодня выполнять эту задачу гораздо легче. Новые технологии позволяют собирать данные орежиме сна, частоте сердечных сокращений идаже о настроении.

Безусловно, большинство изнас нестанут собирать данные и вычислять индекс Гиттинса для принятия жизненно важных решений— например, когда следует заниматься физической активностью. Вопрос лишь втом, что мымоглибы это делать, аеслибы действительно делали, тоувиделибы улучшения вжизненно важных сферах, например врежиме сна иобщем состоянии здоровья. Психолог Сет Робертс изучал себя на протяжении двенадцати лет ивыяснил, что если он неменее восьми часов вдень находился в положении стоя, это улучшает его сон (хотя онначал спать меньше), ичто пребывание в положении стоя наутреннем солнце снижает его подверженность респираторным заболеваниям верхних дыхательных путей[5]. Возможно, унас нет подобной склонности к экспериментам над собой, однако без ведения учета и сравнения результатов мыможем пропускать завтрак, тогда как нам былобы лучше, еслибы мы сутра съели грейпфрут.

При принятии крайне важных решений вобласти бизнеса, политики имедицины, где данные собирать легче, модели многорукого бандита применяются очень широко. Компании, творцы политики и некоммерческие организации экспериментируют с альтернативами, азатем используют наиболее результативные изних. Напрактике альтернативы невсегда остаются неизменными. Правительственная рассылка спризывом активнее участвовать в программе субсидирования фермерских хозяйств может меняться изгода вгод— например, вместо фотографии мужчины может быть использована фотография женщины[6]. Непрерывное экспериментирование такого типа описывают модели пересеченного ландшафта, представленные в следующей главе.

Президентские выборы

Теперь мы используем три модели для анализа результатов президентских выборов: пространственную модель, модель категоризации имодель многорукого бандита.

Пространственная модель. Для того чтобы привлечь избирателей, кандидаты ведут борьбу вобласти идеологии. Следовательно, мыдолжны ожидать, что кандидаты будут склоняться к умеренным позициям, что вовремя выборов уних будут примерно равные шансы напобеду ичто победившие партии образуют случайную последовательность. На президентских выборах, заредким исключением, имеет место почти равное распределение голосов между кандидатами. Чтобы проверить, образуютли партии случайную последовательность, сначала составим временной ряд изтридцати восьми победивших партий запериод с1868 по2016год.

RRRRDRDRRRRDDRRRDDDDDRRDDRRDRRRDDRRDDR

Затем мыможем оценить блочную энтропию подпоследовательностей разной длины. Подпоследовательности длиной 1 имеют энтропию 0,98. Подпоследовательности длиной 4— 3,61. Статистические тесты показывают, что мы неможем опровергнуть случайный характер последовательности. Для сравнения: случайная последовательность длиной 38 имелабы блочную энтропию сблоком размером 1, значение которой равно 1,0, а сблоком размером 4— 3,58.

Модель категоризации. Если представить каждое состояние как категорию и предположить однородный характер всех состояний, пространственная модель указывает нато, что как только кандидаты выберут исходные позиции, некоторые состояния небудут конкурентными. Данная модель прогнозирует ожесточенную борьбу поряду умеренных состояний. В2012году Обама иРомни потратили 96процентов своего бюджета на телевизионную рекламу вдесяти штатах. Каждый изних потратил почти половину рекламного бюджета втрех умеренных штатах, таких как Флорида, Вирджиния иОгайо. В2016году Клинтон иТрамп также потратили более половины денег на телерекламу втрех умеренных штатах, аименно воФлориде, Огайо иСеверной Каролине[7].

Модель многорукого бандита (ретроспективное голосование). Избиратели сбольшей вероятностью переизберут тупартию, которая демонстрирует хорошие результаты. Голосование за эффективные партии равносильно попыткам потянуть зарычаг, генерирующий высокий выигрыш. Сильная экономика должна быть наруку правящей партии. Фактические данные показывают, что избиратели сбольшей вероятностью переизберут партию власти, если экономика работает хорошо. Этот эффект носит более выраженный характер для действующего кандидата, чем для кандидата отпартии власти, который пока незанимает никакой должности[8].

Нечто удивительное найдет тот, кто даст себе труд отправиться напоиски.

Высказывание приписывается Сакагавее46

Вэтой главе мыизучим модель пересеченного ландшафта. Подобно пространственной и гедонической модели, она определяет объект как набор характеристик (атрибутов). Каждый такой набор отражает определенную ценность. Задача состоит втом, чтобы изменить характеристики для создания объекта с максимальной ценностью. Модель изначально разрабатывалась вобласти экологии для изучения эволюции. Сегодня она также успешно применяется для изучения процесса решения задач, конкурентной борьбы между компаниями и инновационной деятельности. Именно наэтом мыздесь и сосредоточимся. Мы используем эту модель, чтобы показать, как взаимосвязь между воздействием различных атрибутов затрудняет процесс инноваций и порождает зависимость от первоначально выбранного пути в найденных решениях, атакже приводит кбольшему разнообразию решений. Кроме того, мытакже увидим, что рост разнообразных подходов крешению задач позволяет решать более сложные задачи.

Глава состоит изтрех частей, закоторыми следует обсуждение того, как расширить модель для описания конкуренции. Впервой части мыопишем экологическую модель адаптивного ландшафта ипокажем, как мыможем интерпретировать его как модель для решения проблем и инноваций. Вовторой части обсудим последствия жесткости в одномерной модели, ав третьей представим NK-модель пересеченных ландшафтов, которая расширяет одномерную модель до произвольного количества бинарных измерений.

АДАПТИВНЫЙ ЛАНДШАФТ

Согласно модели адаптивного ландшафта47 у биологических видов есть признаки или качества, способствующие повышению их приспособленности, условно определяемой как их репродуктивный потенциал. Кроме того, отдельные члены популяции отличаются друг отдруга постепени наличия того или иного признака. Нанеся значения величины признака по горизонтальной оси, а приспособленность видов по вертикальной оси, мыполучим график, известный как адаптивный ландшафт, накотором возвышенности соответствуют высокому уровню приспособленности.

Для построения графика адаптивного ландшафта, вкотором вкачестве признака выступает хвост койота, мыоставим все характеристики койота прежними иизменим только длину хвоста, иизмерим ее воздействие на приспособленность. Для построения графика нам нужно знать, как хвост влияет на приспособленность. Предположим, онпомогает койоту сохранять равновесие вовремя прыжка, атакже подает сигнал орадости, страхе или агрессии. Слева на горизонтальной оси отобразим длину хвоста, равную нулю. Такой хвост неможет выполнять ниодной функции, азначит, соответствует нулевому уровню приспособленности. Помере увеличения длины хвоста функции сохранения равновесия и сигнализирования улучшаются. Следовательно, уровень приспособленности повышается вместе сростом хвоста. Вкакой-то момент, скажем после достижения 45-сантиметровой длины, хвост будем иметь идеальный размер для сохранения баланса. Если хвост станет еще длиннее, койот будет менее подвижным. Более длинные хвосты по-прежнему могут увеличивать свою ценность сточки зрения сигнализирования, поэтому хвост длиной пятьдесят сантиметров обеспечит максимальную приспособленность. Нокак только хвост станет еще длиннее, уровень приспособленности снизится. Полученный витоге график (рис.28.1) имеет один пик.

Рис.28.1. Ландшафт «Гора Фудзияма»

Такой ландшафт образно называют «Гора Фудзияма», и ончасто встречается вреальном мире. Задачи типа «Гора Фудзияма» считаются легкими. Мыполагаем, что процесс эволюции или обучения непременно найдет вершину, столкнувшись сней. Представьте популяцию койотов схвостами разной длины. Давление отбора приведет ктому, что длина хвостов укойотов будет около пятидесяти сантиметров. Укойотов схвостами такой длины оптимальное соотношение способности к сохранению баланса и сигнализированию. Уних самый высокий уровень приспособленности иони производят больше всего потомства, азначит, численность койотов с пятидесятисантиметровыми хвостами растет. Если представить эту ситуацию как задачу оптимизации, мыувидим, что любой алгоритм восхождения обнаружит вершину.

Воспользуемся принципом применения одной модели вомногих областях и интерпретируем эту ситуацию как задачу разработки некоторого продукта, конкретно— проектирования угольной лопаты. Допустим, мыуже определились сдлиной черенка иформой полотна лопаты. Нам остается только решить, насколько большим должно быть полотно. Площадь полотна лопаты будет выступать вкачестве признака, отображенного на горизонтальной оси. На вертикальной оси мыотметим, сколько угля рабочий может перебросить лопатой заодин час при соответствующей площади полотна.

Как и в предыдущем случае, начнем скрайнего левого значения, которое соответствует лопате снулевой площадью полотна. Технический термин для обозначения такой лопаты— «палка». Палка непригодна для перебрасывания угля, азначит, имеет нулевую ценность. Помере увеличения площади полотна (скажем, доразмера чайной ложки, затем столовой, апотом игрушечной лопатки) лопата становится все более эффективной. График уровня приспособленности лопаты повышается. Вкакой-то момент площадь полотна становится достаточно большой. Поднять такую лопату очень трудно, поэтому количество угля, переброшенного рабочим заодин час, уменьшается помере увеличения площади полотна лопаты. Когда полотно становится слишком большим, никто не в состоянии поднять лопату, и ееуровень приспособленности снижается донуля. Мыснова имеем ландшафт «Гора Фудзияма» итоже можем рассчитывать найти пик, тоесть идеальную площадь полотна для лопаты.

Идею построения графика эффективности лопат в зависимости отплощади полотна для определения оптимальной конструкции лопаты предложил Фредерик Тейлор. В1890-х годах Тейлор идругие предприниматели открыли эпоху научной организации труда, вкоторой решение производственных вопросов (как быстро должен двигаться сборочный конвейер, насколько прочным должен быть сварной шов, сколько перерывов предоставлять рабочим) моделировалось ввиде задач пересеченного ландшафта. Многие великие промышленники XXстолетия, втом числе Генри Форд, Джон Рокфеллер иЭндрю Карнеги, внесли свой вклад вдвижение за повышение эффективности, или то, что сейчас принято называть тейлоризмом.

Переход от ремесленного изготовления единичных уникальных продуктов к серийному производству, вкотором процессы разбивались наоперации с оптимизацией каждой, азатем формировалась стандартная последовательность действий, привел как к повышению эффективности, так и, помнению многих, к дегуманизации труда. Здесь уместно напомнить о необходимости применения множества моделей. Любая отдельно взятая модель упрощает мир ивыделяет только некоторые его аспекты. Модели научной организации труда фокусировались на эффективности процессов, что вызвало волну критики в ихадрес. Принятие решений наоснове эффективности производства отодвинуло другие задачи, такие как счастье и благосостояние рабочих, навторой план.

Модель ландшафта может показаться довольно очевидной идеей: отобразить награфике уровень приспособленности, эффективности или ценности той или иной характеристики как функцию признака или характеристики, азатем подняться навершину, чтобы найти оптимальную величину соответствующего признака. Представление решения задачи ввиде восхождения навершину может показаться неболее чем метафорой. Обоснованность этих критических замечаний невызывает сомнений. Тем неменее построение формальной модели ландшафта позволяет сделать нетривиальные выводы.

ПЕРЕСЕЧЕННЫЕ ЛАНДШАФТЫ

Когда мы допускаем взаимодействие между множеством характеристик исвязь влияния одной характеристики свлиянием других характеристик, мысоздаем пересеченный ландшафт— иными словами, ландшафт со множеством вершин. Рассмотрим процесс проектирования дивана, входе которого нам предстоит выбрать толщину подушек иширину подлокотников. Допустим, ценность проекта равна ожидаемому объему продаж дивана нарынке, который зависит от эстетического качества. Если удивана толстые подушки, тоширокие подлокотники могут создавать более привлекательный эстетический вид. Если подушки тонкие, то идеальный диван может иметь узкие подлокотники. Двумерный график ожидаемого объема продаж как функции ширины подлокотников итолщины подушек будет иметь две вершины. Одна соответствует дивану сузкими подлокотниками итонкими подушками, адругая— версии сширокими подлокотниками итолстыми подушками.

Взаимозависимость эффектов переменных создает пересеченность ландшафта, имеющую ряд последствий. Во-первых, разные подходы кпоиску самой высокой точки на пересеченном ландшафте позволяют обнаружить разные вершины. Тоже самое можно сказать и оразных исходных точках. Следовательно, пересеченность ландшафта порождает чувствительность кисходным условиям и возможность зависимости от первоначально выбранного пути. Вкаждом изэтих случаев пересеченность ландшафта вносит свой вклад в многообразие исходов. Кроме того, пересеченность подразумевает вероятность субоптимальных результатов, представленных ввиде локальных вершин на ландшафте.

Нарис.28.2 показан пересеченный ландшафт спятью вершинами. Четыре изних— локальные вершины (точки, для которых все соседние точки имеют более низкую ценность) иодна глобальная вершина (точка ссамой высокой ценностью). Для того чтобы понять, как поиск может привести к обнаружению локальной вершины, которая зависит отисходной точки, представьте, что вы начинаете содной източек, азатем поднимаетесь вверх. Такой подход известен как градиентный эвристический алгоритм, или алгоритм восхождения квершине. На пересеченном ландшафте он останавливается в локальной вершине.

Рис.28.2. Пересеченный ландшафт спятью вершинами

Если отправная точка находится вкрайнем левом конце, градиентный эвристический алгоритм обнаружит вершину 1, которая неявляется оптимальной. Если градиентный эвристический алгоритм начинается вобласти, обозначенной нарис.28.2 как «Бассейн 2», то он обнаружит локальную вершину 2. Укаждой из оставшихся вершин, включая глобальную вершину, есть своя область; если градиентный эвристический алгоритм начинается водной изтаких областей, он обнаружит соответствующую вершину. Эти области, представленные нарис.28.2, обозначаются термином «бассейн притяжения». У глобальной вершины самый маленький бассейн притяжения. Еслибы мывыбрали случайную отправную точку и применили градиентный эвристический алгоритм, вероятность обнаружения глобальной вершины былабы самой низкой.

Бассейны притяжения зависят от эвристического алгоритма: разные эвристики могут порождать разные бассейны. Рассмотрим, например, алгоритм «перемещаться направо», который подразумевает перемещение вправо дотех пор, пока небудет найдена локальная вершина. Эта эвристика дает теже локальные вершины, что и градиентный эвристический алгоритм, но уних другие бассейны притяжения, что можно увидеть, сопоставив рис.28.2 срис.28.3.

Рис.28.3. Бассейны притяжения, образованные эвристическим алгоритмом «перемещаться направо»

Для того чтобы найти оптимальную или почти оптимальную вершину на пересеченном ландшафте, необходимо либо многообразие, либо сложность. Ценность разнообразия должна быть очевидной. Если различные эвристические алгоритмы обнаруживают разные вершины, то применение множества разноплановых эвристических алгоритмов крешению задачи приведет к получению множества разноплановых локальных вершин, изкоторых можно выбрать лучшую[1]. Аналогичный результат можно получить вслучае применения одного итогоже эвристического алгоритма изразных отправных точек: будут найдены различные локальные оптимумы, изкоторых можно выбрать лучший.

Отметим также, что пересеченность ландшафта, выраженная в количестве вершин, соотносится суровнем сложности задачи. Тем неменее решить задачу бывает непросто даже при отсутствии пересеченного ландшафта. Задачу опоиске золотой монеты на кукурузном поле можно представить ввиде плоского ландшафта содной вершиной вместе расположения монеты. Такой ландшафт небудет пересеченным, нонайти нанем монету нелегко.

МОДЕЛЬ NK

Далее мы представим модель NK, впервые описанную Стюартом Кауфманом, которая позволяет формализовать связь между взаимодействиями и пересеченностью[2]. Модель описывает объекты (или то, что можно назвать альтернативными решениями) ввиде бинарной строки длиной N. Ценность объекта равна сумме вкладов всех битов строки. Член Kмодели обозначает количество других битов, взаимодействующих скаждым битом для определения его ценности. Если значение Kравно нулю, функция ценности является линейной. Если значение Kравно N− 1, токаждый бит взаимодействует совсеми остальными битами, аценность всей строки носит случайный характер. Таким образом, мыможем представить увеличение значения Kвкачестве настройки пересеченности ландшафта в диапазоне от«Горы Фудзияма» до хаотичности.

Модель NK

Объект состоит изNбитов, s∈{0, 1}^N.

Ценность объекта равна

V(s) = Vk1(s1,{s1k})+Vk2(s2,{s2k})+…+Vk2(s2,{s2k}),

где {s1k} равно случайно выбранному множеству kбитов, отличных отi, аVk1(s1{s1k})— это случайное число из интервала[0,1].

K= 0: образует линейную зависимость битов.

K= N− 1: любое изменение бита порождает новый случайный вклад откаждого бита.

Концептуальная схема NK-модели— превосходное пространство для исследования идей и постановки вопросов. Первый вопрос, который следует задать: как число локальных оптимумов зависит от количества эффектов взаимодействия? Затем необходимо спросить: как высота глобального оптимума зависит от количества эффектов взаимодействия? Наэтом этапе оба вопроса некорректны, поскольку мыеще не определили, как будем осуществлять поиск вданном пространстве возможностей, тоесть какой эвристический алгоритм будем использовать. Вспомните, что множество вершин зависит отвыбора эвристики.

В представленном ниже примере мыбудем использовать алгоритм одиночного изменения состояния.48 Онвыбирает каждую характеристику поочереди и переводит ее вновое состояние. Если изменение характеристики приводит к повышению ценности, такой переход принимается, в противном случае характеристика возвращается висходное состояние. Выбор этого алгоритма объясняется двумя причинами. Его можно интерпретировать как грубую модель генетической мутации, входе которой хорошие аллели генов занимают доминирующее положение в популяции, аплохие отмирают. Кроме того, это самый естественный способ представить алгоритм восхождения квершине вданном пространстве.

Сначала проанализируем модель NKпри N= 20 иK= 0. Когда K= 0, вклад каждой характеристики в совокупную ценность независит отдругих характеристик. Алгоритм одиночного изменения состояния позволяет определить более подходящее состояние каждой характеристики, атакже найти глобальный оптимум. Следовательно, K= 0 (отсутствие взаимодействий) соответствует ландшафту «Гора Фудзияма». Значения ценности каждого состояния равномерно распределены в интервале[0,1]. Можно доказать, что более высокое издвух значений, случайно выбранных из равномерного распределения, имеет ожидаемую ценность . Если мывычислим среднее значение вкладов повсем двадцати характеристикам, глобальный оптимум тоже будет иметь ожидаемую ценность .

Надругом конце спектра (N= K− 1) каждая характеристика связана совсеми остальными характеристиками. При переходе одной из характеристик вновое состояние вклад остальных характеристик меняется. Это будет новое случайное число, взятое из интервала[0,1]. Ценность объекта равна сумме этих двадцати случайных чисел (поодному накаждую характеристику). Это означает, что каждое изменение характеристики создает ценность для всего объекта, не связанную с предыдущей ценностью. Следовательно, ландшафт будет чрезвычайно пересеченным— влюбой точке восхождение стольже вероятно, как испуск.

Применив эти знания, мыможем определить ожидаемое количество локальных вершин. Если начать слюбой альтернативы, алгоритм одиночного изменения состояния сравнивает ее скаждой изNальтернатив. Например, если начать с альтернативы, вкоторой все биты принимают нулевое значение, алгоритм вычислит Nальтернатив, вкоторых вточности один бит принимает нулевое значение.

Исходная альтернатива	00000000000000000000
Изменение состояния характеристики 1	10000000000000000000
Изменение состояния характеристики 2	01000000000000000000
…
Изменение состояния характеристики 20	00000000000000000001

У локальной вершины должна быть более высокая ценность, чем укаждой изNальтернатив. Вероятность того, что исходная альтернатива имеет самую большую ценность, равна . Следовательно, количество локальных вершин примерно равно количеству возможных альтернатив 2^N, деленному наN. При N= 20 эти вычисления дают пятьдесят тысяч локальных вершин. При таком большом количестве локальных оптимумов алгоритм одиночного изменения состояния редко обнаруживает глобальную вершину.

Актуальный вопрос заключается не в количестве локальных оптимумов, автом, какова ихценность. Остается только сравнить ожидаемую среднюю ценность локальных оптимумов с ожидаемой ценностью глобального оптимума. Такое сравнение позволит определить, насколько эффективен алгоритм одиночного изменения состояния. Для вычисления этих значений ценности можно использовать центральную предельную теорему. Нетрудно доказать, что ожидаемая ценность локального оптимума равна примерно 0,6, тогда как ожидаемая ценность глобального оптимума составляет чуть более 0,75[3]. Сравнение этих показателей с глобальным оптимумом для случая K= 0, который равен , указывает нато, что локальные вершины на пересеченном ландшафте имеют более низкую ценность, чем вслучае ландшафта «Гора Фудзияма», но глобальная вершина имеет более высокую ценность.

Возникает вопрос, что происходит между этими двумя крайними вариантами при увеличении количества взаимодействий характеристик Kотнуля доN− 1. Ответ: имеют место оба эффекта. Увеличение количества взаимодействий порождает более высокую глобальную вершину, но ибольшее количество (азначит, иболее низкую ценность) локальных вершин. Если исходить изтого, что поиск осуществляется спомощью алгоритма одиночного изменения состояния, численное исследование данной модели показывает, что при малых значениях Kвыгода от взаимодействий (более высокая глобальная вершина) превосходит увеличение количества локальных вершин. Таким образом, на начальном этапе ожидаемая ценность локальной вершины увеличивается наK. Возрастающая численность локальных вершин означает, что средняя ценность будет сокращаться. Следовательно, используя только алгоритм одиночного изменения состояния, мыбы предпочли сравнительно небольшое значение K, скажем 3 или 4. Нозачем нам ограничиваться применением только этой простой эвристики изменения всего одной характеристики? Эволюция посредством мутации может быть ею ограничена, но мы— нет. Мыможем изменить состояние двух или даже трех характеристик. Более сложный алгоритм сократит количество локальных оптимумов.

ПЕРЕСЕЧЕННОСТЬ И ТАНЦУЮЩИЕ ЛАНДШАФТЫ

Модель NKподразумевает, что нам нужна средняя степень взаимозависимости, поскольку это приводит ксозданию более высоких вершин. Многомодельное мышление требует, чтобы мыотошли от предположений NK-модели и проанализировали логику, обеспечивающую этот результат. Мысчитаем, что эта логика состоит издвух частей. Первая опирается на комбинаторику: количество пар комбинаций увеличивается прямо пропорционально квадрату количества пар икубу количества троек. Следовательно, взаимозависимые эффекты создают больше возможностей для благоприятных взаимодействий. Вторая часть логики основывается натом, что нам просто нужно сохранять более подходящие комбинации. Представьте, что мывзяли четыре любых продукта, чтобы приготовить легкую закуску. Четыре продукта подразумевают шесть возможных комбинаций издвух продуктов. Предположим, мы сформировали следующее множество изчетырех продуктов: {маринованные огурцы, бананы, курица, карамель}. Из полученных витоге шести пар (бананы иогурцы, огурцы икурица, карамель иогурцы, бананы икурица, карамель ибананы, карамель икурица) только одно сочетание кажется сколь-нибудь привлекательным. Нам следует выбрать именно этот вариант. Мыотдаем предпочтение бананам с карамелью и отбрасываем все остальное[4].

Аналогичная логика применима кэволюционным системам. Фенотипические комбинации, порождающие положительное взаимодействие (твердый панцирь икрепкие конечности), сохраняются в популяции, тогда как выживание наиболее приспособленных особей действует против комбинаций, порождающих отрицательное взаимодействие. Имеется нетак ужмного медленно передвигающихся, привлекательных животных сярким окрасом. Если они вообще когда-либо существовали, ихпоймали исъели.

Мы сталкивались с аналогичной проблемой вмодели поиска. При наличии большого множества возможных вариантов мы предпочитаем вариации. Аналогичная логика применима издесь: сочетание пар (итроек) создает множество возможностей. Имыбы предпочли, чтобы этому множеству возможных вариантов была свойственна значительная вариация ценности. Втаком случае повышается вероятность того, что один изэтих вариантов будет иметь очень высокую ценность. Сучетом того, что взаимозависимые эффекты повышают вариацию, вцелом они полезны, нотолько до определенного уровня. Как мыуже видели, слишком большое число взаимодействий делает ландшафт хаотичным. Идеальным былобы умеренное количество взаимодействий. Некоторые утверждают, что если количество ивеличина взаимодействий могут развиваться или адаптироваться, тосистемы должны естественным образом эволюционировать до пересеченного ландшафта свысокими вершинами. Это позволяет предположить, что системы тяготеют к сложности, ане к равновесию или хаотичности[5]. Верноли это, иесли да, то вкаких случаях,— именно тот вопрос, который былобы интересно исследовать спомощью моделей.

И последний момент: мы воспринимали ландшафт как нечто неизменное. В экологических и социальных системах ландшафт, скоторым сталкивается биологический вид или компания, зависит отдействий и характеристик других видов икомпаний. Адаптация конкурирующего вида или изменение стратегии другой компании преобразует ипо-новому упорядочивает адаптивные ландшафты конкурентов. Втаком случае мыможем интерпретировать рассмотренные ранее модели пространственной и гедонической конкуренции как движения танцующих ландшафтов. Эти движения могут привести к равновесию, вкотором каждый игрок находится на локальной или глобальной вершине, или конкуренция на танцующем ландшафте может обусловить сложные схемы действий иисходов. Даже беглый взгляд на экосистемы, политику и экономику указывает нато, что чаще бывает второе. Одна изпричин, почему мы наблюдаем такой высокий уровень сложности, вполне может заключаться втом, что наш мир состоит из адаптивных и целеустремленных акторов, маневрирующих на танцующих ландшафтах. Для того чтобы осмыслить эту сложность, нам понадобится множество моделей.

Следуетли патентовать знания?

Наше благополучие основано на накопленных на протяжении веков знаниях, кчислу которых относятся законы физики, двигатель внутреннего сгорания, двойная запись в бухгалтерском учете, микробная теория заболеваний, рентгеновское излучение иHTML. Вомногих случаях знания являются общественным благом ивсегда носят неконкурентный характер. Они могут быть или небыть исключаемыми. Исключение требует проверки, которую легче выполнить, когда знания включены в материальный артефакт. Проверка того, что кто-то использовал алгоритм или метод для решения задачи, может оказаться невыполнимой. Авот проверить, что кто-то встроил этот алгоритм в компьютерную программу, вполне реально.

Когда знания могут быть исключаемыми, это ставит нас перед выбором. Мыможем обращаться сними также, как сдорогами и национальной обороной, иоблагать людей налогом для финансирования создания знаний. Правительства платят людям зато, чтобы они размышляли, путем предоставления грантов, атакже косвенным образом, поддерживая университеты. Кроме того, правительства предоставляют людям право патентовать знания. Патент создает стимул генерировать знания, обеспечивая период исключительных прав на их использование ивзимание платы за их использование другими людьми. ВСША иЕвропе патенты действительны на протяжении двадцати лет смомента подачи заявки[6]. Сторонники патентов утверждают, что у физических лиц небылобы стимула тратить годы на разработку более эффективной мышеловки, компьютерного алгоритма или акустической системы, еслибы их открытиями мог бесплатно воспользоваться любой желающий. По ихмнению, патенты решают проблему стимулирования, присущую созданию знаний.

Мишель Болдрин иДэвид Ливайн49 приводят аргументы против патентов, воспользовавшись идеями изряда моделей[7]. Вмоделях, вкоторых возможно сочетание идей, патенты, по ихмнению, могут препятствовать инновациям, ограничивая количество рекомбинаций. Патент одной компании на технологию сенсорных экранов может сократить количество других компаний, разрабатывающих новые продукты с использованием этой технологии. При отсутствии патентной защиты эту технологию можно былобы включить вбольшее количество продуктов, что активизировалобы процесс инноваций.

Приверженцы патентов возражают против этой точки зрения, отмечая, что хотя замедление процесса инноваций действительно может оказывать негативное воздействие, без патентов сокращение инвестиций былобы гораздо масштабнее. Для того чтобы опровергнуть это утверждение, Болдрин иЛивайн применяют логику, частично выстроенную намодели диффузии. Полезный продукт, основанный нановых знаниях, быстро распространится среди покупателей. Так было срадио, телевидением, поисковой системой Google и социальной сетью Facebook. Это создает преимущество первого хода. Инноватор всеже может извлечь выгоду изидеи, нотолько если сделает что-то с еепомощью. Вслучае патента изобретатель ждет, пока патентообладатель реализует идею иполучит прибыль.

Болдрин иЛивайн также задаются вопросом, вчем вообще заслуга изобретателя. Еслибы важные открытия были продуктом гения-одиночки иидеи в большинстве своем не возникали без стимулов, тодоводы впользу патентов имелибы под собой более веские основания. Однако модель пересеченного ландшафта свидетельствует отом, что сложные задачи могут иметь множество приемлемых решений. Новые изобретения, особенно объединяющие всебе существующие идеи и технологии, такие как автомобиль, телефон иинтернет-аукционы, могут быть продуктом естественного развития событий, а не результатом усилий гения. Сколь угодно много людей моглибы предложить подобные инновации, учитывая, что такого рода идеи витают вокруг сообщества мыслителей. Правильность этого вывода подтверждает синхронность многих крупных открытий, таких как дифференциальное исчисление (Исаак Ньютон иГотфрид Вильгельм Лейбниц), телефон (Александр Грейам Белл иИлайша Грей) или теория эволюции путем естественного отбора (Чарльз Дарвин иАльфред Рассел Уоллес). Вцелом многомодельное мышление демонстрирует преимущества и недостатки патентов. Более глубокое, детальное понимание моделей позволяет привести аргументы впользу более гибкой патентной политики. Возможно, определенный вид идей (те, которые могут возникнуть умногих людей и сочетаемы сдругими идеями) следует защищать патентами иного типа и сдругим сроком действия или вообще запретить их патентовать.

Все сложно; еслибы это было нетак, жизнь, поэзия ивсе остальное былобы скучным.

Уоллес Стивенс

Итак, мыуспешно добрались до заключительной главы, вкоторой применим многомодельное мышление канализу двух важных политических проблем— эпидемии опиоидов и экономического неравенства. Мыпокажем, как использование нескольких моделей помогает лучше их осмыслить и объяснить, почему обе так трудно поддаются решению. Мытакже попробуем разобраться, как (особенно вслучае опиоидов) эксперты моглибы использовать многомодельный подход, чтобы предвидеть кризис доего наступления. Наш анализ эпидемии опиоидов носит поверхностный характер ислужит только вкачестве эталонной схемы применения многомодельного подхода впроцессе анализа предложенного курса действий или мероприятия. Мы несобираем данные и не калибруем модели, а, скорее, применяем их на качественном уровне, чтобы глубже вникнуть всуть происходящего.

Однако наш анализ экономического неравенства более детальный итеснее связан с академической литературой. Он представляет другую сторону многомодельного мышления, где мыактивно задействуем широкий круг моделей. Вобоих случаях многомодельное мышление делает нас осведомленнее имудрее. Глава заканчивается кратким рассуждением о необходимости смирения. Модели могут сделать нас мудрее, носложные системы по определению трудно прогнозировать и осмысливать, азначит, ошибки неизбежны. Но мыможем учиться наних, чтобы стать еще мудрее.

МНОГОМОДЕЛЬНОЕ МЫШЛЕНИЕ ИЭПИДЕМИЯ ОПИОИДОВ

Для того чтобы вымогли составить представление омасштабе эпидемии опиоидов, приведем некоторые данные. Согласно одной изоценок, в2015году вштате Массачусетс более 4процентов населения старше 11лет страдали расстройством, связанным с употреблением опиоидов. В2016году в масштабах страны врачи выписали более 200миллионов рецептов наопиоиды, от10 до12миллионов человек злоупотребляли опиоидами, более чем двум миллионам человек был поставлен диагноз «расстройство, связанное с употреблением опиоидов», иболее 30000 человек умерли от связанных с опиоидами причин.

Основная причина выдачи такого количества рецептов состояла в эффективности опиоидных препаратов: они облегчают боль. Учитывая, что 100миллионов американцев испытывают хроническую боль, уопиоидов был огромный потенциальный рынок. Безусловно, опасность возникновения зависимости отопиоидов существовала. Для того чтобы понять, как опиоиды были одобрены икак возникла эпидемия, мы используем четыре модели для получения важных интуитивных выводов относительно того, как разразился кризис.

Первая модель, модель многорукого бандита, объясняет, почему опиоиды были одобрены к применению. При получении разрешения на лекарственный препарат фармацевтическая компания проводит клинические испытания, чтобы продемонстрировать эффективность препарата и отсутствие вредных побочных эффектов. Мыможем смоделировать клинические испытания ввиде задачи о многоруком бандите, вкоторой одна рука соответствует назначению нового лекарства, адругая— назначению плацебо или существующего лекарства.

Модель утверждения опиоидных препаратов

Модель многорукого бандита

Для того чтобы продемонстрировать их эффективность, опиоиды тестировали в сравнении сплацебо. Входе клинических испытаний пациентам в произвольном порядке давали либо опиоиды, либо плацебо. Назначение опиоидов можно смоделировать как одну руку двурукого бандита, аплацебо— как другую. Вконце курса лечения каждое клиническое испытание классифицируется как успех или неудача. Клинические испытания показали, что пациенты, принимавшие опиоиды, испытывали статистически значимое облегчение боли. По результатам испытаний сучастием пациентов, которые перенесли замену тазобедренного сустава, стоматологическую операцию и противоопухолевую терапию, было установлено, что опиоиды гораздо эффективнее плацебо.

Вслучае любого лекарственного препарата вероятность привыкания вызывает беспокойство. Испытания показали, что в зависимость отопиоидов попало немного пациентов (менее одного процента), что позволило одобрить препараты. Однако испытания неучли того, что врачи будут выписывать рецепты наболее длительный срок, иногда намесяц. Чем дольше человек принимает опиоиды, тем выше вероятность развития зависимости. Фактический уровень зависимости отопиоидов превысил 2,5процента для пациентов, принимавших препараты более длительное время. Представленная воврезке модель Маркова показывает, как повышение уровня с1 до2,5процента может впятеро увеличить равновесное количество пациентов, попавших в зависимость отопиоидов.

Модель перехода к зависимости

Модель Маркова

Модель Маркова, включающая три состояния, выявляет нелинейную связь между переходом к зависимости иобщим уровнем зависимости. Вмодели представлены такие состояния: отсутствие боли, прием опиоидов и зависимость. Мы оцениваем вероятность переходов между состояниями, которые представлены стрелками. Модель слева исходит изтого, что 1процент людей, принимающих опиоиды, попадают в зависимость, ичто 10процентов попавших в зависимость возвращаются в состояние отсутствия боли. Кроме того, модель предполагает, что 20процентов людей, не испытывающих боли, начинают употреблять опиоиды. Вслучае равновесия только 2,2процента членов совокупности становятся зависимыми. Для того чтобы учесть выписку рецептов наболее длительный период, модель слева исходит изтого, что 2,5процента людей, принимающих опиоиды, попадают в зависимость, а5процентов попавших в зависимость возвращаются в состояние отсутствия боли. Модель также предполагает, что 20процентов людей, не испытывающих боли, начинают употреблять опиоиды. При таких предположениях вслучае равновесия в зависимость отопиоидов попадут 10процентов членов совокупности[1].

Вероятности перехода изодного состояния вдругое только приближенно откалиброваны сучетом данных. Мы используем эту модель для получения интуитивного представления отом, как относительно небольшой уровень зависимости может привести к существенному увеличению количества зависимых людей. Поэкспериментировав смоделью, мы обнаружим, что при снижении вероятности выхода из состояния зависимости и повышении вероятности перехода из состояния отсутствия боли в состояние приема опиоидов доля людей, попавших в зависимость от опиоидных препаратов, может резко увеличиться. Например, если вовторой модели снизить переход от отсутствия боли к зависимости до1процента, доля попавших в зависимость достигнет 35процентов. Одним из последствий модельного мышления такого типа стало то, что некоторые поставщики медицинских услуг, такие как «Голубой крест», начали ограничивать количество препаратов, которые может выписывать врач. Кроме того, вряде штатов, втом числе вМичигане, приняли законы, ограничивающие количество препаратов водном рецепте.

Наша третья модель основана на системной динамике и, также как имодель Маркова, исходит изтого, что есть люди, не испытывающие боли, люди, принимающие опиоиды, илюди, больше не испытывающие боли. Однако вместо того чтобы записывать вероятности перехода между этими состояниями, данная модель отображает поток от состояния боли кприему опиоидов и отсутствию боли. Более сложные модели системной динамики могут включать поставщиков других наркотиков и допускать переход отприема опиоидов к употреблению героина. Кроме того, более подробная модель может включать разнородные типы потенциальных потребителей. Следовательно, она может учитывать тот факт, что люди, страдающие от тревожности и депрессии, сбольшей вероятностью попадут в зависимость отопиоидов[2].

Пути к героиновой зависимости

Модель системной динамики

Совокупность людей, испытывающих боль, порождает потребителей опиоидов ипопавших отних в зависимость. Люди, принимающие опиоиды, переходят в состояние отсутствия боли и в состояние зависимости отопиоидов. Попавшие в зависимость, всвою очередь, могут перейти к употреблению героина отчасти из-за отсутствия возможности получить опиоиды. Следовательно, помере увеличения потока опиоидов растет количество потребителей героина.

Последняя модель, которую мы формально не описываем, использует сети социальных связей для объяснения того, почему карты потребления опиоидов надушу населения демонстрируют наличие кластеризации всельской местности. Изанализа правил квадратного корня мыузнали, что вболее мелких совокупностях должна иметь место более высокая вариация. (Вспомните пример, вкотором рассказывалось, что небольшие школы показывают лучшие ихудшие результаты.) Более высокий уровень употребления опиоидов всельских районах может также объясняться тем, что врачи выписывают сельским пациентам рецепты наболее длительный период ввиду отсутствия поблизости аптек. Если оставить встороне эти объяснения, то кластеризация превышает уровень, который могбы сформироваться случайно.

Кластеризация может возникнуть, если люди дают или продают опиоиды соседям. Вотличие от подержанной мебели, которую люди продают, размещая объявления, опиоиды чаще всего продаются через личные связи. Модель продажи опиоидов подразумевает сеть социальных связей членов семьи и ихдрузей, врамках которой люди распространяют опиоиды. Такая модель позволяет обнаружить локальные кластеры людей, злоупотребляющих опиоидами, наоснове данных[3].

МНОЖЕСТВО МОДЕЛЕЙ НЕРАВЕНСТВА

Наш последний пример применения многомодельного подхода довольно глубоко раскрывает причины экономического неравенства. Мы фокусируемся наэтой теме потрем причинам. Во-первых, неравенство— одна изсамых актуальных политических проблем современности. Доход и богатство соотносятся с процветанием человека. Улюдей сболее высоким доходом крепче здоровье, выше продолжительность жизни иуровень счастья. Среди тех, кто находится внижней части шкалы распределения доходов, более высокий уровень насильственных смертей, разводов, психических заболеваний и тревожности[4]. Неследует путать корреляцию с каузацией: существенная часть корреляции объясняется тем фактом, что более здоровые и счастливые люди зарабатывают больше. Тем неменее практически все исследования указывают насвязь между доходом и процветанием. Никто не стремится быть беднее. Во-вторых, есть масса моделей неравенства, составленных экономистами, социологами, политологами идаже физиками и биологами, которые использовали для их разработки разные инструменты. В-третьих, мы располагаем большим объемом данных одоходе и богатстве внутри страны иза ее пределами. Кроме того, унас есть данные как занынешний период, так ивременныеряды, охватывающие столетия.

Сначала мыкратко опишем некоторые эмпирические закономерности. Во-первых, вовсех странах вовсе времена распределение доходов имело вытянутый хвост, тоесть внем много малообеспеченных людей и небольшой процент состоятельных. Впрошлом распределение доходов соответствовало логнормальному распределению или распределению Парето. В последнее время более подробные данные показывают, что хвост такого распределения длиннее хвоста логнормального распределения, хотя и не достигает длины хвоста степенного распределения. В распределении богатства наблюдается аналогичный перекос.

Во-вторых, внаиболее развитых странах уровень неравенства в распределении доходов и богатства, какбы он ни измерялся, в последние десятилетия рос. Нынешний уровень неравенства в распределении доходов и богатства вСША приближается куровню позолоченного века50. Поскольку изменения вовсем распределении обнаружить сложно, мы, в соответствии с принятыми соглашениями, опишем их сучетом доли дохода, которая приходится наверхнюю часть хвоста распределения. Нарис.29.1 показано, как 0,1процента самых богатых людей увеличили свою долю дохода. Доля дохода 0,1процента самых богатых семей постепенно сокращалась вплоть до1950года, азатем стабилизировалась науровне 4процентов и оставалась такой примерно до1980года, после чего начала стремительно расти. В2018году доля совокупного богатства этих суперсостоятельных людей составляла 10процентов.

Рис.29.1. Доля дохода 0,1процента самых богатых семей запериод с1916 по2010год. Источник: Piketty, 2011

В-третьих, вмировом масштабе количество людей, живущих вусловиях нищеты, резко сократилось. Между этими противоположными тенденциями нет логического противоречия. Быстрый рост доходов вбедных странах сокращает различия между странами и сизбытком компенсирует рост неравенства внутри стран. Наша модель группового отбора обеспечивала аналогичные результаты. Рост количества альтруистических сообществ превосходил склонность кэгоизму впределах каждого сообщества.

Неравенство обусловлено множеством взаимосвязанных причин. Экономические факторы, социологические тенденции, применение политической власти ибремя истории— все это усиливает неравенство. Всвязи сэтим, как подчеркивает Стивен Дурлауф, мы недолжны пытаться объяснить уровни или тенденции формирования неравенства спомощью одного уравнения. Неследует также выстраивать политику в соответствии сэтим уравнением[5]. Необходимо придерживаться более гибкого подхода. Процесс концентрации богатства идохода вруках 1 или 0,1процента самых состоятельных людей может неиметь отношения кфакторам, удерживающим 20процентов бедных людей впорочном круге нищеты. Для того чтобы понять различные причины, следует использовать множество моделей.

Сначала опишем модели, объясняющие изменение распределения дохода. Доход поступает изчетырех источников: заработная плата, доход отбизнеса, доход откапитала иприрост капитала. Относительный размер доли этих источников зависит отуровня дохода. Люди снизким уровнем дохода получают мало дохода отприроста капитала или дохода накапитал. Многие люди свысоким уровнем дохода получают значительный доход изкаждого источника— заработной платы, бизнеса икапитала.

Наша первая модель расширяет производственную модель Кобба-Дугласа, поскольку включает два типа труда: квалифицированный и неквалифицированный. Оплата труда определенного типа зависит от относительного предложения труда этого типа и от технологии[6]. Модель объясняет наблюдающееся в последнее время усиление неравенства сучетом спроса и предложения. В1950-х годах развитие промышленного производства обусловило повышение спроса на неквалифицированных работников. При этом рост численности студентов колледжей, отчасти обусловленный Законом оправах военнослужащих, увеличил предложение квалифицированных работников. В1980-х годах уменьшение стимулов к получению высшего образования замедлило увеличение числа выпускников колледжей, а последующий приток иммигрантов снизким уровнем образования увеличил численность малоквалифицированных работников. Втоже время технический прогресс (появление автоматизированного производства ипереход кцифровой экономике) повысил относительную ценность квалифицированных работников, которую отображал рост их заработной платы.

Временныеряды данных осреднем доходе поуровням образования согласуются сэтой моделью достаточно хорошо, поэтому многие экономисты используют еедля формирования политики. Модель отстаивает расширение доступа к образованию, поскольку это способствует снижению заработной платы квалифицированных работников и сокращению неравенства. Модель хорошо объясняет общие тенденции, но неможет объяснить роста вариации впределах каждой категории доходов.

Модель технологий и человеческого капитала

Существует следующая зависимость между объемом производства(K), квалифицированным (S) инеквалифицированным (U) трудом:

Объем производства= AK^αS^βU^γ

Параметры A,α,β иγ обозначают технологию и относительную ценность типов труда. Относительный рыночный уровень заработной платы высоко- и низкоквалифицированных работников равен[7]:

Причина неравенства: изменения вобласти технологий, благоприятные для квалифицированных работников, повышают β иснижают γ. Эти изменения, наряду с увеличением численности низкоквалифицированных работников, усиливают неравенство.

Следующая модель, модель положительной обратной связи, может объяснить рост вариации врамках профессий. Она фокусируется нахвосте распределения, в частности на предпринимателях. В2011году предприниматели составляли 70процентов от400 самых богатых людей вСША[8]. Модель предполагает, что технологии (в особенности интернет и смартфоны) сделали нас гораздо связаннее иболее подверженными влиянию выбора других[9]. Человек, покупающий беспроводные стереодинамики, может прочитать в интернете отзывы ивыбрать лучший издесятков вариантов. Впрошломже учеловека восновном был единственный вариант выбора вместном магазине. Теперьже человек, вывихнувший колено, может найти в интернете имя врача своего любимого спортсмена. Такое поведение создает положительную обратную связь и усиливает неравенство. Мы смоделируем экономический выбор под влиянием социальной среды, применив модель предпочтительного присоединения для описания модели, связывающей положительную обратную связь сталантом.

Хотя модель положительной обратной связи не согласуется свременнымрядом данных стольже точно, как вслучае предыдущей технологической модели, мыможем обратиться к экспериментам, чтобы понять, как обратная связь способствует усилению неравенства. Вспомните музыкальные лабораторные эксперименты, описанные вглаве6. Студенты колледжей выбирали и загружали музыку при двух вариантах условий эксперимента. Впервом варианте студенты незнали, какие песни скачивают другие. Эти условия описывают мир до наступления эпохи интернета. Вовтором варианте студенты видели, сколько загрузок приходится накаждую песню. Вварианте без социальной информации ниодна песня неполучила более двухсот загрузок итолько одна песня получила меньше тридцати загрузок. Когда участники эксперимента видели данные о скачиваниях, одна песня получила более трехсот загрузок иболее половины песен меньше тридцати загрузок. Информация ивлияние социальной среды усиливают эффект Матфея. Богатые становятся еще богаче, абедные— относительно беднее.

Положительная обратная связь

Модель предпочтительного присоединения

Существует Nпроизводителей, каждый изкоторых начинает снулевого объема продаж. Первый потребитель покупает услучайно выбранного производителя снулевым объемом продаж, обеспечивая ему положительные продажи. Каждый последующий потребитель с вероятностью pпокупает у производителя снулевыми продажами и вероятностью (1– p)— у производителя с положительными продажами. Покупая у производителя с положительными продажами, клиент выбирает случайным образом с вероятностью выбора определенного производителя, пропорциональной его продажам.

Причина неравенства: повышенная связанность усиливает влияние социальной среды, создавая положительную обратную связь.

Этуже логику можно применить к экономике вцелом[10]. Вероятность усиления неравенства в результате формирования положительной обратной связи через сети социальных контактов отчасти зависит от характера того, что покупают люди. Товары, неимеющие веса, такие как загрузки фильмов или музыки, веб-приложения и некоторые технологии, поддаются быстрому, чутьли не мгновенному масштабированию. Тракторы, автомобили и стиральные машины невозможно скопировать, кликнув наиконке. Следовательно, тогда как новое приложение для смартфона можно масштабировать при малых или нулевых затратах капитала, вслучае популярного автомобиля это невозможно. Вкачестве иллюстрации приведем пример. Вмае 2015года компания Volvo объявила овыпуске седана S60 вЮжной Каролине, а всентябре начала строительство завода, рассчитывая, что первые автомобили сойдут с конвейера вконце 2018года.

Наша следующая модель использует модель пространственного голосования для объяснения роста оплаты труда CEO, который независит от социальных факторов. В2012году средний доход CEO компаний изсписка Fortune500 превышал 10миллионов долларов, что примерно в300 раз больше среднего заработка работника. Для сравнения: в1996году зарплата CEO была всего в25 раз больше средней заработной платы работника. Вдругих странах CEO зарабатывают гораздо меньше. Скажем, вЯпонии примерно в10 раз больше среднего работника. ВКанаде и вовсех странах Европы зарплата CEO примерно в20 раз превышает среднюю заработную плату работника.

В большинстве компаний заработок CEO устанавливает комитет пооплате труда, состоящий изчленов совета директоров. Этот заработок включает заработную плату, бонусы ифондовые опционы. Как правило, люди, определяющие оплату труда CEO— это другие CEO, которые заинтересованы ввысоком заработке коллег, поскольку это повысит их собственный заработок. Мыможем использовать пространственную модель для представления предпочтений членов комитета пооплате труда. Согласно пространственной модели, заработная плата будет установлена науровне предпочтений медианного участника голосования. Различия воплате труда CEO постранам можно объяснить составом советов директоров и комитетов пооплате труда. ВГермании всовет директоров входят работники, иони предпочитают, чтобы CEO получали меньше.

Политическое влияние CEO

Пространственная модель голосования

Заработок CEO определяет комитет пооплате труда путем голосования. ВСША втакие комитеты входят многие нынешние ибывшие CEO, которые предпочитают более высокую оплату, атакже специалисты пооплате труда (X). Вдругих странах вэти комитеты включают и работников (W), всвязи счем медианный участник голосования склоняется кболее низкой оплате.

Причина неравенства: CEO сами определяют собственную зарплату благодаря контролю над комитетом пооплате труда. Повышение зарплаты любого CEO смещает предпочтения всторону более высокой оплаты труда всех CEO.

Эта модель объясняет рост оплаты труда CEO сучетом предпочтений совета директоров относительно ееразмера. Здесь мыможем вернуться к множеству моделей ценности. Вполне возможно, предпочтения членов комитета пооплате труда могут зависеть от модельного мышления, основанного наданных. Сдругой стороны, они могут быть социально сконструированными или являться частью тщательно продуманной практики взаимной поддержки, когда CEO фактически голосуют за повышение оплаты труда друг друга.

Наша следующая модель неравенства в распределении доходов взята из бестселлера Тома Пикетти Capital inthe Twenty-First Century51. Это даже немодель, аскорее подмеченная тенденция, что доходность капитала превышает темпы прироста капитала. Когда это происходит, доля дохода, которую получают люди свысоким уровнем дохода засчет доходности капитала, современем увеличивается. Построив более сложные версии моделей роста изглавы8, можно продемонстрировать, что доходность капитала всегда должна превышать темпы роста экономики вцелом. В долгосрочном периоде рост экономики может составлять менее 2–3процентов, тогда как доходность капитала может вдвое превышать этот показатель.

Изэтого следует, что в экономике, где работники получают заработную плату, а капиталисты— рентный доход, доля капитала, которая приходится на капиталистов, увеличивается. Аесли более формально, тотемпы прироста капитала зависят оттрех показателей: нормы потребления, ставки налогообложения и доходности капитала. Потребление зависит отуровня капитала. Человек с небольшим капиталом потребляет существенную долю своего дохода. Человек, владеющий значительным объемом капитала, потребляет небольшую долю дохода. Как формально показано в представленной ниже врезке, если сделать уровень потребления неизменным, норма потребления будет равна этой величине, деленной науровень капитала. Следовательно, уболее богатых людей норма потребления будет ниже, что повышает вероятность увеличения ихчистого капитала.

Модель рентного дохода откапитала (Пикетти)

Правило 72

Экономика включает всебя работников и капиталистов. Заработная плата работников увеличивается со скоростью g, равной темпу роста экономики. Капиталисты владеют богатством Wtвмомент времени t иполучают доход r(завычетом налогов), атакже потребляют неизменный объем A. Доход капиталистов будет расти быстрее дохода работников тогда итолько тогда, когда

Причина неравенства: вусловиях рыночной экономики доходность капитала превышает общие темпы роста (r > g). Капиталисты сбольшим накопленным богатством расходуют на потребление незначительную часть дохода откапитала, поэтому ихдоля от совокупного дохода современем увеличивается.

Для того чтобы увидеть, как разница между этими показателями порождает неравенство, можно применить правило 72. Если изначально доход работников равен доходу капиталистов, а заработная плата растет на2процента, тогда как капитал на6процентов, точерез тридцать шесть лет заработная плата удвоится, адоход откапитала увеличится в8 раз. За семьдесят два года капиталисты получат доход, в шестьдесят четыре раза превышающий доход работников.

Пикетти применяет эту модель для объяснения долгосрочных тенденций формирования неравенства в распределении доходов и богатства. Она очень хорошо согласуется сданными оситуации воФранции иАнглии затри столетия, акроме того, проливает свет на закономерности формирования неравенства вСША иЕвропе за прошедшее столетие. В частности, вЕвропе две мировые войны разрушили акционерный капитал, сгладив распределение дохода икапитала. Одна изпричин столь высокой согласованности модели сданными— то, что вней опущены два эффекта, которые сводят друг друга нанет. Исключив из рассмотрения предпринимателей, модель недооценивает неравенство. Предполагая, что все последующие поколения капиталистов делают разумные инвестиции (хотя это нетак), модель переоценивает вклад накопления капитала вусиление неравенства. Формирование нового ипотеря старого класса богатых людей не обязательно должны уравновешиваться. Более детальная модель учитывалабы переход вкласс богатых ивыход изнего.

Если оставить встороне эту оговорку, тоданная модель позволяет сделать вывод, что пока увеличивается капитал, капиталисты получают все большую долю экономического пирога. Продолжив применять правило 72, мы обнаружим, что современем доход капиталистов существенно превзойдет доход работников. Упроблемы накопления капитала есть простое решение: ввести налог на богатство (что может быть политически невозможно). Вкачестве альтернативы можно дождаться войны или революции, чтобы силой перераспределить богатство, или технологических прорывов, в результате которых сформируется новая совокупность богатых капиталистов.

В следующих двух моделях основное внимание уделяется социологическим факторам. Обе модели имеют серьезное эмпирическое обоснование. Первая объясняет рост неравенства всвязи сассортативностью (неслучайным выбором партнеров). Доход семьи зависит от заработка обоих супругов. Если человек снизким уровнем доходов вступает вбрак с человеком свысоким уровнем доходов, тотакой брак способствует выравниванию распределения доходов. Если люди свысоким уровнем доходов вступают вбрак слюдьми свысоким уровнем доходов, разрыв вдоходах будет увеличиваться. Большинство людей женятся втаком возрасте, когда точно определить, какие доходы будут у потенциального партнера на протяжении жизни, невозможно. Нолюди всеже знают уровень образования иобщее состояние здоровья потенциальных партнеров, атакже получают сигналы об ихамбициях. Практика показывает, что помере того как мужчины иженщины становятся образованнее и обеспеченнее (вспомните модель технологий и человеческого капитала), они выбирают спутников жизни сболее высоким уровнем образования.

Усиление неравенства обусловлено следующими факторами. Во-первых, все больше женщин получают высшее образование. Во-вторых, относительный уровень дохода растет вместе суровнем образования. В-третьих, образованные мужчины иженщины предпочитают образованных партнеров. Извсего этого следует, что семьи сдвумя образованными супругами сбольшей вероятностью имеют два высоких дохода, что способствует усилению неравенства доходов науровне домохозяйств. Эта логика безупречна. Вопрос только втом, каков масштаб эффекта[11].

Социологи калибруют эту модель, разделяя людей напять категорий поуровню образования: без образования, среднее образование, неоконченное высшее образование, высшее образование и аспирантура. Азатем подсчитывают средний уровень доходов покаждому уровню образования и сопоставляют эти данные с количеством браков между каждой парой уровней образования, что дает приближенную оценку влияния ассортативного выбора партнеров.

Ассортативный выбор партнеров

Модель сортировки и категоризации

Каждый человек имеет уровень образования {1, 2, 3, 4, 5}, где 1= без образования, 2= среднее образование, 3= неоконченное высшее образование, 4= высшее образование и5= аспирантура.

Пусть P(m, j) иP(w, j) обозначают вероятность того, что мужчина иженщина имеют уровень образования j. Доход(g, l) равен предполагаемому доходу человека пола gсуровнем дохода l. Доход семейной пары, состоящей измужчины суровнем образования lM иженщины суровнем образования lW, составляет[12]

Доход(M, lM)+ Доход(W, lW).

Причина неравенства: увеличение количества образованных женщин, повышенная оплата труда работников сболее высоким уровнем образования и ассортативный выбор партнеров (склонность людей вступать вбрак с партнерами с аналогичным уровнем доходов) приводят кусилению неравенства науровне домохозяйств.

Еслибы браки носили случайный, а не ассортативный характер, уровень неравенства в распределении доходов былбы гораздо ниже. Входе одного исследования было установлено, что уровень неравенства, выраженный через коэффициент Джини (общепринятый показатель неравенства), снизилсябы на25процентов[13].

Наша следующая модель анализирует перемещения между категориями доходов спомощью модели Маркова. Она классифицирует людей (или домохозяйства) поуровню доходов: высокий, выше среднего, ниже среднего инизкий. Каждая категория содержит одну четверть распределения. Мыможем оценить вероятности перехода между категориями за определенный период времени (это может быть год, десятилетие или поколение), чтобы определить уровень социальной мобильности.

При отсутствии связи между доходами разных поколений доход ребенка родителя свысоким уровнем доходов сравной вероятностью принадлежалбы кодной изчетырех категорий, тоесть все вероятности перехода составлялибы . В предельном случае отсутствия мобильности все вероятности перехода, расположенные по диагонали, былибы равны 1. Эмпирические оценки показывают, что реальность находится между этими двумя крайностями.

Далее проведем такой эксперимент: случайным образом выберем 100 семей снизким ивысоким уровнем доходов, азатем вычислим распределение вероятностей подоходам следующих поколений. Наоснове приведенных воврезке вероятностей можно сделать вывод, что удетей родителей свысоким доходом вероятность принадлежности к категории высокого дохода составит 60процентов, а к категории низкого дохода— всего 5процентов. Увнуков людей свысоким доходом вероятность попасть в категорию высокого дохода равна 43процента, анизкого дохода— 10процентов[14].

Межпоколенческая динамика доходов (богатства)

Модель Маркова

Население можно разделить начетыре категории поуровню доходов (богатства) сравным количеством людей, азатем оценить вероятность переходачеловека (или семьи) изодной категории вдругую впределах одного поколения, как показано нарисунке ниже. Более близкие вероятности перехода соответствуют более высокому уровню социальной мобильности.

Вероятности перехода отодного уровня доходов кдругому

Причины неравенства: социальные навыки, неявные знания, отношение криску и образованию, наследство— все это снижает мобильность между категориями доходов.

Модель динамики доходов также служит вкачестве точки отсчета для оценки причин мобильности доходов. Мыможем использовать линейную модель для определения дохода ребенка в зависимости отуровня богатства, доходов италантов его родителей (при наличии соответствующих данных). Модель Пикетти далабы положительный коэффициент в контексте богатства родителей. Модель, учитывающая фактор таланта, обеспечилабы положительный коэффициент в контексте способностей родителей при наличии корреляции между способностями родителей и способностями детей.

Обратите внимание, что для определения коэффициента в контексте родительского дохода необходимы данные одоходе каждого ребенка икаждого родителя. В распоряжении ученых есть данные об индивидуальном уровне доходов только задва прошедших десятилетия. Вкниге Грегори Кларка The Son Also Rises52, опубликованной в2014году, найдено оригинальное решение проблемы отсутствия данных: автор полагается нафамилии. Он подсчитывает средний доход всех людей сфамилией, скажем, Тэтчер, в1888году, и сравнивает полученный результат сосредним доходом людей сфамилией Тэтчер в1917году. Тридцатилетний интервал соответствует длительности трудовой жизни. Кларк обнаружил значительную корреляцию между средним уровнем доходов пофамилиям, что указывает на отсутствие мобильности доходов.

Модель такого типа позволяет определить расовые различия в межпоколенческих перемещениях. Афроамериканцы демонстрируют менее высокую устойчивость уровня богатства вверхней части шкалы распределения доходов иболее высокую устойчивость внижней части шкалы распределения доходов. Богатый афроамериканец сменьшей вероятностью будет иметь богатых детей, абедный афроамериканец сбольшей вероятностью будет иметь бедных детей[15].

Воснове нашей последней модели лежит влияние района проживания. Вмодели сохраняющегося неравенства, разработанной Стивеном Дурлауфом, используется эмпирическая закономерность, отражающая сегрегацию людей потакому признаку, как категория доходов— другими словами, люди свысоким доходом живут втехже районах, что идругие люди свысоким уровнем доходов, алюди снизким уровнем доходов живут по соседству слюдьми снизким уровнем доходов. Сегрегация попризнаку дохода порождает экономические, социологические и психологические экстерналии, снижающие уровень социальной мобильности. Вданной модели доход людей зависит от их способностей, расходов на образование иэффектов перелива53.

Параметр образования отражает государственные расходы на образование, которые, как показывает опыт, соотносятся суровнем доходов: вместах проживания обеспеченных людей на образование выделяется больше средств, чем вместах проживания людей снизким уровнем доходов, что приводит ктому, что вбогатых районах дети получают более качественное образование иболее высокий доход.

Эффект перелива можно интерпретировать как социальную передачу знаний о надлежащих инструментах, которыми необходимо овладеть. Вэтом случае мыможем связать модель Дурлауфа стем, как люди, живущие вбогатых районах, узнают о соответствующих инструментах. Кроме того, мыможем связать эту модель снашей сетевой моделью и феноменом силы слабых связей: люди, живущие вбогатых районах, косвенно связаны сбольшим количеством людей, имеющих доступ к экономически ценной информации, что приводит к формированию положительной обратной связи в отношении дохода.

Кроме того, эффект перелива можно интерпретировать как социальную передачу модели поведения, такую как количество времени, выделенного научебу или работу. Если доход содержит случайную составляющую, токаждый обитатель бедного района увидит (вполне справедливо) низкую отдачу отвремени, выделенного на самосовершенствование. Вместе стем эффект перелива может включать психологические аспекты, такие как позитивные или негативные взгляды нажизнь, ощущение безопасности или вера всебя.

Модель сохраняющегося неравенства (модель Дурлауфа)

Модель сегрегации Шеллинга+ модель локального большинства

Люди относятся к определенным категориям доходов и сегрегированы поместу жительства в соответствии сдоходами. Люди выделяют часть своего дохода на образование, что порождает положительные эффекты перелива, усиливающиеся вместе с повышением уровня доходов врайоне проживания. Будущий доход ребенка, живущего врайоне C, зависит от врожденных способностей, расходов на образование иэффектов перелива. Вклад образования иэффектов перелива зависит отуровня дохода вданном районе, обозначенного как IC.

доходC = F(способности, образование(IC), эффект перелива(IC)).

Причина неравенства: дети, живущие вбедных районах, получают меньше образовательных возможностей и экономических эффектов перелива.

Вполной модели Дурлауф вычисляет равновесные уровни расходов на образование ивыводит условия, при которых возникает сохраняющееся неравенство. Такое неравенство обусловлено так называемыми ловушками бедности. Людям, живущим врайонах снизким уровнем доходов, нехватает образовательных ресурсов иэффектов перелива, необходимых для получения высоких доходов независимо отуровня способностей. Модель Дурлауфа позволяет объяснить огромный расовый разрыв вуровне доходов. Непропорционально большое количество афроамериканцев живут вбедных районах, поэтому могут оказаться вловушке низких доходов из-за отсутствия необходимых ресурсов.

Рассмотренные вкниге модели описывают различные причины неравенства. Вкакой-то мере каждая измоделей правильна, но, как мы свами знаем, все они так или иначе неправильны. Как показывает практика, модели отличаются тем, вкакой степени икакую часть вариации уровня доходов они могут объяснить. Вверхней части шкалы распределения доходов эмпирические данные однозначно подтверждают правильность моделей, воснове которых лежат изменения вобласти технологий[16]. Более двадцати лет Налоговое управление США отслеживало 400 самых высоких уровней дохода. Вверхней части шкалы распределения доходов находятся технологии, розничная торговля ифинансы— три отрасли, которые можно быстро масштабировать. Такие высокие темпы роста могут быть обусловлены рынками поисковых систем, работающими попринципу «победитель получает все» (Google), или сайтами социальных сетей (Facebook). Эти модели дают мало информации онижней части шкалы распределения доходов. Кроме того, они предоставляют мало данных о мобильности доходов иплохо объясняют, почему оплата труда CEO вСША существенно превышает этот показатель вдругих странах.

Для того чтобы объяснить другие особенности данных, нужны другие модели, такие как модель мобильности доходов, модель сохраняющегося неравенства Дурлауфа имодель пространственного голосования. Выстраивание диалога между разными моделями иданными обеспечивает глубокое, многогранное понимание причин неравенства. Такой подход позволяет идентифицировать множество процессов, которые его порождают и поддерживают, иувидеть, как эти процессы накладываются и пересекаются. Понимание сложности проблемы неравенства и самоусиливающихся поддерживающих его причинно-следственных факторов должно вызвать сомнения в действенности быстрых решений. Сокращение масштабов неравенства потребует согласованных усилий по нескольким направлениям.

БОЛЬШОЙ МИР

Итак, мытолько что узнали, как применение ансамбля моделей позволяет объяснить многие причины неравенства в распределении доходов иэпидемии опиоидов, атакже раскрывает пределы любой отдельно взятой структуры. Еслибы мыбыли политиками, мыбы привели некоторые изэтих моделей в соответствие сданными для оценки величины эффекта, азатем провелибы естественные эксперименты, которые помоглибы нам откорректировать политический курс на основании полученной информации.

Многомодельный подход можно также применить крешению целого ряда социальных проблем, таких как обращение вспять тенденции кожирению, повышение эффективности школьного обучения, ослабление последствий изменения климата, рациональное использование водных ресурсов и улучшение международных отношений. Вкаждом изэтих случаев включение даже одной новой модели моглобы иметь огромные последствия. Возьмем, кпримеру, задачу прогнозирования финансовых кризисов. Федеральная резервная система США полагается на традиционные экономические модели, вкоторых используются данные национального учета инфляции, безработицы итоварно-материальных запасов. Этим данным свойственно запаздывание: они публикуются еженедельно, ежеквартально или раз вгод. Кроме того, они получены в результате статистических обследований, тоесть выборочного анализа экономики вцелом.

Специалист посложным системам Дж. Дойн Фармер выдвинул идею осоздании второго класса моделей, основанных наданных, собираемых в интернете врежиме реального времени. Эти новые модели будут полагаться наболее детальные, мгновенные данные, азначит, будут отличаться от традиционных моделей. Фармер утверждает, что они могут оказаться более эффективными, чем существующие модели. Возможно, онправ. Вместе стем новые модели не обязательно должны быть более точными, чтобы ихможно было применять вобласти прогнозирования и предотвращения финансовых кризисов. Учитывая тот факт, что новые модели будут использовать другие данные иисходить издругих предположений, они смогут давать идругие прогнозы. Асогласно теореме опрогнозе разнообразия при условии, что уровень точности новых моделей ненамного ниже, в сочетании с существующими моделями они повысят качество прогнозов, что, выражаясь языком Фармера, обеспечит коллективную осведомленность политических деятелей[17].

Руководитель компании может выполнить аналогичную работу при принятии решений в отношении бизнеса. Онможет применить множество моделей, основанных наданных, для определения свойств продуктов, выбора времени вывода продуктов нарынок, разработки системы оплаты труда, создания цепи поставок и прогнозирования продаж. Поскольку каждое изэтих действий выполняется врамках сложной системы, любая отдельно взятая модель былабы неправильной, ноансамбль моделей обеспечит более эффективный результат.

Вобщем, при необходимости сделать выбор, составить прогноз или решить задачу разработки, следует придерживаться многомодельного подхода. Он обеспечивает более высокие результаты, чем действия, основанные надогадках иинтуиции. Вместе стем унас нет никаких гарантий успеха. Даже использование множества моделей невсегда позволяет выявить самую значимую логическую цепочку. Сфера интересов может быть настолько сложной, что даже ансамбли моделей могут объяснить лишь небольшую часть вариаций.

Применяя модели для помощи в проектировании, мыможем оказаться неспособными выявить полезные абстракции. Простота моделей вэтих случаях может быть их уничтожением.

Вусловиях сложности мыможем обнаружить, что модели неотвечают задачам распространения идей, составления точных прогнозов или выбора наиболее эффективных действий. Даже наши изыскания спомощью моделей могут раскрывать мало значимой информации. Втаких случаях иобласти применения моделей, такие как рассуждение, объяснение, прогнозирование, разработка, коммуникация, действие и исследования (REDCAPE), окоторых шла речь вкниге, непринесут много пользы. Тем неменее мывсе равно извлекаем выгоду из рассмотрения и применения множества моделей, поскольку это позволяет выявить взаимозависимости ипонять, почему сложный процесс способен расстроить наши попытки анализировать, объяснять и коммуницировать.

Таким образом, мыдолжны проявлять определенную степень смирения. Даже при помощи множества моделей наша способность рассуждать имеет свои пределы. Именно поэтому мыдолжны сохранять любознательность, продолжать разрабатывать новые модели и совершенствовать существующие. Если модель не учитывает ключевых свойств этого мира (таких как влияние социальных факторов, положительная обратная связь или когнитивные искажения), то мыдолжны построить другие модели, включающие эти свойства. Это позволит определить, имеютли эти свойства значение, иесли да, токакое именно. Тот факт, что все модели неправильны, недолжен лишать нас присутствия духа— его следует воспринимать как стимул ксозданию множества моделей, способных принести мудрость.

И последнее: мыдолжны получать удовольствие отэтих усилий. Хотя вкниге особое внимание уделяется прагматическим целям (научиться лучше мыслить, повысить эффективность работы истать более информированными гражданами мира), она также преследует неявную цель: раскрыть красоту моделей ирадость моделирования. Практика построения моделей может стать красивой игрой. Мыделаем предположения, формулируем правила, азатем играем врамках этих правил, опирающихся также назаконы логики. Благодаря своим логическим изысканиям мы совершенствуемся и становимся мудрыми. Давайтеже привнесем эту мудрость вбольшой мир ипоможем изменить его клучшему.

Весь научпоп
наодной странице:
mif.to/science

Узнавай первым
оновых книгах,
скидках иподарках
изнашей рассылки
mif.to/sci-letter

#mifnauka

Уменя огромное количество коллег идрузей, и яврядли могу отблагодарить должным образом ихвсех, да и перечислить всех не получится, нознайте: явсем вам искренне признателен. Эта книга стала значительно лучше благодаря беседам о моделировании стакими людьми, как Энк Болл, Андреа Джонс Руй, Майкл Мобуссин, Карл Саймон, Джон Миллер, ЛуХонг, Элен Ландемор, Джим Джонсон, Скип Люпия, Джош Берке, Патрик Грим, Боб Аксельрод, ПиДжей Ламберсон, Джессика Стейнберг, Джессика Флэк, Чарли Доринг, Майкл Райолл, Роберт Диген, Джей Грусин, Сара Силвестри, Зев Бергер, Кен Коллман, Джин Клиппертон, Майкл Барр, Бенджамин Блай, Элизабет Брух, Эбби Джейкобс, Марк Ньюман, Косма Шахзи, Кент Майерс иДжош Купер Рамо. Я благодарен ФондуГуггенхайма за финансирование творческого отпуска, атакже преподавателям, сотрудникам и студентам INSEAD ижителям Фонтенбло (Франция). ВЭнн-Арборе сотрудники Lab Cafe, Mighty Good Coffee ивсех четырех кафе Sweetwaters Coffee and Tea предлагали мне кофе и молчаливую поддержку. На содержание книги очень повлияли онлайн-дискуссии стысячами людей, которые делились своим мнением о модельном мышлении. Мой агент Макс Брокман, редактор ТиДжей Келлегер иМелисса Веронези помогали мне сохранять сфокусированность на протяжении последнего года работы над книгой. Мита Гибсон иЛинда Вуд оказывали неизменную поддержку, устраняя многочисленные отклонения отграфика и демонстрируя умение работать с типографией. На последних этапах Люси Флемминг иДжон Берт решали досадные проблемы сверсткой. Спасибо вам всем!

1. О распределениях сдлинными хвостами см. главу6. Прим.ред.

2. Процесс обработки данных, который преобразует непрерывные данные в дискретные путем замены значений диапазонами. Прим.ред.

3. Издана нарусском языке: ЗеликовФ., АллисонГ. Квинтэссенция решения. Напримере Карибского кризиса 1962года. М.: ЛКИ, 2012. Прим.ред.

4. См. также потеме: ДикситА., СкитС., РейлиД. Стратегические игры. М.: Манн, Иванов иФербер, 2017. Прим.ред.

5. Синапсы— это оконечные образования нейронов, спомощью которых нервные импульсы передаются отодного нейрона кдругому. Некорректно говорить, что синапсы образуют нейроны— это разные структуры. Прим.ред.

6. Большинство англоязычных исследователей для обозначения действующих лиц экономических, социальных и политических событий используют термин актор. В русскоязычном сегменте научного мира предпочитают агент. Хотя между этими словами есть определенные различия, мыбудем их использовать вданной книге как синонимы. Прим.ред.

7. Red cape (англ.)— красная накидка. Атрибут Супермена. Прим.ред.

8. С математической точки зрения эту теорему можно трактовать как получение распределения вероятностей ответов смедианой, центрированной около истинного значения оцениваемой величины. Прим.ред.

9. Несложно показать, что квадратичная ошибка коллективного предсказания выражается через среднее квадратическое расстояние отдельных прогнозов от коллективного прогноза. Прим.ред.

10. См. Аристотель. Сочинения в4 томах. Том 2. М.: Мысль, 1978. Прим.ред.

11. БорхесХ.Л. Сочинения втрех томах. Том 3. Полярис, 1997. Прим.ред.

12. Статистики обозначают долю вариации, которую объясняет модель, как R² этой модели. (Этот коэффициент в статистике обычно называют коэффициентом детерминации, вычисляется как отношение межгрупповой вариации всей модели к внутригрупповой вариации (вариации одной модели). Прим.ред.

13. Эту теорему в дисперсионном анализе называют формулой разбиения общей суммы квадратов. Прим.ред.

14. Здесь идалее генеральный директор компании. Прим.ред.

15. Агент— это условная модель индивидуума, который может активно действовать врамках модели. Прим.ред.

16. Можно показать (хотябы численно), что данная функция имеет единственный максимум при Нравной трети суммарного дохода, равного С+ Н. Прим.ред.

17. Формально— если лотерея L1 предпочтительнее лотереи L2, тодля любого 0< p< 1 лотерея pL1+ (1− p)L3 предпочтительнее лотереи pL2+ (1− p)L3 для всех лотерей L3. Прим.ред.

18. Формально— если последовательность вероятностей {pn} сходится кp, илотерея pnL1+ (1− pn)L2 предпочтительнее лотереи L3 для всех n, толотерея pL1+ (1− p)L2 предпочтительнее лотереи L3. Прим.ред.

19. Это агенты, которые пользуются фиксированным набором простых правил. Прим.ред.

20. Втеории игр точка равновесия показывает путь к оптимальному (не обязательно максимальному) решению для всех игроков. Прим.ред.

21. Стандартное определение логнормального распределения: если случайная величина Химеет логнормальное распределение, то еелогарифм Y= lnX распределен по нормальному закону. Прим.ред.

22. Ранг события— это порядковый номер события в упорядоченном списке всех событий. Прим.ред.

23. Также называется свободным членом линейной регрессии. Прим.ред.

24. Напомним, что Rвквадрате также называется коэффициентом детерминации. В регрессионном анализе R² вычисляется как отношение суммы квадратов всех ошибок измерения зависимых величин yi ксумме квадратов разностей между yiи ихсредним. Прим.ред.

25. Этоже значение используется при проверке гипотез, что идругие коэффициенты уравнения регрессии отличны отнуля. Прим.ред.

26. Здесь идалее под термином «выпуклая» подразумевается «выпуклая вниз», а«вогнутая»— «выпуклая вверх». Ранее в отечественной литературе использовалось обратное понятие выпуклости и вогнутости. Прим.ред.

27. В последнее время темпы роста плотности транзисторов значительно упали, так что все чаще говорят о прекращении действия этого закона. Сам Мур заявил оскором прекращении действия его закона еще в2007году. Прим.ред.

28. Радиоуглеродное датирование имеет ряд недостатков, связанных с калибровкой метода и практически полным распадом углерода-14 при сроках более нескольких десятков тысяч лет. Поэтому сегодня он применяется восновном на историческом интервале (отдесятков лет до60–70 тысяч лет впрошлое). Прим.ред.

29. ARPANET (англ.Advanced Research Projects Agency Network— сеть Агентства передовых исследовательских проектов)— прототип сети интернет. Создана в1969году по поручению Министерства обороны США. Прим.ред.

30. Это число получается так: 2/6 (рулевой оказался последним впятерке гребцов)+ 10· 4/6 (рулевой будет впервой четверке)= 42/6= 7— суммарная ценность всех гребцов, которую затем нужно разделить на5 (их количество), чтобы узнать ценность одного гребца. Прим.ред.

31. Так как партия Вможет стать ключевой только вдвух случаях из12, то2/12= 1/6. Кстати, 12= 4· 3· 1— это количество вариантов формирования коалиций, если не различать партии С иD, иначе былобы 24 таких вариантов. Прим.ред.

32. Такие моменты втеории оптимального управления называются точками бифуркации. Прим.ред.

33. Коллинз Дж. Отхорошего квеликому. Почему одни компании совершают прорыв, адругие нет… М.: Манн, Иванов иФербер, 2017.

34. В моделировании такие модели часто называют моделями последействия. Прим.ред.

35. Этот результат— следствие теоремы сложения вероятностей, поскольку указанные здесь события несовместимы. Прим.ред.

36. ШеллингТ. Микромотивы и макровыбор. М.: Издательство Института Гайдара, 2016.

37. Здесь описана цепь Маркова, однородная повремени и пространству. А состояние статистического равновесия называется финальным состоянием цепи Маркова. Прим.ред.

38. Это важное свойство цепей Маркова называется отсутствием последействия. Прим.ред.

39. Отметим, что одним изрешений данной системы дифференциальных уравнений будет уравнение гармонического осциллятора с постоянным периодом, что обеспечивает колебание системы около ненулевых значений хищника ижертвы. Прим.ред.

40. ШеллингТ. Микромотивы и макроповедение. М.: Институт Гайдара, 2016.

41. Атрибуты (в статистике чаще называются индексами), исчисленные сучетом качества объекта, называются гедоническими. Этот термин отвечает задаче оценки изменения сучетом различных характеристик объекта наоснове его описания по атрибутам или индексам спомощью уравнения регрессии, которое получило название гедонического. Прим.ред.

42. Концепция, предложеннная Джорджем Цебелисом. Вето-игрок— это актор, чье одобрение необходимо для изменения статус-кво. Прим.ред.

43. Стратегия нападающей стороны в американском футболе. Прим.ред.

44. Издана нарусском языке: ГоторнН. Алая буква. М.: АСТ, 2018.

45. Процесс, включающий принцип повторения и самоподдержания без внешнего вмешательства или управления. Старинное английское слово, известное поидиоме: pull oneself over afence byone's bootstraps. В переносном смысле это означало, что человек всего добился сам. Прим.ред.

46. Молодая женщина из индейского племени северных шошонов, проживавшего на территории современного штата Айдахо. Сакагавея помогла экспедиции Льюиса иКларка в1804—1806годах исследовать обширные земли на американском Западе, которые тогда были только что приобретены. Прим.ред.

47. Понятие адаптивного ландшафта еще известно как ландшафт отбора— графическая модель эволюции ввиде рельефной карты. Термин имодель предложены Сьюэлом Райтом в1931году. Прим.ред.

48. В отечественной литературе этот алгоритм известен как генетический алгоритм. Прим.ред.

49. Всвоей провокационной книге «Против интеллектуальной монополии» они ратуют заотказ отпринципа защиты интеллектуальной собственности, утверждая, что только вэтом случае возможен технологический и интеллектуальный прогресс. Прим.ред.

50. Позолоченный век— это период процветания экономики ибыстрого роста населения США после Гражданской войны Севера иЮга. Начинается примерно с1870-х годов. Прим.ред.

51. Издана нарусском языке: ПикеттиТ. Капитал вXXIвеке. М.: AdMarginem, 2015.

52. КларкГ. Отцы идети. Фамилии иистория социальной мобильности. М.: Изд-во Института Гайдара, 2018.

53. Эффект перелива— это ситуация, когда одни экономически значимые события ведут к возникновению других, при этом явная связь между ними невсегда прослеживается. Прим.ред.

54. В метрических единицах онравен 10000, умноженному навес в килограммах, деленному наквадрат роста в сантиметрах (или просто весу в килограммах, деленному наквадрат роста вметрах). Прим.ред.

ГЛАВА 1

[1] См., например, книгу Кэти О’Нил (O’Neil, 2016), вкоторой рассказывается отом, как простые модели, основанные наданных, могут не учитывать некоторые слои населения и адаптивную обратную связь, которую мыобсудим вглаве4.

[2] См. статью Паарша иШирера (Paarsch and Shearer 1999), вкоторой анализируется лесная промышленность. Исходные данные опосадке деревьев указывают наналичие отрицательной корреляции между сдельной оплатой труда и количеством высаженных деревьев— другими словами, чем больше человеку платят запосадку дерева, тем меньше деревьев он высаживает. Этот вывод противоречит стандартной экономической логике. Если выплатите работникам больше закаждое посаженное дерево, они должны работать усерднее. Согласно модели Паарша иШирера, лесозаготовительные компании платят работникам сдельную ставку закаждое дерево так, что почасовая рыночная ставка заработной платы составляет 20долларов вчас. На основании этого допущения можно вывести следующую формулу расчета оплаты заодно дерево:

20долларов= количество деревьев, высаженных зачас× оплата задерево.

Если человек посадит десять деревьев зачас, тооплата заодно дерево составит 2доллара, аесли двадцать деревьев зачас, то1доллар. Таким образом, модель указывает наналичие отрицательной корреляции между сдельной оплатой труда и количеством высаженных деревьев. Кроме того, она также говорит отом, что произведение сдельной ставки на количество деревьев равно постоянной величине.

[3] Доказательства того, что модели важнее людей, можно найти здесь: Dawes, 1979; Tetlock, 2005; Silver, 2012; Cohen, 2013. О предвзятости суждений читайте здесь: Kahneman, 2011.

[4] См. Slaughter, 2017 иRamo, 2016.

[5] Согласно исследованиям, наиболее эффективные эксперименты ипатенты в значительной степени черпают идеи изразных областей знаний. Анализ 35миллионов научных работ показывает, что в долгосрочной перспективе междисциплинарные научные работы оказывают большее влияние (Van Noorden, 2015). Совокупность идей не обязательно является совокупностью моделей, но вомногих случаях это действительно так— см. Jones, Uzzi, and Wuchty, 2008, атакже Wuchty, Jones, and Uzzi, 2007. Фримен иХуан (Freeman and Huang, 2015) всвоей статье отмечают наличие корреляции между этническим многообразием ичастотой цитирования. Если считать патенты наглядным подтверждением инноваций, тодва отдельных направления исследований связывают многообразие типов мышления суспехом. Встатье Ши,Адамич, Тсенга и Кларксона (Shi, Adamic, Tseng, and Clarkson, 2009) показано, что патенты, охватывающие разные категории, упоминаются чаще. Юн,Страмски, Беттанкур иЛобо (Youn, Strumsky, Bettencourt, and Lobo, 2015) указывают всвоей статье нато, что действие большинства патентов распространяется на множество подкатегорий. Междисциплинарные исследования уверенно вышли натакой уровень, что социологи вцелом цитируют работы издругих научных дисциплин чаще, чем изсвоей области.

[6] См. Box and Draper, 1987.

[7] См. Page, 2010a.

[8] Я не приравниваю знания кмоделям, аговорю отом, что модели могут отражать знания и обеспечивать надежный способ распространения соответствующих представлений. Термин «знание» имеет множество значений ивключает всебя, помимо прочего, такие навыки, как игра втеннис, французкий язык и составление контрактов. Я использую более узкое определение. Сболее широкой концепцией можно ознакомиться здесь: Adler, 1970.

[9] Это приближенное значение можно получить на основании предельной скорости летящих парашютистов, достигающей почти 320километров вчас. Предельная скорость зависит отмассы. Предположим, масса парашютиста в400 раз больше массы игрушечного гепарда. Квадратный корень из400 равен 20. Следовательно, предельная скорость игрушечного гепарда равна 320километрам вчас, деленным на20, или примерно 16километрам.

[10] Онбыл прав. Для справки: Фресно на30процентов больше Исландии. Вкниге Эрика Болла иДжозефа ЛиПумы (Ball and LiPuma, 2012) рассказывается отом, как можно использовать научные выводы вмире бизнеса.

[11] См. Lo,2012. Общие аргументы можно найти здесь: Myerson, 1992.

[12] Различные версии этой истории встречаются вработах Уильяма Джеймса, Стивена Хокинга иАнтонина Скалиа.

ГЛАВА 2

[1] См. Epstein 2008, где представлена более детальная классификация причин для моделирования. Вкниге Чарльза Лейва иДжеймса Марча (Lave and March, 1975) описаны три направления применения моделей: объяснение происходящих событий, прогнозирование новых явлений, создание и разработка систем. Косвенным образом авторы также выступают за использование моделей для исследований.

[2] См. Harte, 1988. Эта классификация заимствована изстатьи Джеймса Джонсона (Johnson, 2014) осферах применения моделей в общественных науках. Эти два подхода также известны как галилеева иминималистская идеализации. См. Weisberg, 2007. Более подробную информацию об аналогиях можно найти здесь: Pollack, 2014; Hofstadter and Sander, 2013. Вкниге Дугласа Хофштадтера и Эммануэля Сандера сказано, что аналогия выступает вроли «топлива иогня» мышления. Подробное описание классов моделей можно найти вкниге: Schelling, 1978, 87. Вблоге Дэниела Литтла Understanding Society («Понимание общества») представлены основные положения социальной онтологии.

[3] См. Arrow, 1963. Общий упорядоченный список альтернатив возможен при ограничении индивидуальных списков предпочтений. Например, еслибы укаждого человека был один итотже список предпочтений, то существовалбы иобщий список. Вцелом унас нет способа преобразовать индивидуальный список предпочтений в согласованный общий список.

[4] Лучшие умы моего поколения, несомненно, заметили, что я позаимствовал фразу «это действительно было» изпоэмы Howl («Вопль»). См. Bickel, Hammel, and O’Connell, 1975.

На представленном ниже рисунке показан один из множества примеров того, как включение дополнительной вершины приводит к сокращению общей длины ребер графа. Награфе слева четыре вершины соответствуют углам квадрата, а награфе справа добавлена пятая вершина вцентре. Если длина стороны квадрата равна 1, общая длина ребер левого графа равна 3, аобщая длина ребер правого графа равна 4× 0,71, что меньше 3.

Парадокс Симпсона возникает, когда заявления на факультеты сболее высоким процентом зачисления подает больше абитуриентов женского пола, чем мужского. Например, рассмотрим университет, вкотором есть медицинская и ветеринарная школы. Предположим, в медицинскую школу подают заявления 900 абитуриентов мужского пола, и480 (или 53процента) изних зачисляются, и300 абитуриентов женского пола, и180 (или 60процентов) изних зачисляются, а в ветеринарную школу подают заявления 100 абитуриентов мужского пола, и20 (или 20процентов) изних зачисляются, и300 абитуриентов женского пола, и90 (или 30процентов) зачисляются. Вкаждой школе наобучение принято больше женщин, но вцелом зачислено 50процентов мужчин (500 из1000) итолько 45процентов женщин (270 из600).

Вкачестве примера парадокса Паррондо рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, первая ставка всегда проигрывает 1доллар, авторая ставка проигрывает 2доллара влюбом периоде, номер которого неделится натри, и выигрывает 3доллара впериоды 3, 6, 9, 12 итак далее. Каждая ставка обеспечивает ожидаемый проигрыш, ноесли выбудете делать вторую ставку только в тепериоды, когда она выигрывает, апервую ставку— в остальные периоды, тобудете выигрывать по1доллару каждые три периода.

[5] См. Kooti, Hodas, and Lerman, 2014.

[6] Предположим, каждый человек получает одинаковый доход Iи выплачивает налоги по неизменной ставке налога t. Пусть cобозначает процент сокращения налоговой ставки, аr— повышение уровня дохода. Текущий объем налоговых поступлений в государственный бюджет равен I· t. После снижения налогов объем налоговых поступлений составит I(1+ r)· t(1− c). Объем налоговых поступлений в государственный бюджет увеличится тогда, итолько тогда, когда I· t < I(1+ r)· t(1− c). Перегруппировка членов неравенства дает r > c(1+ r).

[7] См. Ledyard, Porter, and Wessen, 2000, где представлена информация орыночном механизме, обеспечивающем более эффективное решение многомерных задач полезной нагрузки.

[8] Я позаимствовал слово «непостижимо» уфизика Юджина Вигнера (Eugene Wigner, 1960), который описывал математические модели, используемые в естественных науках, как непостижимо эффективные.

[9] См. Ziliak and McCloskey, 2008. Вэтой книге идет речь о способности моделей, используемых в общественных науках, объяснять вариацию.

[10] Информацию обистории аукциона частот можно найти здесь: Porter and Smith, 2007.

[11] См. Squicciarini and Voigtlander, 2015. Вкниге Джоэля Мокира (Mokyr, 2002) представлена исчерпывающая историческая информация оважности передачи знаний.

[12] См. www.treasury.gov/initiatives/financial-stability/Pages/default.aspx.

[13] Например, всередине 1990-х годов обанкротились около 60процентов ресторанов, открывшихся в Колумбусе. Ниодин изних неполучил финансовой помощи от государства, да и недолжен был получить. Здоровая рыночная экономика подразумевает вероятность банкротств. См. Parsa etal., 2005.

[14] Данные взяты издоклада МВФ о глобальной финансовой устойчивости за2009год. Сила связи основана на корреляции по стоимости портфеля ценных бумаг. Корреляция рассчитана исходя из предельных случаев— данных за тедни, когда эти учреждения демонстрировали особенно высокие или особенно низкие результаты. Этот показатель должен был отражать вероятность того, что банкротство одной компании повлечет засобой банкротство другой компании. В действительности корреляция по результатам работы могла быть следствием сходства инвестиционных портфелей или того, что один банк владел активами другого банка.

[15] См. Geithner, 2014.

[16] См. Weisberg, 2012. Вэтой книге описана модель залива Сан-Франциско и ее практическая ценность сточки зрения выбора курса действий.

[17] Исчерпывающую информацию обэтом крушении можно найти здесь: Stone etal., 2014.

[18] Я благодарен Джошу Эпштейну запервый пример.

[19] См. Dunne, 1999 иRaby, 2001.

ГЛАВА 3

[1] См. Levins, 1966.

[2] Более подробное описание теоремы ивывод изнее можно найти здесь: Page 2007, 2017.

[3] Мудрость толпы— тема одноименной книги Джеймса Шуровьески (Suroweicki, 2006); отом, как лисы могут перехитрить ежей, можно прочитать вкниге Филипа Тетлока (Tetlock, 2005); встатье Статиса Каливаса (Kalyvas, 1999) идет речь о неспособности политической науки предвидеть падение Советского Союза; информацию об использовании ансамблевых методов вобласти компьютерных наук можно найти здесь: Patel etal., 2011.

[4] ЛуХонг иСкотт Пейдж показывают всвоей статье (Hong and Page, 2009), что независимые модели требуют уникального набора категорий. Другими словами, существует только один способ создания множества независимых прогнозов наоснове модели бинарной категоризации.

[5] См. три мои книги, опубликованные ранее: «Различие» (The Difference— Page, 2008), «Разнообразие и сложность» (Diversity and Complexity— Page, 2010) и«Преимущества разнообразия» (The Diversity Bonus— Page, 2017)— вних подробно анализируется теорема опрогнозе разнообразия. Данные об экономических прогнозах можно найти здесь: Mannes, Soil, and Larrick, 2014.

[6] Рассмотрим четыре бунгало A,B,C иD, представленные нарисунке ниже, атакже ихрыночную стоимость. Выделим две категории на основании наличия вбунгало студии звукозаписи (отмечена нарисунке кружком над дверью). Вбунгало A иBнет студий звукозаписи, поэтому относим их кодной категории, а вбунгало C иDесть, поэтому относим их ковторой категории.

Четыре бунгало и ихрыночная стоимость

Сначала вычислим полную вариацию цен бунгало. Она равна сумме квадратов разности между каждым значением стоимости исредней стоимостью. Мыбудем выполнять вычисления втысячах долларов. Средняя стоимость четырех бунгало составляет 400, азначит, полная вариация равна 100000:

Полная вариация= (200− 400)²+ (300− 400)²+ (500− 400)²+ (600− 400)²= 100000.

Для того чтобы вычислить убыток от категоризации, будем исходить из реального значения средней стоимости бунгало вкаждой категории: 250000долларов впервой категории и550000долларов вовторой категории (бунгало, которые переделаны встудии звукозаписи). Категоризация относит кодной группе дома сразной стоимостью. Остаточная вариация равна убытку от категоризации: убыток от категоризации A & B= (200− 250)²+ (300− 250)²= 5000 иубыток от категоризации C & D= (500− 550)²+ (600− 550)²= 5000. Общий убыток от категоризации составляет 10000.

Для того чтобы вычислить погрешность оценки, предположим, что модель прогнозирует цены вразмере 300000долларов набунгало A иB и600000долларов набунгало C иD. Погрешность оценки равна сумме квадратов разности между прогнозом покаждой категории иистинным средним. Погрешность оценки A & B= (300− 250)²+ (300− 250)²= 5000 и погрешность оценки C & D= (600− 550)²+ (600− 550)²= 5000. Общая погрешность оценки составляет 10000.

Общая погрешность модели равна сумме квадратов разности между прогнозами и фактическими значениями стоимости:

погрешность модели= (200− 300)²+ (300− 300)²+ (500− 600)²+ (600− 600)²= 20000.

Обратите внимание, что погрешность модели равна сумме убытка от категоризации и погрешности оценки.

[7] См. Brock and Durlauf, 2001, где идет речь о двумерной модели социального взаимодействия ввиде спинового стекла. Встатье Эдуарда Глазера, Брюса Сасердота иХосе Шенкмана (Glaeser, Sacerdote, and Schenkman, 1996) описана одномерная модель, используемая для анализа преступности. Вкниге Дрю Фуденберга иДэвида Ливайна (Fudenberg and Levine, 2006) представлена экономическая модель головного мозга.

[8] Ниархос был непервым кораблестроителем, попытавшимся извлечь пользу измасштаба. В1858году Изамбард Кингдом Брюнель (легендарный британский инженер, построивший Большую западную железную дорогу) спустил наводу корабль длиной более 211метров под названием SSGreat Eastern. Проект оказался провальным. Отсутствие гидродинамических моделей привело к неэффективной общей конструкции корабля. Оноказался пригодным кплаванию только насамых низких скоростях. Вконечном счете Great Eastern использовали для прокладки трансатлантических кабелей. Вкниге Джеффри Уэста (West, 2017) рассказывается, как использовать множество моделей для проектирования кораблей.

[9] Индекс массы тела54 можно рассчитывать следующим образом: BMI= 703× навес (вфунтах) ÷ наквадрат роста (вдюймах).

[10] Рост Леброна Джеймса— 203сантиметра, авес— 113килограммов, значит, его BMI равен 27,5. BMI Кевина Дюранта (рост 206сантиметров ивес 107килограммов) равен25,2. УЭштона Итона (золотой медалист по десятиборью Олимпийских игр 2012года), рост которого 185сантиметров, авес 84килограмма, BMI составляет 24,4— награни избыточного веса. Уего предшественника, золотого медалиста Олимпийских игр 2008года по десятиборью Брайана Клэя, BMI равен 25,8.

[11] См. Flegal etal., 2012.

[12] Мыисходим изтого, что длина мыши 3 дюйма, высота 1 дюйм иширина 1 дюйм, аслон имеет высоту 10 футов, длину 10 футов иширину 5 футов. Площадь поверхности слона составляет 400квадратных футов, или 57600квадратных дюймов. Объем слона— 500кубических футов, или 864000 кубических дюйма.

[13] Джеффри Уэст иего коллеги разработали более сложные иточные модели, согласно которым уровень метаболизма должен меняться пропорционально массе встепени три четверти. См. West, 2017.

[14] Результаты контролируемых экспериментов, входе которых отправлялись идентичные резюме, номенялись имена, показали, что женщины получают предложения оболее низкой оплате иболее низкие оценки по сравнению с мужчинами (см. Moss-Racusin etal., 2012).

[15] Вероятность того, что мужчина займет должность СЕО, равна вероятности получения пятнадцати повышений подряд, или . Вероятность того, что мужчина займет должность СЕО, в сравнении сженщиной (коэффициент вероятности), равна Сучетом наших предположений относительно вероятности 50 и40процентов, коэффициент вероятности равен (1,25)¹⁵= 28,4.

[16] См. Dyson, 2004.

[17] См. Breiman, 1996.

ГЛАВА 4

[1] См. Haidt, 2006.

[2] Предположим, человек располагает бюджетом M, цена одной единицы потребительского товара составляет 1доллар, ацена единицы жилья равна PH. Бюджетное ограничение можно записать как M= C+ PH· H. Это подразумевает, что C= M− PH− H; втаком случае мыможем описать полезность как функцию H:

Чтобы найти значение H, максимизирующее полезность, возьмем производную поHи приравняем еек нулю. Это требует применения правила дифференцирования сложных функций:

Перемещение первого члена надругую сторону уравнения и приведение кобщему знаменателю дает следующее:

2PH· H= (M− PH· H).

Подстановка 2PH· H вместо (M− PH· H) в уравнении бюджетного ограничения дает M= 2PH· H+ PH· H, или M= 3PH· H. Отсюда следует, что человек тратит нажилье третью часть дохода.

[3] ВСША это достаточно хорошее приближение. Источник: Бюро трудовой статистики США (USBureau ofLabor Statistics), 2013.

[4] Формально теорема записывается следующим образом: пусть X= {A, B, C, …, N} обозначает конечное множество результатов, ипусть лотерея представляет собой распределение вероятностей по результатам: L= (pA, pB, …, pN). Если предпочтения (n) полотереям удовлетворяют условию полноты (любые две лотереи L иMможно сопоставить), транзитивности (если LnM, аMnN, тогда LnM), независимости (если LnM, тодля произвольной лотереи N илюбой вероятности p > 0, лотерея (pL+ (1− p)NnpM+ (1− p)N) инепрерывности (если LnM и MnN), тогда существует вероятность pтакая, что pL+ (1− p)NnM, азначит, предпочтения можно представить ввиде непрерывной функции полезности, которая присваивает каждой лотерее действительное значение, тоесть полезность. Схема доказательства выглядит так. Предположим, существует лучший результат B ихудший результат W. Примем полезность результата Bравной 1, а полезность результата Wравной нулю. Согласно аксиоме непрерывности, при наличии любого другого результата Aсуществует вероятность p, которая делает человека безразличным квыбору между получением результата Bс вероятностью pи получением результата Wс вероятностью (1− p). Запишем это как AnpB+ (1− p)W. Затем присвоим полезности результата Aзначение, равное p. Небольшой самоанализ (инемного математики) показывает, что чем больше человеку нравится результат (или лотерея), тем больше будет значение p. Почти как по волшебству мы превратили упорядоченные списки вчисла. Полное доказательство ищите здесь: Von Neumann and Morgenstern, 1953.

[5] См. Rust, 1987.

[6] См. Camerer, 2003.

[7] См. Harstad and Selten, 2013.

[8] См. Myerson, l999, где идет речь об использовании рационального выбора вкачестве эталона.

[9] Результаты первых исследований можно найти здесь: Camerer, Loewenstein, and Prelec, 2005.

[10] См. Kahneman, 2011, где дается краткий обзор этого исследования.

[11] Первая работа Open Science Collaboration, опубликованная в2015году, повлекла засобой другие попытки проверки воспроизводимости, показавшие аналогичные результаты.

[12] О необходимости более широкого многообразия в совокупности субъектов исследований идет речь встатье: Medin, Bennis, and Chandler, 2010.

[13] См. Berg and Gigerenzer, 2010. Авторы статьи полностью поддерживают эту линию критики, утверждая, что это подрывает психологические модели, основанные на математике.

[14] См. Kahneman and Tversky, 1979.

[15] Представление альтернатив ввиде выгоды: курс лечения Aточно спасет 40процентов пациентов. Курс лечения Bс50-процентной вероятностью спасет всех. Представление альтернатив ввиде потери: курс лечения A’ однозначно приведет ксмерти 60процентов пациентов. При проведении курса лечения B’ с вероятностью 50процентов неумрет никто и с вероятностью 50процентов умрут все. Согласно теории перспектив, большинство врачей выбирают курс лечения Aпри представлении альтернатив ввиде выгоды икурс лечения B’— ввиде потери.

[16] Первые работы, вкоторых идет речь о последствиях гиперболического дисконтирования: Thaler, 1981 иLaibson, 1997.

[17] Формулу гиперболического дисконтирования можно записать вболее обобщенной форме:

[18] См. Gigerenzer and Selten, 2002.

[19] См. Gode and Sunder, 1993.

[20] См. Gigerenzer and Selten, 2002.

[21] Всвоей лекции послучаю вручения Нобелевской премии Вернон Смит отметил следующее: «Экологическая рациональность использует умозаключения (рациональную реконструкцию) для анализа поведения людей наоснове ихопыта изнаний, проистекающих изнародной мудрости. Люди придерживаются правил, небудучи способными их сформулировать, ноэти правила можно открыть». См. Smith, 2002.

[22] См. Arthur, 1994.

[23] См. Lucas, 1976 иCampbell, 1976.

[24] См. deMarchi, 2005, где идет речь отом, как модели позволяют определить, что может произойти. Информацию омоделях, основанных на уравнениях, имоделях, основанных направилах, вкоторых акторы задействуют различные варианты поведения в аналогичных играх, можно найти здесь: Gilboa and Schmiedler, 1995 иBednar and Page, 2007, 2018.

ГЛАВА 5

[1] При наличии множества данных {xi, …, xN} дисперсия равна среднему квадрату отклонения от математического ожидания μ, что можно записать так:

Стандартное отклонение равно квадратному корню изсреднего квадрата отклонения от математического ожидания μ:

[2] Существует ряд достаточных условий. Наиболее общее условие, условие Линдеберга, требует, чтобы доля полной вариации любой случайной величины стремилась кнулю помере увеличения количества случайных величин.

[3] См. Lango etal., 2010.

[4] Вобщем случае при наличии независимых случайных величин мыимеем следующие выражения:

Полагая σi= σ для всех i, получим

[5] Вкниге Говарда Уэйнера (Wainer, 2009) дается более глубокий анализ вариантов выбора политического курса.

[6] Пороговое значение вдва стандартных отклонения (значимость 5процентов)— спорное правило, однако именно его обычно применяют социологи. Большой коэффициент, значимый науровне 6процентов, скорее всего, заслуживает большего внимания, чем маленький коэффициент со значимостью 4,9процента. СМ. Ziliak and McCloskey, 2008.

[7] См. Gawande, 2009.

[8] Распределение произведений случайных величин называется логарифмически нормальным потому, что логарифм такого распределения подчиняется нормальному закону. Вот краткое описание логики того, почему это происходит. Во-первых, представим произведение чисел y= x1· x2· x3· …· xn ввиде членов, записанных как степень 10:

10^log10(y)= 10^log10(x1)· 10^log10(x2)· 10^log10(x3)· ...· 10^log10(xn)= 10^{log10(x1)+ log10(x2)+ log10(x3)+ ... + log10(xn)}.

Затем возьмем десятичный логарифм отобеих частей уравнения, для того чтобы получить следующее:

log10(y)= log10(x1)+ log10(x2)+ log10(x3)+ …+log10(xn).

Таким образом, логарифм величины yможно записать как сумму логарифмов случайных величин, логарифмы которых также являются случайными величинами, аесли их дисперсия удовлетворяет условиям центральной предельной теоремы, то ихсумма, равная log10(y), будет распределена по нормальному закону.

[9] См. Limpert, Stahel, and Abbt 2001.

[10] Эта идея была впервые сформулирована вкниге Робера Гибрата «Экономическое неравенство». См. Gibrat, 1931.

ГЛАВА 6

[1] Информацию о последствиях и культурном значении этого наводнения можно найти вкниге: Parrish, 2017.

[2] Вэтом числовом примере, позаимствованном изстатьи Клосета, Янга иГледича (Clauset, Young, and Gleditsch, 2007), используется показатель степени 2.

[3] Формальное описание моделей, представленных вданной главе, атакже многочисленные примеры распределений по степенному закону ищите здесь: Newman, 2005.

[4] См. Newman, 2005 иPiantadosi, 2014.

[5] Константа C делает полную вероятность всех результатов равной 1. Сучетом этого определения степенное распределение удовлетворяет условию масштабной инвариантности. Если мыизменим единицы измерения результатов, форма распределения не изменится.

[6] Эту вероятность можно вычислить, сначала определив вероятность того, что событие не произойдет на протяжении года. Если вероятность наступления события задень составляет , то вероятность того, что оно ненаступит втечение года, равна (0,999)³⁶⁵= 0,69. Следовательно, вероятность того, что событие произойдет, составляет 31процент. Вероятность того, что не произойдет событие, встречающееся один раз намиллион, рассчитывается аналогичным образом.

[7] См. Cederman, 2003; Clauset, Young, and Gleditsch, 2007; Roberts and Turcotte, 1998. Вероятность террористического акта сxпогибших можно записать как постоянный член со значением примерно 0,06, разделенный наxвквадрате. Вслучае дискретного распределения, где xпринимает только целые значения, распределение по степенному закону можно описать формулой: p(x)= 0,608x⁻². Коэффициент 0,608 выбран так, чтобы сумма значений вероятности была равна1: . Произведение 0,608 и1,644934 равно 1.

[8] Вслучае распределения по степенному закону мыберем логарифмы обеих сторон и преобразуем y= Cx^−a в log(y)= log(C)− alog(x), тоесть получаем линейную зависимость log(y) отlog(x). Отобразив награфике значения log(y) иlog(x), мыполучим прямую линию. Что касается экспоненциального распределения y= C· A^−x, то прологарифмировав обе стороны, получим log(y)= log(C)− xlog(A), аэто означает, что log(y) линейно зависит отx. Следовательно, значение log(y) будет быстро снижаться поlog(x), образуя вогнутый график.

[9] Взяв логарифм логнормального распределения, мыполучим следующее уравнение: где σ— это натуральный логарифм стандартного отклонения логнормального распределения, косвенный показатель дисперсии распределения. Вслучае большого значения σвклад log(x)² будет незначительным дотех пор, пока значение log(x) нестанет достаточно большим, чтобы вызвать спад награфике.

[10] Чтобы понять, как провести формальное различие между логнормальным распределением и распределением по степенному закону, см. рабочий доклад Бройдо иКлосета (Broido and Clauset, 2018). Авторы показывают, что многие сети, которые относят к категории степенных распределений, могут ими небыть.

[11] Встатье Пьянтадоси (Piantadosi, 2014) описывается закон Ципфа в контексте частоты встречаемости слов, атакже ряд моделей-кандидатов. Если распределение масштаба событий удовлетворяет степенному закону, тоже самое можно сказать и орангах. Общее доказательство сводится к следующему. Степенное распределение с показателем степени a наоткрытом интервале [1, ∞) имеет вид pa(x)= ax^−a. Предположим, унас есть 100 событий. Пусть SR обозначает ожидаемый масштаб события с порядковым номером Rвсписке, упорядоченном поубыванию масштаба. Вероятность события, более крупного, чем SR, должна быть равной . Например, если R= 3, то вероятность события крупнее S3 должна составлять 3процента. Следовательно, . Решая это уравнение, получим , что можно записать так: . Вчастном случае, когда a= 2, это выражение имеет следующий вид: .

[12] См. Bak, 1996. Остается открытым вопрос отом, насколько широко можно применять эту модель. Ученые используют еедля объяснения экономических колебаний, количества погибших входе военных действий, террористических актов, прерывистого равновесия впроцессе эволюции и транспортных заторов. См., например, Paczuski and Nagel, 1996; Sneppen etal., 1995.

[13] См. статью Салганика, Додда иВаттса (Salganik, Dodd, and Watts, 2006), где представлены результаты первичного исследования, атакже книгу Пола Ормерода (Ormerod, 2012), вкоторой содержится альтернативный анализ. Степенное распределение также подразумевает наличие множества мелких событий, накоторые приходится бόльшая часть данного распределения вероятностей. Мелкие события могут объединиться и образовать экономическую ценность такогоже масштаба, как икрупное событие. См. Anderson, 2008b. Интернет позволяет розничным торговцам формировать огромные каталоги книг, фильмов имузыки, даже если некоторые изних интересуют небольшое количество людей. Издатель, который продает 5миллионов экземпляров бестселлера, зарабатывает столькоже, сколько ииздатель, продающий по500 экземпляров каждой из10тысяч разных книг.

[14] Описание конкретной модели, которая показывает, как это может произойти, можно найти здесь: Denrell and Liu, 2012.

[15] Геологи измеряют магнитуду землетрясений пошкале Рихтера, определяя еекак логарифм масштаба землетрясения. Землетрясение с магнитудой 6 пошкале Рихтера вдесять раз масштабнее землетрясения с магнитудой 5. Информацию о применении закона Ципфа для прогнозирования масштаба землетрясений, но немомента их наступления, ищите здесь: Merriam and Davis, 2009.

[16] См. Eliot, Golub, and Jackson, 2014, где подробно описана модель того, как усиление связанности может обусловить снижение вероятности банкротства.

[17] Обсуждение этого вопроса можно найти здесь: May, Levin, and Sugihara, 2008.

[18] См. Stock and Watson, 2003.

[19] Следующее объяснение представлено здесь: Carvalho and Gabaix, 2003.

[20] См. Clarida, Gall, and Gertler, 2000.

[21] Я благодарен Сету Ллойду зато, что указал мне наэтот пример.

[22] Положим распределение заработной платы равным 100000долларов, умноженным навеличину x, где p(x)= 2x⁻³ от1 до∞. Среднее значение величины xравно 2, азначит, распределение имеет математическое ожидание 200000долларов.

[23] См. Weitzman, 1979, где описывается модель, демонстрирующая этот результат вболее общем виде.

[24] См. Bell etal,2018.

ГЛАВА 7

[1] Ценные марочные вина, такие как Bordeaux (бордо), получают рейтинг, составленный экспертами. Кроме того, они имеют рыночную цену. Цены ирейтинги могут выступать вкачестве косвенных показателей качества вин. Орли Ашенфельтер разработал подходящую (логарифмическую) линейную модель для определения качества вин Bordeaux сучетом количества осадков взимний период, впериод сбора урожая исредней температуры всентябре (см. Ashenfelter, 2010). Логарифмически линейная модель выражает логарифм зависимой переменной ввиде линейной суммы логарифмов независимых переменных:

log(y)= b0+ b1log(x1)+ b2(x2).

Это выражение подразумевает, что зависимую переменную можно представить как произведение независимых переменных. Для этого можно возвести каждую сторону уравнения встепеньe, что даст следующее уравнение:

Логарифмирование превращает умножение всложение, что позволяет использовать такой инструмент, как линейная регрессия. Если вкачестве независимой переменной выступает цена марочного вина, модель Ашенфельтера имеет значение Rвквадрате (тоесть процент вариации, которую объясняет модель), равное 83процентам. Как показывает опыт, данная модель предсказывает цены навино точнее, чем эксперты повинам, использующие качественные оценки. Модель Ашенфельтера даже позволяет прогнозировать изменения воценках экспертов. Известный оценщик вин Роберт Паркер сначала выставил винтажным винам Pomerol иSt. Emilion урожая 1975года оценку 95 баллов (из100). Модель Ашенфельтера прогнозировала более низкий рейтинг качества этих вин. В1983году Паркер понизил свой рейтинг доуровня «ниже среднего», как и предсказывала модель Ашенфельтера. См. Storchmann, 2011.

[2] См. Xie, 2007.

[3] См. Ryall and Bramson, 2013, где представлено введение в каузальные модели.

[4] Майкл Мобуссин всвоей книге (Mauboussin, 2012) показывает, как это уравнение помогает принимать правильные управленческие решения.

[5] См. Bertrand and Mullainathan, 2001.

[6] См. Shapiro, Meschede, and Osoro, 2013. Авторы этой работы не смешивают такие понятия, как корреляция икаузация. Если между двумя переменными нет корреляции, то неследует ожидать наличия между ними причинно-следственных связей.

[7] Для того чтобы найти оптимальную линию для классификации данных, многие аналитики используют машину опорных векторов (support vector machine, SVM)— подход, аналогичный регрессии. Ключевое отличие состоит втом, что машина опорных векторов находит линию, которая максимизирует расстояние до ближайших точек вкаждом наборе, разделяющем данные на положительные и отрицательные величины. Если ниодной такой линии не существует (как часто бывает), устанавливаются штрафы за нарушения. Напротив, регрессия сравнивает расстояние докаждой точки данных и минимизирует общее расстояние.

ГЛАВА 8

[1] См. Arthur, 1994.

[2] Тридцать удвоений— это 2³⁰, что больше 1миллиарда.

[3] См. Karlsson, 2016, где можно изучить контекст распространения гиппопотамов Эскобара.

[4] См. Ebbinghaus, 1885.

[5] Исследователи головного мозга обнаружили, что даже для шоколада существует определенный объем потребления, при котором люди начинают испытывать кнему отвращение (Small etal., 2001).

[6] Этот пример, подобно многим другим примерам, я позаимствовал изкниги: Lave and March, 1975.

[7] Предположим, вы инвестируете 3000долларов вгод. Еслибы цена акций была неизменной и составляла 15долларов, то вымоглибы ежегодно покупать по200 акций. Еслибы цена акций колебалась от20 до10долларов, то вгод свысокой ценой вымоглибы купить 150 акций, авгод снизкой ценой 300 акций. Всреднем выпокупалибы 225 акций, что больше количества акций, которые вымоглибы купить при неизменной цене.

[8] Ключевое предположение состоит втом, что вфункции производства Кобба-Дугласа показатели степени a и(1− a) дают всумме 1. Это указывает нато, что при удвоении количества работников иобъема капитала совокупный объем производства также удвоится.

объем производства= постоянная· (2· работники)^a(2· капитал)^{(1− a)}.

Раскрытие скобок и перегруппировка членов уравнения дают удвоение объема производства:

объем производства= 2· постоянная· работники^a· капитал^{(1− a)}.

[9] Объем производства задень на протяжении второго года равен 100√2= 141. Натретий год онсоставит 100√3= 173. Темп роста равен процентному увеличению объема производства изгода вгод.

[10] Расчеты выглядят так. Год 2: машины— 290, объем производства— Инвестиции составляют (0,2)· 1702= 340, азначит, потребление равно 1362. Амортизация составляет (0,1)· 290= 29. Год 3: машины— 601, объем производства— Инвестиции равны (0,2)· 2453= 491, азначит, потребление равно 1962. Амортизация составляет (0,1)· 601= 60.

[11] Долгосрочное равновесие можно определить, вычислив значение M*, при котором 0,2· 100√M*= 0,1M*. Это происходит при M*= 40000.

[12] Вполной модели Солоу вместо функций квадратного корня используется параметр a(как вмодели Кобба-Дугласа), атакже учитывается рынок труда.

[13] Для того чтобы вычислить равновесие, будем исходить изтого, что инвестиции равны амортизации: s· A√L· √K*= d· K*. Следовательно, равновесное количество машин K* удовлетворяет уравнению . Подстановка этого выражения вформулу функции объема производства дает такой объем производства .

[14] Роберт Гордон (Gordon, 2016) придерживается пессимистического взгляда нато, что новые технологии, которые появятся в ближайшем будущем, обусловят существенное повышение показателя A. Модель Пола Ромера (Romer, 1986) исходит изтого, что рост связан с увеличением разнообразия товаров: помере роста экономики увеличивается и их ассортимент. Мартин Вейцман (Weitzman, 1998) вявном виде моделирует процесс генерирования и рекомбинации идей.

[15] Информацию оразрыве между появлением новой технологии и ее внедрением можно найти здесь: Arthur, 2011.

[16] Например, страны, вкоторых деревни так и небыли подключены к телефонным линиям, смогли построить радиовышки и обеспечить услуги мобильной связи. Александр Гершенкрон (Gerschenkron, 1952) называет это преимуществом отсталости.

[17] Easterly and Fischer, 1995.

[18] Всвоей книге «Капитал вXXIвеке» Тома Пикетти (Piketty 2014) показывает, что средний рост мирового ВВП запериод с1700 по2012год составил всего 1,6процента, атакже что половина этого роста обусловлена увеличением численности населения. Применив правило 72 ктемпу роста 0,8процента, мы обнаружим, что заболее чем 300-летний период средний уровень жизни вырос примерно в10 раз.

ГЛАВА 9

[1] Это значение найдено путем умножения вероятности того, что гребец увеличит ценность, наего ожидаемую дополнительную ценность, которая равна плюс . Обратите внимание, что значения вектора Шепли дают всумме 10, общую ценность игры.

[2] Формальные расчеты таковы: две изшести идей Аруна уникальны, одна также предложена Бетти итри— всеми игроками. Если Арун входит всостав группы первым, что происходит с вероятностью , онсоздает ценность 6. Если онвходит вгруппу вторым и предлагает две уникальные идеи, ниодна изэтих идей не принадлежит всем троим игрокам, поэтому унего есть один шанс издвух войти всостав группы доБетти и предложить еще одну идею. Таким образом, Арун прибавляет 2,5 идеи. Вслучае присоединения кгруппе третьим он добавляет обе уникальные идеи. Следовательно, значение ценности Аруна поШепли составляет 3,5. Бетти предлагает четыре идеи, которыми поделился еще один человек, итри идеи, предложенные всеми игроками. Следовательно, еезначение ценности поШепли равно 3. Инаконец, Карлос предлагает три идеи, выдвинутые еще одним человеком, итри идеи, предложенные всеми игроками. Ценность Карлоса поШепли составляет 2,5. Обратите внимание, что значения вектора Шепли дают всумме 9, общее количество идей.

[3] Альтернативный индекс влияния участников голосования, индекс Банцафа-Пенроуза, определяет общее количество партий, которые могут стать ключевыми при наличии всех возможных побеждающих коалиций, и присваивает каждой партии значение ценности, равное числу случаев, когда партия становилась ключевой, деленному на количество партий. См. Banzhaf, 1965.

[4] Формальный анализ можно найти здесь: Groseclose and Snyder, 1996.

ГЛАВА 10

[1] Вкниге Марка Ньюмана (Newman, 2010) представлено всестороннее исследование сетей. Информацию осетевых эффектах в социологии ищите здесь: Jackson 2008 иTassier, 2013.

[2] Вслучае любого узла его минимальные пути имеют длину 1 к4 узлам, длину 2 к4 узлам идлину 3 к4 узлам, что дает вобщей сложности 12 узлов на минимальных путях откаждого узла. Всреднем минимальные пути оттого или иного узла ведут кеще одному узлу. Следовательно, среднее значение промежуточности каждого узла составляет . Всилу симметрии все узлы должны иметь одинаковую промежуточность.

[3] Обзор алгоритмов обнаружения сообществ можно найти здесь: Newman, 2010. Способы разделения, созданные этими алгоритмами, скорее всего, отличаются попричине множества возможностей. Сеть из100 узлов может быть разделена на составные части 190миллионами способов. Учитывая случайный характер последовательности удаления звеньев, один итотже алгоритм часто дает разные способы разделения. Использование множества алгоритмов и неоднократное применение одного алгоритма повышают надежность сделанных выводов.

[4] Из центральной предельной теоремы нам известно, что значения степени будут распределены по нормальному закону, асреднее значение составит , поскольку каждое звено связывает два узла.

[5] Watts and Strogatz, 1998.

[6] Формальный анализ моделей формирования сетей представлен здесь: Newman, 2010.

[7] Ugander etal., 2011.

[8] Пусть всети изNчеловек di равно количеству соседей узла i, тоесть степени этого узла. Среднюю степень можно описать так:

Средняя степень равна ожидаемому количеству соседей узла. При подсчете среднего числа соседей соседей узел состепенью di будет подсчитан di раз, поодному разу для каждого соседа. Следовательно, общее количество соседей N2 узла может быть выражено так:

Для того чтобы получить среднюю степень соседей узла, необходимо разделить полученное значение наобщее количество соседей, которое равно . Таким образом, достаточно показать:

Это выражение можно записать как:

Член влевой части равен дисперсии распределения значений степени. Если улюбых двух узлов разная степень, распределение значений степени имеет положительную дисперсию; следовательно, средняя степень соседей узла превышает среднюю степень самого узла.

[9] Формальная модель представлена здесь: Eom and Jo,2014.

[10] Dodds, Muhamad, and Watts, 2003.

[11] Newman 2010, Jackson 2008.

[12] См. Granovetter, 1973.

[13] Количество друзей четвертой степени рассчитывается посредством сложения следующих восьми наборов узлов: C· R· C· R= 4000 000, C· R· R· C= 4000 000, R· C· R· C= 4000 000, C· R· R· R= 800000, R· C· R· R= 800000, R· R· C· R= 800000, R· R· R· C= 800000 иR· R· R· R= 160000.

[14] Albert, Albert, and Nakarado, 2004.

[15] См. Groysberg, 2012. Модель полос удачи инеудачи объясняет отсутствие успеха как регрессию ксреднему значению.

[16] Вкниге Рональда Берта (Burt, 1995) идет речь оважности заполнения структурных пустот.

[17] Анализ последствий формирования сетей преподавателей можно найти здесь: Frank etal., 2018.

[18] Коалиции с ненулевым значением ценности— {A, B}, {B, C} и{A, B, C}. Ценность каждой изпервых двух коалиций равна десяти. Дополнительная ценность третьей коалиции равна минус шести. Обособленная ценность этой коалиции равна четырнадцати, ноона включает всебя две другие коалиции, ценность каждой изкоторых составляет десять. Следовательно, ценность коалиции равна четырнадцати минус двадцать:−6= (14− 10− 10). Далее мыможем присвоить следующие значения вектора Шепли каждому игроку вкаждой коалиции: коалиция {1, 2}: игрок1— 5, игрок 2— 5; коалиция {2, 3}: игрок 2— 5, игрок 3— 5; коалиция {1, 2, 3}— игрок 1— −2, игрок 2— −2, игрок 3— −2. Сумма этих значений дает вектор Майерсона.

ГЛАВА 11

[1] Вэтих моделях используются дискретные временные интервалы, такие как дни или недели, атакже разностные уравнения, описывающие количество инфицированных (или информированных) людей вбудущем как функцию количества инфицированных (или информированных) людей в настоящий момент. Модели с непрерывным временем требуют дифференциальных уравнений и исчисления. Тем неменее вслучае перехода на непрерывное время результаты наших моделей качественно не изменятся.

[2] Подстановка первого уравнения вовторое дает следующее выражение: 36000= 20000+ 20000– Pтрансл· 20000, что сокращает выражение до4000= Pтрансл· 20000, азначит Pтрансл= 0,2 иNPOP= 100000.

[3] См. Griliches, 1988.

[4] Первоначальный объем продаж, I, равен 100 покаждому приложению. Сначала установим Pдиффуз= 0,4, аPOP= 1000. Новый объем продаж запериод 3 составит . Аналогичные расчеты дают объем продаж вбудущих периодах. Вслучае второго набора данных пусть Pдиффуз= 0,3, аPOP= 1000000. Новый объем продаж завторой период равен . Значения объема продаж за следующие периоды рассчитываются аналогичным способом.

[5] Фрэнк Басс (Bass, 1969) называет людей, принимающих технологию или покупающих продукт, новаторами, алюдей, которые ихкопируют,— имитаторами (последователи).

[6] Формальный вывод R0 начинается с наблюдения, что при малом количестве инфицированных людей число восприимчивых людей примерно равно размеру релевантной совокупности. Чтобы сократить число переменных, мыможем подставить размер релевантной совокупности вместо количества восприимчивых людей, азатем записать изменение количества инфицированных людей как линейную функцию от количества первоначально инфицированных (см. врезку). Значение R0 можно формально вывести следующим образом. Вмомент появления нового заболевания им заражается небольшое количество людей. Обозначим ихкак I0. Если подставить это значение вSIR-модель, количество инфицированных запериод 1 составит:

Если S0 приблизительно равно NPOP, будет получено такое выражение:

I1= I0+ Pконт· Pпер· I0− PизлечI0.

Следовательно, количество инфицированных увеличивается тогда итолько тогда, когда Pконт· Pпер > Pизлеч, что эквивалентно выражению:

[7] Карантин сокращает вероятность контактов почти донуля, снижая базовое репродуктивное число, ноэто обходится дорого. Вначале ХХстолетия вСША туберкулез (R0≈ 3) ежегодно уносил более сотни тысяч жизней. Штаты повысили налог на собственность, чтобы построить лечебницы для больных туберкулезом, поскольку хирургические методы (такие как удаление легкого, коллапс легких и их последующее наполнение спомощью шариков для пинг-понга) оказались неэффективными. См. Dubos, 1987.

[8] Для того чтобы вычислить порог вакцинации, необходимо учесть количество вакцинированных. Болезнь распространяется вслучае контакта (вероятность Pконт) с невакцинированным человеком (вероятность (1− V)) с вероятностью передачи Pпер, что дает следующее разностное уравнение запериод 1:

Спомощью аппроксимации S0= NPOP (как вслучае вывода значения R0) это уравнение можно привести ктакому виду:

I1= I0+ Pконт· Pпер· I0· (1− V)· S0− PизлечI0.

Количество инфицированных увеличивается тогда итолько тогда, когда Pконт· Pпер· I0· (1− V) > Pизлеч. Это выражение можно записать так: R0(1− V)≤ 1. Разложение и перестановка членов дают следующее выражение: R0− 1 < V· R0. Разделение обеих частей наR0 дает требуемый результат.

[9] Анализ SIR-модели и популяционного иммунитета представлен вкниге: Tassier, 2013.

[10] Stein, 2011.

[11] Updike, 1960.

[12] Tweedle and Smith, 2012.

[13] См. Lamberson and Page, 2012b.

[14] Источник: wikinoticia.com.

[15] См. Christakis and Fowler, 2009.

[16] Сентола иМейси (Centola and Macy, 2007) обозначают диффузию, требующую многократного воздействия, термином комплексное заражение.

ГЛАВА 12

[1] Более подробную информацию можно найти здесь: Smaldino, 2013.

[2] Логарифм числа xпо основанию 2 равен степени, вкоторую необходимо возвести 2, чтобы получить x: log2 (4)= 2, log2 (2^N)= N. Вобщем случае loga (x) равен степени, вкоторую необходимо возвести a, для того чтобы получить x. Таким образом, loga (a^y)= y.

[3] Мыможем описать информационную энтропию вполном виде следующим образом:

Это выражение упрощается до:

[4] Индекс разнообразия (величина, обратная сумме квадратов вероятностей) удовлетворяет первым двум аксиомам, атакже аксиоме умножения. Следовательно, индекс разнообразия известного результата равен 1, ане0 (см. Page, 2007, 2010a).

[5] Более подробное описание можно найти здесь: Wolfram 2001 или Page 2010a.

[6] Александер перечисляет пятнадцать таких свойств. Его идеи вместе с превосходными фотографиями представлены вчетырех опубликованных имкнигах: The Nature ofOrder, Book 1: The Phenomenon ofLife, 2002 («Природа порядка», том 1: «Феномен жизни»); The Nature ofOrder, Book 2: The Process ofCreating Life, 2002 («Природа порядка», том 2: «Процесс создания жизни»); The Nature ofOrder, Book 3: AVision ofaLiving World, 2005 («Природа порядка, том 3: «Видение живого мира»); The Nature ofOrder, Book 4: The Luminous Ground, 2004 («Природа порядка», том 4: «Основа, излучающая свет»). Вторая книга имеет наибольшее отношение к обсуждаемой теме.

ГЛАВА 13

[1] Увлекательное путешествие по случайным блужданиям можно найти вкниге: Mlodinow, 2009.

[2] См. Taleb, 2001.

[3] См. Turchin, 1998 иSuki and Frey, 2017.

[4] Закон больших чисел гласит, что среднее значение доли шаров сходится, тогда как центральная предельная теорема говорит отом, что распределение доли белых шаров подчиняется нормальному закону.

[5] Игрок, который делает 46процентов результативных трехочковых бросков, сделает девять таких бросков подряд с вероятностью (0,46⁹). Если игрок продолжает делать трехочковые броски, задесять лет карьеры вNBA (около 800матчей) вероятность того, что оннесделает девять таких бросков подряд минимум один раз (0,999⁸⁰⁰) составляет 47процентов.

Более трех десятилетий статистики искали ответ навопрос, существуетли у баскетболистов идругих профессиональных спортсменов феномен «счастливой руки», тоесть действительноли вероятность сделать результативный бросок вкорзину или штрафной бросок неявляется независимой отуспеха предыдущей попытки. Например, встатье Дональда Чанса (Chance, 2009) анализируется серия результативных ударов Джо ДиМаджо в56 играх подряд. Рассматривая доказательствасуществования феномена «счастливой руки», следует принять вовнимание поведение. Если игрок верит вто, что унего «счастливая рука», онможет пытаться делать более сложные броски. Кроме того, если защитники считают, что уигрока «счастливая рука», они могут усилить защиту. Такую поведенческую реакцию можно учесть, присвоив броскам уровень сложности. Гилович, Тверски иВаллон (Gilovich, Tversky, and Vallone, 1985) ненашли никаких доказательств существования феномена «счастливой руки». Миллер иСанхурхо (Miller and Sanjurjo, 2015) обнаружили ошибку логического вывода в предыдущих вычислениях условных вероятностей, продемонстрировав, что результаты предыдущих исследований, указывавшие на отсутствие феномена «счастливой руки», насамом деле подтверждают эту гипотезу. Ошибка предыдущего анализа была обусловлена методикой формирования выборки. Входе анализа были собраны последовательности попаданий ипромахов множества игроков. Затем исследователи вычислили вероятность того, что за произвольно выбранной серией попаданий вкорзину последует очередное попадание. Эта процедура формирования выборки содержит неочевидное статистическое смещение, которое можно обнаружить посредством анализа ситуации, когда большое количество игроков делают почетыре броска, ивсе броски имеют равную вероятность попадания или промаха. Существует шестнадцать возможных последовательностей попаданий ипромахов. Пусть символ B(basket) обозначает попадание, аM(missed shot)— промах. Шесть из шестнадцати последовательностей содержат два попадания подряд, после которых следует еще один бросок: BBBB, BBBM, MBBB, BBMB, BBMM иMBBM. Они образуют выборку случаев, когда задвумя попаданиями подряд следует третий бросок. В последовательности BBBB, независимо от выбранной комбинации двух Bподряд, вероятность попадания равна 100процентам. В последовательности MBBB вероятность того, что Bпоследует заBB, также равна 100процентам. В последовательности BBBM вероятность промаха Mпосле двух попаданий BBравна 50процентам. Инаконец, в последовательностях BBMB, BBMM иMBBM промах Mвсегда следует за попаданием B. Определение среднего повсем шести последовательностям попаданий ипромахов дает условную вероятность того, что промах Mпоследует за попаданием B:

Смещение возникает из-за наличия двух комбинаций BB, которые можно выбрать в последовательности BBBB, нотолько одну вдругих последовательностях, таких как BBMB. Процедура формирования выборки делает выбор каждой издвух комбинаций в последовательности BBBB вдвое менее вероятным по сравнению содной комбинацией в последовательности BBMB. Изэтого смещения следует, что, еслибы феномена «счастливой руки» не существовало, процедура формирования выборки показала бы, что за попаданиями чаще следуют промахи. Тот факт, что этого не произошло, означает, что в действительности после попаданий сбольшей вероятностью следуют очередные попадания.

[6] Мэдофф на протяжении десятилетий объявлял о ежемесячной положительной доходности вразмере 1,5процента. Он утверждал, что доходность его инвестиций растет каждый месяц, независимо от изменений наболее широком рынке. Обеспечивать положительные показатели доходности вовремя экономического спада труднее, чем превзойти рынок. Когда рынок падает, опережать его можно, нопри этом демонстрируя отрицательную доходность. Мэдофф объявлял о положительной доходности впериод падения рынка на протяжении более восьмидесяти месяцев. Если сделать очень смелое предположение отом, что Мэдофф каким-то образом смог обеспечивать положительную доходность даже тогда, когда более широкий рынок переживал падение втечение трех четвертей этого периода, его шансы науспех на протяжении восьмидесяти месяцев подряд (0,75⁸⁰) составляют 1 на10миллиардов.

[7] Стандартное отклонение можно вычислить сучетом того факта, что случайное блуждание представляет собой сумму идентичных, независимых случайных величин. Каждая изних имеет нулевое среднее значение и принимает значение либо+1, либо−1. Установив σ= 1 иприменив формулу квадратного корня из дисперсии ксумме, можно получить требуемый результат.

[8] Формальное доказательство можно найти здесь: Newman, 2005.

[9] См. Levinthal, 1991 иAxtell, 2001.

[10] См. Newman, 2005 иSneppen etal., 1995.

[11] Размер озера измеряется поплощади его поверхности. Наша модель позволяет получить диаметр, подчиняющийся степенному закону. Площадь поверхности озера равна постоянной, умноженной наквадрат диаметра, азначит, площадь поверхности также распределена по степенному закону. См. Downing etal., 2006.

[12] На сбалансированном колесе рулетки все карманы имеют равную вероятность. Если устола есть хотябы небольшой наклон, тошарик, скорее всего, вылетит завнешний край, когда направится вверх. Отом, как Дойн Фармер, Норман Паккард и ихдрузья сконструировали миниатюрный компьютер, чтобы воспользоваться этим явлением ипобедить рулетку, читайте здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Eudaemons.

[13] После Nставок ожидаемое значение этого случайного блуждания равно Учитывая, что вероятность выигрыша примерно равна , можно записать стандартное отклонение этого значения как √N. Точное значение равно

[14] Пил иКлаусет (Peel and Clauset, 2015) смоделировали каждую игру как одну последовательность и обнаружили, что последовательности набранных очков указывают наналичие антиперсистентности: команда, заработавшая очки последней, сменьшей вероятностью зарабатывает их в следующий раз. Учитывая, что команды поочередно овладевают мячом, так идолжно быть.

[15] Baxter, 2009.

[16] Доказательство этого результата основано на вычислении вероятности возврата висходную точку заNшагов и суммировании вероятностей повсем возможным значениям N. Сполным доказательством можно ознакомиться здесь: http://www.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/Thompson/randomwalks.html.

[17] См. Samuelson, 1964.

[18] См. Grossman and Stiglitz, 1980.

[19] См. Loand MacKinlay, 2007. Вкниге Роберта Шиллера (Shiller, 2005) показано, что акции с относительно низким отношением рыночной цены кчистой прибыли врасчете наодну акцию обеспечивают доход, превышающий рыночные показатели.

[20] См. Mauboussin, 2012.

[21] Этот период с1967 по2017год начался с максимума индекса S&P 500. На протяжении большинства таких периодов цены наакции растут быстрее, чем экономика.

ГЛАВА 14

[1] Hathaway, 2001.

[2] Pierson, 2004.

[3] Bednar and Page, 2018.

[4] См. Page, 2006.

[5] Вот краткое описание, взятое изстатьи Скотта Пейджа (Page, 2006). Достаточно доказать, что вероятность извлечения Kбелых шаров запервые Nпериодов равна . Существует (N+ 1) возможностей, поскольку Kможет принимать значение отнуля доN. Вероятность заданной последовательности изKбелых шаров заNпериодов можно записать как произведение Nдробей. Знаменатели этих дробей— числа от2 доN+ 1, а числители— числа от1 доK(белых шаров) иот1 до (N+ K) (серых шаров). Произведение числителей равно K!, умноженному на(N− K)!, а произведение знаменателей— (N+ K)!. Эти вычисления дают вероятность определенной последовательности изKбелых шаров. Количество возможных способов для упорядочения Kбелых шаров поNпериодам равно . Следовательно, общая вероятность получения ровно Kбелых шаров составляет:

[6] Здесь используется доказательство от противного. Предположим, что вывод неверен и в долгосрочном периоде 60процентов результатов белые. Отсюда следует, что вурне 60процентов серых шаров. Однако это будет означать, что 60процентов результатов серые, что является противоречием.

[7] См. Lamberson and Page, 2012b, где представлена более сложная модель, вкоторой используется энтропия как мера неопределенности.

[8] См. Lamberson and Page, 2012a.

[9] См. Page, 1997, где речь идет отом, как принимать решения по социально значимым проектам с положительным внешним эффектом.

[10] Значение VaR также можно вычислить как вероятность потери более чем 10000долларов влюбой момент на протяжении года.

[11] Эти вычисления проистекают изтого факта, что стандартное отклонение значений случайного блуждания длиной Nравно √N; 2,5процента соответствуют двум стандартным отклонениям.

ГЛАВА 15

[1] Вфизике модель локального большинства известна как модель Изинга. Модель локального большинства— это один из вариантов модели избирателя, которая подразумевает наличие выбранных в случайном порядке соседей разных размеров. См. Castellano, Fortunato, and Loreto, 2009.

[2] Для клеток, расположенных вдоль четырех граней, соединяем верхнюю грань снижней, в результате чего образуется цилиндр, азатем соединяем левую грань справой, чтобы получить тор (бублик).

[3] В альтернативных версиях модели локального большинства клетки могут активироваться одновременно или под воздействием стимула к обновлению, когда первыми совершают переход клетки, укоторых подавляющее большинство соседей находятся в противоположном состоянии. Если клетки обновляют состояние одновременно, томодель локального большинства может порождать циклы.

[4] Омодели аплодисментов стоя рассказывается встатье: Miller and Page, 2004.

[5] См. Bednar etal., 2010, где описана модель культуры, предусматривающая непротиворечивость действий вразных областях.

[6] Здесь тоже нужно соединить верхнюю инижнюю грань, чтобы получить цилиндр, азатем соединить концы, чтобы получить тонкий бублик.

[7] Класс моделей под названием модели диффузионной реакции также порождает полосы наузких фигурах ипятна наболее широких фигурах. С ихпомощью ученые могут прогнозировать, какие животные станут полосатыми, какие пятнистыми и укаких будет однородный окрас. Ответ зависит отразмера эмбриона млекопитающего настадии развития (когда формируются эти структуры), ане вовзрослом возрасте животного— иначе слоны былибы пятнистыми. См. Murray, 1988.

[8] Я благодарен Бернардо Хуберману заэтот образ.

[9] Для того чтобы это доказать, необходимо написать компьютерную программу, генерирующую случайную последовательность чисел или случайную структуру, ипоказать, что игра «Жизнь» имитирует компьютерную программу. Для формального доказательства требуется продемонстрировать, что игра «Жизнь»— это универсальный клеточный автомат. См.Berlekamp, Conway, and Guy, 1982.

[10] См. Dennett 1991 иHawking and Mlodinow, 2011.

ГЛАВА 16

[1] Информацию о первоначальных экспериментах можно найти здесь: Nagel, 1995.

[2] Я признателен Дженне Беднар запример гонки по нисходящей врамках федеральных систем, атакже заряд других примеров, которые приводятся вкниге.

[3] Формальное доказательство ищите вPage, 2001.

[4] Наличие внешних эффектов (даже отрицательных) недолжно исключать построение функции Ляпунова. Как модель локального большинства, так имодель выбора маршрута содержат отрицательные экстерналии. Когда вмодели локального большинства клетка меняет свое состояние, это создает отрицательный внешний эффект для еесоседей, находящихся в противоположном состоянии. Нопри этом создается иболее сильный положительный эффект в отношении соседей, состояние которых теперь совпадает с состоянием клетки.

[5] Guy, 1983. Если хватит смелости, начните счисла 27.

ГЛАВА 17

[1] Внаучной публикации использованы статистические методы для более точной оценки вероятностей перехода и вычисления диапазона погрешности. Кроме того, была выполнена проверка, позволяющая определить, будетли скорость перехода оставаться неизменной на протяжении соответствующего периода. Скорость перехода небудет неизменной, если вероятность перехода зависит отдохода надушу населения. См. Przeworski etal., 2000.

[2] Flores and Nooruddin, 2016.

[3] См. Tilly, 1998.

[4] Равновесная доля людей, использующих керамическую плитку вкачестве напольного покрытия, равна вероятности перехода от линолеума кплитке, деленной насумму вероятностей перехода от линолеума кплитке и отплитки к линолеуму:

Общую модель можно записать следующим образом. Пусть D— это процент людей, которым принадлежит дорогостоящий долговечный товар, аC— процент людей, владеющих более дешевым товаром. Пусть обозначает вероятность того, что кто-то купит более дешевый товар, аREPLACE(C) иREPLACE(D) обозначают вероятность замены товаров этих двух типов. Если выполняется неравенство

REPLACE(C)· (1− BUY(C)) > REPLACE(D)· BUY(C),

тобольше людей покупают более дешевые товары, нобольше людей владеют долговечными товарами. Первая часть этого утверждения выполняется по предположению. Для того чтобы доказать вторую часть, необходимо вычислить вероятности перехода. Вероятность того, что кто-то перейдет отD кC, равна P(D, C)= REPLACE(D)· BUY(C). Вероятность того, что кто-то перейдет отC кD, равна P(C, D)= REPLACE(C)· (1− BUY(C)). Вслучае равновесия D− D· P(D, C)+ CP(C, D)= D. Установив C= (1− D), получим , что больше 0,5, если P(C, D > P(D, C). Это неравенство эквивалентно REPLACE(C)· (1− BUY(C)) > REPLACE(D)· BUY(C).

[5] См. McPhee, 1963 иEhrenberg, 1969, где представлены эмпирические данные одвойном риске. Чтобы доказать этот результат, нужно просто продемонстрировать, что при переходе кдругому бренду потребители покупают любой из продуктов сравной вероятностью.

[6] Краткий обзор можно найти здесь: Briggs and Sculpher, 1998.

[7] См. Schrodt, 1998.

[8] Khmelev and Tweedie, 2001.

[9] Khmelev and Tweedie, 2001.

[10] Reynolds and Saxonhouse, 1995.

[11] См. http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank.

[12] Грамотное построение таких моделей подразумевает определение полезных состояний и присвоение точных значений вероятности. См. Langville and Meyer, 2012.

[13] Впищевой сети вид связан стеми видами, которыми онпитается. См. Allesina and Pascual, 2009.

[14] См. Russakoff, 2015.

ГЛАВА 18

[1] См. Sterman, 2000, где представлено общее введение.

[2] Анализ количественных моделей системной динамики можно найти здесь: Wellman, 1990.

[3] Данная модель предполагает, что зайцы умирают, будучи съеденными лисицами. Включение переменных, описывающих смерть зайцев, усложнилобы модель, неизменив результатов, поскольку это просто снизилобы темпы роста численности зайцев. Выражение H обозначает скорость изменений вHзаединицу времени, или . Равновесие имеет место вслучае, когда скорость изменения количества зайцев илисиц равна нулю: H= F= 0. Для того чтобы вычислить равновесие, необходимо взять уравнение gH− aFH= 0 и разделить его наH, что дает g− aF= 0. Искомый результат при решении этого уравнения относительно F. Затем необходимо взять уравнение bFH− dF= 0 и разделить его наF, что дает bH– d= 0; искомый результат получается при решении этого уравнения относительно H.

[4] Я благодарен Майклу Райаллу из Университета Торонто заэтот пример.

[5] Выводы, сделанные наоснове этой модели, обобщены вкниге: Meadows etal., 1972.

[6] Эту группу моделей часто называют моделями Римского клуба, поскольку Римский клуб, основанный Дэвидом Рокфеллером в1968году, финансировал подготовку докладов одействии этих моделей и отстаивал выводы, сделанные на ихоснове.

[7] Посредством изменения значений большего количества переменных вузком диапазоне Миллер может увеличить численность населения почти до30миллиардов человек. См. Miller, 1998.

[8] Информацию опервом вопросе ищите здесь: Hecht, 2008. Второй вопрос рассматривается здесь: MacKenzie, 2012.

[9] См. Sterman, 2006.

[10] Glantz, 2008.

ГЛАВА 19

[1] См. Granovetter, 1978.

[2] Основатели Airbnb оплатили расходы наобход домов, продавая коробки овсяных хлопьев Obama O’s иCap’n McCain’s вовремя президентских выборов 2008года.

[3] Омодели вращающейся двери речь идет здесь: Jacobs, 1989. Результаты эмпирических исследований показывают, что всферах занятости, не требующих высокого уровня формального образования (например, работа бармена и садовника), мужчины уходят или вообще предпочитают невыбирать профессии, вкоторых доля женщин составляет всего 15процентов (Pan, 2015).

[4] См. Syverson, 2007.

[5] Более подробную информацию можно найти здесь: Gammill and Marsh, 1988.

[6] См. Easley etal., 2012.

ГЛАВА 20

[1] См. Clark, Golder, and Golder, 2008.

[2] Анализ позиций судей представлен здесь: Martin and Quinn, 2002.

[3] Хотеллинг (Hotelling, 1929) анализировал географическое местоположение, Ланкастер расширил модель Хотеллинга и использовал еедля анализа гедонической конкуренции, аДаунс применил эту модель вобласти политики.

[4] Модель поименного голосования предлагает более продуманный подход к определению идеологических позиций наоснове этойже идеи (см. Poole and Rosenthal, 1985).

[5] Константа (вданном выражении обозначенная как C) выбирается так, чтобы сделать все выигрыши положительными. Для этого можно установить еезначение равным максимальному расстоянию между идеальной точкой и альтернативой.

[6] При таком способе построения линии раздела мыисходим изтого, что потребители придают одинаковую значимость двум атрибутам. Мымоглибы учитывать различия в значимости. Если сладкий вкус для людей более ценен, чем содержание какао, необходимо развернуть линию раздела против часовой стрелки. Ноесли люди ценят только сладкий вкус, линия раздела проходит горизонтально иделит пространство любителей продуктов A иB наравные части по вертикальной оси. Данная пространственная модель— наглядный пример того, как можно преобразовать интуитивные представления (мы предпочитаем то, что находится ближе кнашему идеалу) в формальную модель. Отобразив награфике альтернативы (шоколадные батончики) и идеальные точки потребителя, атакже определив порядок предпочтений в отношении альтернатив (рейтинг альтернатив отлучшей дохудшей) наоснове их расстояния от идеальной точки, посути, мыопишем функцию полезности сучетом альтернативы. Полезность продукта равна величине, обратной расстоянию от идеальной точки.

[7] Havel, 1978.

[8] См. Martin and Quinn, 2002.

[9] См. McCarty 2011. Эти проценты могут быть другими вслучае изменения степени преданности партии или типов законопроектов, поставленных на голосование.

[10] Строго говоря, при наличии нечетного количества избирателей и идеальной точки отдельного избирателя вточке двумерной медианы данное условие требует, чтобы любая линия, проходящая через эту двумерную медиану, делила идеальные точки оставшихся избирателей надва равновеликих множества. См. Plott, 1967.

[11] Маккелви (McKelvey, 1979) продемонстрировал, что последовательность проведения выборов может привести клюбой политике вслучае двух иболее изменений— результат, который некоторые называют выводом охаосе. Особо Маккелви подчеркивал, что этот вывод непрогноз в отношении того, что произойдет вслучае серии выборов, а утверждение о последовательностях результатов, возможных при наличии предпочтений. См. Kollman, Miller, and Page, 1997, где представлен вычислительный вариант многомерной пространственной модели, вкоторой кандидаты смещаются кцентру при различных предположениях относительно поведения.

[12] Возможно, члену комитета понадобится предложить 41.

[13] Более глубокий анализ данной модели идругих моделей изтеории игр, применяемых вобласти политики, можно найти здесь: McCarty and Meirowitz, 2014.

[14] См. Tsebelis, 2002, где представлено более общее описание эффекта вето-игроков.

[15] Входе анализа цен домов вЛос-Анджелесе была рассчитана стоимость времени поездки из пригорода вцентр города иобратно— около 28долларов (см. Bajari and Kahn, 2008).

[16] Это значение вычисляется следующим образом. Первоначальный доход равен произведению цены и количества: p· q. Напервом рынке после снижения цены доход сокращается на10процентов, аобъем продаж увеличивается на8процентов, азначит, доход равен:

0,9p· 1,08q= 0,972p· q.

Навтором, более переполненном рынке количественный показатель увеличивается на33процента, поэтому общий доход равен:

0,9p· 1,33q= 1,197p· q.

ГЛАВА 21

[1] Формальную модель и доказательство можно описать следующим образом. Пусть Ei — это уровень усилий игрока i. Выигрыш игрока iравен M− Ei, если он выигрывает, и− Eiв противном случае. Предположим, вероятность того, что игрок iвыиграет, равна его доле отобщего уровня усилий:

Для того чтобы найти уникальное симметричное равновесие Нэша, рассмотрим уровень усилий игрока iпри условии, что все остальные игроки выберут один итотже уровень усилий E*. Выигрыш игрока iравен:

Первая производная этой функции выигрыша равна:

Для того чтобы найти максимум, приравняем первую производную кнулю, что дает . Вслучае симметричного равновесия Ei= E*. Подстановка позволяет получить требуемый результат. Чтобы доказать, что первая производная дает максимум, необходимо просто удостовериться, что вторая производная функции выигрыша имеет отрицательное значение.

[2] См. Shalizi and Thomas, 2011, где рассказывается отом, как выделить сетевые эффекты ипочему трудно делать какие-либо утверждения в отношении сетевых эффектов наоснове снимков данных. Вкниге Николаса Кристакиса иДжеймса Фаулера (Christakis and Fowler, 2009) приводится много примеров кластерного поведения иего характеристик.

ГЛАВА 22

[1] См. специальный выпуск журнала Science, посвященный его 125-летию, опубликованный в2005году.

[2] См. Martin etal., 2008 иBiernaskie, 2011.

[3] См. Zaretsky, 1998. Впримере сбанками банкоматы приводили кснижению прибыли, если банки получали значительный географический доход (тоесть дополнительную прибыль), поскольку уних была возможность воспользоваться затратами клиентов напоездки погороду, чтобы добраться добанка-конкурента. Я благодарен Саймону Уилки заэтот имногие другие примеры.

[4] Формально мы показываем, что триггер вечной кары— это равновесная стратегия в вероятностно повторяемой игре «Дилемма заключенного». Другие стратегии, такие как «око заоко», также могут быть равновесными в сочетании с триггером вечной кары.

[5] Игрок, который отказывается от сотрудничества, несмотря натриггер вечной кары, получает выигрыш Tзапервый период иможет получить небольше нулевого выигрыша вовсех последующих взаимодействиях. Если этот игрок использует триггер вечной кары против триггера вечной кары, онполучит выигрыш Rзакаждый период, вкотором проводится игра. Вероятность двух периодов проведения игры равна P, вероятность трех периодов— P², а вероятность Nпериодов— p^{N− 1}. Следовательно, ожидаемый выигрыш равен:

Вот набросок доказательство того, что , можно описать так. Предположим, этот результат верен, азатем умножим обе стороны выражения на(1− P). Правая сторона равна 1. Левая— (1+ P+ P²+ P³+ …)− (P+ P²+ P³+ …), что тоже равно 1.

[6] Необходимо просто еще раз выполнить вычисления для поддержания сотрудничества, снизив значение P до. Если не поддерживает кооперацию, то ее несмогут поддержать и несколько периодов с вероятностью продолжения P, закоторой следует вероятность продолжения .

[7] Новак иЗигмунд (Nowak and Sigmund, 1998) называют это оценкой образа. См. также Bshary and Grutter, 2006.

[8] Обе формы агрессивного поведения можно отнести к категории отказа от сотрудничества, если предположить, что они увеличивают размер территории древесницы. См. Godard, 1993.

[9] Четыре пары исходов заслуживают более тщательного рассмотрения. Когда стратегия TFT играет против GRIM, обе стратегии всегда сотрудничают икаждая получает средний выигрыш3. Когда стратегия TROLL играет против себя, обе стратегии отказываются от сотрудничества впервых двух периодах, азатем выбирают сотрудничество навсегда сосредним выигрышем немногим менее 2. Когда стратегия GRIM играет против стратегии TROLL, GRIM сотрудничает впервом раунде, аTROLL отказывается от сотрудничества; вовтором раунде обе стратегии отказываются сотрудничать; втретьем и четвертом раундах GRIM выбирает отказ от сотрудничества, аTROLL— сотрудничество; вовремя последующих периодов обе стратегии отказываются от сотрудничества. Последовательность выигрышей стратегии GRIM можно записать как 1, 2, 4, 4, после чего идет длинная цепочка выигрышей2, что дает всреднем 2⁺. Последовательность выигрышей стратегии TROLL можно записать как 4, 3, 1, 1, адалее следует длинная цепочка выигрышей 2, что дает вточности 2. Когда стратегия TFT играет против стратегии TROLL, TFT выбирает сотрудничество впервом раунде, тогда как TROLL отказывается от сотрудничества. Вовтором раунде обе стратегии отказываются от сотрудничества. Втретьем раунде стратегия TROLL сотрудничает, а стратегия TFT продолжает отказываться от сотрудничества. В четвертом раунде TROLL выбирает сотрудничество вовторой раз, а стратегия TFT возвращается к сотрудничеству. В последующих периодах обе стратегии сотрудничают всегда. Каждая стратегия получает один выигрыш 1, один выигрыш 4, один выигрыш 2 идлинную последовательность выигрышей 3, что обеспечивает средний выигрыш немногим менее 3.

[10] В действительности стратегии All C иGRIM являются доминируемыми по отношению к стратегии TFT. Вигре против любой стратегии TFT обеспечивает как минимум такиеже или более высокие результаты, чем All Cили GRIM. Стратегия TFT доминирует над AllC, поскольку стратегии All D иTROLL немогут извлечь выгоду из стратегии TFT. Стратегия TFT доминирует над стратегией GRIM, так как она может сотрудничать сTROLL исходя изтого, что стратегия TFT прощает стратегии TROLL отказы от сотрудничества, тогда как GRIM— нет. Входе знаменитого эксперимента Роберт Аксельрод предложил ученым разработать стратегии повторяющейся игры «Дилемма заключенного» с вероятностью продолжения. Из четырнадцати представленных стратегий TFT обеспечивала самый высокий результат. Затем Аксельрод предложил ученым прислать ему новые стратегии. Наэтот раз откликнулись шестьдесят два человека. И вэтот раз победила TFT. Аксельрод относит успех TFT насчет ряда свойств этой стратегии: она сотрудничает, наказывает ипрощает. Стратегия GRIM непрощает, поэтому неможет возобновить сотрудничество сTROLL. См. Axelrod, 1984. Втаблице неуказан средний выигрыш виграх против всех стратегий, поскольку это означало бы, что все стратегии вравной степени вероятны. Врамках одной совокупности большинство людей могут предпочесть стратегию TFT. Другая совокупность может включать большую долю людей, использующих TROLL. Втретьей совокупности может быть много тех, кто выберет стратегии All D иAll C.

[11] Предположим, что выигрыш от искушения вчетыре раза превышает выигрыш простака (T= 4S) ичто 5процентов членов совокупности готовы сотрудничать. Втаком случае значение Pдолжно превышать . Поддержка кооперации требует, чтобы значение Pпревышало . Вслучае, когда T= 4 иR= 3, развитие кооперации требует . Поддержка кооперации требует . Для общего доказательства предположим, что доля совокупности Θ использует стратегию TFT (или GRIM), адоля (1− Θ)— стратегию All D. Допустим также, что каждый человек играет против всей совокупности. Стратегия TFT (или GRIM), играющая против TFT, получает выигрыш Rна протяжении каждого периода, что дает ожидаемый выигрыш . Стратегия TFT, играющая против All D, получает выигрыш –S. Стратегия All D, играющая против AllD, получает нулевой выигрыш. А стратегия All D, играющая против TFT, получает выигрыш T. Следовательно, средний выигрыш TFT равен , аAll Dполучает средний выигрыш Θ· T. Стратегия TFT обеспечивает более высокий результат, чем All D, если итолько если . Таким образом, TFT получает более высокий выигрыш, тогда итолько тогда, когда выполняется следующее условие:

Если Θ имеет небольшое значение, тозначение будет большим, поэтому данное условие врядли будет выполнено. Анализ сложности развития кооперации по сравнению с ее поддержанием представлен здесь: Boyd, 2006.

[12] Эта модель позаимствована изстатьи Новака (Nowak, 2006), который показывает, что повторение, репутация и родственный отбор также могут поддерживать кооперацию.

[13] Открытый узел копирует действия самого результативного соседа. Согласно предположению, все соседи-отступники получают нулевой выигрыш. Сосед-кооператор получает выигрыш K· B− D· C. Этот выигрыш больше ноля, тогда итолько тогда, когда .

[14] Основные положения теории группового отбора представлены здесь: Wilson, 1975. Дэвид Слоун Уилсон написал ряд книг, вкоторых содержится более подобный анализ группового отбора.

[15] Модель Траулсена иНовака работает следующим образом. Необходимо разделить совокупность изNчеловек наMотдельных групп равного размера. Вкаждой группе следует применить модель совместных действий и определить результат каждого человека. Пусть вероятность выбора человека iравна результату i, деленному насумму результатов всех Nчеловек. Клон этого человека включается втуже группу. Если теперь размер группы превышает пороговое значение , то с вероятностью (1− q) удаляется случайно выбранный человек изэтойже группы и с вероятностью qгруппа делится надве группы, акаждый член в случайном порядке включается водну изэтих групп. Для того чтобы сохранять постоянное количество групп, необходимо в случайном порядке выбрать одну из существующих групп иудалить ее. При больших значениях M инечастом разделении групп (тоесть при малом значении q) количество кооператоров увеличивается, тогда итолько тогда, когда выполняется следующее условие: . См. Nowak, 2006.

[16] Когда сторонница Agile-менеджмента Мишель Пелузо стала директором по маркетингу вIBM, она сформировала конкурирующие команды, результаты работы которых видели другие команды, и вознаграждала лучшие команды (см. Dan, 2018). Такая практика Agile-менеджмента заимствует идеи изобласти Agile-программирования, где вместо стандартного каскадного метода последовательной разработки программного обеспечения используется метод одновременного написания программ, их тестирования и взаимодействия с пользователями.

[17] Еще одна стратегия, «Великодушное око заоко», подразумевает сотрудничество на начальном этапе и наказание отступников только в некоторых случаях. Входе одной серии экспериментов сналичием ошибок эта стратегия показала более высокие результаты, чем стратегии «Око заоко» и«Выигрываешь— остаешься, проигрываешь— переходишь». См. Rand etal., 2009 иWuand Axelrod, 1995.

[18] См. Axelrod, Axelrod, and Pienta, 2006.

ГЛАВА 23

[1] Описание трагедии общин представлено здесь: Hardin, 1968.

[2] См. Diamond, 2005.

[3] См. Ostrom, 2005 иOstrom, Janssen, and Anderies, 2007.

[4] Для того чтобы вычислить социальный оптимум, предположим, что каждый человек выделяет сумму Xна общественное благо. Общая полезность для всей совокупности равна:

Взяв производную поXи приравняв ее кнулю, получим следующее уравнение:

Решение этого уравнения дает:

X= N.

Для того чтобы найти симметричное равновесие Нэша, предположим, что каждый новый человек вносит в общественное благо одну итуже сумму; обозначим еекак A. Пусть Yобозначает сумму, которую вносит отдельный человек. Его полезность составляет:

Взяв производную поYи приравняв ее кнулю, получим следующее уравнение: . Перегруппировка его членов и возведение обеих его сторон вквадрат дает [Y+ (N− 1)A]= 1. Если имеет место симметричное равновесие, при котором все вносят одну итуже сумму (Y= A), то.

[5] Утилитаризм придает одинаковую значимость участию каждого человека. Ролз (Rawls, 1971) предложил альтернативу— принцип максимина, согласно которому идеальный социальный результат максимально увеличивает полезность для наименее обеспеченного человека. Ролз приводит доводы впользу оценки результатов под покровом неведения, чтобы было неизвестно, кто станет богатым, знаменитым и обладающим большими возможностями или окажется втрудном положении под влиянием обстоятельств.

[6] Полезность человека jможно записать так:

Для того чтобы найти симметричное равновесие Нэша, мыбудем исходить изтого, что каждый новый человек вносит в общественное благо сумму A. Пусть Yобозначает сумму, которую вносит человек j. Пусть I— это общий уровень доходов. Полезность человека jравна:

Взяв производную поYи приравняв ее кнулю, получим следующее уравнение:

Перегруппировка его членов дает: . Вслучае симметричного равновесия Y= A. Изэтого следует, что . Возведение обеих сторон уравнения вквадрат дает: [(1− α)+ αN]²= NY, азначит, .

[7] См. книгу Cornes and Sandler, 1996, где представлен детальный анализ.

[8] Более реалистичная модель исходилабы из нелинейных издержек всвязи с перегруженностью, которые можно представить S-образной кривой. Это предположение касалосьбы таких ресурсов, как дороги, где первых несколько новых пользователей невлияют навыгоду отдельного человека, но вкакой-то момент перегруженность данного ресурса возрастает дотакого уровня, что он становится бесполезным.

[9] Общая полезность, когда Mчеловек используют данный ресурс, составляет (B− Θ· M). Взяв производную поMи приравняв ее кнулю, получим (B− 2MΘ)= 0. Решение уравнения дает . Для того чтобы найти равновесие Нэша, установим стоимость отказа от использования ресурса равной нулю. Люди используют ресурс дотех пор, пока выгода отэтого эквивалентна сторонней альтернативе: .

[10] Обратите внимание: мы устанавливаем максимальную выгоду Bравной размеру совокупности Nсцелью сокращения количества переменных. Для того чтобы вычислить социально оптимальные исходы и равновесие Нэша, сначала отметим, что общая полезность равна (N− M)· M+ 3(N− (N− M))· (N− M). Это выражение можносократить до4(N− M)M. Взяв производную поM, получим 4N− 8M= 0. Решение уравнения дает . Общая полезность равна . Для того чтобы найти равновесие, мывычислим такое значение M, при котором оба парка имеют одинаковую предельную полезность. Это происходит, когда (N− M)= 3N− 3(N− M), что можно записать как N= 4M. Общая полезность вычисляется посредством подстановки значений M иN− M вфункциях полезности.

[11] Для того чтобы найти равновесный уровень использования ресурса, необходимо приравнять R*= (1− g)(R*− C*) ирешить уравнение относительно R*.

[12] См. Kurlansky, 1998.

[13] Для того чтобы понять, почему вариация несходит нанет, рассмотрим модель, охватывающую два периода. Темп роста 20процентов запервый год дает всего 96 единиц ресурса (80· 1,2= 96). Темп роста завторой год вразмере 30процентов обеспечивает 98,8= (96− 20)· (1,3) единиц ресурса. Если поменять эти темпы роста местами, то кконцу первого года будет 104единицы ресурса, а по истечении второго года 100,8= (104− 20)· (1,2) единиц ресурса.

[14] Ostrom, Janssen, and Anderies, 2007.

[15] См. Craine and Dybzmski, 2013.

[16] Краткий обзор представлен здесь: Ostrom, 2010; более полное описание можно найти здесь: Ostrom, 2004.

ГЛАВА 24

[1] См. Ledyard, Porter, and Rangel, 1997.

[2] Вкачестве примера Парето-эффективности рассмотрим следующие четыре профиля выигрышей трех человек: {(3, 3, 4), (9, 0, 0), (0, 8, 1), (2, 2, 3)}. Все профили, за исключением (2, 2, 3), эффективны поПарето. Распределение (2, 2, 3) является доминируемым по отношению к(3, 3, 4).

[3] См. Hurwicz and Schmeidler, 1978.

[4] Третий участник торгов могбы предложить цену немного выше 60долларов, нодля упрощения анализа мыисходим изтого, что он предлагает ровно 60долларов.

[5] Приведенное здесь доказательство основано на равномерном распределении оценок в диапазоне [0, 1], но результат сохраняет свою силу идля более крупного класса распределений. Предположим, остальные (N− 1) участников торгов предлагают цену, равную ихистинной оценочной стоимости, умноженную на. Предложение bбудет выше предложения другого участника торгов при условии, что произведение оценочной стоимости другого участника на меньшеb. Вероятность того, что это произойдет, равна . Таким образом, вероятность превысить остальные (N− 1) предложений равна этому значению, возведенному встепень (N− 1). Следовательно, если оценочная стоимость участника торгов равна V, ожидаемый выигрыш от предложения bравен разности между этой оценочной стоимостью и предложенной ценой (V− b), умноженной на вероятность того, что bокажется самым высоким предложением. Втаком случае ожидаемый выигрыш можно записать так: . Для того чтобы максимизировать это значение, возьмем производную поbи приравняем ее кнулю, что дает следующее условие:

Упрощение этого уравнения дает V(N− 1)− Nb= 0, что можно записать как . Чтобы продемонстрировать, что участник торгов, предложивший самую высокую цену, платит сумму, равную ожидаемой оценочной стоимости участника торгов, предложившего вторую повеличине цену, обратите внимание, что при наличии Nслучайных величин, взятых из равномерного распределения в интервале [0, 1], ожидаемая стоимость самого высокого предложения равна . Следовательно, ожидаемое предложение участника торгов, предложившего самую высокую цену, составляет , что равно ожидаемой стоимости участника торгов, предложившего вторую повеличине цену.

[6] Роджер Майерсон, который был моим научным руководителем, получил Нобелевскую премию втом числе и заэтот результат.

[7] Вслучае аукциона «платят все» оптимальную стратегию (когда оценки участников торгов находятся в интервале [0, 1]) можно записать так: участник торгов с оценочной стоимостью Vпредлагает цену . Следовательно, когда есть три участника торгов, участник с оценочной стоимостью должен предложить цену .

[8] Экспериментальные данные можно найти здесь: Lucking-Reiley, 1999. Данные, полученные входе экспериментов с аукционом eBay, ищите здесь: Morgan and Hossain, 2006. Ознакомиться санализом аукционов попродаже древесины можно здесь: Athey, Levin, and Seira, 2011.

[9] Ostrovsky, Edelman, and Schwarz, 2007.

[10] Краткий обзор можно найти здесь: Page, 2012.

ГЛАВА 25

[1] Вкниге Кевина Симлера иРобина Хансона (Simler and Hanson, 2018) приведено множество примеров того, как демонстрация статуса влияет на поведение ирешения людей.

[2] Затраты представителя слабого типа наподачу сигнала составляют MC. Выгода отпередачи сигнала равна сучетом предположения, что все Sпредставителей сильного типа подают сигнал. Следовательно, ниодин представитель слабого типа небудет подавать сигнал, если . Напротив, представители сильного типа предпочитают подавать сигнал, если ихвыгода от разделения превышает выгоду от отсутствия сигнала ивсе Nагентов делят между собой выгоду .

Согласно предыдущим расчетам, минимальный сигнал, который нестанет для представителя слабого типа поводом подать сигнал, равен . Изэтого следует, что если мыдопустим , то представители слабого типа небудут подавать сигнал. Для того чтобы представители сильного типа предпочли подать сигнал , должно выполняться неравенство . Мыможем разделить обе стороны наB иумножить наC, чтобы получить , что упростит выражение до(C− c)N≥ CS, аэто можно записать как C(N− S)≥ cN.

[3] Эту возможность обнаружил Майкл Спенс, который в2001году получил Нобелевскую премию по экономике за построение модели образовательного сигнализирования нарынке труда и заанализ рынков с ассиметричной информацией (Spence, 1973).

[4] Хвост с огромными перьями делает павлина менее сильным, чем еслибы онбыл сболее скромным оперением. См. Zahavi, 1975.

[5] См. Bird and Smith, 2004.

[6] См. Smith, Bird, and Bird, 2003.

ГЛАВА 26

[1] Исследование психологических аспектов обучения охватывает гораздо более широкое множество контекстов, чем мыздесь рассматриваем. Человек может узнать какой-то факт, например название столицы штата Арканзас, или получить неявные знания, скажем как испечь хлеб, отремонтировать двигатель или написать программу для компьютера. Кроме того, человек может освоить определенную область знаний, такую как органическая химия.

[2] См. Thorndike, 1911, 244.

[3] См. Rescorla and Wagner, 1972.

[4] Описанная здесь модель основана на оригинальной модели Рескорла— Вагнера (Rescorla and Wagner, 1972), атакже намоделях Геррнштейна (Herrnstein, 1970), Буша и Мостеллера (Bush and Mosteller, 1955), Сайерта иМарча (Cyert and March, 1963), Бендора, Дирмайера иТинга (Bendor, Diermeier, and Ting, 2003), атакже Эпштейна (Epstein, 2014).

[5] Параметр γнеобходимо выбрать так, чтобы вес альтернативы оставался положительным. Это возможно при условии, что γпревышает величину, обратную разности между максимально высоким уровнем стремления и минимальным вознаграждением отлюбой альтернативы.

[6] Представленное здесь описание основано настатье: Bendor and Swistak, 1997.

[7] Если мы сконструируем модель репликативной динамики наоснове конечной совокупности с произвольным выбором последующих совокупностей, то наилучшая альтернатива может небыть воспроизведена. Если это действительно так, то репликативная динамика не обнаружит наилучшей альтернативы, поскольку не существует способа вернуть альтернативы в совокупность.

[8] См. Fudenberg and Levine, 1998 иCamerer, 2003.

[9] Вигре также имеет место равновесие в смешанных стратегиях, при котором игроки вдвух третях случаев выбирают экономичный автомобиль и водной трети случаев автомобиль сбольшим расходом топлива. Нопри тех правилах обучения, которые мы используем, оно неустойчиво, поэтому мы небудем принимать его вовнимание.

[10] Формальное доказательство выглядит так: Р(эконом, 1)= 0,5, Р(пожиратель, 1)= 0,5, Выигрыш (эконом, 1)= 1,5, , Вероятность (пожиратель, 1)= 2, средний выигрыш= 1,75. Применение уравнения репликативной динамики дает и

[11] Более глубокий анализ таких ситуаций представлен здесь: Frank, 1985.

[12] См. Waltz, 1979. См. также Powell, 1991, где идет речь об абсолютных и относительных преимуществах в международных отношениях.

[13] См. Vriend, 2000, где анализируется аналогичная структура выигрышей, представленная главным образом ввиде конкуренции между компаниями, выпускающими идентичные продукты и одновременно выбирающими количество. Экономисты называют это модель олигополии Курно.

[14] Модель обучения по алгоритму Эрева— Рота корректирует вес W(k, t) альтернативы kзапериод tсогласно следующей формуле: W(k, t+ 1)= (1− r)· W(k, t)+ Δ(k, t, e). Параметр r— это показатель новизны, аΔ(k, t, e)= (1− e)· выигрыш(k, t), если действие kвыбрано, иΔ(k, t, e)= e· выигрыш(k, t), если действие kневыбрано. Параметр e(экспериментальный показатель) определяет вес невыбранных альтернатив.

[15] См. Camerer and Ho,1999.

[16] Этот анализ в значительной мере основан намоделях поведенческого перелива Дженны Беднар иСкотта Пейджа (Bednar and Page, 2007, 2018), атакже наидеях, представленных вкниге Авнера Грейфа (Greif, 2006). Беднар иПейдж подчеркивают влияние первоначальных действий на формирование равновесия, тогда как Грейф фокусируется нароли убеждений. Введение втеорию принятия решений наоснове прецедентов можно найти вкниге Ицхака Гильбоа иДэвида Шмейдлера: Gilboa and Schmeidler, 1995. См. также книгу Джорджа Акерлофа иРейчел Крэнтон (Akerlof and Kranton, 2010), где говорится ороли идентичности в экономическом выборе.

[17] Формальное доказательство можно записать следующим образом. Пусть B— это доля игроков, которые проявили заинтересованность и ссамого начала выбрали инновационное стратегическое действие. Несоставит труда вычислить следующие выигрыши покаждому типу действий:

Выигрыш вслучае выбора культурного действия: (1− B)· 200+ B· 220.

Выигрыш вслучае выбора инновационного стратегического действия: (1− B)· 180+ B· 300.

Для того чтобы доказать этот результат в контексте репликативной динамики, обратите внимание нато, что культурное действие обеспечивает более высокий выигрыш, тогда итолько тогда, когда выполняется следующее неравенство:

(1− B)· 200+ B· 220 > (1− B)· 180+ 300B.

Перестановка членов неравенства дает 20(1− B) > 80B. Таким образом, применение модели репликативной динамики указывает нато, что культурное действие возрастает, тогда итолько тогда, когда 0,2 > B.

ГЛАВА 27

[1] См. Bergemann and Valimaki, 2008, где объясняется, как это связано с экономическими явлениями.

[2] Краткий обзор можно найти здесь: Hills etal., 2015.

[3] Анализ задачи о многоруком бандите и различных эвристик представлен встатье: Scott, 2010.

[4] Гиттинс иДжонс (Gittins and Jones, 1972) впервые описали оптимальное правило. Индекс Гиттинса можно переформулировать ввиде уравнения Беллмана, применимого клюбой задаче, подразумевающей последовательность выборов, каждый изкоторых обеспечивает вознаграждение. Теорема Беллмана основана на построении функции ценности, равной сумме последовательности выигрышей, сучетом того, что будущие выигрыши дисконтируются по определенной ставке процента.

[5] Roberts, 2004.

[6] Анализ эксперимента с программой микрокредитов, который провело Управление обслуживания фермеров министерства сельского хозяйства США, представлен здесь: Bowers etal., 2017.

[7] Данные взяты из следующих источников: Washington Post, 2012 иDann, 2016.

[8] ЭлГор, Джордж Буш иХиллари Клинтон получилибы более высокую оценку заслуг в обеспечении экономического процветания, еслибы были действующими президентами. Встатье Маркуса (Markus, 1988) анализируется начальный этап этого периода; более свежие данные можно найти вкниге Рэя Фейра (Fair, 2012), аразмер эффекта вслучае отдельных кандидатов ипартий рассматривается встатье Кемпбелла, Деттри иИня (Campbell, Dettrey, and Yin, 2010).

ГЛАВА 28

[1] См. Page, 2007, где представлен более глубокий анализ ценности многообразия.

[2] Полное описание модели NKможно найти здесь: Kauffman, 1993.

[3] Мыможем вычислить ожидаемую ценность локальных и глобальных вершин при N= 20, K= 19. Значения вклада каждого атрибута равномерно распределены в интервале [0,1]. Это распределение имеет математическое ожидание и дисперсию . Ценность каждой альтернативы равна среднему значению вкладов двадцати альтернатив. Следовательно, согласно центральной предельной теореме, значения ценности имеют нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией , азначит, при N= 20 каждое стандартное отклонение составляет . Далее мыможем вычислить среднюю ценность локального пика: 0,609. Локальный пик можно рассматривать как лучшее из21 значения, случайно выбранное изэтого распределения. Следовательно, его ожидаемая ценность будет примерно равна такому значению, взятому из нормального распределения, что альтернатив имеют более низкую ценность. Это немногим меньше двух стандартных отклонений выше среднего. Спомощью вычислительной таблицы нормального распределения можно определить, что ожидаемая средняя ценность равна 0,609. Для того чтобы вычислить ожидаемую ценность глобального пика, равную 0,759, обратим внимание нато, что онимеет самую большую ценность из2²⁰ альтернатив. Каждую альтернативу можно рассматривать как значение ценности, случайным образом выбранное из распределения, азначит, ожидаемая ценность примерно равна такому значению ценности из нормального распределения, при котором альтернатив имеют более низкую ценность. Спомощью нормального распределения определяем, что ожидаемая средняя ценность равна 0,759. Глобальный пик имеет более высокую ценность, чем можно былобы ожидать вслучае миллиона испытаний.

[4] См. Wright, 2001, где идет речь отом, что такая рекомбинация с положительной суммой способствовала возникновению человека, общества, атакже нынешних научно-технических достижений.

[5] См. Kauffman, 1993 иMiller and Page, 2007.

[6] ВСША предоставляется семнадцать лет после даты выдачи патента, если процесс выдачи занимает более трех лет.

[7] Boldrin and Levine, 2010.

ГЛАВА 29

[1] Сучетом этих вероятностей точное статистическое равновесие выглядит так: 70,7процента людей находятся в состоянии отсутствия боли, 19,5процента принимают опиоиды и9,8процента попадают отних в зависимость. Впервом случае эти показатели составляют 76,3, 21,5 и2,2процента соответственно.

[2] См. Wakeland, Nielsen, and Geissert, 2015.

[3] Я благодарен Эбби Джейкобс за комментарии иидеи в отношении этого раздела книги.

[4] См. Wilkinson and Pickett, 2009.

[5] Комментарии, сделанные в Институте экономических исследований Беккера-Фридмана Чикагского университета: “Understanding Inequality and What toDoAbout It”, November 6, 2015.

[6] См. Goldin and Katz, 2008; Acemoglu and Autor, 2011 иMurphy and Topel, 2016.

[7] См. Mas-Colell, Whinston, and Green, 1995, где можно узнать, как доказать этот результат.

[8] См. Kaplan and Rauh, 2013a, атакже модель, представленную встатье Джонса иКима (Jones and Kim, 2018), вкоторой талант используется вкачестве косвенного показателя масштабируемости предпринимательской идеи. Вкниге Роберта Фрэнка (Frank, 1996) представлены результаты ранних исследований повопросу возникновения неравенства вкаждой профессии. Результаты более поздних исследований можно найти здесь: Xie, Killewald, and Near, 2016.

[9] См. Ormerod, 2012.

[10] Всвоей книге Пол Ормерод (Ormerod, 2012) подробно описывает, как рост связанности способствует усилению неравенства.

[11] См. Cancian and Reed, 1999 иSchwartz and Mare, 2005.

[12] Полное описание модели можно найти здесь: Greenwood etal., 2014.

[13] Согласно этой оценке, данный коэффициент составилбы 0,34, ане0,43. См. Greenwood etal., 2014. Коэффициент Джини отражает расстояние между распределением доходов и равномерным распределением. Пусть S(P)— это общая доля дохода (или богатства), полученного (принадлежащего) нижними Pпроцентами населения (например, если нижние 30процентов населения получают 2процента доходов, тоS(30)= 2):

Если доход равномерно распределен, иGINI= 0. Если весь доход достается верхнему 1проценту, S(P)= 0 при P < 100 иS(100)= 1, азначит, GINI= 1.

[14] Эти показатели можно вычислить следующим образом. Дети принадлежат кчетырем категориям с вероятностью (0,6, 0,25, 0,1, 0,05). Иначе говоря, 60процентов детей родителей свысокими доходами, 20процентов детей родителей суровнем доходов выше среднего, 15процентов детей родителей суровнем доходов ниже среднего и5процентов детей родителей снизкими доходами имеют высокий уровень доходов. Процент внуков людей свысоким уровнем доходов равен (0,6)(0,6)+ (0,25)(0,2)+ (0,1)(0,15)+ (0,05)(0,05)= 0,4275, апроцент внуков людей снизким уровнем доходов равен (0,6)(0,05)+ (0,25)(0,1)+ (0,1)(0,15)+ (0,05)(0,7)= 0,105.

[15] Pfeffer and Killewald, 2017.

[16] Kaplan and Rao, 2013b.

[17] См. Farmer, 2018.

Пролог

ГЛАВА 1. Многомодельное мышление

ГЛАВА 2. Зачем нужны модели?

ГЛАВА 3. Наука о множестве моделей

ГЛАВА 4. Моделирование поведения людей

ГЛАВА 5. Нормальное распределение: колоколообразная кривая

ГЛАВА 6. Степенное распределение: длинный хвост

ГЛАВА 7. Линейные модели

ГЛАВА 8. Вогнутость и выпуклость

ГЛАВА 9. Модели ценности ивлияния

ГЛАВА 10. Сетевые модели

ГЛАВА 11. Трансляция, диффузия и заражение

ГЛАВА 12. Энтропия: моделирование неопределенности

ГЛАВА 13. Случайные блуждания

ГЛАВА 14. Зависимость от первоначально выбранного пути

ГЛАВА 15. Модели локальных взаимодействий

ГЛАВА 16. Функции Ляпунова и равновесие

ГЛАВА 17. Модели Маркова

ГЛАВА 18. Модели системной динамики

ГЛАВА 19. Пороговые модели собратной связью

ГЛАВА 20. Пространственные и гедонические модели выбора

ГЛАВА 21 Три класса моделей теории игр

ГЛАВА 22. Модели кооперации

ГЛАВА 23. Проблемы коллективных действий

ГЛАВА 24. Дизайн механизмов

ГЛАВА 25. Модели сигнализирования

ГЛАВА 26. Модели обучения

ГЛАВА 27. Задачи о многоруком бандите

ГЛАВА 28. Модели пересеченного ландшафта

ГЛАВА 29. Опиоиды, неравенство исмирение

Библиография

Примечания